中山大学概率统计第4章习题解06.2
1. 若0.004DX =,利用切比雪夫不等式给出概率(||0.2)P X EX -<的上界或下界.
解 2(||0.2)/0.20.004/0.040.1P X EX DX -≥≤==,
(||0.2)1(||0.2)10.10.9P X EX P X EX -<=--≥≥-=.
2. 设0.009DX =,0ε>,(||)0.9P X EX ε-<≤,利用切比雪夫不等式给出ε的上界或下界.
解 2/(||)1(||)10.90.1DX P X EX P X EX εεε≥-≥=--<≥-=,
2/0.10.009/0.10.09DX ε≤==, 0.3ε≤.
3. 试用切比雪夫不等式证明:能以大于0.97的概率断言,抛1000次分币,正面出现次数在400到600之间.
解 设X 为出现的正面数,则~(1000,1/2)X B ,
1000(1/2)500EX =⨯=, 1000(1/2)(1/2)250DX =⨯⨯=.
(400600)(|500|100)(|500|100)P X P X P X ≤≤=-≤≥-<
21(|500|100)1/1001250/100000.9750.97P X DX =--≥≥-=-=>.
4. 设随机变量X 的期望存在,()f x 为正单调上升函数,且()Ef X EX -存在.证明:0ε∀>,
(||)(||)/()P X EX Ef X EX f εε-≥≤-.
证 由于()f x 单调上升,故
{||}{(||()}X EX f X EX f εε-≥⊂-≥.
由于()f x 是正函数,故
{||}{(||)()}(||)/()P X EX P f X EX f Ef X EX f εεε-≥≤-≥≤-.
5. 设随机变量X 的密度为(0,)()()!
m x x p x e I x m -+∞=.试用切比雪夫不等式证明 {02(1)}1m P X m m <<+≥
+. 证1 10(2)(1)!()1!!!m x x m m EX xp x dx e dx m m m m ++∞
+∞--∞Γ++=====+⎰⎰, 2220(3)(2)!()(1)!!!
m x x m m EX x p x dx e dx m m m m m ++∞+∞
--∞Γ++=====+⎰⎰ 222()(1)(2)(1)1DX EX EX m m m m =-=++=+=+,
{02(1)}{|(1)|1}{||1}P X m P X m m P X EX m <<+=-+<+=-<+
221{||1}1/(1)1(1)/(1)/(1)P X EX m DX m m m m m =--≥+≥-+=-++=+.
证2 (1)1(0,)(0,)1()()()!(1)
m x m x x p x e I x x e I x m m -+--+∞+∞==Γ+,故 ~(1,1)X m Γ+, 111m EX m +=
=+, 2111
m DX m +==+. {02(1)}{|(1)|1}{||1}P X m P X m m P X EX m <<+=-+<+=-<+ 221{||1}1/(1)1(1)/(1)/(1)P X EX m DX m m m m m =--≥+≥-+=-++=+.
6. 重复抛分币100次,设每次出现正面的概率为1/2.应用中心极限定理求正面出现次数少于60且大于50的概率.
解1 设正面出现的次数为X ,则~(100,1/2)X B ,50EX =,25DX =.
根据中心极限定理, 50
5X Z -==近似服从标准正态分布,所求的概率是 5050506050(5060)5
55X P X P ---⎛⎫<<=<< ⎪⎝⎭ (02)(2)(0)0.97720.50.4772P Z =<<≈Φ-Φ=-=.
解2 设正面出现的次数为X ,则~(100,1/2)X B ,50EX =,25DX =.
根据中心极限定理,50
5X Z -==近似服从标准正态分布,所求的概率是 50.5505059.550(50.559.5)555X P X P ---⎛⎫<<=<< ⎪⎝⎭
(0.1 1.95)(1.9)(0.1)0.97130.53980.4315P z =<<≈Φ-Φ=-=.
7. 现有一批种子,其中良种占1/6,在其中任选6000颗,试问这批种子中,良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？
解 设这6000颗种子中,良种数为X ,则~(6000,1/6)X B ,1000EX =,5000/6DX =,良种数所占的比例为/6000X .
根据中心极限定理,
Z =近似服从标准正态分布.所求的概率是
110000.010.01
600066000X X P P P ⎛⎫⎛-⎫-<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (|| 2.078)2(2.078)120.981210.9624P Z =<≈Φ-=⨯-=.
8. 现有一批种子,其中良种占1/6;我们有99%的把握断定,在6000颗种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？
解 设这6000颗种子中,良种数为X ,则~(6000,1/6)X B ,1000EX =,5000/6DX =,良种数所占的比例为/6000X .
