三角函数高考题及练习题(含答案)
三角函数高考题及练习题（含答案）
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx＋φ)的图象及性质．
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．
3. 三角函数是每年高考的必考容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
1. 函数y ＝2sin 2?
????x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数．
答案：π 奇
解析：y ＝－cos ?
????2x －π2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3
解析：在(0，＋∞)作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．
3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，?
????|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4
解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π
2
，
所以φ＝π
4
.
4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间?
?????0，π3上的最大值是2，则ω＝________．
答案：34
解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx≤ωπ3<π3，则f(x)在?
?????0，π3上单调递增，且在这个区
间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3
4
.
题型二 三角函数定义及应用问题
例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.
(1) 若点P 的坐标是? ??
??1
2，32，求f(θ)的值；
(2) 若点P(x，y)为平面区域
?
?
?
??
x＋y≥1，
x≤1，
y≤1
上的一个动点，试确定角θ的取值围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．
解：(1) 根据三角函数定义得sinθ＝
3
2
，cosθ＝
1
2
，∴ f(θ)＝2.(本题也可以根据
定义及角的围得角θ＝
π
3
，从而求出f(θ)＝2)．
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤
π
2
，又f(θ)＝3sinθ＋cosθ＝
2sin
?
?
??
?
θ＋
π
6
，∴当θ＝0，f(θ)min＝1；当θ＝
π
3
，f(θ)max＝2.
(注：注意条件，使用三角函数的定义，一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y＝Asin(ωx＋φ)的形式)
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为
2
10
、
25
5
.求：
(1) tan(α＋β)的值；
(2) α＋2β的值．
解：由题意得cos α＝
2
10
，cos β＝
25
5
，α、β∈
?
?
??
?
0，
π
2
，所以sin α＝1－cos2α＝
72
10
，sin β＝1－cos2β＝
5
5
，
因此tan α＝7，tan β＝
1
2
.
(1) tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
＝
7＋
1
2
1－7×
1
2
＝－3.
(2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
－3＋
1
2
1－（－3）×
1
2
＝－1.
又α＋2β∈
?
?
??
?
0，
3π
2
，所以α＋2β＝
3π
4
.
题型二三角函数的图象与解析式问题
例2函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求f(0)的值；
(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间
??
?
??
?
0，
π
3
上的取值围．
解：(1)由题图可知A ＝2， ∵ T 4＝7π12－π3＝π4，∴ ω＝2.又2×7π12＋φ＝2k π＋3π2
， ∴ φ＝2k π＋π
3
(k ∈Z )，
∴ f(0)＝2sin ?
????2k π＋π3＝62. (2) φ＝π3，f(x)＝2sin ?
????2x ＋π3.因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以0≤sin ?
????2x ＋π3≤1，即f(x)的取值围为[0，2]． (注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin (ωx＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)
已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并
且当x ＝1
3
时，f(x)max ＝2.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 在闭区间????
??214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1) 因为f(x)＝A 2＋B 2
sin (ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω
＝2，ω＝
π.又当x ＝13时，f(x)max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π
6
(k ∈Z )，所以
f(x)＝2sin ? ????πx ＋2k π＋π6＝2sin ?
????πx ＋π6(k ∈Z )． 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin ?
????πx ＋π6. (2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称
轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤65
12
.
又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间????
??214，234上存在f(x)的对称轴，其方程为x ＝163. 题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例3 把函数f(x)＝sin 2x －2sinxcosx ＋3cos 2
x 的图象沿x 轴向左平移m 个单位(m>0)，
所得函数的图象关于直线x ＝17π
8
对称．
(1) 求m 的最小值；
(2) 证明：当x ∈? ??
??－
17π8，－15π8时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒
为负数；
(3) 设x 1，x 2∈(0，π)，x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)＝1，求x 1＋x 2的值．
(1) 解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝
1－cos2x
2
－sin2x＋3·
1＋cos2x
2
＝cos2x
－sin2x＋2＝2cos
?
?
??
?
2x ＋
π
4
＋2.
因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝2
??
?
??
?
2（x＋m）＋
π
4
＋2的图象，又g(x)的图象关于直线x＝
17π
8
对称，
所以2
?
?
??
?
