高考数学理试题分类汇编：统计与概率

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高考数学经典试题与解析专题九计数原理与概率统计

专题九计数原理与概率统计——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2023年全国高考真题]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.231．答案：D解析：依题意，用1A ，2A 表示高一的2名学生，1B ，2B 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2名学生的选法有()12,A A ，()12,B B ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，共4种，所以所求概率4263P ==，故选D.2．将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有()A.120种 B.150种 C.180种 D.240种2．答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①先将甲、乙等5名同学分成3组：若分成1，2，2的3组，则有12254222C C C15 A =（种）方法；若分成1，1，3的3组，则有11354322C C C 10 A =（种）方法，故将5人分成3组，每组至少有1人，有151025+=（种）分组方法.②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有3325A 150=（种）.3．[2023春·高二·四川内江·期中校考]在12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数是()A.454B.358-C.358D.73．答案：C解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以8n =，二项式展开项的通项公式为842218811C C 22rrr rr r r r T x x x -++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令462r +=，得4r =，所以6x 的系数为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选C.4．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B ={两次的点数之和为8}，则()P B A =∣()A.112B.29C.13D.234．答案：B解析：易知()()()n AB P BA n A =∣，其中AB 表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之和为8”，共有两种情况，即(3,5)，(5,3)，故()2n AB =.而1133()C C 9n A =⋅=，所以()2()()9n AB P B A n A ==∣.故选B.5．[2023春·高二·江苏盐城·月考联考]已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量在区间(],μσμσ-+，(]2,2μσμσ-+和(]3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布()290,15N ，则此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有()A.477人B.136人C.341人D.131人5．答案：B 解析：根据题意，()()()60120751050.95440.68261051200.135922P X P X P X <≤-<≤-<≤===，则10000.1359135.9136⨯=≈，故此次考试成绩在区间(]105,120内的学生大约有136人.故选：B.6．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）99.29.49.69.810销量y （件）1009493908578预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为()参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：615116iii x y==∑，622160.7i i x x =-=∑.A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元6．答案：B解析：由题意，得1(99.29.49.69.810)9.56x =⨯+++++=，1(1009493908578)906y =⨯+++++=，6162216511669.590ˆ200.76i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===--∑∑，ˆ909.520280a=+⨯=，则ˆ20280y x =-+.设工厂获得利润L 元，则2(5)(20280)20(9.5)405L x x x =--+=--+，当9.5x =时，L 取得最大值.所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.7．[2024春·高一·河南三门峡·期末校考]某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召,调查该校3000名学生每周平均体育运动时长的情况,从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据,整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是()A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为6007．答案：C解析：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时长为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）,故选项A 正确;对于B,该校高一年级的总人数为430001200433⨯=++,由题中频率分布直方图可知,该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为()0.0250.120.25+⨯=,所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为12000.25300⨯=,故选项B 正确;对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为()0.0750.0252100%20%+⨯⨯=,故选项C 错误;对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为300020%600⨯=,故选项D 正确.故选：C.8．甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为12，23，34，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为()A.14B.724C.1124D.17248．答案：D解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是()12P A =，()23P B =，()34P C =，则不获一等奖的概率分别是()11122P A =-=，()21133P B =-=，()31144P C =-=，则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：()()()()()()()()()()()()P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++=++1231131211123423423424=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，这三人都获得一等奖的概率为()()()()12312344P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率1111724424P =+=.故选：D.二、多项选择题9．[2020年全国高考真题]我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图.根据该折线图，()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量9．答案：CD解析：由题图可知第8，9天复工指数和复产指数均减小，故A 错误；第1天时复工指数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B 错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%，故C 正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D 正确.10．已知()*nx n ⎛+∈ ⎝N 的展开式中共有7项，则该二项展开式中()A.所有项的二项式系数和为64 B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有4项10．答案：ACD解析：由题意知6n =，则6x ⎛⎝的展开式的通项为3666216C C (0,1,2,,6)2rr rr r r r T x x r --+===⋅ .