根据中心极限定理,
Z =近似服从标准正态分布.设题述的差的绝对值小于c ,则
110000.99
600066000X X P c P c P ⎛⎫⎛-⎫=-<=<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ||21
P Z ⎛=<=Φ- ⎝. 由此得0.995
Φ= 2.57=,0.0124c =. 这时相应的良种x 满足不等式10.012460006
x c -<=,故 (100060000.0124,100060000.0124)x ∈-⨯+⨯,
即良种数x 数落在区间[926,1074]内.。
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。
概率论与数理统计第四章习题解
7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002
概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案word档
习题4.11.设随机变量X 的概率密度为(1) (2)f(x)={2x, 0≤x ≤1,0, 其他; f(x)=12e -|x |, -∞<x <+∞求E(X)解: (1)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx = ∫10x ∙2xdx =2∙x 32|10=23(2)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫+∞-∞x ∙12e -|x |=02.设连续型随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <-1,a +b ∙arcsinx, -1≤x <1,1, x ≥1.试确定常数a,b,并求E(X).解:(1)f (x )=F '(x )={b 1-x 2, -1≤x <10, 其他∫+∞-∞f (x )dx =∫1-1b 1-x 2dx =b ∙arcsinx|1-1=bπ=1, 即b =1π又因当时-1≤x <1F (X )=∫X-1f (x )dx =∫x-11π∙11-x 2dx =1π∙arcsinx|x-1=1π∙arcsinx +12, 即a =12(2)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫1-1xπ∙11-x 2=03.设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f(x)={1σ2e-x 22σ2, x >0,0, x ≤0.求E(X).解:E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =1σ2∫+∞0x ∙e -x 22σ2dx =14.设X 1, X 2,….. X n 独立同分布,均值为,且设,求E(Y).μY =1n ∑n i =1X i 解:E (Y )=E (1n ∑ni =1X i )=1n E (∑ni =1X i )=1n ∙n μ=μ5.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={e -y, 0≤x ≤1,y >0,0, 其他.求E(X+Y).解:E (X +Y )=∫+∞-∞∫+∞-∞(x +y )f (x,y )dxdy =∫+∞0∫10(x +y )e -ydxdy =∫+∞012∙e ‒y +y ∙e ‒y dy =326.设随机变量X 1, X 2相互独立,且X 1, X 2的概率密度分别为f 1(x )={2e -2x, x >0,0, x ≤0,求:f 2(x )={3e -3x, x >0,0, x ≤0,(1)E (2X 1+3X 2); (2)E (2X 1-3X 22); (3)E (X 1X 2解:(1)E (2X 1+3X 2)=2E (X 1)+3E (X 2)=2*12+3*13=2(2)E (2X 1-3X 22)==2E (X 1)-3E (X 22)=1-3*∫+∞x 23e -3xdx =1-3*[-∫+∞x 2d(e -3x)]=1-3*[-x 2∙e -3x|+∞0+∫+∞e -3xdx 2]=1-3*[0+∫+∞e -3x∙2xdx]=1-3*[23∫+∞e -3x∙3xdx ]=1-3*23*13=13(3)E (X 1X 2)=E (X 1)E (X 2)=12*13=167.求E(X).解:E (X )=∑i ∑j x i p ij =0*0.1+0*0.3+1*0.2+1*0.1+2*0.1+2*0.2=0.98.设随机变量X 的概率密度为且E(X)=0.75,求常数c 和.f(x)={cx α, 0≤x ≤1,0, 其他.α解:E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫10x ∙cx αdx =0.75习题4.21.设离散型随机变量X 的分布律为X -100.512P0.10.50.10.10.2求E (X ),E (X 2),D (X ).解: E (X )=(-1)*0.1+0*0.5+0.5*0.1+1*0.1+2*0.2=0.45E (X 2)=(-1)2*0.1+0*0.5+(0.5)2*0.1+12*0.1+22*0.2=1.025D (X )=(-1-0.45)2*0.1+(0-0.45)2*0.5+(0.5-0.45)2*0.1+(1-0.45)22.盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X 的期望和方差.解: X 的可能取值为0,1,2P {X =0}=C 22C 25=0.1P {X =1}=C 13∙C 12C 25=0.6P {X =2}=C 23C 25=0.3E (X )=0∗0.1+1∗0.6+2∗0.3=1.2D (X )=(0‒1.2)2∗0.1+(1‒1.2)2∗0.6+(2‒1.2)2∗0.3=0.144+0.024+0.192=0.363.设随机变量X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为f X (x )={2e ‒2x, x >0,0, x ≤0,f Y(y )={4, 0<y ≤14,0, 其他,求D(X+Y).解:D (X +Y )=D (X )+D (Y )=122+(14‒0)212=491924.设随机变量X 的概率密度为f X (x )=12e ‒|x |, ‒∞<x <+∞,求D(X)解:E (X )=∫+∞‒∞x2e ‒|x |dx =0E(X2)=∫+∞‒∞x 22e‒|x|dx=2∫+∞‒∞x22e‒x=∫+∞‒∞x2e‒x=2=D(X) E(X2)‒[E(X)]2=25.