绝对不等式的证明
绝对不等式的证明
摘要：证明绝对不等式是数学基本知识的一部分，不等式的证明，就是证明所给定的不等式或对式中所含的字母的一切允许值都是成立的。证是不等式主要依靠二条，其一，是不等式的基本性质和一些重要不等式，其二，是证明不等式的一些常用方法。二者互相渗透。本文通过举例介绍几种证明的绝对不等式的方法。
关键词：绝对不等式，证明不等式的方法
1. 用比较法证明不等式
比较法是证明不等式的常用法之一。它又分为计算插值和比值两种：
① 把所要正的不等式的左边的代数式减右边的代数式，再根据已知条件去证明这个差大于﹙或小于﹚零，这种证明法叫做计算差值法。
他的理论根据是：a ≥b,﹙a ≤b ﹚ a-b ≥0﹙或a-b ≤0﹚.
② 当所要证明的不等式的两边的直皆正是，把左边的代数式除于右臂阿布的代数式，再根据已知条件去证明这个比值大于﹙或小于﹚1.这种正法叫做及钻比值法。 他的理论依据是：当a ＞0.b ＞0 时，a ≥b ﹙a ≤b ﹚<=>
b a ≥1（或b
a ≤1）。 例：已知a,
b 皆正数求证： 2
b a +≥ab （当且仅当a=b 时，等号成立）。 证：∵a ＞0.b ＞0，则2b a +-ab =2
2ab b a -+=()22b a -≥0 （其中等号当且仅当）a ＝b 即a=b 成立）
∴2b a +－ab ≥0，即2
b a +≥ab
2.用综合法和分析法证明不等式
证明绝对不等式的综合法是从题目的已知条件或已知成立的不等式出发，利用不等式的性质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通过变形将未知的不等式归结为常用不等式。如以下不等式是常用的：
a ²+
b ²≥2ab,a+b ／2≥ab ,a ³+b ³+
c ³≥3abc(a,b,c ∈R+)
a+b ／2≤a ²+b ²／2,a+b+c ／3≤a ²+b ²+c ²／3(a,b,c ∈R+)
分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：欲证B 得真，只需要证明命题B 的真，从而又……，只要证明A 为真。现在已知A 真，故B 真。可见分析法事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，写出简要的形式为：
B<=B 1<=B 2<=…<=Bn<=A
以上述的b 只需要证b （a+m ） 两端约去ab ，故只需 再证bm 因为已知m>0; 只需b 但是这是已知条件，故原不等式成立。 值得注意的是分析法不是等价证明，不应写成： B<=>B 1<=>B 2<=>…<=>Bn<=>A 下面在举两例加以说明： 例1已知a>b>0，求证3a -3b <3b a -. 分析此题若从条件直接退出结论会有一定的难度。不妨用分析法从结论求证3a -3b <3b a -， 由于a>b>0所以3a -3b >0， 3b a ->0. 只要证（3a -3b ）³<（3b a -）³ 即要证a-332b a +332ab -b 由于a>b>0此不等式显然成立 所以原不等式成立。 例2已知a>0；b>0；2c>a+b ，求证： c -ab c -2 分析 要证c -ab c -2 只要证-ab c -2 即要证｜a-c ｜<｜ab c -2｜ 即要证（a-c ）² 即要证a-2ac<-ab 因a>0，只需证a-ac<-b 即a+b<2c 此式为已知， 故原命题成立。 3.用放缩法证明不等式 利用放缩法证明不等式的关键是找寻中间变量c ；使得A 例3已知n 为正整数，试证： （1+ 31）（1+51）…（1+1 21-n ）>12+n ／2 分析令A=（1+31）（1+51）…（1+1 21-n ） =34×56…×122+n n 由于不等式a b >m a m b ++（b>a ，a ，b ，m ∈R+）得 34>45，56>67，…，3222--n n >2212--n n ，122-n n >n n 212+ 将这个同向不等式相乘得 A> 45×67×…×2212--n n ×n n 212+ A ²>34×45×56×67×…×122-n n ×n n 212+=312+n >412+n 故A>12+n ／2 4.反证法在不等式证明中的应用 反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有着广泛的应用。用反证明不等式即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。它的步骤为： 假设结论的反面成立=>逻辑推理=>导出矛盾=>肯定结论。 下面举例加以说明 例4已知f(x)=x ²+px+q 求证：｜f （1）｜，｜f （2）｜，｜f （3）｜中至少有一个不小于21 分析此题从正面解决比较困难，可以用反证法，假设结论不成立，即｜f （1）｜，｜f （2）｜，｜f （3）｜都小于2 1。则有 ｜f （1）｜<21 ｜ 1+p+q ｜<21 -21< 1+p+q<2 1 ① ｜f （2）｜<21 <=> ｜4+2p+q ｜<21 <=> -21<4+2p+q<2 1 ② ｜f （3）｜<21 ｜9+3p+q ｜<21 -21<9+3p+q<2 1 ③ 由于① ③得-211<2p+q<-2 9 此式于②式矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。 5.构造函式证明不等式 某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构成恰当的函数，利用函数的某些性质来证明不等式。利用构造函数法证明不等式关键是构造恰当的不等式。 例5已知a.b ∈R,求证： b a b a +++1≤a b +1+b a +1 分析：从不等式的结构来看，易构造函数f(x)= x x +1(x ≥0)易证f(x)在R ＋ 上是函数。 因为b a +≤b a + , 所以f(b a +)≤f(b a +) 从而有 b a b a +++1≤ b a b a +++1=b a b ++1+b a a ++1 ≤a b +1+b a +1 绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+- 绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离； b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。 b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。 x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。 分区间讨论：()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22 c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可． 若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1 绝对值三角不等式的证明方法 绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。 1. 利用三角函数的定义： - 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。 - 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。 2. 利用绝对值的性质： - 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。 - 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。 3. 利用三角函数的周期性： - 正弦和余弦函数的周期都是2π。即sin(x + 2π) = sin(x) 和 cos(x + 2π) = cos(x)。 