对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，故A 正确；对于B ，令1x =，得6613122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此所有项的系数和为632⎛⎫⎪⎝⎭，不为1，故B 错误；对于C，由二项式系数的性质，可知6x ⎛⎝的展开式中第4项的二项式系数最大，为36C 20=，故C 正确；对于D ，当362r-∈Z ，即0,2,4,6r =时，对应的项为有理项，共有4项，故D 正确.故选ACD.11．[2023春·高二·江苏·期中联考]红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲同学调配出红色”，B 表示事件“甲同学调配出绿色”，C 表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是()A.1()15P A =B.1()4P C A =∣C.4()45P BC =D.事件B 与事件C 相互独立11．答案：AC解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为26C .对于A ，A 表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有22C 种方法，则2226C 1()C 15P A ==，故A 正确；对于B ，事件A 发生需要2瓶颜料均为红色，事件C 发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，在事件A 发生的条件下，事件C 不可能发生，所以()0P CA =∣，故B 错误；对于C ，若事件B 发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则112226C C 4()C 15P B ==，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则1224C 1()C 3P C B ==∣，故414()()()15345P BC P B P C B =⨯=⨯=∣，故C 正确；对于D ，若事件C 发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则21111111222242222264C C C C C C C C 4()C C 15P C ++==，444()()()151545P B P C P BC ⋅=⨯≠=，事件B 与事件C 不相互独立，故D 错误.故选AC.三、填空题12．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）.若,,{1,2,3,4}a b c ∈，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_________.12．答案：12解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数有6个，由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所以这个三位数为“有缘数”的概率121242P ==.13．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，则随机变量X 方差的最小值为__________.13．答案：18解析：由1(0)4P X ==，1(1)4P X ==，得1()2P X x ==，所以随机变量X 的数学期望21()4x E X +=，则方差222221123121111()42444442162x x x D X x ⎡⎤+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.当12x =时，()D X 取到最小值18，故答案为18.14．[2023届·西北工业大学附中·模拟考试]将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连排在一起（甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑），则这8张门票不同的分配方法有_________种.14．答案：72解析：设8张门票的编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8.若甲选123，则乙可以是56，67，78共3种，此时共有333A 18=种；若甲选234，则乙可以是67，78共2种，此时共有332A 12=种；若甲选345，则乙可以是78共1种，此时共有33A 6=种；若甲选456，则乙可以是12共1种，此时共有33A 6=种；若甲选567，则乙可以是12，23共2种，此时共有332A 12=种；若甲选678，则乙可以是12，23，34共3种，此时共有333A 18=种.综上所述，不同的分配方法有181266121872+++++=种.四、解答题15．[2024春·高一·青海西宁·期末]为了解学生的周末学习时间（单位：小时）,高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查,将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.根据直方图所提供的信息：(1)用分层抽样的方法在[)20,25和[]25,30中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3人接受检测,求检测的3人来自同一区间的概率;(2)估计这40名同学周末学习时间的25%分位数.15．答案：(1)1 5 ;(2)8.75小时.解析：(1)由图可知,40名学生中周末的学习时间在[)20,25的人数为0.035406⨯⨯=人,周末的学习时间在[]25,30的人数为0.0155403⨯⨯=人,从中用分层抽样抽取6人,则周末的学习时间在[)20,25的有4人,记为A,B,C,D;周末的学习时间在[]25,30的有2人,记为a,b;则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb, ADa,ADb,Aab,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,Bab,CDa,CDb,Cab,Dab共有20个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC,ABD,ACD,BCD共有4个,所以检测的3人来自同一区间的概率41205 P==;(2)学习时间在5小时以下的频率为0.0250.10.25⨯=<,学习时间在10小时以下的频率为0.10.0450.30.25+⨯=>,所以25%分位数在区间[)5,10内,则0.250.1 558.750.30.1-+⨯=-,所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.16．[2024春·高二·宁夏石嘴山·月考校考]2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G ，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G 、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT 公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1月份至6月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.月份x 123456收入y （百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，y ax b =+与e dx y c =⋅(a ，b ，c ，d 均为常数)哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7月份的5G 经济收入.(结果保留小数点后两位)（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考数据：x yu 621()i i x x =-∑61()()iii x x y y =--∑61()()iii x x uu =--∑ 1.52e 2.66e 3.5021.15 2.8517.70125.35 6.734.5714.30其中，设ln u y =，ln i i u y =(1,2,3,4,5,6i =).参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(21,2,3,,)i i x v n = ，其回归直线ˆˆˆvx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii Ri i x x v v x x β==--=-∑∑，ˆˆv x αβ=-16．答案：（1）e dx y c =⋅更适宜（2） 1.520.38e ˆx y +=，65.35百万元（3）分布列见解析，1解析：（1）根据散点图判断，e dx y c =更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；（2）因为e dx y c =，所以两边同时取常用对数，得ln ln y c dx =+，设ln u y =，所以ln u c dx =+，因为 3.50x =， 2.85u =，所以61621()( 6.73ˆ0.380,17.70(iii ii x x u u dx x ==--==≈-∑∑所以ˆln 2.850.380 3.50 1.52c u dx=-≈-⨯=.