数学教师手册_广义角与极坐标

广义角与极坐标教学眉批有向角须指定始边、终边、旋转方向、旋转量。

其表示方式为x°，其中x为60 进位实数，此数表示其旋转量，x可正可负，若x＞0 表示旋转方向为逆时针旋转，若x＜0 表示旋转方向为顺时针旋转。

欧式几何对「角」之定义，以O为顶点的两射线OA，OB构成一个角，其角度表示此两射线张开的程度，其值介于0°～180°，其中常见有锐角、直角（90°）、钝角、平角（180°）等。

教学眉批有向角可彼此相加或相减，其结果仍为有向角。

超过传统角度度量限制0°～180°，以及可作加减运算之有向角通称为广义角。

(1)(2)(3)始边位于x轴正向之有向角称为标准位置角，此举是方便于日后讨论广义角的三角函数。

一个标准位置角之终边位于第一（二、三、四）象限，就称为第一（二、三、四）象限角；若其终边位于x或y轴上，则称为轴上角。

教学眉批同界角：(1) 具有相同始边与终边。

(2)若θ，φ为同界角⇨θ－φ＝360°‧n。

（此式常用来判断两角是否为同界角）⇨θ＝φ＋360°‧n。

（此式常用来求某角之最小正同界角也就是求介于0°～360°之同界角）教学眉批利用有向角可作加减运算的性质求之。

直观而言，若是正角，则以360°的倍数减之；若是负角，则以360°的倍数加之，使其最后位于0°～360°。

(1) 180°。

(2) 80°。

介绍广义角三角函数：(1) 先利用第一象限角来说明。

(2) 强调于终边上取一点P（x，y），并令OP＝r。

(3) 将θ之邻边与对边分别以x，y表示。

(4) 复习θ在第一象限时，sin θ＝yr，cos θ＝xr，tan θ＝yx。

(5) 将(4)延伸至各象限，并依此为定义。

补充演练下列何者为400°之同界角？(A) 40°(B) 4000°(C)－320°(D) 0°(E)－1040°。

解若广义角θ与φ的差为360°的整数倍，则称θ与φ为同界角。

(A) ○：400°－40°＝360°×1。

(B) ○：400°－4000°＝360°×（－10）。

(C) ○：400°－（－320°）＝360°×2。

(D) ×：400°－0°≠360°×n，n∈。

(E) ○：400°－（－1040°）＝360°×4。

故选(A)(B)(C)(E)。

教学眉批三角函数需定义在比值有意义时，否则视为没有定义，如P点位于y轴上时，其x坐标为0，则tan θ＝yx，此比值无意义。

因 A （－2，－1），故可知 r OA == 及 x ＝－2，y ＝－1，再依定义求之。

sin θ，cos θ tan θ＝－32。

教学眉批仿照前面的做法，在终边上取一点 P （x ，y ），再令 OP ＝r ，则其三角函数值依定义求之。

取的点只要是终边上任一点，都可利用定义得到相同比值，亦即有相同之三角函数值。

(1)12(2)(3) 1-教学眉批例题 5 是先对 x 轴作垂线，建立一个锐角三角形，再利用特殊角的边长比例关系以及终边所在象限来决定 P 点，此锐角又称为参考角。

（详见课本 P.33）(1) 12-(2) 1,2-(3) 111,,222教学眉批(1) 像（－150°），390°等问题，我们可仍在终边上找一点，依定义求之。

(2) 终边在同一位置即所谓同界角，其三角函数值相等，即sin（360°×n＋θ）＝sin θ，cos（360°×n＋θ）＝cos θ，当n为任意整数。

如左表。

广义角三角函数值之正、负系由终边上P（x，y）之x，y之正、负所决定。

(1) 例如：sin θ＝yr，因为第一、二象限之点其y坐标为正，故第一、二象限之sin 值为正。

(2) 例如：cos θ＝xr，因为第一、四象限之点其x坐标为正，故第一、四象限之cos 值为正，其余依此类推。

教学眉批若θ＝90°，180°，270°，360°为轴上角时，则在x轴或y轴上取一点，一般是取（1，0），（0，1），（－1，0），（0，－1）这四点，再依定义求之；特别是当终边在y轴上时，tan θ的分母为0，此时无意义。

(1) 1，0，无意义。

(2) 如右表。

我们目前介绍的三角函数sin θ，cos θ，tan θ，仅tan θ当θ为90°，270°之同界角时，亦即终边在y轴上时，是无意义的。

教学眉批在锐角三角函数中，商数关系无任何条件限制，但在广义角中须注意tan θ是有意义的。

在广义角中，平方关系无任何条件限制恒成立。

教学眉批半径为1 的圆称为单位圆，单位圆上任一点P，只要知道OP与x轴夹角θ，依定义可表成P（cos θ，sin θ），这又称作圆的参数式，给定θ就可得到点的坐标。

