矩阵论_研究生期末考试_2016_安丰稳
(1) Find the matrix Af which represents the linear operator f (relative to the standard linear basis of C3 ). (2) Find the norm of the linear operator f . Here C3 is given with the standard inner product. (3) Find the adjoint operator f of the linear operator f . (Hint. Via the conjugate transpose of the matrix Af .) (4) Find a positive constant c 2 R such that kAf z k holds for each column vector z 2 C3 . 4. (20%) Let T be a complex matrix of order n. For the C-linear operator T : Cn ! Cn ; x 7 ! T x consider the two subspaces ker (T ) = fx 2 Cn : T x = 0g; (1) Evaluate (2) Evaluate dimC img (T ) rank (T ) : (3) Prove that the linear operator T : Cn ! Cn is injective () The linear operator T : Cn ! Cn is surjective. (4) Suppose T is a hermitian matrix. Prove there is an orthogonal sum ker (T ) img (T ) = Cn : img (T ) = fT x 2 Cn : x 2 Cn g: dimC ker (T ) + rank (T ) : c kz k
(1) Suppose A Prove eA (2) Conversely, suppose eA Is it true that A = holds? (Hint. Consider the distance from a point to a subspace.) 6. (10%) Let B be a complex matrix of order n. For each eigenvalue 2 C of the matrix B; put E ( ) = fz 2 Cn : B z = z g: (1) Let B be a normal matrix and let 1 ; 2 ; ; s 2 C be all the distinct eigenvalues of B . Is it true that there is an orthogonal sum Cn = E ( 1 ) E ( 2) E ( s) 3, =e : =e : = :
(2) Suppose the matrix B has n distinct eigenvalues. Take a complex matrix T of order n. Prove B T =T B () There are complex numbers k0 ; k1 ; T = k0 I + k1 B + ; kr ; ; kn + kn
for the complex vector space Cn with the standard inner product ? Here, for mutually orthogonal subspaces V1 ; V2 ; ; Vs of Cn with s we de…ne V1 V2 V3 = (V1 V2 ) V3 ; V1 in the same way, V1 V2 Vs = (V1 V2 Vs 1 ) Vs : V2 V3 V4 = (V1 V2 V3 ) V4 ;
Wuhan University 2016-2017 School Year, The 1st Semester A …nal examination of Theory of Matrices for the …rst year graduate students
Please note that here you can use any results proved in class or in the textbook; but you should indicate clearly what you are using. Thank you. 1. (20%) Given a matrix of order 3 0 1 0 0 1 A = @ 1 0 0 A: 0 1 0
1 1
2 C such that Bn 1:
+ the identity matrix of order n. 3
(1) Find the Jordan form of A. (2) Evaluate the matrix
A2017 + A2016 + A: 2. (20%) Let B be a real symmetric matrix of order 3. For each column vector x 2 R3 , de…ne a function f (x) : R3 ! R; x 7 ! f (x) = x| B x: (1) Prove that B is a positive matrix () f (x) reaches its minimal value 0 at only one point in R3 . (2) Let 1; 1; 3 be all the eigenvalues of B: Find the set of values of the function f (x) on the unit sphere of R3 , i.e., ff (x) 2 R : x 2 R3 with kxk = 1g: 1
3. (20%) Let f : C3 ! C3 be a C-linear operator given by 0 1 0 1 z1 z1 z2 z = @ z2 A 2 C3 7 ! f (z ) = @ z1 + z3 A 2 C3 : z3 z2 + z3