所以ˆ 1.520.38u x =+，即ˆln 1.520.38y x =+，所以 1.520.38e ˆx y +=.令7x =，得 1.520.387 1.52 2.66ˆe e e 4.5714.3065.35y +⨯==⨯≈⨯≈，故预测该公司7月份的5G 经济收入大约为65.35百万元.（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X 的取值为0，1，2，2326C 1(0)C 5P X ===，113326C C 3(1)C 5P X ===，2326C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X 012P153515所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.17．[2024春·高三·内蒙古赤峰·开学考试校考]卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线250250乙生产线300200（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测，记抽取的产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7069.8415.0246.63510.82817．答案：（1）没有；（2）分布列见解析，95解析：（1）补充列联表如下：合格品优等品总计甲生产线250250500乙生产线300200500总计5504501000根据列联表中的数据，经计算得到221000(250200250300)10.10110.828550450500500K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为25015002=，乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为20025005=，所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为12，25，由题意随机变量X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22211221312331C C 2525510P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2222211221313212372C C 2525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22211221212313C C 252555P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2212142525P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X 01234P91003103710015125所以X 的期望()933711901234100101003255E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18．[2024春·高二·福建宁德·期末]毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75145～分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)，13.σ=现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望.(结果精确到0.01)；（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为12；若前一关通过，则本关通过的概率为13，已知甲同学第一关通过的概率为13，记甲同学通过第n 关的概率为n P ，请写出n P 的表达式，并求出n P 的最大值.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.18．答案：（1）0.012；（2）0.23；（3）13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n P 的最大值为49.解析：（1）由频率分布直方图，得()100.0050.0190.030.020.0021a a ⨯++++++=，解得0.012a =.（2）由题意得：800.05900.121000.191100.3μ=⨯+⨯+⨯+⨯1200.21300.121400.02109.2+⨯+⨯+⨯=，()2109.2,13X N ～，()()()122135.220.022752P X P X P X μσμσμσ--<≤+>=>+=≈，()10,0.02275Y B ～，()0.22750.23E Y np ==≈.（3）记甲同学第()*n n ∈N 关通过为事件n A ，依题意，113P =，当2n ≥时，()113n n P A A -=，()112n n P A A -=，()n n P P A =，所以()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A ----=+，所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为113P =，则1320721P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为221-，公比为16-的等比数列，所以13217216n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，113213213721672167n n n P --⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，13217216n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n P 随着n 的增大而减小，所以，249n P P ≤=，又4397>，所以n P 的最大值为49.19．[2024春·高二·江苏南通·月考校考]篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是12和p ，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若23p =，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；（2）若1223p ≤≤，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：①设事件C 表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求()P C ；（结果用含p 的式子表示）②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？19．答案：（1）124；（2）①321388p p +；②15解析：（1）设事件i A 表示甲在一轮比赛中投进i 个球，i B 表示乙在一轮比赛中投进i 个球，()0123i =,,,，D 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球所以2031D A B A B =+()()()2031P D P A B P A B =+2332203133331111211C C C C 22323324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭（2）①()()()()203031P C P B A P B A P B A =++()3332231323311113C 1C 22288p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦⎝；②设随机变量X 表示n 轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，则有3213,88X B n p p ⎛⎫~+ ⎪⎝⎭，故()321388E X n p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要满足题意，则()3E X ≥，即3213388n p p ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，又12,23p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3231388n p p ≥+，令()321388f x x x =+，12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()3208f x x x '=+>在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即()f x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()f x 的最大值为211354f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即321388p p +的最大值为1154，于是，3231388p p +的最小值为16211，因162141511<<，故理论上至少要进行15轮比赛.。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题14 概率与统计