17π
8
＋m＋
π
4
＝kπ，即m＝
（2k－9）
4
π(k∈Z)．
因为m>0，所以m的最小值为
π
4
.
(2) 证明：因为x∈
?
?
??
?
－
17π
8
，－
15π
8
，所以－4π<2x＋
π
4
<－
7π
2
，所以f(x)在?
?
??
?
－
17π
8
，－
15π
8
上是减函数．所以当x1、x2∈
?
?
??
?
－
17π
8
，－
15π
8
，且x1
f（x1）－f（x2）
x1－x2
<0.
(3) 解：令f(x)＝1，所以cos
?
?
??
?
2x＋
π
4
＝－
2
2
.
因为x∈(0，π)，所以2x＋
π
4
∈
?
?
??
?
π
4
，
9π
4
.
所以2x＋
π
4
＝
3π
4
或2x＋
π
4
＝
5π
4
，即x＝
π
4
或x＝
π
2
.
因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝
π
4
＋
π
2
＝
3π
4已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.
(1) 若y＝f(x)在
??
?
??
?
－
π
4
，
2π
3
上单调递增，求ω的取值围；
(2) 令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移
π
6
个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a 解：(1) 因为ω>0，根据题意有 ?? ? ??－π4ω≥－π2 2π 3 ω≤ π 2 0<ω≤ 3 4 . (2) f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2 ? ? ?? ? x＋ π 6 ＋1＝2sin ? ? ?? ? 2x＋ π 3 ＋1，g(x)＝0 sin ? ? ?? ? 2x＋ π 3 ＝－ 1 2 x＝kπ－ π 3 或x＝kπ－ 7 12 π，k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为 π 3和 2π 3 ，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14× 2π 3 ＋15× π 3 ＝43π3 . 已知函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函 数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π 2 . (1) 求f ? ?? ??π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π 6 个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x) 的单调递减区间． 解：(1) f(x)＝3sin (ωx ＋φ)－cos (ωx ＋φ)＝ 2???? ??32sin （ωx＋φ）－12cos （ωx＋φ）＝2sin ? ????ωx＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以对x ∈R ，f(－x)＝f(x)恒成立， 因此sin ? ????－ωx＋φ－π6＝sin ? ????ωx＋φ－π6， 即－sin ωxcos ? ????φ－π6＋cos ωxsin ? ????φ－π6＝sin ωxcos (φ－π6)＋cos ωx sin ? ????φ－π6， 整理得sin ωxcos ? ????φ－π6＝0.因为ω＞0，且x ∈R ， 所以cos ? ????φ－π6＝0.又0＜φ＜π，故φ－π6＝π2. 所以f(x)＝2sin ? ????ωx＋π2＝2cos ωx.由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x ，因此f ? ?? ??π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ? ????x －π6的图象，所以g(x)＝f ? ????x －π6＝ 2cos ??????2? ????x －π6＝2cos ? ????2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π ＋2π3(k ∈Z )时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为? ?????k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用 例4 已知函数f(x)＝2sin 2? ?? ??π 4＋x －3cos2x －1，x ∈R . (1) 求f(x)的最小正周期； (2) 若h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点? ?? ??－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值； (3) 当x ∈???? ??π4，π2时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，数m 的取值围． 解：(1)因为f(x)＝－cos ? ????π2＋2x －3cos2x ＝2sin ? ????2x －π3，故f(x)的最小正周期为π. (2) h(x)＝2sin ? ????2x ＋2t －π3.令2×? ?? ??－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故 t ＝π3或5π6 . (3) 当x ∈?? ?? ??π4，π2时，2x －π3∈??????π6，2π3， ∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m ＜f(x)＋3， ∴ 2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4. 已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期，当x ＝π 12 时，f(x) 取得最大值3；当x ＝7 12 π时，f(x)取得最小值－3. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 求函数f(x)的单调递减区间； (3) 若x ∈???? ??－π3，π6时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m 有两个零点，数m 的取值围． 解：(1) 由题意，A ＝3，T ＝2? ????7 12 π－π12＝π，ω＝2πT ＝2. 由2×π12＋φ＝π2＋2k π得φ＝π 3 ＋2k π，k ∈Z . 又 －π<φ<π，∴ φ＝π3，∴ f(x)＝3sin ? ????2x ＋π3. (2) 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，即π 12 ＋k π≤x ≤7π 12 ＋k π，k ∈Z . ∴ 函数f(x)的单调递减区间为???? ??π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z. (3) 由题意知，方程sin ? ????2x ＋π3＝m －16在??????