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=1,D(Y)=2,求D(X-Y).解: D(X‒Y)=D(X)+D(Y)=1+2=36.若连续型随机变量X的概率密度为f(x)={ax2+bx+c, 0<x<1,0, 其他,且E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数a,b,c.解:E(X)=∫10x(ax2+bx+c)dx=a4+b3+c2=0.5E(X2)=∫10x2(ax2+bx+c)dx=a5+b4+c3=0.15+(0.5)2=0.4∫+∞‒∞f(x)dx=∫10(ax2+bx+c)dx=a3+b2+c=1解得a=12,b=-12,c=3.习题4.31.设两个随机变量X,Y相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是 D .A. 8B. 16C. 28D. 442.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={18(x+y), 0≤x≤2,0≤y≤2,0, 其他求Cov(X,Y).解:E(X)=∫20[∫20x8(x+y)dy]dx=∫20(x28∙y+x8∙y22)|20d x=76E(Y)=∫20[∫20y8(x+y)dx]dy=76E(XY)=∫20[∫20xy8(x+y)dy]dx=43Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=43‒76∗76=‒1363.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye‒(x+y), x>0,y>0,0, 其他求X与Y的相关系数ρxy.解:E(X)=∫+∞0(∫+∞0xye‒(x+y)dy)dx=1E(Y)=∫+∞0(∫+∞0y2e‒(x+y)dx)dy=∫+∞0(∫+∞0y2e‒x e‒y dx)dy=∫+∞0y2e‒y dy=‒∫+∞0y2d(e‒y)=‒y2e‒y|+∞0+∫+∞0e‒y d(y2)=0+∫+∞0e‒y∙2ydy=2∫+∞0e‒y∙ydy=2E(XY)=∫+∞0(∫+∞0xy2e‒(x+y)dy)dx=2Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=2‒2∗1=0所以ρxy=Cov(X,Y)D(X)D(Y)=04.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y).布解:f (x,y )=12πσ1σ21‒ρ2e‒12(1‒ρ2){(x ‒μ1)2σ12‒2ρ(x ‒μ1)(y ‒μ2)σ1σ2+(y ‒μ2)2σ22}∵E (X )=0,E (Y )=0∴μ1=0, μ2=0,∵D(X)=16, D(Y)=25∴σ1=4,σ2=5∵Cov(X,Y)=12∴ρ=Cov (X,Y )D(X)D(Y)=124∗5=35∴f (x,y )=132πe‒2532(x 216‒3xy 50+y 225)5. 证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).证:D (X ‒Y )=E [X ‒Y ‒E (X ‒Y )]2=E [(X ‒E (X ))‒(Y ‒E (Y ))]2=E [(X ‒E (X ))2]‒2E [X ‒E (X )]∙E [Y ‒E (Y )]+E [(Y ‒E (Y ))2]=D (X )+D (Y )‒2Cov(X,Y)6. 设(X,Y)的协方差矩阵为,求X 与Y 的相关系数ρxy.C =(4‒3‒39)解:∵C =(4‒3‒39)∴Cov (X,Y )=‒3, D (X )=4,D (Y )=9∴ρxy =Cov (X,Y )D(X)D(Y)=‒32∗3=‒12自测题4一、 选择题1.设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X)=0.5, D(X)=0.25 B. E(X)=2, D(X)=4C. E(X)=0.5, D(X)=4 D. E(X)=2, D(X)=0.25解: 指数分布的E (X )=1λ, D (X )=1λ22. 设随机变量X,Y 相互独立,且X~B(16,0.5),Y 服从参数为9的泊松分布,则D(X-2Y+1)= C.A.-14B. 13C. 40D. 41解: D (X )=npq =16∗0.5∗0.5=4, D (Y )=λ=9D (X ‒2Y +1)=D (X )+4D (Y )+D (1)=4+4∗9+0=403. 已知D(X)=25,D(Y)=1, ρxy=0.4, 则D(X-Y)= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 C .A. X 与Y 相互独立B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)C. E(XY)= E(X)E(Y)D. (X,Y)~N()μ1,μ2,σ12,σ22,0解: ∵X 与Y 不相关∴ρxy =0, ∴Cov (X,Y )=0∴E(XY)= E(X)E(Y)5.设二维随机变量(X,Y)~N(),则Cov(X,Y)= B .1,1,4,9,12A. B. 3C. 18D. 3612解: ∵ρxy =12=Cov (X,Y )D(X)D(Y)=Cov (X,Y )2*3, ∴Cov (X,Y )=36.已知随机变量X 与Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY)= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: ∵X~U (‒1,3),Y~U (2,4)∴E (X )=a +b 2=‒1+32=1, E (Y )=2+42=3E (XY )= E (X )E (Y )=1∗3=37.设二维随机变量(X,Y)~N(),Ø(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .0,0,1,1,0A. X 与Y 都服从N(0,1)正态分布 B. X 与Y 相互独立C. Cov(X,Y)=1 D. (X,Y)的分布函数是Φ(x)∙Φ(y)二、 填空题1.若二维随机变量(X,Y)~N(),且X 与Y 相互独立,则ρ= 0 .μ1,μ2,σ12,σ22,0解:Cov(X,Y)=0∵2.设随机变量X 的分布律为 3 .X -1012P0.10.20.30.4令Y=2X+1,则E(Y)= 3 .解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=33.