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题14概率与统计1.(2019·全国1·理T6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻 “”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A【解析】由题可知,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C 63种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C 6326=516,故选A .2.(2019·全国2·文T4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B.35C.25D.15【答案】B【解析】设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2 只测量过该指标的概率为610=35,故选B .3.(2019·全国3·文T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) 【答案】D【解析】两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是12.故选D.4.(2019·全国1·文T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【答案】C【解析】由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到,则第一组应为6号学生,所以每组抽取的学生号构成等差数列{an},所以an=10n-4,n ∈N*, 若10n-4=8,则n=1.2,不合题意; 若10n-4=200,则n=20.4,不合题意; 若10n-4=616,则n=62,符合题意; 若10n-4=815,则n=81.9,不合题意. 故选C.5.(2019·全国2·理T5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差【答案】A【解析】设9位评委的评分按从小到大排列为x1<x2<x3<x4<…<x8<x9.对于A,原始评分的中位数为x5,去掉最低分x1,最高分x9后,剩余评分的大小顺序为x2<x3<…<x8,中位数仍为x5,故A 正确;对于B,原始评分的平均数x =19(x 1+x 2+…+x 9),有效评分的平均数x '=17(x 2+x 3+…+x 8),因为平均数受极端值影响较大,所以x 与x '不一定相同,故B 不正确;对于C,原始评分的方差s 2=19[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 9-x )2],有效评分的方差s'2=17[(x 2-x ')2+(x 3-x ')2+…+(x 8-x ')2],由B 易知,C 不正确;对于D,原始评分的极差为x9-x1,有效评分的极差为x8-x2,显然极差变小,故D 不正确. 6.(2018·全国2·理T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.112 B.114C.115D.118【答案】C【解析】不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.其中和为30的有7+23,11+19,13+17共3种情况,故P=3C 102=115.7.(2018·全国2·文T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 【答案】D【解析】设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=310=0.3.8.(2018·全国1·理T10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3 【答案】A【解析】∵S △ABC =12AB ·AC,以AB 为直径的半圆的面积为12π·AB 22=π8AB 2,以AC 为直径的半圆的面积为12π·AC 22=π8AC 2, 以BC 为直径的半圆的面积为12π·BC 22=π8BC 2,∴S Ⅰ=12AB ·AC,S Ⅲ=π8BC 2-12AB ·AC,S Ⅱ=π8AB 2+π8AC 2-π8BC 2-12AB ·AC =12AB ·AC.∴S Ⅰ=S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1=SⅠS 总,p 2=SⅡS 总.∴p 1=p 2.∵S △ABC =12AB ·AC,以AB 为直径的半圆的面积为12π·AB 22=π8AB 2,以AC 为直径的半圆的面积为12π·AC 22=π8AC 2, 以BC 为直径的半圆的面积为12π·BC 22=π8BC 2,∴S Ⅰ=12AB ·AC ,S Ⅲ=π8BC 2-12AB ·AC , S Ⅱ=π8AB 2+π8AC 2-π8BC 2-12AB ·AC =12AB ·AC.∴S Ⅰ=S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1=SⅠS 总,p 2=SⅡS 总.∴p 1=p 2.9.(2018·江苏·T3)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .【答案】90【解析】由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为89+89+90+91+915=90.10.(2018·全国1·理T3文T3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A 不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C 正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D 正确,故选A. 11.(2018·浙江·T7)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时,( )A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小【答案】D【解析】由题意可知,E(ξ)=0×(1-p 2)+1×12+2×p 2=12+p,D(ξ)=(0-12-p)2×1-p 2+(1-12-p)2×12+(2-12-p)2×p2=12(-2p 2+2p +12)=-(p 2-p +14-12) =-(p -12)2+12,p ∈(0,1).故当p 在(0,1)内增大时,D(ξ)先增大后减小.12.(2018·全国3·理T8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 【答案】B【解析】由题意,得DX=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,∴p(1-p)=0.24,由p(X=4)<p(X=6)知C 104p 4·(1-p)6<C 106p 6(1-p)4,即p2>(1-p)2,∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).13.(2018·全国3·文T5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 【答案】B【解析】设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.14.(2017·全国3·理T3文T3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.15.(2017·山东·文T8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7【答案】A【解析】甲组数据为56,62,65,70+x,74;乙组数据为59,61,67,60+y,78.若两组数据的中位数相等,则65=60+y,所以y=5.又两组数据的平均值相等,所以56+62+65+70+x+74=59+61+67+65+78,解得x=3.16.(2017·全国1·理T2文T4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×12=π.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为圆面积的一半,即12πr 2=12π,所以此点取自黑色部分的概率为π24=π8.17.(2017·全国2·文T11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A .110 B .15C .310D .25【答案】D【解析】从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图所示.总共有25种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有10种,故所求的概率为1025=25. 18.(2017·天津·文T3)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45 B.35C.25D.15【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,共有(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫),(黄蓝),(黄绿),(黄紫),(蓝绿),(蓝紫),(绿紫)10种不同情况,记“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”为事件A,则事件A 包含(红黄),(红蓝),(红绿),(红紫)4个基本事件,则P(A)=410=25.