－π3，π6上有两个根． ∵ x ∈???? ??－π3，π6，∴ 2x ＋π3∈??????－π3，2π3. ∴ m －16∈???? ?? －32，1，∴ m ∈[1－33，7)． 1. (2013·卷)设f(x)＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f(x)|≤a ，则实数a 的取值围是________． 答案：a ≥2 解析：f(x)＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ? ????3x ＋π6，|f(x)|≤2，所以a ≥2. 2. (2013·卷)函数f(x)＝sin ? ????2x －π4在区间? ?????0，π2上的最小值是________． 答案：－ 2 2 3. (2013·全国卷)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π 2 个单位后， 与函数y ＝sin ? ????2x ＋π3的图象重合，则|φ|＝________． 答案：5π6 4. (2014·卷)设函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A、ω、φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间??????π6，π2上具有单调性，且f ? ????π2＝f ? ????2π3＝－f ? ????π6，则f(x)的最小正周期为________． 答案：π 解析：由f(x)在区间??????π6，π2上具有单调性，f ? ????π2＝－f ? ?? ??π6知，函数f(x)的对称中心为? ????π3，0，函数f(x)的对称轴为直线x ＝12? ????π2＋2π3＝7π12 ，设函数f(x)的最小正周期为T ，所以12T ≥π2－π6，即T ≥2π3，所以7π12－π3＝T 4 ，解得T ＝π. 5. (2014·卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－1 2 . (1) 若0<α<π2，且sin α＝2 2 ，求f(α)的值； (2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 解：(解法1)(1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝2 2. 所以f(α)＝ 22? ????22＋22－12＝1 2 . (2) 因为f(x)＝sinxcosx ＋cos 2 x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝ 22 sin ? ????2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为??????k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (解法2)f(x)＝sinxcosx ＋cos 2 x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝ 22 sin ? ????2x ＋π4. (1) 因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4 . 从而f(α)＝22sin ? ????2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2) T ＝2π 2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π 8 ，k ∈Z .所以f(x) 的单调递增区间为? ?????k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 6. (2013·卷)已知函数f(x)＝(2cos 2 x －1)sin2x ＋12 cos4x. (1) 求f(x)的最小正周期及最大值； (2) 若α∈? ?? ??π2，π，且f(α)＝22，求α的值． 解：(1) 因为f(x)＝(2cos 2 x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2xsin2x ＋12cos4x ＝12 (sin4x ＋ cos4x)＝22sin ? ????4x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为22. (2) 因为f(α)＝22，所以sin ? ????4α＋π4＝1. 因为α∈? ????π2，π，所以4α＋π4∈? ?? ??9π4，17π4， 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π 16 . (本题模拟高考评分标准，满分14分) 设a>0，函数f(x)＝asinxcosx －sinx －cosx ，x ∈? ?????0，π2的最大值为G(A)． (1) 设t ＝sinx ＋cosx ，x ∈? ?????0，π2，求t 的取值围，并把f(x)表示为t 的函数m(t)； (2) 求G(A)． 解：(1) t ＝sinx ＋cosx ＝2sin ? ????x ＋π4. ∵ x ∈? ?????0，π2，∴ x ＋π4∈??????π4，3π4， ∴ 22≤sin ? ????x ＋π4≤1， ∴ 1≤t ≤2，即t 的取值围为[1，2]．(3分) (另解：∵ x ∈??????0，π2，∴ t ＝sinx ＋cosx ＝1＋sin2x.由2x ∈[0，π]得0≤sin2x ≤1，∴ 1≤t ≤2) ∵ t ＝sinx ＋cosx ，∴ sinxcosx ＝t 2 －1 2 ，(5分) ∴ m(t)＝a·t 2 －12－t ＝12at 2－t －1 2 a ，t ∈[1，2]，a>0.(7分) (2) 由二次函数的图象与性质得： ① 当1a <1＋22，即a>2(2－1)时，G(A)＝m(2)＝12a －2； (10分) ② 当1a ≥1＋22 ，即0 ∴ G(A)＝?????12a －2，a>2（2－1）， －2，0 (14分) 1. 若π4＜x ＜π2，则函数y ＝tan2xtan 3 x 的最大值为________． 答案：－8 解析：令tanx ＝t ∈(1，＋∞)，y ＝2t 41－t 2，y ′(t)＝－4t 3（t ＋2）（t －2） （1－t 2）2 ，得t ＝2时y 取最大值－8. 2. 已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2 x ，求： (1) f ? ?? ??π3的值； (2) f(x)的最大值和最小值． 解：(1) f ? ????π3＝2cos 2π3＋sin 2π 3＝－1＋34＝－14. (2) f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)＝3cos 2 x －1，x ∈R .因为cosx ∈[－1，1]，所以当cosx ＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx ＝0时，f(x)取最小值－1. 3. 已知A 为△ABC 的角，求y ＝cos 2A ＋cos 2? ?? ??2π3＋A 的取值围． 