4.1实数指数幂(2)
4.1指数(第2课时)(课件PPT)
51.41
51.42
51.414 51.415
51.5
探究新知
一般地，无理数指数幂 （a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．
进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．
注意：在指数幂 中，通常要限定a＞0这个条件.
这是为了保证后续的指数函数y= 对于任意实数x都有意义．因为只有正数
−
1
2
= 3，求下列各式的值.
3
3
−
2 − 2
1
1
−2
2
−
（1） + −1 ；（2）2 + −2 ；（3）
.
答案：7；47；8.
1
2
解析：（1）将 +
−
1
2
= 3两边平方可得1 + −1 + 2 = 9，所以 + −1 = 7.
（2）将 + −1 = 7两边平方可得2 + −2 + 2 = 49，所以2 + −2 = 47.
的值从区间的左右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以
及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界
数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定 2，5 2 不仅在数轴上确实
存在，而且唯一.
探究新知
如何在数轴上找到与5 2 对应的点？
这个过程可以用下图表示：
5
2
51.4142 51.4143
第八章
指数函数与对数函数
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
学习目标
1. 理解无理数指数幂的含义，掌握其运算性质；
2. 掌握无理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或
4.1实数指数幂(2)
【课题】4.1实数指数幂（2）【教学目标】知识目标：⑴掌握实数指数幂的运算法则；能力目标：⑴正确进行实数指数幂的运算；⑵培养学生的计算技能；【教学重点】有理数指数幂的运算．【教学难点】有理数指数幂的运算．【教学设计】⑴在复习整数指数幂的运算中，学习实数指数幂的运算；⑵通过学生的动手计算，巩固知识，培养计算技能；⑶通过“描点法”作图认识幂函数的图像，通过利用软件的大量作图，总结图像规律；⑷通过知识应用巩固有理数指数幂的概念.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】9例6:计算下列各式（式中字母都是正数）)3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a-÷-653121612132)]3()6(2[-+-+-÷-⨯=ba a ab 440==883841)()(-=n m 88341))(2(-nm 32-∙=nm 32nm =解：10课堂练习1、计算下列各式：834121)1(-aa a 63121))(2(-y x 3163)278)(3(--ba )221(2)4(323131---x x x11实数指数幂运算：方法规律总结一、（1）化负指数为正指数，（2)化根式为分数指数幂，（3）化小数为分数(4)遇乘积化同底或同指数幂二、对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数。
观察14==⨯⨯==⨯34132633252533333888）④（③②①b a 作业：求下列各式的值=+-+22121212121）⑥（）（⑤（b a b a b a15=+=-+2212121212121）⑥（））（⑤（b a b a b a ba b a -=-221221）（）（21212ba b a ++：这两个函数的定义域不同,在定义域内它们都是增函数．两个函数的图像都经过坐标原点和点指出幂函数2y x -=的定义域，并作出函数图像．考虑到221x x -=，因此定义域为21x，故函数为偶函数．其图像关于(0,)+∞内的图像，然后再利用对称性作出函数在区内的图像．的定义域为00-∞+ （，）（，数为偶函数．在区间(0,)+∞内，设值列表如下：以表中的每组,x y 的值为坐标，描出相应的点光滑的曲线依次联结各点，得到函数在区间像．再作出图像关于y 轴对称图形，从而得到函数图像，如下图所示．x (12)1 2…y…4114…这个函数在(0,)+∞内是减函数；函数的图像不经过坐标原点，但是经过点(1,1)．整体建构=具有如下特征：一般地，幂函数y xα随着指数α取不同值，函数y=和奇偶性会发生变化；＞0时，函数图像经过原点(0,0)时，函数图像不经过原点(0,0)，但经过(1,1)强化练习4.1.3用描点法作出幂函数4=的图像并指出图像具有怎样的对y x用描点法作出幂函数3=的图像并指出图像具有怎样的对y x强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？。
4.1实数指数幂
——毕达哥拉斯
4.1实数指数幂
创设情境，导出新课
观察下图，体会什么叫平方根？联想什么叫立方根？
若 x 2 a (a 0) ，则 x 叫做 a 的平方根。
a 0时，两个平方根： ， a a
a 0时，有一个平方根： a 0时，无平方根 0
③正数a的n次方根叫做a的n次算术根，记作 ④当
n
n
a
a 有意义时，把 n a 叫做根式，其中n叫做根指数
a叫做被开方数。
思考交流：
填空：
（1）（ 3 8 ）3= 、 （2） 8 = （3） 4 5 = 、
4 3 3
； 3 8 ）3= （
3 ； 3 (8) =
。 。
4 ； 4 (5) =
。
布置作业
• 1、课堂作业 • 2、课外作业
Thank you !
