高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法
课堂导学
三点剖析
一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.
解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨
⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨
⎧<+>+.
37,315251
25|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1 法二:原不等式⎩⎨ ⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521, 02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔3 7, 231,2x x x x 或-1 ∴原不等式的解集为{x|-1 (2)法一:原不等式⎩⎨ ⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔, 843, 34843,4x x x x x x 或 ⎩⎨ ⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥. 72, 387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x> 27 或x<2 9 -. ∴原不等式的解集为{x|x<2 9 - 或x>27}. 法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0, 构造函数y=|x-3|+|x+4|-8, 即y=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x 作出函数的图象如图. 从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<2 9-}. 温馨提示 在本例中主要利用了绝对值的概念,|x| (1)| 4 32 -x x |≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2 x +1. 解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172) 4(90 424 2 222x x x x x x ⇔⎩ ⎨⎧≥≤±≠⇔1612 2 2x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2= 2 1. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2 x +1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52 - ③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为2 1 ≤x<2. 综合上述,原不等式的解集为{x|5 2 - 变式提升1 (1)解不等式|x 2 -5x+5|<1. 解析:不等式可化为-1 -5x+5<1, 即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-. 155,15522x x x x 解之,得1 所以原不等式的解集为{x|1 27a -有解条件为27a -<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3) 2 7 +a 有解条件为 2 7 +a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1. 解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|1时,|x-4|+|x-3| 另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1, ∴a 的取值范围是a>1. 二、绝对值不等式的典型类型和方法(二) 【例2】 解不等式|x 2 -9|≤x+3. 解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-3 9, 092 2x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3, ∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}. 方法二:原不等式⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔4 333 39)3(032 x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示 对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0, ⎩ ⎨⎧≤-<⎩⎨ ⎧≤≥).()(, 0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨ ⎧≤≤-≥) ()()(, 0)(x g x f x g x g 来求. 当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2 解不等式|2x-1|>3x. 解析:①当x<0时,原不等式显然成立; ②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2 >9x 2 ,即5x 2 +4x-1<0,解之,得-1 1, ∴0≤x< 5 1. 由①②知原不等式的解集为{x|x< 5 1}. 变式提升2 (1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2 -3|x|+2. 解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2 -3x+2|和y=x 2 -3|x|+2=|x|2 -3|x|+2的图象(如图所示). 由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1 2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明 【例3】 设f(x)=ax 2 +bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2- )|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(a b 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1. 由⎪⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎧ =--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==). 0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得 ∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤2 1 (1+1)=1, ∴ 当 | a b 2- |≤2 时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×2 1 =2<7. 因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 类题演练3 已知f(x)=x 2 +ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 2 1. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于 21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<2 1. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×2 1 =2. 又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于2 1. 变式提升3 已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2 +b 2 =1,求证:|f(x)|≤2. 证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2. 若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222= +b a , f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2 =1, ∴|f(x)|≤2. 若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a , f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证 法 二:|f(x)|2 -( 2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2 -b 2 ≤2abx -a 2x 2-b 2 =-(ax-b)2 ≤0, ∴|f(x)|≤2. 