5. (10%) Let A be a complex matrix of order n. Let eA be the complex matrix of order n given by the exponent function ex on C. Take a complex number 2 C and a complex column vector 2 Cn . 2
研究生《矩阵论》 期末考试题
武汉大学2018-2019第一学期研究生《矩阵论》期末考试题
一、（15分）设W={（x 1,x 2,x 3,x 4）|x 1-x 2+x 3-x 4=0}，其中（x 1,x 2,x 3,x 4）∈R 4
（1）证明W 是线性空间；
（2）求W 的一组基和维数；
（3）将W 的基扩充为R 4的基。
二、（15分）设V 是欧氏空间，W 是V 的任意一个子空间，令W ⊥={α∈V|α⊥W}
证明：（1）W ⊥也是V 的子空间；
（2）V=W ⊕W ⊥。
三、（15分）在R 3中定义变换σ（x 1,x 2,x 3）丅=（x 1+x 2，x 1-x 2，x 3）
丅（1）证明σ是线性变换；
（2）求σ的像lmσ和σ的核kerσ；
（3）求σ在基β1=（1.0.0）丅，β2=（1.1.0）丅，β3=（1.1.1）丅下的矩阵表示。
四、（15分）设σ是n 维线性空间，
V （F ）上的一个线性变换，关于基α1，α2，...，αn 和基β1，β2，...，βn 的矩阵分别为A 和B 。
证明：存在可逆矩阵P 使得B=P -1AP 。
五、（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0 2 21- 2 21- 1 3（1）求A 的最小多项式；
（2）求A 所有的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求可逆矩阵P 使得P -1AP 为对角矩阵或Jordan 矩阵。
六、（25分）设A ∈R m ×n ，B ∈R n ×p
（1）证明：秩（AB ）≤秩（A ），秩（AB ）≤秩（B ）（2）证明：秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）-n。
西安邮电大学矩阵论期末真题试题4
西安邮电大学研究生课程考试试题（ — 学年第一学期）一、计算题1 设4维线性空间V 的两组基4321,,,:)(e e e e I 和)3,1,6,6(),1,2,3,5(),0,1,3,0(),1,1,1,2(:)(4321===-=∏ββββ求（1）由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵C（2）元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标 （10分）2 已知3R 的线性变换),,0(),,(21321x x x x x T =，求2T 的值域与核的基与维数 （10分）3 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01101i i i i A ，求 ∞∞A A A A A A F m m ,,,,,211 （12分）4 已知031042212A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解．(12分)5 应用n Gerschgori 定理隔离⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011131110A 的特征值，并根据实矩阵特征值的性质改进所得出的结果． (12分)6 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211211111221A ，求+A （12分）二、证明题1 已知m •是n n C ⨯上的矩阵范数，S 是n 阶可逆矩阵，对于任意n n C A ⨯∈，规定mAS S A 1-=，证明•是n n C ⨯上的一种矩阵范数。
（12分）2 设BA,都是正定矩阵，证明AB的特征值都大于零．（12分）3设n mA H==．（8分）O⇔∈，证明OCA⨯AA西安邮电大学研究生课程考试试题标准答案及评分标准（ — 学年第一学期）一、计算题1（1）432144321332243211366,235,3,2e e e e e e e e e e e e e e +++=+++=+=+-+=ββββ（3分）于是由基)(I 到基)(∏的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502C （2分）（2） 元素),,,(4321x x x x =α在基)(I 下的坐标为 T x x x x y ),,,(4321= （2分） 元素),,,(4321x x x x =α在基)(∏下的坐标为 y P 1- （3分） 2解：由 ),0,0(),,0()),,((),,(1213213212x x x T x x x T T x x x T === （2分） 可得 {}R x x T R ∈=),0,0()(2 {}R x x x x T N ∈=32322,),,0()(（4分） 因此，1)(dim 2=T R , )(2T R 的一个基为 )1,0,0( （2分）2)(dim 2=T N ，)(2T N 的一个基为 )1,0,0(),0,1,0( （2分）3解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=212122223i i i i AA H)16)(1(2+--=-λλλλH AA E （4分）71=m A 3=∞m A 7=FA（4分）31=A 3=∞A 2232+=A (4分) 4解： 取 110,1c s == ， （2分）则 130********T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 132********T A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（3分）取 