故选C.19.(2017·山东·理T5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y ^=b ^x+a ^.已知∑i=110x i =225,∑i=110y i =1 600,b ^=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) A.160B.163C.166D.170【答案】C【解析】由已知得x =110∑i=110x i =22.5,y =110·∑i=110y i =160,又b ^=4,所以a ^=y −b ^x =160-4×22.5=70,故当x=24时,y ^=4×24+70=166.故选C .20.(2016·全国1·文T3)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56【答案】C【解析】总的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为P=23.21.(2016·全国3·文T5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130【答案】C【解析】密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选C.22.(2016·北京·文T6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.925【答案】B【解析】从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为410=25.23.(2016·全国1·理T4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34【答案】B【解析】这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=12,故选B.24.(2016·全国2·理T10)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn【答案】C【解析】利用几何概型求解,由题意可知,14S圆S正方形=14π×1212=mn,所以π=4mn.25.(2016·山东·理T3文T3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.140【答案】D【解析】自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.26.(2016·全国2·文T8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310【答案】B【解析】因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选B.27.(2016·全国3·理T4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个【答案】D【解析】由题图可知,0 ℃在虚线圈内,所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20 ℃的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.28.(2015·全国2·理T3文T3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D错误.29.(2015·陕西·理T2文T2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.167【答案】C【解析】由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).故选C.30.(2015·北京·理T8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】对于选项A,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5,故A项错误;对于选项B,同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少,故B项错误;对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶,1升汽油行驶10千米,所以行驶1小时,即行驶80千米,消耗8升汽油,故C项错误;对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙车比用乙车更省油,故D 项正确.31.(2015·湖北·理T2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石【答案】B【解析】由条件知254粒内夹谷28粒,可估计米内夹谷的概率为28254=14127,所以1 534石米中夹谷约为14127×1 534≈169(石).32.(2015·陕西·理T11)设复数z=(x-1)+yi(x,y ∈R),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( ) A.34+12π B.12+1πC.12−1π D.14−12π【答案】D【解析】由|z|≤1,得(x-1)2+y2≤1.不等式表示以C(1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=14π×12-S △OAC=14π-12×1×1=π4−12.故所求事件的概率P=S 阴S圆=π4-12π×12=14−12π. 33.(2015·山东·文T7)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo g 12(x +12)≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23C.13D.14【答案】A【解析】由-1≤lo g 12(x +12)≤1,得lo g 122≤lo g 12(x +12)≤lo g 1212,所以12≤x+12≤2,所以0≤x ≤32.由几何概型可知,事件发生的概率为32-02-0=34.34.(2015·福建·文T8)如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且点C 与点D 在函数f(x)={x +1,x ≥0,-12x +1,x <0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14C.38D.12【答案】B【解析】如图,设f(x)与y 轴的交点为E,则E(0,1). ∵B(1,0),∴yC=1+1=2.∴C(1,2). 又四边形ABCD 是矩形, ∴D(-2,2).∴S △DCE =12×[1-(-2)]×1=32.又S 矩形=3×2=6,∴由几何概型概率计算公式可得所求概率P=326=14.故选B .35.(2015·湖北·文T4)已知变量x 和y 满足关系y=-0.1x+1,变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( ) A.x 与y 负相关,x 与z 负相关 B.x 与y 正相关,x 与z 正相关 C.x 与y 正相关,x 与z 负相关 D.x 与y 负相关,x 与z 正相关【答案】A【解析】由y=-0.1x+1知y 与x 负相关,又因为y 与z 正相关,故z 与x 负相关.36.(2015·湖北·文T8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≤12”的概率,p 2为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<12B.p 1<12<p 2 C.p 2<12<p 1 D.12<p 2<p 1【答案】B【解析】设点P 的坐标为(x,y),由题意x,y ∈[0,1], 所以点P 在正方形OABC 内,S 正方形OABC=1×1=1. 画出直线x+y=12与正方形交于D ,E 两点,画出曲线xy=12与正方形交于M,N两点.而Rt△OAC的面积S=12.由图可知:S△OED<S△OAC<S曲边形OCMNA,所以p1<12<p2.故选B.37.(2015·全国1·文T4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为110.38.(2015·广东·文T7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1【答案】B【解析】设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.39.(2015·湖南·文T2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第3,4,5,6组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.40.(2015·北京·文T4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )A.90B.100C.180D.300【答案】C【解析】由已知分层抽样中青年教师的抽样比为3201600=15, 由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于15, 所以样本中老年教师的人数为900×15=180.