绝对值不等式教案 人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的选修4系列第5专题“不等式选讲”的要求编写的. 根据课程标准,本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用. 一、内容与要求 1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式. 2．理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣； （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a. 3．认识柯西不等式的几种不同形式.理解它们的几何意义. （1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|. （2）证明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2. （3）证明： ≥. 4．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况： 5．用向量递归方法讨论排序不等式. 6．了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题. 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）. 了解当n为实数时贝努利不等式也成立. 8．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 二、内容安排 本专题内容分成四讲,结构如下图所示： 本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念,学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法,多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题,教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性． 第一讲是“不等式和绝对值不等式”,它是本专题的最基本内容,也是其余三讲的基础． 本讲的第一部分类比等式的基本性质,从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质,这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式,介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”,并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式,则只作简单介绍,不给出证明．在此基础上,介绍了它们在解决实际问题中的一些应用,如最基本的等周问题,简单的极值问题等. 第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念,讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义． 绝对值三角不等式是一个基本的结论,教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义,引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式,接着联系向量形式 1.2.2 绝对值不等式的解法 课堂导学 三点剖析 一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8. 解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨ ⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨ ⎧<+>+. 37,315251 25|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1 在本例中主要利用了绝对值的概念,|x| 二绝对值不等式 1绝对值三角不等式 1.理解定理1及其几何说明，理解定理 2. 2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题. 1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？ 提示表示数轴上的点x到点－2与3的距离之和. 2.定理2的几何解释是什么？ 提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|. 1.绝对值的几何意义 如图(1)，|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离. 如图(2)，|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离. 2.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. 3.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立. 要点一绝对值三角不等式的性质 例1设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值. 解|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2， |a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2； ②当ab＜0时，则a(－b)＞0， |a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16. 总之，恒有|a|＋|b|≤16. 而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4， 且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16. 规律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥0，应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a－c的变形要记住：a－c＝(a－b)＋(b－c)，从而不等式|a ＋b|≤|a|＋|b|可以变形为|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 跟踪演练1若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是() A.|a|＜|b|＋|c| B.|c|＜|a|＋|b| C.b＞||c|－|a|| D.b＜|a|－|c| 解析由|a－c|＜b，知b＞0， ∴b＝|b|. ∵|a|－|c|≤|a－c|， ∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|. 故A成立. 同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b， ∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立. 2．基本不等式 1．基本不等式的定理1,2 定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么 a ＋b 2 ≥ab ，而且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的 算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 2．基本不等式的理解 重要不等式a 2 ＋b 2 ≥2ab 和基本不等式 a ＋b 2 ≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的 条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0， b ≥0仍然能使a ＋b 2 ≥ab 成立． 两个不等式中等号成立的充要条件都是a ＝b . 3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2 ＋b 2 ≥(a ＋b ) 2 2 ； (2)ab ≤ a 2＋ b 2 2 ； (3)ab ≤⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22； (4)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2； (5)(a ＋b )2 ≥4ab . 利用基本不等式证明不等式 [例1] ＋求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. [思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． [证明] 法一：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 即1a ＋1b ＋1 c ≥9. 