解： y ＝cos 2A ＋cos 2? ?? ??2π3＋A ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2? ??? ?2π3＋A 2 ＝1＋cos2A 2＋12? ?? ??cos 4π3cos2A －sin 4π3sin2A ＝1＋12? ?? ?? 12cos2A ＋32sin2A ＝1＋12cos ? ????2A －π3. ∵ A 为三角形角， ∴ 0＜A ＜π，∴ －1≤cos ? ????2A －π3≤1， ∴ y ＝cos 2A ＋cos 2? ?? ??2π 3＋A 的取值围是[12，32]． 4. 设函数f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x 2 ＋4t 3＋t 2 －3t ＋4，x ∈R ，其中|t|≤1，将f(x) 的最小值记为g(t)． (1) 求g(t)的表达式； (2) 讨论g(t)在区间(－1，1)的单调性并求极值． 解：(1) f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x 2 ＋4t 3＋t 2 －3t ＋4 ＝sin 2x －2tsinx ＋4t 3＋t 2 －3t ＋3 ＝(sinx －t)2＋4t 3 －3t ＋3. 由于(sinx －t)2≥0，|t|≤1，故当sinx ＝t 时，f(x)达到其最小值g(t)，即g(t)＝4t 3 －3t ＋3. (2) g′(t)＝12t 2 －3＝3(2t ＋1)(2t －1)，－1＜t ＜1. 列表如下： 由此可见，g(t)在区间? ????－1，－2和? ????2，1上单调增，在区间? ?? ??－2，2上单调减，极小 值为g ? ????12＝2，极大值为g ? ????－12＝4. 高考三角函数专题(含 答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考专题复习 三角函数专题 模块一 ——选择题 一、选择题：(将正确答案的代号填在题后的括号．) 1．(2010·天津)下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间??? ?－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( ) A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 B ．向左平移π 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变 D ．向左平移π 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 解析：观察图象可知，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×????－π6＋φ＝0，得φ＝π3， 所以函数y ＝sin ????2x ＋π3，故只要把y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12即可． 答案：A 2．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ??? ?2x ＋π 6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π 4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π 2 个长度单位 解析：由y ＝sin ????2x ＋π6――→x →x ＋φy ＝sin ????2(x ＋φ)＋π6＝sin ????2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π 3，解得φ＝－ π4，即向右平移π 4 个长度单位．故选B. 答案：B 3．(2010·)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)??? ?ω>0，|φ|<π 2的部分图象如图所示，则( ) A ．ω＝1，φ＝π 6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π 6 解析：依题意得T ＝2πω＝4? ?? ?? 7π12－π3＝π，ω＝2，sin ????2×π3＋φ＝1.又|φ|<π2，所以2π3＋φ＝π2，φ＝－π6，选D. 答案：D 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 解析：由函数的图象可知该函数的期为π，所以2π ω＝π，解得ω＝2. 答案：B 5．已知函数y ＝sin ????x －π12cos ??? ?x －π 12，则下列判断正确的是( ) 三角函数高考题及练习题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三角函数高考题及练习题（含答案） 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质． 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等． 1. 函数y ＝2sin 2? ???x －π 4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 函数． 答案：π 奇 解析：y ＝－cos ? ???2x －π 2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3 解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案． 3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，? ???|φ|<π 2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4 解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π 2 ，所 以φ＝π4 . 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间? ???0，π 3上的最大值是2，则ω＝________． 答案：34 解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在? ???0，π 3上单调递增，且在这个区间 上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3 4 . 题型二 三角函数定义及应用问题 例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P 的坐标是??? ?12，3 2，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域???? ?x ＋y ≥1， x ≤1， y ≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求 函数f(θ)的最小值和最大值． 解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝ 32，cos θ＝1 2 ，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π 3 ，从而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ? ???