故选C.41.(2015·安徽·理T6)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为( ) A.8 B.15C.16D.32【答案】C【解析】设数据x 1,x 2,…,x 10的平均数为x ,标准差为s,则2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的平均数为2x -1,方差为[(2x 1-1)-(2x -1)]2+[(2x 2-1)-(2x -1)]2+…+[(2x 10-1)-(2x -1)]210=4(x 1-x )2+4(x 2-x )2+…+4(x 10-x )210=4s 2,因此标准差为2s=2×8=16.故选C.42.(2015·全国1·理T4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【答案】A【解析】由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C 320.62(1-0.6)+C 330.63=0.648.43.(2015·湖北·理T4)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( )A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)【答案】C【解析】由曲线X的对称轴为x=μ1,曲线Y的对称轴为x=μ2,可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错;由图象知σ1<σ2且均为正数,∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;对任意正数t,由题中图象知,P(X≤t)≥P(Y≤t),故C正确,D错.44.(2015·山东·理T8)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【答案】B【解析】由正态分布N(0,32)可知,ξ落在(3,6)内的概率为P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)-P(μ-σ<ξ<μ+σ)2=13.59%.=95.44%-68.26%245.(2014·陕西·文T9)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2【答案】D【解析】由题意,得x=x1+x2+…+x1010,y i=x i+100,所以y1,y2,…,y10的均值为x+100,方差不变.故选D.46.(2014·重庆·文T3)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )A.100B.150C.200D.250【答案】A【解析】由题意知,抽样比为703500=150,所以n3500+1500=150,即n=100.故选A.47.(2014·湖南·文T3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3【答案】D【解析】由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3.48.(2014·广东·文T6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.20【答案】C【解析】由题意知分段间隔为100040=25,故选C.49.(2014·全国1·理T5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78【答案】D【解析】4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加活动的情况有24=16(种),其中4名同学都在周六或周日参加活动各有1种情况.所以所求概率为P=16-216=78.50.(2014·陕西·文T6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=410=25,故选B.51.(2014·湖南·文T5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15【答案】B【解析】由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=35,故选B.52.(2014·辽宁·文T6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8【答案】B【解析】所求概率为S半圆S长方形=12π×122×1=π4,故选B.53.(2014·全国2·理T5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A【解析】设某天空气质量为优良为事件A,随后一天空气质量为优良为事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.75=0.8,故选A.54.(2013·陕西·理T5)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无．信号的概率是()A .1-π4B .π2-1C .2-π2D .π4【答案】A【解析】S 矩形ABCD =1×2=2,S 扇形ADE =S 扇形CBF =π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为P=S矩形ABCD-S扇形ADE-S扇形CBFS矩形ABCD=2-π22=1-π4.55.(2013·四川·理T9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( ) A.14 B.12C.34D.78【答案】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x ≤4,0≤y ≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率P=S阴影S正方形=16-416=34.56.(2013·湖南·文T9)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12,则ADAB =( ) A.12B.14C.√32D.√74【答案】D【解析】如图,设AB=2x,AD=2y. 由于AB 为最大边的概率是12,则P 在EF 上运动满足条件,且DE=CF=12x ,即AB=EB 或AB=FA.∴2x=√(2y )2+(32x)2,即4x 2=4y 2+94x 2,即74x 2=4y 2,∴y 2x 2=716.∴y x =√74.又AD AB =2y 2x =y x =√74,故选D .57.(2013·全国1·文T3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A .12B .13C .14D .16【答案】B【解析】由题意知总事件数为6,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为1358.(2013·全国1·理T3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样【答案】C【解析】因为学段层次差异较大,所以宜采用按学段分层抽样.59.(2013·江西·理T4文T5)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A.08B.07C.02D.01【答案】D【解析】选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01,故选D.60.(2013·陕西·理T4)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11B.12C.13D.14【答案】B【解析】840÷42=20,把1,2,…,840分成42段,不妨设第1段抽取的号码为l,则第k 段抽取的号码为l+(k-1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l+(k -1)·20≤720,得25+1-l20≤k≤37-l20.由1≤l≤20,则25≤k≤36.满足条件的k 共有12个.61.(2012·山东·理T4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.15【答案】C【解析】由题意可得,抽样间隔为30,区间[451,750]恰好为10个完整的组,所以做问卷B 的有10人,故选C.62.(2012·北京·理T2)设不等式组{0≤x ≤2,0≤y ≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π-22C.π6D.4-π4【答案】D【解析】由题意知此概型为几何概型,设所求事件为A,如图所示,边长为2的正方形区域为总度量μΩ,满足事件A 的是阴影部分区域μA,故由几何概型的概率公式得P (A )=22-14×π×2222=4-π4.63.(2012·辽宁·文T11)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( ) A.16 B.13C.23D.45【答案】C【解析】此概型为几何概型,由于在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20 cm2的点在C1与C2之间的部分,如图所示. 因此所求概率为812,即23,故选C .64.(2012·安徽·文T10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )。