法二：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c ＋1 ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴1a ＋1b ＋1 c ≥9. 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明． 1．已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 证明：因为a ，b ，c ，d 都是正数， 所以 ab ＋cd 2 ≥ab ·cd ＞0， ac ＋bd 2 ≥ac ·bd ＞0， 所以(ab ＋cd )(ac ＋bd )4≥abcd ， 即(ab ＋cd )(ac ＋bd )≥4abcd . 当且仅当ab ＝cd ，ac ＝bd ，即a ＝d ，b ＝c 时，等号成立． 2．已知a ，b ，c 为正实数， 求证：(1)(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) abc ≥8； (2)a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . 证明：(1)∵a ，b ，c 为正实数， ∴a ＋b ≥2ab >0， b ＋ c ≥2bc >0， 不等式选讲 第一节绝对值不等式 一、基础知识 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. 2．绝对值不等式的解法 (1)|x| [解题技法]两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化 ①把存在性问题转化为求最值问题； ②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题； ③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min. (2)求最值 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义； ②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||； ③利用零点分区间法． ——教学资料参考参考范本——高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5 ______年______月______日 ____________________部门 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等 式求解． |ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由 不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集． 2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解 绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键． ②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点 分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式 的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键． ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是 解题关键． |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式 的解法 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. 利用|x|>a及|x| (1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x≥2或x≤－， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式价于⎩⎨ ⎧ |x－2|≥2， ① |x－2|≤4. ② 由①得x －2≤－2，或x －2≥2，∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x ≤0或4≤x ≤6}． |ax ＋b|≥c 和|ax ＋b|≤c 型不等式的解法： ①当c>0时，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c. ②当c ＝0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b| 1.2.2 绝对不等式的解法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．不等式⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是( ) A ．(0，2) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：由绝对值的意义知，⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪x －2x ＞x －2x 等价于x －2x ＜0， 即x (x －2)＜0，解得0＜x ＜2. 答案：A 2．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1，4) D ．(1，5) 解析：法一：当x ＜1时，原不等式化为1－x －(5－x )＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x ＜5时，原不等式即x －1－(5－x )＜2，解得x ＜4；当x ≥5时，原不等式化为x －1－(x －5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)． 法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x 到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x ＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)． 答案：A 3．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：因为⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12， 即0＜θ＜π6 . 显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12 成立． 但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6 不一定成立． 故⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12是sin θ＜12的充分而不必要条件． 故选A. 答案：A 4．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－8 解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4. 又因为－1＜x ＜2，所以验证选项易知a ＝－4适合． 答案：C 5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2 －4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5－2 B ．0＜a ≤5－2 C ．a ≥5－2 D ．以上都不正确 解析：由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2， 由|x 2 －4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3. 所以⎩⎨⎧a ＋2≤5，－a ＋2≥3， 即0＜a ≤5－2， 或⎩⎨⎧a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5， 无解． 答案：B 二、填空题 6．不等式|2x －1|＋x ＞1的解集是________． 解析：法一 把|2x －1|＋x ＞1移项，得|2x －1|＞1－x ，把此不等式看作|f (x )|＞g (x )的形式得2x －1＞1－x 或2x －1＜－(1－x )， 所以x ＞23或x ＜0，故解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞23或x ＜0. 法二 用分类讨论的方法去掉绝对值符号． 当x ＞12时， 2x －1＋x ＞1，所以x ＞23 ； 当x ≤12 时，1－2x ＋x ＞1，所以x ＜0. 综上得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞23或x ＜0. 第一讲 不等式和绝对值不等式 复习课 学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式． 