已知随机变量X 服从泊松分布,且D(X)=1,则P{X=1}= .e ‒1解: ∵ D (X )=λ=1∴P {X =1}=λ1e ‒λ1!=e ‒14.设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)= D(Y)=1,则D(X-Y) =2 .5.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,= 6.E (X 2)解: ∵E (X )=λ=2,D (X )=λ=2,∴ E (X 2)=E 2(X )+D (X )=4+2=66.设X为随机变量,且E(X)=2, D(X)=4,则= 8 .E(X2)7.已知随机变量X的分布函数为F(x)={0, x<0x4, 0≤x<41, x≥4则E(X) = 2 .解: f(x)=F'''"(x)={14, 0≤x<40, 其他E(X)=∫40x4dx=08.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=2, D(Y)=1,则D(X-2Y+3)= 6 .三、设随机变量X的概率密度函数为f(x)={32x2, ‒1≤x≤1,0, 其他试求: (1)E(X), D(X); (2).P{|X‒E(X)|<2D(X)}解:(1) E(X)=∫1‒132x3dx=0D(X)=E(X2)‒E2(X)=∫1‒132x4=32∙x55|1‒1=35(2)P{|X‒E(X)|<2D(X)}=P{|X|<65}=∫65‒65f(x)dx=∫1‒132x2dx=1四、设随机变量X的概率密度为f(x)={x 0≤x≤12‒x, 1≤x<20, 其他试求: (1)E(X), D(X); (2),其中n为正整数.E(X n)解:(1)E(X)=∫1x2dx+∫21x(2‒x)dx=13+13=1D(X)=E(X2)‒E2(X)=∫10x3dx+∫21x2(2‒x)‒1=14+(143‒154)‒1=16(2)E(X n)=∫1x n+1dx+∫21x n(2‒x)=2(2n+1‒1)(n+1)(n+2)五、 设随机变量X 1与X 2相互独立,且X 1~N(), X 2~N().令X= X 1+X 2, Y= X 1-X 2.μ,σ2μ,σ2求: (1)D(X), D(Y); (2)X 与Y 的相关系数ρxy.解:(1)D (X )=D (X 1+X 2)=D (X 1)+D (X 2)=σ2+σ2=2σ2D (Y )=D (X 1‒X 2)=D (X 1)+D (X 2)=2σ2(2) Cov (X,Y )=E (XY )‒E (X )E (Y )=0ρxy =Cov (X,Y )D(X)D(Y)=0六、 设随机变量X 的概率密度为f (x )={2e ‒2x, x >0, 0, x ≤0.(1)求E(X),D(X);(2)令,求Y 的概率密度f Y (y).Y =X ‒E(X)D(X)解:(1)E (X )=∫+∞2xe ‒2x dx =12D (X )=E (X 2)‒E 2(X )=∫+∞02x 2e ‒2x dx ‒14=12‒14=14(2)Y =X ‒E(X)D(X)=X ‒1212=2X ‒1由Y=2X-1得, X’=X =Y +1212=∴f Y (y )={2e‒2(Y +12)∙12,Y +12>00, Y +12≤0{e ‒(y +1), y >‒10, y ≤‒1七、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x,y )={2, 0≤x≤1,0≤y ≤x,0, 其他求: (1)E(X+Y); (2)E(XY); (3). P{X +Y ≤1}解:(1)E (X +Y )=∫10dx ∫x 02(x +y )dy =∫102x 2+x 2dx =1(2)E(XY)=∫1dx∫x2xy dy=∫1x3dx=14(3) P{X+Y≤1}=∬x+y≤1f(x,y)dxdy=∫12(∫1‒yy2dx)dy=∫122‒4ydy=12八、设随机变量X的分布律为X-101P 131313记Y=X2,求: (1)D(X), D(Y); (2) ρxy.解:(1)E(X)=(‒1)∗13+0∗13+1∗13=0D(X)=(‒1‒0)2∗13+(0‒0)2∗13+(1‒0)2∗13=23 E(Y)=(‒1)2∗13+0∗13+12∗13=23D(Y)=(1‒23)2∗13+(0‒23)2∗13+(1‒23)2∗13=29E(XY)=(0∙‒1)∙9+(1∙‒1)∙29+(0∙0)∙19+(0∙1)∙29+(1∙0)∙19+(1∙1)∙29=0Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=0‒0∗23=0ρxy=Cov(X,Y)D(X)D(Y)=0。
概率论第四章习题解答
1第四章随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A 组1、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.400.300.30求()E X 、(35)E X +、2()E X ？解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-⨯+⨯+⨯=-；(35)3()5 4.4E X E X +=+=；2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-⨯+⨯+⨯=.2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元求产品的平均价值？解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为X 0 8 10 p0.00140.80880.1898则()80.1898100.80889.61E X =⨯+⨯≈(元).3、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()E X ？解：由分布函数知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它则4()()24x E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰.4、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()E X ？解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p pk p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知 211()[1(1)]E X p p p =⨯=--.5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即的泊松分布，即()!kp X k e k λλ-== (0,1,2,)k =求()E X 、2()E X ？