下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式 的方法： 假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。 证明过程： 1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。 2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。 即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。 3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。 因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。 4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。 5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。 因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。 6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、绝对值三角不等式 1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. 定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了. 如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立. 联想发散 根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有： （1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. （2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*). 2.绝对值三角不等式 所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|. 绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示). 记忆要诀 由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了. 3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立. 对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有. 学法一得 要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了. 二、绝对值不等式的解法 要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有： |x| 第3讲绝对值不等式 1．绝对值不等式 (1)定理 如果a，b是实数，那么|a＋b|≤□01|a|＋|b|，当且仅当□02ab≥0时，等号成立． (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当□03(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间． (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|. ②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 2．绝对值不等式的解法 (1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． (2)①绝对值不等式|x|>a与|x| 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身 (1)设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 答案 B 解析 ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |. (2)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2 解析 由|kx －4|≤2?2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. (3)函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为________． 答案 6 解析 因为|x －3|＋|x ＋3|≥|(x －3)－(x ＋3)|＝6，当－3≤x ≤3时，|x －3|＋|x ＋3|＝6，所以函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为6. (4)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． 答案 (－∞，4) 解析 |x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)． 题型 一 解绝对值不等式 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值． 解 (1)解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得 x ＝－12 ，x ＝4.原不等式可化为： ????? x <－12，－x －5>2 或????? －12≤x <4， 3x －3>2 或??? ? ? x ≥4，x ＋5>2. ∴原不等式的解集为? ????? ??? ?x ??? x <－7或x > 5 3. 解法二：f (x )＝|2x ＋1|－|x －4| 绝对值不等式 一、基础知识 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. 2．绝对值不等式的解法 (1)|x| [典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集． [解] (1)由题意得f (x )＝??? ?? x －4，x ≤－1， 3x －2，－1 绝对值不等式 一、绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ?a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c . 3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|a x ＋b|≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 例1：解不等式x ＋|2x －1|<3. 解：原不等式可化为????? 2x －1≥0， x ＋(2x －1)<3或????? 2x －1<0，x －(2x －1)<3.解得12≤x <43或－2 绝对不等式的证明 摘要：证明绝对不等式是数学基本知识的一部分，不等式的证明，就是证明所给定的不等式或对式中所含的字母的一切允许值都是成立的。证是不等式主要依靠二条，其一，是不等式的基本性质和一些重要不等式，其二，是证明不等式的一些常用方法。二者互相渗透。本文通过举例介绍几种证明的绝对不等式的方法。 关键词：绝对不等式，证明不等式的方法 1. 用比较法证明不等式 比较法是证明不等式的常用法之一。它又分为计算插值和比值两种： ① 把所要正的不等式的左边的代数式减右边的代数式，再根据已知条件去证明这个差大于﹙或小于﹚零，这种证明法叫做计算差值法。 