这些结果说明了什么？
归纳结论：
观察式子：
题组练习，形成技能：
归纳小结，反思提高
• 同学们，在本节课中你有什么收获与感悟吗？
布置作业
• 1、课堂作业 • 2、课外作业
创设情境，导出新课
• 回顾初中学过的整数指数幂的运算性质：
合作讨论，构建新知
• 请你完成下表：
表达式 第一组 结果 表达式
1 1 2 2
3 3
1 2
1 2
第二组 结果
3
(3 )
1 3 6
3
1 ( 6 ) 3
表达式 第三组 结果
(4 9)
1 2
4 9
1 2
1 2
讨论交流： （1）、指数由整数推广到实数范围以后，整数指数幂的相关 性质在实数范围内适用吗？ （2）、请你仿照整数指数幂运算性质写出实数指数幂的运算 法则：
高教版中职数学(基础模块)上册4.1《实数指数幂》word教案
4.1实数指数幂
授课班级
授课时间
13机电1
课题序号
授课课时
第到
授课形式
启发、类比
使用教具
课件
教学目的
1.识记n次方根的概念，能区分奇次方根、偶次方根和n次根算式根。
2.能描述分数指数幂的定义，会进行根式与分数指数幂的互化。
3.识记有理数指数幂的运算性质，会进行简单的有理数指数幂的运算。
教学重点
1．概念
一般地，如果 ,则称x为a的n次方根。
例如：
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根只有一个，记作 。
例如：
当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，记作± 的形式。
例如：
负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0.
正数a的正的n次方根叫做a的n次算式根。记作 。
将分数指数幂与根式的互化问题进行类比分析，引导学生思考并发现“ ”一式中各字母的对应问题。
练习2、3
鼓励学生用各种方法求出各式的值，使学生能更好地掌握实数指数幂的运算性质。
有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算
教学难点
有理数指数幂的运算、实数指数幂的综合运算
更新、补
充、删减
内容
无
课外作业
1．P 96习题。
授课主要内容或板书设计
实数指数幂
概念思考交流例题课堂小结
问题解决练习
教学后记
主要教学内容及步骤
教学过程师生活动设计意图等
一、复习导入：
二、新课：
探究（见课本90页）
2．实数指数幂及其运算法则
（1） ；
（2） ；
（3） ；
数学人教A版必修第一册4.1.2无理数指数幂及其运算性质(2)
它是一个确定的实数
5
2
定义了无理数指数幂之后,幂的指数就由本来的有理数范围扩充到了实数
范围.
实数指数幂的运算性质：
对于任意的正数, ，都有：
① ∙ = + ，
②
= ，
③
= ∙ ，
, ∈ .
题型一
无理数指数幂的运算
例1 计算下列各式：
题型三 实际问题
例4 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水
4
填满，以此继续下去，则至少应倒_____次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积
之比低于10%.
解析 由题意，得第 n
1
1n
1
次操作后溶液的浓度为1－2 ， 令2n<10，验证可得
(4)最后结果只能保留根式或分数指数幂的一种，分式和负指数幂的一种。
公式：
完全平方公式：(a +b) a 2ab b ;
2
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
(a-b) a 2ab b ;
2
2
2
平方差公式：a -b （a+b）(a-b)
2
2
立方和公式 : a b (a b)(a ab b )
(2)原式=
n
( + - )( 2 - - + -2 )
=a2x-1+a-2x
1 7
=3-1+ = .
3 3
+ -
m
2 2
3
.