θ＋π 6， ∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π 3 ，f (θ)max ＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、 6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( ) 图1-1 A B C D 6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为1 2|sin x cos x |，在 直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝1 2|sin 2x |， 且当x ＝π 2 时上述关系也成立， 故函数f (x )的图像为选项C 中的图像． 9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ? ???2x ＋π 3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对 应的函数( ) A ．在区间????π12，7π 12上单调递减 B ．在区间????π12，7π 12上单调递增 C ．在区间????－π6，π 3上单调递减 D ．在区间??? ?－π6，π 3上单调递增 9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ? ???2x ＋π3的图像向右平移π 2个单位长度得到函数 y ＝3sin ????2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12 ＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ? ???2x －2 3π的单调递增区间为????π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间????π12，7π12上单调递增． 3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) 文科人教版数学三角函数复习资 料 姓名： 院、系：数学学院 专业: 数学与应用数学 1.（上海，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π个单位，再沿y 轴向下平移1个 单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C.（y +1）sin x +2y +1=0 D.－(y +1)sin x +2y +1=0 2.（北京，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2 π，π）上为减函数的是 （ ） A.y =cos 2x B.y ＝2|sin x | C.y ＝( 3 1)cos x D.y =－cot x 3.（全国，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 4.（全国，6）已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ） A.（ 2 π ， 43π）∪（π，4 5π） B.（ 4 π ， 2 π ）∪（π， 4 5π ） C.（ 2 π ， 43π）∪（45π，2 3π） D.（ 4 π ， 2 π ）∪（ 4 3π ，π） 5.（全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x |2k π－ 43π 2015-2019三角函数高考真题 一、选择题 1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）3- （B ）3 （C ）12- （D ）1 2 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13 (2,2),44 k k k Z -+∈ $ 3、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则 ()y f x =的图像大致为（ ） (D) (C) (B)(A) x y π4 π2 3π4 π π 3π4 π2 π4 y x y π4 π2 3π4 π π 3π4 π2 π4 y 4、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤ =- ， 为()f x 的零点,4 x π = 为 D P C B O A | ()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ?? ??? ，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 5、（2016全国2卷7题）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()ππ26k x k = -∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ 212 Z k x k =+∈ 6、（2016全国2卷9题）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）15 - （D ）725 - · 7、（2016全国3卷5题）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 8、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于1 3 BC ,则cos A （ ） （A （B （C ）10 （D ）310 9、（2017年全国1卷9题） 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C ． 10、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 ； C ．()f x π+的一个零点为π 6 x = D ．()f x 在π(,π)2 单调递减 《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的 2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：2 2cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c . （1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值. 5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12 A f a ?? == ??? ,求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 高一数学必修4第一章三角函数单元测试班级姓名座号评分 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（） A． B．