他的理论根据是：a ≥b,﹙a ≤b ﹚ a-b ≥0﹙或a-b ≤0﹚. ② 当所要证明的不等式的两边的直皆正是，把左边的代数式除于右臂阿布的代数式，再根据已知条件去证明这个比值大于﹙或小于﹚1.这种正法叫做及钻比值法。 他的理论依据是：当a ＞0.b ＞0 时，a ≥b ﹙a ≤b ﹚<=> b a ≥1（或b a ≤1）。 例：已知a, b 皆正数求证： 2 b a +≥ab （当且仅当a=b 时，等号成立）。 证：∵a ＞0.b ＞0，则2b a +-ab =2 2ab b a -+=()22b a -≥0 （其中等号当且仅当）a ＝b 即a=b 成立） ∴2b a +－ab ≥0，即2 b a +≥ab 2.用综合法和分析法证明不等式 证明绝对不等式的综合法是从题目的已知条件或已知成立的不等式出发，利用不等式的性质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通过变形将未知的不等式归结为常用不等式。如以下不等式是常用的： a ²+ b ²≥2ab,a+b ／2≥ab ,a ³+b ³+ c ³≥3abc(a,b,c ∈R+) a+b ／2≤a ²+b ²／2,a+b+c ／3≤a ²+b ²+c ²／3(a,b,c ∈R+) 分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：欲证B 得真，只需要证明命题B 的真，从而又……，只要证明A 为真。现在已知A 真，故B 真。可见分析法事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，写出简要的形式为： B<=B 1<=B 2<=…<=Bn<=A 以上述的b 1.2.2 绝对值不等式的解法 课堂导学 三点剖析 一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8. 解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨ ⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨ ⎧<+>+. 37,315251 25|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1 在本例中主要利用了绝对值的概念,|x| 1设函数f(x)中含有绝对值，则(1)绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|(2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|. 2.f(x)>a有解⇔f(x)max>a.(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.(3)f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解． 3.不等式恰成立问题 (1)不等式f(x)＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＞A的解集为D； (2)不等式f(x)＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＜B的解集为D. 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| §14不等式的证明 不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较 法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法. 例题讲解 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x| -a |f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x) (2) |2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0 (x+4)(3x+2)≤0, -4≤x≤- 。 (3) x≠1。 ∴原不等式的解集为[-4，- ]。 例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........① 分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1）， [-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。 解:将不等式①化为三个不等式组 （I）-2 第一节绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 (2)|ax＋ ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类计论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 1．不等式|x －2|＞x －2的解集是________． 解析：原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 答案：x ＜2 2．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于________． 解析：由|x －a |＜b 得a －b ＜x ＜a ＋b ， 由已知得⎩ ⎪⎨⎪⎧ a － b ＝2， a ＋ b ＝4，解得a ＝3，b ＝1. 答案：3 3．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为________． 解析：据题意可得|8x ＋9|＜7⇒－2＜x ＜－1 4， 故由{x |－2＜x ＜－1 4 }是二次不等式的解集可知 x 1＝－2，x 2＝－1 4 是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根， 根据根与系数关系可知x 1x 2＝－2a ＝12⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－9 4⇒b ＝－9. 答案：a ＝－4，b ＝－9 4．不等式|2x －1|＜3的解集为________． 解析：原不等式可化为－3＜2x －1＜3， 解得－1＜x ＜2. 故所求解集为{x |－1＜x ＜2}． 答案：{x |－1＜x ＜2} 5．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是______________. 解析：令y ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知应|a |≥y min ，而y ＝|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴a ≥3或a ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 含有绝对值的不等式 教学目标 （1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法； （2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法； （3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法； （4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ① 本节重点是性质定理及推论的证明.一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神. ② 教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明的方法选择.在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点. 