题型二
课前预学
利用已知条件求值
课堂练习2：
升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
知识聚焦
5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
知识聚焦
3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
知识聚焦
2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)
北师大版中职数学基础模块上册：4.1.2实数指数幂课件(共19张PPT)
1 4
1
1
3
2 1 0；
27
3
（2） a3b5
1
5
a2
1 5
a3b
5 3
5
.
活动 3 巩固练习，提升素养
解
（1）16
1 4
1
13
2 1 0
27
=
24
1 4
1
3
1 3
1
3
=
24
1 4
1
3
1 3
1
3
= 2-3+1=0；
活动 3 巩固练习，提升素养
3
解
数学
基础模块（下册）
第四单元 指数函 数与对数函数
4.1.2实数指数幂
人民教育出版社
第四单元 指数函数与对数函数 4.1.2实数指数幂
学习目标
知识目标 理解实数指数幂的概念；
能力目标
学生运用自主探讨、合作学习，明了有整数指数幂推广到实数指数幂的方法， 掌握实数指数幂的性质及运算法则，提高其发现问题、分析问题及解决问题 能力；
（2）
a 3b5
1 5
a2
1 5
a
3b
5 3
5
=
31 51
a 5b 5
a215
33 53
a 5b3 5
a b =
329 555
11
=
a2
1 a2
.
调动思维，探究新知 在活初动中4，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
特别提示 对例 1(1）题，我们需要将某些底数变形为指数幂的
即 S=2x+1-1，
实数指数幂及其运算(56张PPT)高一数学人教B版必修第二册
当 有意义的时候， 称为根式，n 称为根指数，a 称为被开方数．
注意，虽然我们不知道 等的精确的小数形式（计算器和计算机上给出的值都是近似值），但是按照定义，我们知道 的一些性质，比如 等.
尝试与发现
现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂（即有理数指数幂).一般情况下，当 s 与 t 都是有理数时，有运算法则：
例如，________.
3
（2）如果 x3＝a，则 x 称为 a 的立方根（或三次方根），在实数范围内，任意实数 a 有且只有一个立方根，记作．
例如，＝______
2
n次方根
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根．
例如，因为方程 x4＝81 的实数解为 3 与－3，因此 3 与－3都是 81 的 4 次方根；因为 25＝32，而且 x5＝32只有一个实数解，所以 32 的 5 次方根为 2 .
用信息技术求实数指数幂
实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地求得．在GeoGebra中，在“运算区”利用符号“^”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值．如图所示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果．
练习提升
C
B
C
B
C
C
根据方程 xn＝a 解的情况不难看出：（1）0 的任意正整数次方根均为 0，记为．（2）正数 a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根，记为，负的方根记为 ；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当 a＜0 且 n 为偶数时，在实数范围内没有意义．（3）任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数．
实数指数幂--参考教案
树立事物之间存在着相互联系又可以相互转化的思想，培养学生的创新思维．
教学
重难点
教学重点：实数指数幂的运算，掌握其运算法.
教学难点：运用实数指数幂的运算法则及分数指数幂和根式之间的互化进行计算.
第1课时
教学过程
教学活动
学生活动
设计思路
一、创设情境
在学习了有理数指数幂的基础上，我们可以将 中指数x的取值范围从有理数拓展到实数,此时 的意义是什么呢？如 、（ ，它们是一个确定的数吗？能否计算出结果呢？其实，指数从有理数推广到实数后，x为无理数时， 也是有意义的， 、（ 都是确定的数，虽然它们的精确值只能用近似值来逼近.
例2化简（式中字母均为正实数）
（1） ；（2） .
分析两个小题我们首先需要将根式转化为分数指数幂，然后再化简运算.
解（1）
（2）
=
=
=
=a
例3计算
分析原代数式中每一项都是前面一项的2倍（除第1项外），可考虑将该代数式中的每项乘2后再与原代数式相减.
解令S= (1)
将(1)式两边同时乘以2，得到
2S= (2)
第七单元4.1《实数指数幂》教案
授课题目
实数指数幂
授课课时
1
课型
讲授
教学
目标
知识与技能：
1.了解实数指数幂的含义.
2.在分数指数幂的基础上，掌握实数指数幂的运算法则.
3.进一步巩固分数指数幂和根式之间的互化进行计算.