－ C． D．－ 3、已知的值为（） A．－2 B．2 C． D．－ 4、已知角的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边（） A．在轴上 B．在直线上 C．在轴上 D．在直线或上 5、若,则等于 ( ) A． B． C． D． 6、要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单 位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位 7、如图，曲线对应的函数是（） A．y=|sin x| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sin x| 8、化简的结果是 ( ) A． B． C． D． 9、为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数的图象（） A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称 11、函数是 （） A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 12、函数的定义域是 （） A． B． C． D． 二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分） 13、已知的取值范围是 . 14、为奇函数， . 15、函数的最小值是． 16、已知则 . 三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值 18、（8分）已知,求的值. 19、（8分）绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体 W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm? 20、（10分）已知α是第三角限的角，化简 21、（10分）求函数在时的值域(其中为常数) ABC 的面积是30，内角A, B, C所对边长分别为 12 a, b, c ，cos A。 uuur uuur 13 ( Ⅰ ) 求ABgAC； ( Ⅱ ) 若c b 1，求 a 的值。 设函数 f x sin x cosx x 1 , 0 x 2，求函数 f x 的单调区间与极值。 已知函数 f ( x) 2cos 2x sin 2 x （Ⅰ）求 f () 的值； 3 （Ⅱ）求 f ( x) 的最大值和最小值 设函数 f x3sin x，＞0 ， x,，且以为最小正周期． 62 （ 1）求f0；（2）求f x 的解析式；（3）已知f 129 ，求 sin的值． 45 已知函数 f ( x) sin 2x2sin 2 x （ I ）求函数 f (x) 的最小正周期。 (II)求函数 f ( x) 的最大值及 f (x) 取最大值时x 的集合。 在 VABC 中， a、b、c 分别为内角A、B、C 的对边，且 2a sin A (2b c)sin B (2c b)sin C （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 sin B sin C 1，是判断 VABC 的形状。 (17)（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) sin(x)cos x cos2x （0）的最小正周期为，（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 ，纵坐标不变，得到2 函数 y g ( x) 的图像，求函数y g( x) 在区间 0, 16 上的最小值 . 在 ABC中，AC cos B 。AB cosC （Ⅰ）证明 B=C： （Ⅱ）若 cosA =-1 ，求 sin 4B的值。 33 53 VABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD 33 ， sin B，cos ADC，求AD。 135 设△ ABC的内角 A、 B、 C 的对边长分别为a、 b、 c，且3b23c23a2 4 2bc . 2015-2017三角函数高考真题教师版 2015-2017三角函数高考真题 1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- = （ ） （A ）32-（B ）32 （C ）12 - （D ）12 【答案】D 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12 ，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44 k k k Z -+∈ 【答案】D 【解析】由五点作图知， 1 +4253+42 πω?πω??=??? ?=??，解得=ωπ，=4 π ?，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得1 24 k - ＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，3 24 k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质 3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 . 【答案】62 6+2 ） 【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定 理可得sin sin BC BE E C = ∠∠，即o o 2sin 30 sin 75BE = ，解得BE 6+2 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠ FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC = ∠∠，即o o 2 sin 30sin 75BF = ，解得62 AB 的取值范围 62 6+2 . 3 22.设/XABC的内角A B, C所对的边长分别为q, b, c , ^acosB-bcosA =-c . 5 (I )求tan A cot B 的值； (U)求tan(A-B)的最大值. 3解析：(1)在左ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA = -c 5 3 3 3 3 可得sin 人cos B-sinB cos A = -siiiC = - sin(A + B) = $ sin 人cos B + - cos A sin B 即siii A cos B = 4 cos A siii B ,则tail A cot 8 = 4： (II)由taiiAcotB = 4得tanA = 4tanB>0 一_ x tan A - tan B 3 tan B 3 “ 3 tan( A 一B) = -------------- = ---------- -- = ----------------- W - 1+tail A tail B l + 4taii_B cot B + 4 tan B 4 当且仅当4tanB = cotB,tmiB = i,taiiA = 2时，等号成立， 2 1 3 故当tail A = 2, tan ^ =—时，tan( A - B)的最大值为—. 