2016学年浙江省温州市瑞安中学高一下学期期末数学试卷及参考答案

2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2） C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．304．（5分）已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC 依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列6．（5分）在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．8．（5分）正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．8 B．16 C．24 D．32二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．（6分）已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．10．（6分）设为单位向量，其中，且，则与的夹角为，=．11．（6分）已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=，若l 1⊥l2，则a=．12．（6分）直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．13．（4分）正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是．15．（4分）对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．17．（14分）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（16分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．（16分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：sinα=﹣，则α为第四象限角，cosα==，tanα==﹣．故选：D．2．（5分）已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（）A．（﹣1，﹣2）B．（1，2） C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：∵向量=（1，1），=（1，﹣1），∴=+=﹣（1，1）+（1，﹣1）=（﹣1，﹣2），则=（﹣1，﹣2），故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a9的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S17=170，∴=170，解得a9=10．故选：A．4．（5分）已知倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，则sin2θ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵倾斜角为θ的直线l与直线m：x﹣2y+3=0平行，故有tanθ==．再根据sin2θ+cos2θ=1，θ∈[0，π），可得sinθ=，cosθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=，故选：B．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC 依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．6．（5分）在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为d1，d2，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如右图，可得S=S△BCD+S△ACP，△ABCAC•BC=d1•BC+d2•AC，即为4=d1+4d2，则=（d1+4d2）（）=（1+4++）≥（5+2）=×（5+4）=．当且仅当=，即d1=2d2=，取得最小值．故选：C．7．（5分）将函数f（x）=cosωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f（）不可能等于（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：由题意，所以ω=6k（k∈N*），因此f（x）=cos6kx，从而，可知不可能等于．故选：D．8．（5分）正项等比数列{a n}满足：a4+a3=a2+a1+8，则a6+a5的最小值是（）A．8 B．16 C．24 D．32【解答】解：∵{a n}是正项等比数列，∴a1＞0，q＞0，∵a4+a3=a2+a1+8，∴，∴q2=1+，∴a6+a5==q2（a1q+a1+8）=（1+）[（a1q+a1）+8]=（a1q+a1）++16≥2+16=32，当且仅当时，取等号．∴a6+a5的最小值是32．故选：D．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．（6分）已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．10．（6分）设为单位向量，其中，且，则与的夹角为60°，=．【解答】解：设与的夹角为θ，∵，且，∴（2+）•=2•+=2cosθ+1=2，∴cosθ=，∵0≤θ≤180°，∴θ=60°，∴2=（2+）2=4+4•+=4+4×+1=7，∴=，故答案为：60°，11．（6分）已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=2，若l1⊥l2，则a=2或﹣1．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+3=0的斜率为2，∴a=2．∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）﹣2=0，∴（a﹣2）（a+1）=0，∴a=2或a=﹣1．故答案为：2；2或﹣1．12．（6分）直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．【解答】解由题意画出图象：∵AC=2，且D为AC中点，∴CD=1，在RT△BCD中，∵sin∠CBD=，∴，得BD=3，则BC==，在RT△BCD中，tanA===，故答案为：；．13．（4分）正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为﹣8．【解答】解：正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy=x2+y2﹣4x﹣4y=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣8≥﹣8．当且仅当x=y=2时取等号．故答案为：﹣8．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是a≤﹣或a≥．【解答】解：设M（x，y），则∵点A（0，1），满足|MA|=2，∴M的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=4，圆心为（0，1），半径为2．∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），直线l上存在点M，满足|MA|=2，∴直线与圆有交点，∴圆心到直线的距离d=，∴a≤﹣或a≥．故答案为：a≤﹣或a≥．15．（4分）对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为2．【解答】解：当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立，∵＞|﹣|，∴|﹣x|≤|﹣|＜||，∴≤1，则有≥1，即λ≥2那么实数λ的最小值为2，故答案为：2．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．【解答】解：（I）∵．由正弦定理得，sinBsinA=，∵sinA≠0，即tanB=，由于0＜B＜π，所以B=．（II）cosA=，因为sinA＞0，故sinA=，所以sinC=sin（A+）==．17．（14分）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．【解答】（1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，令，解得：，则无论m为何实数，直线l恒过定点（﹣1，﹣2）；（2）解：∵过定点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，∴直线l1过（﹣2，0），（0，﹣4），设直线l1解析式为y=kx+b，把两点坐标代入得：，解得：，则直线l1的方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：由题意得：（1）因为S n=2n2+n①，所以S n﹣1=2（n﹣1）2+（n﹣1）②，所以①﹣②得：a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1（n≥2）；当n=1时，a1=S1=3；所以a n=4n﹣1，n∈N*，又因为等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*，所以=8，所以q=2，所以b n=2n﹣1；（2）由（1）可知a n•b n=（4n﹣1）2n﹣1，所以T n=3+7×21+11×22+…+（4n﹣5）×2n﹣2+（4n﹣1）×2n﹣1①，2T n=3×2+7×22+11×23+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n②，所以①﹣②得：﹣T n=3+4×2+4×22+4×23+…+4×2n﹣1﹣（4n﹣1）×2n②，T n=5+（4n﹣5）×2n．19．（16分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…（3分）∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（7分）（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…（10分）∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…（15分）20．（16分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，则=a1（a1+6d），a1d=2d2，∵d≠0∴a1=2d．…（1分）又∵a2=3，∴a1+d=3，∴a1=2，d=1…（2分）∴a n=n+1．…（3分）（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…（4分）∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）=2n+．…（6分）（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，则c n﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…（7分）+1即﹣﹣λ＜0⇒λ＞…（8分）设f （n ）=﹣，f （n +1）﹣f （n ）=﹣﹣+=+﹣=2++1+﹣3﹣=…（9分）∴f （1）＜f （2）=f （3）＞f （4）＞f （5）＞…当n=2或n=3时，f （n ）max =， ∴=所以λ＞． …（10分）赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。