解：1()!(1)!kk k k E X k ee ee k k λλλλλλλλλ-+∞+∞---======-∑∑；12201(1)()[]!(1)!!kk kk k k k k E X keee k k k λλλλλλλλ-+∞+∞+∞---===+===-∑∑∑1210[]()(1)!!k kk k e e e e k k λλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--===+=+=+-∑∑. 6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布X 10 11 12 13 p0.40.30.20.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？ 解：(1)()100.4110.3120.2130.111E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(月)；(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-⨯=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即1()a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它求()E X 、2()E X ？解：()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞-∞+===-⎰⎰；22222()()3baxa ab b E X x f x dx dx b a +∞-∞++===-⎰⎰. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即的指数分布，即0()0x ex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩０求()E X 、2()E X ？解：0()()xxE X xf x dx x edxxdeλλλ+∞+∞+∞---∞===-⎰⎰⎰1xxxeedxλλλ+∞+∞--=-+=⎰；2222202()()2xxxE X x f x dxx edxx exedxλλλλλ+∞+∞+∞+∞----∞-∞===-+=⎰⎰⎰.9、离散型随机变量X 的概率分布为X 0 2 6 p3/12 4/12 5/12求()E X 、[ln(2)]E X +？解：34519()0261212126E X =⨯+⨯+⨯=；34513[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126E X +=+⨯++⨯++⨯=.10、设2~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？解：22()21(||)||2x E X x e dx μσμμπσ--+∞-∞-=-⎰令x t μσ-=，由偶函数性质有222022(||)()2t t E X e d μσσππ+∞--==⎰.11、设某商品需求量(10,30)X U ，销售商进货量n 在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润Y 与X 、n 的关系为500300()1030500100()1030n X n n X Y X n X X n +-≤<≤⎧=⎨--≤<≤⎩则利润平均值为10101()[[500100()][500300()]20n n E Y X n X dx n X n dx =--++-⎰⎰ 27.53505250n n =-++由题意知27.535052509280n n -++≥解得62263n ≤≤，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A 发生，则赔偿顾客a 元.以往资料表明事件A 发生的概率为p .为使公司收益期望值为0.1a ，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取x 元保费，公司的收益为Y 元则Yx x a - p1p -p按题意()(1)()0.1E Y x p x a p a =-+-= 解得0.1x ap a =+.13、设随机变量X 的密度函数为1cos0()220x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.对X 进行独立重复观测4次，Y 表示观测值大于/3π的次数，求2Y 的数学期望？解：显然~(4,)Y b p ，其中p 是(/3)X π>的概率，故31()cos 0.5322xp p Xdx πππ=>==⎰所以44()0.50.5kkkp Y k C -==⨯ (0,1,2,3,4)k =则有42244()0.50.55k kkk E Y k C -==⨯=∑.14、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布求22Z X Y =+的数学期望？解：由题意知X 、Y 的联合密度函数为2221(,)2x y f x y eπ+-=于是22222221()(,)2x y E Z x y f x y dxdy x y edxdy π++∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰令cos x r θ=、sin y r θ=得222222201()22r r E Z r e drd r e drππθπ+∞+∞--===⎰⎰⎰.15、已知(,)X Y 的分布如下，令max{,}Z X Y =，求()E Z ？YX0 5 10 15 0 0.02 0.06 0.02 0.10 5 0.04 0.15 0.20 0.10 100.010.150.140.01解：由题设可得Z 的分布为Z 0 510 15 p 0.020.25 0.52 0.21()00.0250.25100.52150.219.6E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.16、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X 、()E Y 、()E XY 、22()E X Y +？