1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c . (4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc . (5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)． (6)开方：如果a ＞b ＞0n a ＞n b n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式 (1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2 ＋b 2 ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么 a ＋b 2 ≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3 ＋b 3 ＋c 3 ≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么 a ＋ b ＋c 3 ≥3 abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立； (6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求． 4．绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一 一 不等式 2.基本不等式 1．了解两个正数的几何平均与算术平均． 2．会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题． 1．定理1 如果a ，b ∈________，那么a 2＋b 2 ≥2ab ，当且仅当______ 时，等号成立． 2．定理2(基本不等式) (1)定理2：如果________，那么 a ＋b 2 ≥ab ，当且仅当________ 时，等号成立． (2)________称为a ，b 的算术平均，__________称为a ，b 的几何平均． (3)基本不等式可以表述为： 两个正数的________不小于(即大于或等于)它们的________． (4)基本不等式的几何意义． 直角三角形斜边上的______不小于斜边上的______． 基本不等式成立的条件：“一正、二定、三相等”． 【做一做1－1】 log a b ＋log b a ≥2成立的必要条件是( ) A ．a ＞1，b ＞1 B ．a ＞0,0＜b ＜1 C ．(a －1)(b －1)＞0 D ．以上都不正确 【做一做1－2】 下列各式中，最小值等于2的是( ) A.x y ＋y x B.x 2＋5x 2＋4 C ．tan θ＋1tan θ D ．2x ＋2－x 3．重要的不等式链 设0＜a ≤b ，则a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤__________________≤ a 2＋ b 2 2 ≤b . 【做一做2】 下列结论中不正确的是( ) A ．a ＞0时，a ＋1 a ≥2 B.b a ＋a b ≥2 C ．a 2＋b 2 ≥2ab D ．a 2 ＋b 2 ≥ a ＋b 2 2 4．应用基本不等式求函数最值 已知x ，y 都为正数，则 (1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当且仅当______时，积xy 取得最大值________； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当且仅当______时，和x ＋y 取得最小值__________． 基本不等式应用中有“积定和最小，和定积最大”的规律． 高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式（第2课时）学案新人教A版选修4-5 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式（第2课时）学案新人教A版选修4-5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式（第2课时）学案新人教A版选修4-5的全部内容。 一不等式 2。基本不等式 1．了解两个正数的几何平均与算术平均． 2．会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用问题． 1．定理1 如果a，b∈________，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当______ 时,等号成立． 2．定理2(基本不等式) (1）定理2：如果________，那么错误!≥错误!，当且仅当________ 时,等号成立．（2）________称为a,b的算术平均,__________称为a，b的几何平均． （3)基本不等式可以表述为： 两个正数的________不小于（即大于或等于）它们的________． (4)基本不等式的几何意义． 直角三角形斜边上的______不小于斜边上的______． 基本不等式成立的条件:“一正、二定、三相等”． 【做一做1－1】 log a b＋log b a≥2成立的必要条件是( ) A．a＞1，b＞1 B．a＞0,0＜b＜1 C．(a－1）(b－1)＞0 D．以上都不正确 【做一做1－2】下列各式中，最小值等于2的是（) A.错误!＋错误!B。错误!C．tan θ＋错误!D．2x＋2－x 初高中知识衔接（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等 式） 初高中知识衔接 知识点一：简单不等式（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式） 1.一元一次不等式的解法：（解方程→画图形→写解集） （a>o 且0>?时，简记为：开口向上时，小于夹中间，大于走两边） 设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2 -=?，则 2.含有绝对值的不等式的解法：①等价转化②平方法（两边非负时）③分类讨论法 a x a )0a (a x <<-?><，图示：___________ a x a x )0a (a x >->或. 图示：___________ 3．分式不等式的解法：移项通分，化除为乘，分母不为0 例1解出以下5个不等式 （1）2 230x x -++≥ （2）2 410x x -+> （3）213x -< （4）21 03x x +<- （5）1 2x x -≥ 例2：若不等式2 10ax x ++>的解集为12x x t ?? - << ，则a =________,t =_______. 变式2：已知关于x 的不等式02 <++c bx ax 的解集为}2 12|{->-<=""> x 的不等式02 >+-c bx ax 的解集是_____________________________. 知识点二二次函数二次方程二次不等式 一、选择题 1.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 ( ) C.f （1）≤25 D.f（1）＞25 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三 D.等腰三角形 3.如果函数f(x)＝x 2 ＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（）A. f(2) 解不等式 一.知识点： 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或 20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根 的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根 之间；或者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式的解集。 2.分式不等式主要是转化为()()()()()() ()002121<>------或n m b x b x b x a x a x a x ，再用穿根法求解。 3．高次不等式主要是利用“数轴轴标根法”解． 4. 几点注意：①含参数的不等式要善于针对参数的取值进行讨 论； ②要善于运用“数形结合”法解决有关不等式问题； ③要深刻理解不等式的解集与对应方程的解之间的关系，会由解 二.基础练习：1解不等式（1）5005x -≤；（2）257x +> （3）(0)x a b b -<>（4）x a b -< 3 解不等式（1）22320x x -->（2）2 362x x -+> （3）24410x x -+> （4）2230x x -+-> （5）282x x ≥+1(1)(53)02 x x -+≥ （6）260x x --<；（7）23100x x -++<；（8）(1)(2)0(2)(1) x x x x x +-≥+- 5 解不等式（1）307x x -<+ （2）2 301 x x -≥+ （3） 01312>+-x x （4）12x x -≥ （5）11x < （6）11x x +> 6 下列说法正确的是 （ ） A ， 不等式 102 x x +<+与不等式(1)(2)0x x ++>的解集相同； B ， 不等式202x x -<+与不等式240x -<的解集相同； C ， 不等式()()0x a x b -->的解集是{}x x a x b <>或 ； D ， 集合A=21{0,}4 x x x R x ->∈+，B=1{4,}2x x x x N <->∈或，则M=N 。 