5 4 23. ----------------------------------在△ABC 中，cosB = ， cos C =—. 13 5 (I )求sin A的值； 33 (U)设ZVIBC的面积S AABC = —,求BC的长. 解： 512 (I )由cosB = 一一，得sinB = —, 13 13 4 3 由cos C =-,得sin C =-. 55 一33 所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sill C = —. (5) ................................................................................................................................... 分 33 1 33 (U)由S.ARC = 一得一xABxACxsinA = —, 2 2 2 33 由(I)知sinA =—, 65 故ABxAC = 65, (8) ................................................................................................................................... 分 又AC =竺主=史仙, sinC 13 20 13 故—AB2 =65, AB = — . 13 2 所以此=性叫11 siiiC (I)求刃的值;10分 24.己知函数/(x) = sin2a)x+j3 sin cox sin 尔+习2)(刃＞0)的最小正周期为兀. 三角函数高考试题精选 一.选择题（共１８小题） 1.(２0１7?山东)函数y＝ｓin2ｘ+cos2x的最小正周期为( ) A． B.?C．πD.２π 2．(201７?天津）设函数f(x）＝２sｉn(ωx+φ），x∈R,其中ω＞0，|φ|＜π．若ｆ(）=2,f(）=0，且f（x)的最小正周期大于２π,则（) Ａ．ω=，φ=Ｂ.ω=，φ=﹣ C．ω＝，φ=﹣Ｄ．ω=,φ= 3．（2０１７?新课标Ⅱ）函数f（x)=ｓin（２x+）的最小正周期为(）A.4πＢ.2π?C.π?D． 4．（2017?新课标Ⅲ)设函数f(x)=cos(x+），则下列结论错误的是（）A．ｆ（x）的一个周期为﹣２π B．y=f(x）的图象关于直线x=对称 C．ｆ(x+π)的一个零点为x= Ｄ．f（ｘ)在(，π）单调递减 ５.（2017?新课标Ⅰ)已知曲线C ：y=cosx,Ｃ2：y＝sin(2ｘ＋），则下面结论 １ 正确的是（) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 Ｂ.把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平１ 移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 Ｄ．把Ｃ1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左 平移个单位长度，得到曲线C2 6．(20１7?新课标Ⅲ)函数f（x)=siｎ(x+)＋ｃｏs(x﹣)的最大值为（）A．?B.１?C.Ｄ. 7.(2016?上海)设a∈Ｒ，b∈[0，２π），若对任意实数x都有sin(3x﹣)=ｓin(ax+b),则满足条件的有序实数对（a,b)的对数为( ） A．１ B.2 C．3?D.4 8.（2０16?新课标Ⅲ)若tａnα=,则cos2α+２sin2α＝（） A.? B.C．1 D． 9.(2016?新课标Ⅲ)若tanθ=﹣,则coｓ2θ=（) A.﹣Ｂ.﹣Ｃ.D． 10.（20１６?浙江)设函数f（x）＝sｉn2x＋bsinx+c,则f（ｘ）的最小正周期() A．与b有关,且与c有关Ｂ.与b有关，但与c无关 C.与ｂ无关,且与ｃ无关? D.与ｂ无关，但与c有关 １１．（2016?新课标Ⅱ)若将函数y=2ｓiｎ2ｘ的图象向左平移个单位长度,则平移后的图象的对称轴为（） A．ｘ=﹣(k∈Z)?B.x=+（k∈Z)?C.x=﹣(ｋ∈Ｚ）Ｄ．x=+（k∈Ｚ） １2.(2０16?新课标Ⅰ）已知函数f(x）＝sin（ωｘ+φ)(ω＞0，｜φ|≤)，x=﹣ 为f(x）的零点，ｘ=为y=f(x)图象的对称轴，且ｆ(x)在(,)上单调，则ω的最大值为( ) Ａ.11 B．9 C．7 D．５ 13．(２01６?四川)为了得到函数ｙ=ｓin(2ｘ﹣)的图象,只需把函数y＝sin2x 的图象上所有的点(） A.向左平行移动个单位长度?Ｂ．向右平行移动个单位长度 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+= 【关键字】单位 1.（上海，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 个单位，再沿y 轴向下平移1个 单位，得到的曲线方程是（ ） A.（1－y ）sinx+2y －3=0 B.（y －1）sinx+2y －3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=0 2.（北京，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（ ） A.y=cos2x B.y ＝2|sinx| C.y ＝()cosx D.y=－cotx 3.（全国，5）若f （x ）sinx 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 4.（全国，6）已知点P （sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在［0，2π］内α的取值范围是（ ） A.（，）∪（π，） B.（，）∪（π，） C.（，）∪（，） D.（，）∪（，π） 5.（全国）若sin2x>cos2x ，则x 的取值范围是（ ） A.{x|2kπ－π 2019年高考数学三角函数典型例题 编制：高中数学群648051755 高中奥数群274712379 1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2 B = , 由ABC ?为锐角三角形得π6 B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6?? cos sin 6A A π?? =++ ??? 1cos cos sin 22A A A =++ 3A π? ?=+ ?? ?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值. 【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. 3 ．在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22 sin 2sin =++C B A . I.试判断△AB C 的形状; II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值. 【解析】:I.)4 2sin(22sin 2cos 2sin 2 sin ππ+=+=+-C C C C C 2 242π ππ==+∴ C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥++ +=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号, 此时面积的最大值为() 24632-. 