解：12004()(,)125xE X xf x y dxdydx xy dy+∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 1303()(,)125x E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰；；131()(,)122xE XY xyf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 122222220016()()(,)()15xE XY xy f x y dxdydx xy y dy+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰. 17、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ？解：22007()(,)()88xE X xf x y dxdyxy dxdy+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰. 18、甲乙二人相约在12:00~13:00之间会面，设X 、Y 分别表示甲乙到达时间，且相互独立已知X 、Y 的密度函数为2301()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它、201()0y y f y <<⎧=⎨⎩其它求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为||X Y -，由于X 、Y 的联合密度函数为2601,01(,)0x y x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它11200(||)||6E X Y x y x ydxdy ⇒-=-⎰⎰112200001()6()|64xyx y x ydydx y xx ydxdy =-+-=⎰⎰⎰⎰.19、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求数学期望()E X 、()E Y ？解：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)(,)0(,)c x y G f x y x y G∈⎧=⎨∉⎩，由密度函数性质解出9/2c =下面分别求出边沿密度函数当12x -≤≤时，有22222()(2)99x X xf x dy x x +==+-⎰，故此 22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 当01y ≤≤时，有24()99y Y y f y dx y--==⎰当14y <≤时，有222()(2)99y Y y f y dx y y --==+-⎰，所以 40192()(2)1490Y y y f y y y y ⎧≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它从而22121()()(2)92XE X xfx dx x x x dx +∞-∞--==+-=⎰⎰； 1401428()()(2)995Y E Y yf y dy y yd y y y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰. 20、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.40 0.30 0.30求()D X ？解：由题意易知()0.2E X =-、2() 1.8E X =，所以22()()[()] 1.80.04 1.76D X E X E X =-=-=.21、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()D X解：由题意易知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它，且()2E X=，则242(2)4()(())()43x D X x E X f x dx dx +∞-∞-=-==⎰⎰. 22、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求()D X ？ 解：由题意易知()E X λ=、22()E X λλ=+，故22()()[()]D X E X E X λ=-=.23、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)80x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()D X ？解：由题意易知7()8E X =，故2222001711()[()](,)()()8636D X x E X f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞-∞=-=-+=⎰⎰⎰⎰. 24、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求方差()D X 、()D Y ？解：由题意易知22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它、40192()(2)1490Y yy f y y y y ⎧≤≤⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它1()2E X =、8()5E Y =22222127()()(2)910X E X x f x dx x x x dx+∞-∞--==+-=⎰⎰14222214247()()(2)9914Y E Yy f y dyy ydyy y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰229()()[()]20D X E X E X =-=；22279()()[()]350D YE Y E Y =-=.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设X 表示取出合格品前已取出次品的数目，则X0 1 2 p8/10 16/90 2/90故2()9E X =、24()15E X =所以2288()()[()]405D XE X E X =-=.26、设随机变量X 的密度函数为||1()2x f x e -=.求()E X 、()D X ？解：||1()()02x E X xf x dx x e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰； 222||2011()(())()222x xD XE X E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞=-====⎰⎰⎰.27、设X 为随机变量，证明:对任意常数C ，有2()()D X E X C ≤-，当()C E X =时等号成立.