三.提高：1解不等式（1）5527x <-≤11x x - ≤（2）2024x x <--≤ 2 已知A={21}x x -≤，B=2{(1)0}x x a x a -++≤，且B A ⊆，求实数a 范围 3 已知A={4}x x a -<, B={23}x x ->,且A B R = ，求实数a 范围 4．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤， （1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围． 5已知集合M ={x | －2 二绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 课后篇巩固探究 A组 1.设ab>0,下面四个不等式: ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.①④ D.②④ ab>0,∴a,b同号. ∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确. 2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于() A.10 B.3 C.7 D.4 |3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4. 3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是() A.m>n B.m 1.2 绝对值不等式 2 自我小测 1．已知集合A ＝{x |x 2 －5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|＞3}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{x |2≤x ≤3} B．{x |2≤x ＜3} C ．{x |2＜x ≤3} D．{x |－1＜x ＜3} 2．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( ) A ．{x |x ＞32} B ．{x |32 ＜x ≤3} C ．{x |x ≥3} D．{x |－3＜x ≤0} 3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2] D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 4．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值X 围是( ) A ．a ＞5－2 B ．0＜a ≤5－2 C ．a ≥5－2 D ．以上都不正确 5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是增函数，则不等式log a |x ＋1|＞log a |x －3|的解集为( ) A ．{x |x ＜－1} B ．{x |x ＜1} C ．{x |x ＜1且x ≠－1} D ．{x |x ＞1} 6．不等式|1－x 1＋x |≥1的解集为____________________． 7．不等式|2x －1|＋x ＞1的解集是________． 8．关于x 的不等式1＜|2x ＋1|≤3的解集为________． 9．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值． 10．已知实数a ，b 满足：关于x 的不等式|x 2＋ax ＋b |≤|2x 2－4x －16|对一切x ∈R 均成立． (1)请验证a ＝－2，b ＝－8满足题意； (2)求出所有满足题意的实数a ，b ，并说明理由； (3)若对一切x ＞2，均有不等式x 2＋ax ＋b ≥(m ＋2)x －m －15成立，某某数m 的取值X 围． 第一讲不等式和绝对值不等 1。2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式 A级基础巩固 一、选择题 1．若|x－m|＜ε，｜y－m|＜ε,则下列不等式中一定成立的是（） A．|x－y|＜εB．|x－y|＜2ε C．|x－y|＞2εD．｜x－y｜＞ε 解析：｜x－y|＝|x－m－(y－m）｜≤|x－m|＋|y－m｜＜2ε. 答案：B 2．如果a，b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是（） A．|a＋b|＞a－b B．2错误!≤|a＋b|（ab＞0) C．|a＋b|≤｜a｜＋|b｜ D.错误!≥2 解析：令a＝1,b＝－1,则A不成立． 答案:A 3．对于实数x，y，若｜x－1｜≤1，｜y－2|≤1，则|x－2y ＋1｜的最大值为（) A．5 B．4 C．8 D．7 解析：由题意得,|x－2y＋1｜＝|（x－1）－2（y－1)｜≤｜x －1｜＋｜2（y－2）＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5. 答案：A 4．已知｜a|≠｜b|，m＝错误!，n＝错误!，则m,n之间的大小关系是（） A．m〉n B．m〈n C．m＝n D．m≤n 解析：由绝对值三角不等式知|a|－｜b|≤｜a±b｜≤｜a|＋|b|,所以错误!≤1≤错误!。 答案：D 5．不等式｜x＋3｜＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（） A．[－1，4］B．(－∞，－1]∪[4，＋∞) C．(－∞，－2）∪[5，＋∞）D．［－2,5］ 解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3｜＋｜x－1｜的最小 值为4,所以不等式｜x＋3｜＋｜x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4。 答案：A 二、填空题 6．“|x－A|＜错误!且｜y－A｜＜错误!”是“｜x－y|＜q”的________条件． 解析：因为|x－y｜＝|（x－A)－（y－A）｜≤|x－A｜＋｜y －A｜＜q 2＋错误!＝q。 所以充分性成立． 反之若|x－y｜＜q不能推出｜x－A|＜错误!且|y－A｜＜错误!成立． 答案:充分不必要 7．若不等式|x－4｜－｜x－3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________． 解析:设f(x）＝|x－4｜＋｜x－3｜，则f(x)≤a对一切x∈R 恒成立的充要条件是a≥f（x)的最大值． 因为｜x－4|－｜x－3｜≤|（x－4）－（x－3）｜＝1, 即f(x)max＝1，所以a≥1。 答案：[1，＋∞) 基本不等式 典题精讲 【例1】若正数a,b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值X 围是_________. 思路解析：已知条件中既有a,b 的乘积又有它们的和，而要求的是ab 的取值X 围，因而需用基本不等式把a+b 转化为乘积ab 的不等式. ∵ab=a+b+3,a,b 为正数, ∴ab≥ab 2+3, ∴(ab )2-ab 2-3≥0. ∴(ab -3)(ab +1)≥0. ∴ab -3≥0.∴ab≥9. ∴ab 的取值X 围是［9,+∞). 答案：［9,+∞) 绿色通道：在同一条件式中同时出现两个正数的和与积，去求和或积的X 围，是基本不等式的应用中最基本的题型，通常利用基本不等式直接转化为某个不等式，视为解不等式即可.但要时刻紧扣“一正，二定，三相等”的前提条件. 【变式训练】 若正数a,b 满足ab=a+b+3,则a+b 的取值X 围是__________. 思路解析：利用基本不等式的变形ab≤(2 b a +)2,使已知条件转化为不等式求解. 方法一：∵ab≤( 2 b a +)2, ∴ab=a+b+3≤(2b a +)2. ∴(a+b)2 -4(a+b)-12≥0, ∴［(a+b)-6］［(a+b)+2］≥0, ∴a+b≥6或a+b≤-2（舍）. 方法二：∵ab=a+b+3, ∴b = 1 3-+a a >0,∴a>1. ∴a+b=a+14113-+-+=-+a a a a a =a+1+14-a , =(a-1)+1 4-a +2≥14)1(2-•-a a +2=6. 当且仅当a-1=4a-1,即a=3时取等号. 答案：［6+∞) 【例2】若x,y 是正数，则（x+y 21）2+（y+x 21）2的最小值是（ ） 1．不等式的基本性质 1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大． (2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b. (3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质 由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a. (2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c. (3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac高三数学 教案 绝对值不等式教案
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