4 ．在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,4 3 cos = A , (1)求 B C cos ,cos 的值; (2)若2 27 = ?BC BA ,求边AC 的长? 20１5《三角函数》高考真题总结 1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．ｙ=ｓｉn (2ｘ＋错误!未定义书签。) B ．ｙ=c ｏs （2x ＋π 2) C ．y =sin 2x +cos 2x D ．ｙ＝sin x ＋c ｏs x 2.（2015·陕西卷9）设f （x )＝x -sin x ,则f (x )( ） A.既是奇函数又是减函数 Ｂ．既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 3.(2015·北京卷3)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝ｘ２sin x Ｂ．y ＝x 2cos x C ．y =|ｌn x | D ．ｙ=2-ｘ 4．(2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝ｌn x B ．y ＝ｘ2+1 C ．y =ｓin x D.ｙ=c ｏs ｘ ５．(20１5·广东卷3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) Ａ.y ＝x ＋ｓin 2x B.ｙ＝x 2－cos ｘ C.y ＝２x +错误!未定义书签。 D ．y ＝x 2 ＋sin x 6．(2015·广东卷５)设△A ＢＣ的内角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,ｃ．若ａ＝2,c =2错误!未定义书签。,c ｏｓ A ＝错误!未定义书签。且b 三角函数(1985年——20XX 年高考试题集) 一、选择题 1. t an x ＝1是x ＝4 5π 的 。(85(2)3分) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 函数y ＝2sin2xcos2x 是 。(86(4)3分) A.周期为2 π的奇函数 B.周期为2π 的偶函数 C.周期为4 π 的奇函数 D.周期为4 π 的偶函数 3. 函数y ＝cosx －sin 2x －cos2x ＋ 4 17 的最小值是 。(86广东) A. 4 7 B.2 C.49 D.4 17 E. 4 19 4. 函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 。(88(6)，91(3)3分) A.π B.2π C.2 π D.4π 5. 要得到函数y ＝sin(2x － 3 π )的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 。(87(6)3分) A.向左平移3π B.向右平移3π C.向左平移6π D.向右平移6 π 6. 若α是第四象限的角，则π－α是 。(89上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 7. t an 70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值是 。(90广东) A.3 B. 3 3 C.－ 3 3 D.－3 8. 要得到函数y ＝cos(2x － 4 π )的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 。(89上海) A.向左平移8π个单位 B.向右平移8 π 个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 9. 函数y ＝ cotx | cotx ||tanx |tanx cosx |cosx ||sinx |sinx +++的值域是 。(90(6)3分) A.{－2，4} B.{－2，0，4} C.{－2，0，2，4} D.{－4，－2，0，4} 10. 若函数y ＝sin(ωx)cos(ωx)(ω＞0)的最小正周期是4π，那么常数ω为 。(92(2)3) A.4 B.2 C.2 1 D. 4 1 注:原考题中无条件“ω＞0”，则当ω取负值时也可能满足条件 11. 在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB 。(93(6)3分) A.有最大值 2 1 和最小值0 B.有最大值 2 1 ，但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1，但无最小值 12. 角α属于第二象限，且|cos 2α|＝－cos 2α，则2 α 角属于 。(90上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 三角函数部分高考题 1.为得到函数πcos 23y x ? ? =+ ??? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移 5π12个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ B ） A ．1 B C D ．2 3.()2 tan cot cos x x x +=( D ) （Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 4.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32ππ?? ??? 5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象 上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3 y x π =-，x R ∈ （B ）sin( )26 x y π =+ ，x R ∈ （C ）sin(2)3 y x π =+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π=+，x R ∈ 6.设5sin 7a π =，2cos 7b π =，2tan 7 c π =，则D （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c << 7.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12 π - 中心对称，则 向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12π- B ．(,0)6 π- C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 8.已知cos （α-6 π）+sin α= 的值是则)6 7sin(,35 4πα- （A ）-5 32 （B ） 5 32 (C)-5 4 (D) 5 4高考三角函数专题(含答案)
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