证明：22222()(2)()2()E X C E X CX C E X CE X C -=-+=-+22222()[()]{[()]2())}()[()]E X E X E X CE X C D X E X C =-+-+=+-由于2[()]E X C -非负，从而有2()()D X E X C ≤-，且当()C E X =时2()()D X E X C =-.28、设U 服从(-2，2)上的均匀分布，定义X 、Y 如下1111U X U -<-⎧=⎨>-⎩、1111U Y U -<⎧=⎨>⎩求()D X Y +？解：先求X Y +的分布(2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=-==-=-=<-<=<-= (2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=====≥-≥=≥= (0)1(2)(2)1/2p X Y p X Y p X Y +==-+=-+=-=所以()0E X Y +=，从而2()()2D X Y E X Y +=+=.29、已知()750E X =、2()15D X =.请估计概率(700800)p X <<？ 解：由切比雪夫不等式有2215(700800)(|750|50)10.9150p X p X <<=-<≥-≈.30、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率(||6)p X Y +≥的上限？解：因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以，所以2()1(||6)(|()()|6)612D X Y p X Y p X YE X Y ++≥=+-+≥≤=. 31、设()4D X =、()9D Y =、0.5XY ρ=，求(23)D X Y -？ 解：(,)()()3XY Cov X Y D X D Y ρ==(23)4()9()2(2,3)16813661D X Y D X D Y Cov X Y -=++-=+-=.32、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求(,)Cov X Y ？解：由题意易知4()5E X =、3()5E Y =、1()2E XY =，故 1431(,)()()()25550Cov X Y E XY E X E Y ⨯=-=-=⨯. 33、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求协方差(,)Cov X Y 与相关系数XY ρ？解：由题意易知1()2E X =、8()5E Y =、9()20D X =、279()350D Y =2221225()994x x G E XY xy dxdy xdx ydy +-===⎰⎰⎰⎰所以9(,)()()()20Cov X Y E XY E X E Y =-=； (,)0.751()()XYCov X Y D X D Y ρ=≈.34、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为YX-1 0 1 00.07 0.18 0.15 100.080.320.20求22(,)Cov X Y解：先求2X 、2Y 、22X Y 的分布2(0)0.4p X ==、2(1)0.6p X == 2(0)0.5p Y ==、2(1)0.5p Y == 22(0)0.72p X Y ==、22(1)0.28p X Y ==所以2()0.6E X =、2()0.5E Y =、22()0.28E X Y =，由此得222222(,)()()()0.02Cov X Y E X Y E X E Y =-=-.35、随机变量(,)X Y 的密度函数为201,11(,)0x x y f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其它求()D X Y +？解：当01x <<时，有11()22X x f x d y x -==⎰；当01y <<时，有11()22Y y f y d x y -==⎰，故2()()3E X E Y ==、1()()18D X D Y == 由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，即X 与Y 不独立.所以11015()212xE XY xydxdy -==⎰⎰541(,)()()()12936Cov X Y E XY E X E Y =-=-=- 1()()()2ov(,)18D X Y D X D Y C X Y +=++=.36、将1枚硬币抛n 次，以X 、Y 分别表示正面向上与反面向上的次数，求(,)Cov X Y 、XY ρ解：由于X Y n+=，即Y n X=-，于是1XYρ=-；又因~(,0.5)X b n 、~(,,0.5)Y b n ，所以()()/4D X D Y n ==，故(,)(,)(,)()/4Cov X Y Cov X n X Cov X X D X n =-=-==.37、设X 与Y 独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令2U X Y =+、2V X Y =-求U 与V 的相关系数？解：由于()(2)4()()5D U D X Y D X D Y λ=+=+= ()(2)4()()5D V D X Y D X D Y λ=-=+=所以(,)(2,2)Cov U V Cov X Y X Y =+-4()(,2)(2,)()3D X Cov Y X Cov X Y D Y λ=+--=由此得(,)35(),()XYCov X Y D X D Y ρ==. 38、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1||0,01(,)0y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它判断X 与Y 之间的相关性与独立性.解：由于12()3x xE X xdydx -==⎰⎰、、10()0x xE Y ydydx -==⎰⎰、10()0xxE XY xydydx -==⎰⎰，则(,)()()()0Cov X Y E X E Y E XY =-=故X 与Y 之间不相关；又因当01x <<时，有()2xXxf x dy x-==⎰，即201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它同理可以求出110()1010X y y f x y y +-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 之间不独立.39、设a 为区间(0,1)上一定点，随机变量(0,1)X U ，Y 是X 到a 的距离.