三、教学建议 （1）本节内容分为两课时，第一课时为性质定理的证明及简单运用，第二课时为的证明举例. （2）课前复习应充分.建议复习：当时 ； ； 以及绝对值的性质： ，为证明例1做准备. （3）可先不给出性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？大小关系如何？是否等于？等等.提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论. （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨. （5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论. （6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神. 教学设计示例 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点 重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。 难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。 教学过程 一、复习引入 我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。 当时，则有： 那么与及的大小关系怎样？ 这需要讨论当 当 当 综上可知： 我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？ . 当时，有：或. 绝对值不等式6个基本公式证明 我们来证明绝对值的非负性质： 1. 对于任意实数x，有|x| ≥ 0. 证明：根据绝对值的定义，如果x ≥ 0，则有|x| = x ≥ 0；若x < 0，则有|x| = -x ≥ 0。无论x的值如何，都有|x| ≥ 0，即绝对值非负。 接下来，我们证明绝对值的不等性质： 2. 对于任意实数x和y，若x ≤ y，则有|x| ≤ |y|. 证明：根据绝对值的定义，如果x ≤ y，则y - x ≥ 0。而|x| = x 或 -x，|y| = y 或 -y。分以下两种情况进行讨论： a. 若x ≥ 0，则|x| = x，|y| = y。此时有x ≤ y，即y - x ≥ 0。由于绝对值的非负性质，可以得到|x| = x ≤ y = |y|。 b. 若x < 0，则|x| = -x，|y| = y 或 -y。此时有y - x ≥ 0，即y ≥ x。对于|x| = -x和|y| = y有以下子情况： i. 若y ≥ 0，则|y| = y。由于 x < 0，所以-x > 0，即 -x > x。所以，|x| = -x ≤ -x ≤ y = |y|。 ii. 若y < 0，则|y| = -y。又因为y ≥ x > 0，所以-y ≥ -x > 0。由绝对值的非负性质，可以得到|x| = -x ≤ -y = |y|。 3. 对于任意实数x和y，有|x + y| ≤ |x| + |y|. 证明：根据绝对值的定义，有以下两种情况进行讨论： a. 若x + y ≥ 0，则|x + y| = x + y，并且|x| = x，|y| = y。由于x + y ≥ 0，所以x + y ≤ |x| + |y|。即|x + y| ≤ |x| + |y|。 b. 若x + y < 0，则|x + y| = -(x + y)，而|x| = -x，|y| = -y。此时有： i. 若x ≥ 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x -y = |x| + |y|。 ii. 若x < 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x - y = |x| + |y|。 iii. 若x < 0且y ≥ 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ -x + y = |x| + |y|。 iv. 若x ≥ 0且y < 0，则|x + y| = -(x + y) ≤ x - y = |x| + |y|。 绝对值定理 绝对值定理（Absolute Value Theorem）是数学中的一条重要定理，用于描述实数的绝对值与其它数学概念之间的关系。它在代数、几何等领域都有广泛的应用，并为解决实际问题提供了有力的工具和方法。 定理表述 绝对值定理可以通过以下方式进行表述： 定理：对于任意实数 a 和 b，有如下不等式成立： 1.|a + b| ≤ |a| + |b| 2.|a - b| ≥ ||a| - |b|| 定理证明 不等式1的证明 首先，我们可以根据实数 a 和 b 的正负情况进行分类讨论。 •当a ≥ 0 且b ≥ 0 时，不等式1成立：因为此时 a 和 b 的绝对值都等于它们本身，所以不等式左边为 a + b，右边为 a + b。 •当 a < 0 且 b < 0 时，不等式1成立：同样地，此时 a 和 b 的绝对值都等于它们本身的相反数，所以不等式左边为 -(a + b)，右边为 -(a) + - (b)，即 -a -b。由于 a 和 b 都是负数，所以 -a 和 -b 的和也是负数， 所以不等式成立。 •当a ≥ 0 且 b < 0 时，不等式1成立：此时不等式左边为 a - b，右边为 a + (-b)，即 a - b。由于 a ≥ 0 且 -b ≥ 0，所以 a - b ≥ 0，即不等式成立。 •当 a < 0 且b ≥ 0 时，不等式1成立：同样地，此时不等式左边为 -(a - b)，右边为 -(a) + (b)，即 -a + b。由于 -a ≤ |a| 和 b ≤ |b|，所以 -a + b ≤ |a| + |b|，即不等式成立。 综上所述，在所有情况下都能够得到不等式1的正确性。 不等式2的证明 要证明不等式2，我们可以先将其转化为一个更简单的形式： 引理：对于任意实数 x 和 y，有如下关系成立： 关于绝对值的不等式公式考研 一、绝对值的基本概念 在数学中，绝对值是一个非常重要的概念，它表示一个数离原点的距离，无论这个数是正数、负数还是零。以符号表示绝对值的话，就是|x|，其中x代表任意实数。绝对值的计算方法也很简单，如果x≥0，那么它的绝对值就是它本身，也就是|x|=x；如果x＜0，那么它的绝对值就等于它的相反数的相反数，也就是|x|=-x。这个概念就是绝对值的基本概念。 二、绝对值不等式的基本形式 接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式。在考研数学中，绝对值不等式是一个非常重要的概念，它的形式一般可以分为以下两种情况： 1. |x| 值小于或者大于某个实数a的情况，但是这个绝对值不再是x本身， 而是一个式子。在这种情况下，我们同样需要找出所有满足这个不等 式的x的取值范围。 三、绝对值不等式的解法策略 接下来，我们来讨论解决绝对值不等式的一般方法和策略。在考研数 学中，解决绝对值不等式通常可以采用以下几种方法： 1. 列举法：通过列举绝对值不等式中的x取值范围，逐一验证每个值 是否满足不等式条件，从而找出所有满足条件的x。 2. 均值不等式：利用均值不等式来化简绝对值不等式，然后进行求解。均值不等式是绝对值不等式解题中常用的方法之一。 3. 区间法：通过将绝对值不等式表示的区间进行分析，找出满足不等 式条件的x所在的区间范围。 四、绝对值不等式在考研数学中的应用 除了以上的基本概念和解法策略，绝对值不等式在考研数学中还有很 多的应用场景。比如在求极限、证明不等式、解方程等方面，都可以 运用绝对值不等式来简化问题、拓宽思路、加快解题速度。绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值三角不等式的证明方法
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绝对值定理
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