【山东8年高考】2007-2014年高考数学真题分类汇编(名师整理)：概率与统计

概率与统计（一）选择题1、（07山东理）（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45 答案：A 2、（07山东理）（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（）A ．212⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．312231C C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：B3、（07山东文）12．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4答案：D4.（08山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（A ）511（B ）681（C ）3061（D ）4081答案：B5.（08山东卷8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇0 13 14 15 16 17 18 19秒频率/组距 0.360.340.18 0.06 0.040.022 9 1 1 5 83 0 2 63 1 0 24 7居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（A ）304.6 （B ）303.6 (C)302.6 (D)301.6 答案：B6.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n , 则300.036=n,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于 104克的产品的概率为(0.100+0. 150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 120×0.75=90.故选A. 答案:A【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.7.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.答案:A96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050克频率/组距第8题图【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值cos 2xπ的范围,再由长度型几何概型求得. 8.(2009山东卷文)在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32【解析】:在区间[,]22ππ-上随机取一个数x,即[,]22x ππ∈-时,要使cos x 的值介于0到21之间,需使23x ππ-≤≤-或32x ππ≤≤，区间长度为3π，由几何概型知cos x 的值介于0到21之间的概率为313=ππ.故选A. 答案:A【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值cos x 的范围,再由长度型几何概型求得.9、（2010山东文数）(6)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8 答案：B 10、（2010山东理数）11、（2010山东理数）12、（2010山东理数7文数8）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63．6万元 B ．65．5万元 C ．67．7万元 D ．72．0万元答案：B13、 (2012山东卷文(4))在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差答案：D14、(2013山东理)10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A ）243 （B ） 252 （C ） 261 （D ）279答案：10．B15、（2013山东理）14．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为______. 答案：14．1316、（2014山东文）8．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.18答案：C16、（2014山东理）7．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.18答案：C（二）填空题1、(2011山东文13)．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．答案：162、(2012山东卷文(14))右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，本数据的分组为[20.5,21.5[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.9（三）解答题1、（07山东理）（18）（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．【标准答案】:（I ）基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即2b c ≥。

2023年高考数学试题分项版——统计概率(原卷版)

2023年高考数学试题分项版——统计概率（原卷版）一、选择题1．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷，9)有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差2．(2023·新高考Ⅱ卷，3)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A.4515400200C C ⋅种 B.2040400200C C ⋅种C .3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种3．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷，12)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D.当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4．(2023·全国甲卷理，6)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.15．(2023·全国甲卷理，9)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.306．(2023·全国甲卷文，4)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16B.13C.12D.237．(2023·全国乙卷理，5)设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16C.14D.128．(2023·全国乙卷理，7)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种9．(2023·全国乙卷文，7)设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16 C.14D.1210．(2023·全国乙卷文，9)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.1311．(2023·北京卷，5)512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）．A.80- B.40- C.40D.8012．(2023·天津卷，7)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（）A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245二、填空题1．(2023·新高考Ⅰ卷，13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．2．(2023·天津卷，11)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．3．(2023·天津卷，13)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．三、解答题1．(2023·新高考Ⅰ卷，21)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．2．(2023·新高考Ⅱ卷，19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．3．(2023·全国甲卷理，19)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：<mm≥对照组实验组（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k0.100.050.010()2P k k≥ 2.706 3.841 6.6354.(2023·全国甲卷文，19)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表m<m≥对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.1000.0500.010k2.7063.8416.6355．(2023·全国乙卷理，17)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，i y （1,2,10i =⋅⋅⋅），试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记(1,2,,10)i i i z x y i =-= ，记1z ，2z ，…，10z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.6．(2023·全国乙卷文，17)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z，2s；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）7．(2023·北京卷，18)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20-++0---++0+0--+-+00+天第21天到第400++0---++0+0+---+0-+天用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）。