过程与方法：
实数指数幂是分数指数幂的深化，是以后学习指数函数的基础，在具体的运算中，学会用抽象的符号或字母的进行运算，提高运算能力．
2.预习
3.调查实践，探究
4.1.1实数指数幂及其运算课件——高中数学人教B版必修第二册
小学数学点知识归纳数轴的概念与表示数轴是小学数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和表示数值之间的相对位置关系。
本文将对数轴的概念进行简要归纳，并介绍常见的表示方法。
一、数轴的概念数轴是由一条直线和标注在上面的数值组成的。
它可以用来表示整数、小数、分数等各种数值，帮助我们更直观地理解它们之间的大小关系。
二、数轴的表示1. 整数数轴整数数轴是最简单的数轴表示方法。
它将0作为起点，根据正负方向向两侧延伸，用整数对应的点来表示。
例如，在一个整数数轴上，数值-3、-2、-1、0、1、2、3将依次对应不同的点。
2. 小数数轴小数数轴是用于表示小数的数轴。
它可以看作是整数数轴的扩展，将0作为起点，根据正负方向向两侧延伸，但除了整数点外，还需要将小数点后的数值对应到相应位置上。
例如，0.5、1.2、-0.8等小数点后的数值可以用小数数轴表示。
3. 分数数轴分数数轴是用于表示分数的数轴。
和小数数轴类似，它也是在整数数轴基础上进行扩展。
除了整数点和小数点后的数值外，还需要将分数对应到相应位置上。
例如，1/2、3/4等分数可以用分数数轴表示。
三、数轴上的运算1. 数轴上的加法与减法在数轴上进行加法与减法运算时，可以利用数轴上数值的相对位置关系进行计算。
例如，在整数数轴上，若要求-2+3的结果，可以从-2出发，向右移动3个单位，最终到达1。
同样，在小数数轴和分数数轴上也可以进行加法与减法运算。
2. 数轴上的乘法与除法在数轴上进行乘法与除法运算时，可以利用数值的倍数关系进行计算。
例如，在整数数轴上，若要求2×(-3)的结果，可以从2出发，向左移动3个单位，最终到达-6。
同样，在小数数轴和分数数轴上也可以进行乘法与除法运算。
四、应用举例1. 比较数值大小数轴可以帮助我们直观地比较数值的大小。
例如，要比较-2和3的大小，可以在整数数轴上找到对应的点，从而发现3较大。
同样，对于小数和分数，也可以利用数轴进行大小比较。
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解：见教材P73
注意点：尽量化成同底进行运算。
例4、化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
解：见教材P73-74.
3、练习：教材P74 1、2.
4、问题解决：阅读教材的“问题解决”----------提高学习数学的兴趣，了解数学在科学研究中的应用。
三、小结：本节主要内容
四、作业：P74习题4、5
启发
运用公式进行幂的运算(同底数);化简根式。
教学难点
化简根式。
教具及准备工作
通过网络了解C-14的作用。
授课主要内容及板书设计
§4-1实数指数幂（2）实数指数幂及其运算法则
（一）整数指数幂的运算性质
（二）实数指数幂的运算法则
（三）例题讲解
例3
例4
教学札记
教学过程与内容
教法、学法
一、复习提问
有理指数幂的公式
第____次课教案___月___日第___周星期___
章节
§4.1实数指数幂(2)
课型
新授
教时
1
教学目的
1、学习目标:掌握实数指数幂及其运算法则。
2、技能目标:运用公式进行幂的运算(同底数);化简根式。
3、情感目标：通过学习本节内容，应用网络知识，寻找相关内容在科学中的应用----C-14的应用。
教学重点
整数指数幂的运算性质（ ）
(!) =
(2) =
(3)
(4) =
(5)
二、新授：
1、整数指数幂的运算性质同样适用于实数指数幂（ ,a>0.b>0）:
(!) =(2) =(3) Nhomakorabea(4) =
(5)
2、例题
例3、求下列各式的值：
（1）
（2）
提问回答
回忆整理
讲解
比较
记忆
启发思考
讲解格式解答
教学过程与内容
教法、学法
讲解格式解答
点评
练习
阅读欣赏与解决问题（课后）