2243,55c s -==， （2分）则 231004305534055T ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2313212051002T T A R ⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ （3分） 故13233404521243()005155002100T T A QR T T R -⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭（2分） 5 解： A 的3个盖尔圆为：2:1≤λG , 23:2≤-λG , 210:3≤-λG (3分)选取)25,1,1(diag D =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-102525523152101DAD B ， (2分) B 的3个盖尔圆为：57:1≤'λG , 573:2≤-'λG , 510:3≤-'λG (3分) 而1G ',2G ',3G '都是孤立盖尔圆，因此在盖尔圆1G ',2G '，3G 中各有A 的一个特征值(1分) 因为A 为实矩阵，若A 有复特征值则必共轭出现，因此A 的三个特征值都为实数，分别在区间：[]4.1,4.1-，[]4.4,6.1-，[]12,8 中各有A 的一个特征值 (3分)6解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==01101001121121FG A (6分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==--+714417417714221)()(11HH H H F F F GG G A (6分)二、证明题1 证：（1）10mO S OS -== 当 A O ≠ 时，1S AS O -≠ 得10mA S AS-=> （3分）（2）11()m mkA S kA Sk S ASk A --=== （3分）（3）111()mmmA B S A B S S ASS BSA B ---+=+≤+=+ （3分）（4）11111()()()mmmmAB S AB SS AS S BS S AS S BSA B -----==≤= （3分）故A 是n n C ⨯上的矩阵范数2 证：A 是正定矩阵则存在酉矩阵U 使得),,,(21n H diag AU U λλλΛ=,0>i λ 即 H n U Udiag A ),,,(21λλλΛ=),,,(21n Udiag λλλΛ=),,,(21n diag λλλΛH U P P H =这里=P ),,,(21n diag λλλΛH U (3分) 同理，H n V Vdiag B ),,,(21μμμΛ==),,,(21n Vdiag μμμΛ),,,(21n diag μμμΛH V Q Q H =，这里=Q ),,,(21n diag μμμΛH V (3分) 因此Q PQ PQ Q Q PQ P AB H H H H H )()(1-==，表明AB 与)()(H H H PQ PQ 相似 (3分)而)()(H H H PQ PQ 为正定矩阵，故AB 的特征值都大于零 (3分) 3 证： :⇒ 显然 (2分):⇐设n m ij a A ⨯=)(，则m n ji H a A ⨯=)(，那么由O A A H =可得 (2分) 02212222121211=+++++++++mnm n n a a a a a a ΛΛΛΛ， (2分)因此0=ij a ,n j m i ΛΛ,2,1;,,2,1==，故O A = (2分)。
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
矩阵论研究生考试题(2012-2013)-推荐下载
证明:1) E 1;2) A 1时， E A 可逆，且 1 E A1 1 .
3. A 为秩为 r 的半正定 Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵 P ,
使得
A
P
（其中 Ir 为 r 阶单位矩阵）
P
H
,其中
1
r
(i
1 A
0, i
1.
A
是
n
阶方阵，
则 A 的最小多项式 m
2.矩阵
3.矩阵
4.设
A
A
0 2 1
2
1 2 0
a1
a2
a3
1 3
E
0
4 5
2
A
的标准型为
的
的谱半径
为给定的常向量，
1
1
范数（列和范数）
X
，
.
则
总分
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
矩阵论考试题
T
任课教师
0 c c 5. 设 A c 0 c ,当 c c c 0
时,A 为收敛矩阵.
二、试用 Househoulder 变换将向量 x (1 , 2 , 2) 化为与 e1 (1 , 0 , 0) 同方向的 向量。 （8 分）
1 8 0 0
2 1 4 0
1 1 至少有两个实特征值。(10 分) 0 1
0 1 2 3 八、求矩阵 A 0 2 1 1 的满秩分解(10 分) 2 4 2 4
九、求矩阵 A 的 Jordan 标准形及相应的相似变换矩阵。其中 1 1 A 5 21 10、设 A H A , B H B ，证明： （1） e iA 为酉矩阵； （2） e B 为酉矩阵 (10 分) （10 分）
第 1 页 共 2 页
中国民航大学 2010－2011 学年第一学期 研究生《 矩阵论 》期末考试试卷
姓名
线――――――――――――――――――――――――――――――－
专业
学号
考试形式：闭卷
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． det e A 2. 已知 e
At
2 e t e 2 t e 2t e t e 2t e t
姓名：
2 3 0 五、已知 A 1 3 0 ，求 A 的 Doolittle 分解。 1 3 6
(8 分)
1 0 0 六、矩阵 A ，求 A (8 分) 2 0 0
班级：
第 2 页 共 2 页
9 0 七、应用盖尔圆定理证明 1 1
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
B.