教学眉批(1) 参考角必定是锐角。

(2)参考角求法一般是在终边上取一点，再对x轴作垂线，所得锐角三角形之顶角，如图27。

若α为θ之参考角，则有如下结果：(1) ∣sin θ∣＝yr＝sin α。

(2) ∣cos θ∣＝xr＝cos α。

(3) ∣tan θ∣＝yx＝tan α。

（θ之终边不在y轴）若θ，φ具有相同参考角，则有如下结果：(1) ∣sin θ∣＝∣sin φ∣。

(2) ∣cos θ∣＝∣cos φ∣。

(3) ∣tan θ∣＝∣tan φ∣。

（θ之终边不在y轴）此关系不须强背。

如何利用参考角求解三角函数值。

例如：求sin 210°。

其参考角是30°，则sin 30°＝12；又210°在第三象限，sin 为负，故sin 210°＝－12。

教学眉批θ是其他象限角，cos（－θ）＝cos θ，sin（－θ）＝－sin θ，tan（－θ）＝－tan θ依然成立。

(1) θ是第二象限角。

(2) θ是第三象限角。

(3) θ是第四象限角。

(1) －。

(2) ＋。

(3) －。

教学眉批θ是其他象限角，cos（180°－θ）＝－cos θ，sin（180°－θ）＝sin θ，tan（180°－θ）＝－tan θ依然成立。

(1) θ是第二象限角。

(2) θ是第三象限角。

(3) θ 是第四象限角。

(1)(2) 23-(3) －3。

教学眉批θ 是其他象限角，cos （90°－θ）＝sin θ，sin （90°－θ）＝cos θ 依然成立。

(1) θ 是第二象限角。

(2) θ 是第三象限角。

(3) θ是第四象限角。

(4) 此处不讨论tan θ，因tan（90°－θ）＝cot θ，而cot θ属高三课程。

(A)。

教学眉批性质推导：(1) cos（90°＋θ）＝cos（180°－（90°－θ））＝－cos（90°－θ）＝－sin θ。

(2) sin（180°＋θ）＝sin（180°－（－θ））＝sin（－θ）＝－sin θ，cos（180°＋θ）＝cos（180°－（－θ））＝－cos（－θ）＝－cos θ，tan（180°＋θ）＝tan（180°－（－θ））＝－tan（－θ）＝tan θ。

(3) sin（270°－θ）＝sin（180°＋（90°－θ））＝－sin（90°－θ）＝－cos θ，cos（270°－θ）＝cos（180°＋（90°－θ））＝－cos（90°－θ）＝－sin θ。

(4) sin（270°＋θ）＝sin（270°－（－θ））＝－cos（－θ）＝－cos θ，cos（270°＋θ）＝cos（270°－（－θ））＝－sin（－θ）＝sin θ。

本题因α为锐角，故选第一象限角，并由tan α＝yx＝2＝21，取终边上一点P（1，2）；若无锐角之假设，则须考虑第一、三象限，并由tan α＝yx＝2＝21＝21--，故在第一象限取P（1，2）、第三象限取P（－1，－2），分成此两种情形讨论之。

教学眉批一般谈完这些负角、补角、余角等关系后，部分学生会觉得困扰，老师可提供一些规律的方式协助学生记忆与运用公式：(1) 当n是偶数时，sin（90°×n±θ）＝±sin θ。

(2) 当n是奇数时，sin（90°×n±θ）＝±cos θ。

至于取正或取负，是将θ视为锐角，并判定sin 在90°×n±θ这个象限之正负号来决定。

此题也可用参考角的方法求之；若α是参考角，则∣sin θ∣＝sin α＝12，即α＝30°，又sin θ＞0，可知θ在第一、二象限，故θ＝30°或150°。

120°或240°。

教学眉批除平面直角坐标，极坐标在生活上的运用也很广，数学上的圆锥曲线、玫瑰线、心脏线、阿基米得螺线等，以极坐标描述会简洁许多。

在物理上，极坐标可用来描述天体行星运行的运动方程式或是向心运动（圆周运动或椭圆运动）的运动方程式；在生物上，也可用极坐标来处理指纹的辨识问题。

直角坐标是以左右与上下来描述一个点的位置；极坐标则是利用长度与角度来描述点的位置。

A[3，50°]，B[2，230°]。

教学眉批当r＞0，0°≤θ＜360°，平面上的任一点均可以用唯一的一个极坐标来表示；同样的，任意一个极坐标也代表平面上唯一的一点。

(1) 极坐标[r，θ]可转换成直角坐标（r cos θ，r sin θ）。

(2) 直角坐标（x，y）可转换成极坐标[r，θ]，其中长度为r足cos θ＝xr，sin θ＝yr。

(1) (。

(2) [16，300°]。

教学眉批定义弧度制的理由：(1)有了弧度制，则三角函数有下列性质：s i nl i m 1θθθ→=，即 θ 接近 0 时，sin θ 之值为 θ。

(2) 以弧度为单位时，描绘三角函数的图形较为方便。

1 弧度定义：弧长恰为半径的弧所对的圆心角称为 1 弧度。

故得一圆周角＝2rrπ＝2π（弧度）， 即 2π（弧度）＝360°。