概率与统计(选择、填空题)(理科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。

高考数学2024概率与统计历年题目全集

高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。

在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。

为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。

1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。

2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。

连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。

3) 某音乐社有男生40人，女生60人。

从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。

2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。

2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。

现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。

3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。

求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。

（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。

在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。

祝同学们取得优异的高考成绩！。

2024_2025年高考数学真题分类汇编专题14概率与统计填空题文

专题14概率与统计(填空题)近三年高考真题1．（2024•上海）现有某地一年四个季度的GDP （亿元），第一季度GDP 为232（亿元），第四季度GDP 为241（亿元），四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为（亿元）．【答案】946（亿元）．【解析】设其次季度GDP 为x 亿元，第三季度GDP 为y 亿元，则232241x y <<<，中位数与平均数相同， ∴23224124x y x y ++++=， 473x y ∴+=，∴该地一年的GDP 为232241946x y +++=（亿元）．故答案为：946（亿元）．2．（2024•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，依据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．【答案】7．【解析】极差为18615432-=，组距为5，且第一组下限为153.5，32 6.45=，故组数为7组，故答案为：7．3．（2024•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有肯定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．【答案】120；35．【解析】设盒子中共有球15n 个，则甲盒子中有黑球2n 个，白球3n 个，乙盒子中有黑球n 个，白球3n 个，丙盒子中有黑球3n 个，白球3n 个，从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为23154620n n n n n n ⨯⨯=；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率93155n n =．故答案为：120；35．4．（2024•乙卷（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【答案】3 10【解析】设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个基本领件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被选中的基本领件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被选中的概率为310．。

高考数学题型全归纳第十三章概率与统计第1节

的子集
1. 互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件称为互斥事件.
，A 的几A 何度量（长度、面积
A、B互斥 P( A B) P( A) P(B).
2. 对立事件
互斥，且其中必有一个发生，称
对立，记作
A，B
A，B
B A或A B.
六P(、A)条件1概P率(与A)独. A立，事B件互斥
A，B对立.
第十三章概率与统计
✎考纲解读
第一节概率及其计算
1. 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别.
2. 了解两个互斥事件的概率的加法公式.
3. 掌握古典概型及其概率计算公式.
4. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
5. 了解几何概型的意义.
✎知识点精讲
一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下： ① 必然要发生的事件叫必然事件； ② 一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.
（1）在事件发生的条件下，事件发生的概率叫作发生时发生的条件
概率，记 A ，条件概率公式为B
A
B
PB A
P B A P(AB) .
P( A)
（2）若 P B A P(，B)即 P( AB) P( A)P(B，) 称为A相与互B独立事件.
A 与B 相互独立即 A发生与否对 B的发生与否无影响，反之亦然. 即 A，B 相互独立则有公式 P( AB) P( A)P(B).
A. 1 B.1 C. 2 D. 4
6
3
3
5
【解析】设AC x ，C则B 12 x 0 ， x且 12
x，12所 x以
表示矩

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C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C
2、（2016年山东高考）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A）56（B）60（C）120（D）140
(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望．
【解析】(Ⅰ)“至猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．
设“至少猜对3个成语”为事件；
“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件，
则；
．
所以．
(Ⅱ)“星队”两轮得分之和的所有可能取值为0,1,2,3,4,6
(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C的月份有5个
【答案】D
二、填空题
1、（2016年山东高考）在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为
【答案】．
2、（2016年上海高考）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）
A班
66.577.58
B班
6789101112
C班
34.567.5910.51213.5
（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小，（结论不要求证明）
⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当时，费用的期望为
当时，费用的期望为
所以应选用
6、（2016年全国II高考）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
【答案】1.76
3、（2016年四川高考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.
【答案】
三、解答题
1、（2016年北京高考）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）设事件：选2人参加义工活动，次数之和为4
（Ⅱ）随机变量可能取值0，1，2
0
1
2
5、（2016年全国I高考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求，确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
7、（2016年全国III高考）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
5、（2016年全国III高考）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是
(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大
解析】⑴ ，C班学生40人
⑵在A班中取到每个人的概率相同均为
设班中取到第个人事件为
C班中取到第个人事件为
班中取到的概率为
所求事件为
则
⑶
三组平均数分别为总均值
但中多加的三个数据平均值为，比小，
故拉低了平均值
2、（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
2016年高考数学理试题分类汇编
统计与概率
一、选择题
1、（2016年北京高考）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
于是；
；
；
；
；
；
的分布列为：
0
1
2
3
4
6
的数学期望．
3、（2016年四川高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为： (万)
（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
即的居民月均用水量小于2.5吨,
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故
假设月均用水量平均分布，则（吨）.
注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。
4、（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
0
1
2
3
4
5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（I）求直方图中a的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵频率=(频率/组距)*组距
∴
得
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为
．
⑵设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
【答案】D
3、（2016年全国I高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
4、（2016年全国II高考）从区间随机抽取个数 , ，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
参考数据：，，， ≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
解：⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11
记事件为第一台机器3年内换掉个零件
记事件为第二台机器3年内换掉个零件
由题知，
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22
16
17
18
19
20
21
22
⑵要令，，
则的最小值为19