1 2 1
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E
1 1
0 2
1 1
2 1
1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1 3
由 Hamilton-Cayley 定理知 gA 0
et e 2t
a0 a0
a1 2a1
于是解得：
a0 a1
2et e2t
e 2t et
从而：
f A e At gA a0 E a1 A
北京邮电大学《矩阵论》2015-2016-1-期末试卷及答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版北京邮电大学2015——2016学年第一学期《矩阵论》期末考试试题评分参考标准一、（10分）设 x 1,x 2 是线性空间 V 的一组基，线性变换 T 在这组基下的矩阵为 A =[21−10] 。
y 1,y 2 是另一组基，且 (y 1,y 2)=(x 1,x 2) [1−1−12] 。
（1）求 T 在 y 1,y 2 下的矩阵 B ；(2) 计算 A 100 。
解：（1）B =[1−1−12]−1A [1−1−12]=[1101]。
（5分） （2）A 100=[1−1−12]B 100[1−1−12]−1A =[101100−100−99]。
（5分）二、（10分）计算 ln A ，其中 A =[e1e 1e 1e ] 。
解：ln A =[11/e −1/2e 21/3e 311/e −1/2e 211/e 1]。
（10分）三、（15分） 设 x =[512] 。
（1）计算Givens 变换 G 1 使得 G 1x =[a 0] ； （2）计算Givens 变换 G 2 使得 G 2x =b [11] 。
解：（1）G 1=[5/1312/13−12/135/13]，a =13，或G 1=[−5/13−12/1312/13−5/13]，a =−13。
（7分） （2）G 2=[17/13√27/13√2−7/13√217/13√2]，b =13√2/2，或G 2=[−17/13√2−7/13√27/13√2−17/13√2]，b =−13√2/2。
（8分）四、（10分）设 A =[−1−600−630000 00344−3] ，计算 ‖A ‖1，‖A ‖2，‖A ‖∞，‖A ‖F 。
解：‖A ‖1=9，‖A ‖2=1+2√10，‖A ‖∞=9，‖A ‖F =2√33。
（10分）五、（10分）设矩阵A ∈R n×n 满足 A 3=A ，证明存在非奇异矩阵 X 使得 X −1AX =[I r −I s0t ]。
上海交通大学矩阵理论2009-2013年期末考试真题
, . 1. ( 3 , 15
100 )
.
A∗
A
.
R3 U = {(x, y, z )T ∈ R3 | x + y + z = 0}, W = {(x, y, z )T ∈ R3 | x = y = ) (C) 2 . (D) 3 :
z − 2 }.
dim (U + W ) − dim U =( (A) 0 (B) 1 2. U, W V ⊥ ⊥ . (U + W ) = U + W ⊥ ; . (U + W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ + W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ . ( ) (A) (B) A B
)
2.下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) (A) 次数等于m(m 1)的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的 通常乘法. (B) Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； (C) 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算k · x = x0 ，k 是实数, x0 是某一取定向量. (D) 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； 3.线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) (A) 保持向量的长度不变; (B) 将标准正交基变为标准正交基； (C) 保 持 任 意 两 个 向 量 的 夹 角 不 变 ； 阵. 4.设A是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) (A) A与对角矩阵相似； (B) A的特征值只可能是1或者0； (D) 幂级数
∗,
D=
Λ O O O
)
m×n
矩阵论第二套
①利用 Hamilton-Cayley 定理（ ������2 + ������ = 0 满足������������和 A 之间存在一定的关系时可用此
定理）
②相似对角化(若矩阵能够相似对角化时可用)
③待定系数(需要求得矩阵的最小多项式)
解：
求得：det（λI − A）=((������ − 1)2
设：R(λ) = ������1������ + ������0
{
������(1) = ������1 + ������0 = ������������ ������(1)′ = ������1 = ������������������
3������������ − 4������2������
3 1 −1 A = [1 3 −1]
3 3 −1
五、涉及知识点：满秩分解(A=FG)、矩阵 A 求广逆矩阵的公式：������+ = ������������(������������������)−1(������������������)−1������������ 推论 1：设A ∈ ������������∗������,则 rank(A)=m 时；有������+ = ������������(������������������)−1 当 rank(A)=n 时；有������+ = (������������������)−1������������