问a 为何值时X 与Y 是不相关？解：由题设知()0.5E X =、||Y X a =-，所以11201()||()()2aaE Y x a dx a x dx x a dx a a =-=-+-=-+⎰⎰⎰3101()()()323a a a a E XY x a x dx x x a dx =-+-=-+⎰⎰31(,)3212a aCov X Y =-+令31(,)03212a a Cov X Y =-+=，可得方程2(21)(221)0a a a ---=在(0,1)内解得0.5a =，即0.5a =时，X 与Y 不相关. 40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布.(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90? 解：设第i 个数的舍入误差为i X (1,,)i n = ，故()0i E X =、()1/12i D X = (1,,)i n =记1ni i X X ==∑(1) 由林德伯格－列维中心极限定理有15001150001515000(||15)(||)15001/1215001/12i i x p X p =-⨯-⨯>=>∑151[2()1]0.180215001/12≈-Φ-=；(2) 由林德伯格－列维中心极限定理有1100100.90(||10)(||)2()11/121/121/12ni i x n n p X p n n n =-⨯-⨯≤<=≤≈Φ-∑即10()0.951/12n Φ≥，由于(1.645)0.95Φ=，则101.6451/12n ≥因此443.45n £，再由n 为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m ，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m 的概率？解：以X 表示100根木材中长度短于3m 的数目，则~(100,0.2)X b ，于是()20E X =，()16D X =.由于100n =较大，则由中心极限定理，近似有2~(20,4)X N ，由此有20302010(30)1(30)1()1()0.0062444X p X p X p --≥=-<=-<≈-Φ-=. 42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，种蛋糕，每种蛋糕被购买的概每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第i 只蛋糕价格为iX (1,,300)i = .则i X的分布为i X1 1.2 1.5 p0.30.20.5于是可得() 1.29i E X =、2() 1.713iE X =、()0.0489i D X =令3001i i X X ==∑表示总收入，则由林德伯格－列维中心极限定理有300 1.29400300 1.29(400)()1(3.39)0.00033000.04893000.0489X p X p -⨯-⨯≥=>≈-Φ=⨯⨯；(2) 记Y 为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则~(300,0.2)Y b ，于是()60E Y =、()48D Y =，由中心极限定理，近似有~(60,48)X N ，由此有606060(60)1()1(0)0.54848Y p Y p --≥=-<≈-Φ=.43、进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少?此时A 发生的次数在什么范围内?解：设X 为1000次试验中事件A 发生的次数，则~(1000,0.25)X b ，由二项分布的性质知()250E X =、()187.5D X =，而事件A 发生的频率为/1000X .根据题意，可得如下不等式(|0.25|)0.951000X p ε-≤≥即(|250|1000)0.95p X ε-≤≥，由棣莫弗―拉普拉斯定理有25010001000(||)2()10.95187.5187.5187.5X p εε-≤≈Φ-≥即1000()0.975(1.96)187.5εΦ≥=Φ解得0.026ε³，这表明1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件A 发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以X 表示同时工作的车床数，则~(150,0.6)X b ，于是()90E X =、()36D X =，由题意知x 应使得下式成立(0)0.995p X x ≤≤≥由中心极限定理，近似有~(90,36)X N ，故有090909090(0)()()(15)0.9956666X x x p X x p ----≤≤=<<≈Φ-Φ-≥ 查标准正态分布表得90 2.586x -≥，即105.28x ≥，取整得106x =.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能151061590⨯=()kw .B 组1、将n 只球(1n 号)随机的装入n 只盒子(1n 号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记X 为配对数，求()D X ？解：引入随机变量i X (1,)i n = ，1i X =表示第i 号配对，0i X =表示第i 号不配对，则1n X X X =++ ，且1(1)i p X n ==(1,)i n = 即1()i E X n = (1,)i n =于是1()()1n E X E X X =++=因为i X 之间不独立，所以11111()()2(,)nn ni i i i j ii ij D X D X Cov X X -=====+∑∑∑∑下面考虑i j X X 的分布，由于i j X X 的取值只能是0、1，且1(1)(1,1)(1)i j i j p X X p X X n n =====- 所以1()(1)i j E X X n n =-，因此 21()()()()(1)i j i j i j Cov X X E X X E X E X n n =-=- 2211()21(1)nn D X Cnn n -⇒=+=-.2、设随机变量X 的分布函数为()F x ，其数学期望存在，证明()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞=--⎰⎰.证明：00()()()()E X xf x dxxf x dxxf x dx +∞+∞-∞-∞==-⎰⎰⎰由于00()()()xxf x dxxdy f x dx +∞-∞=-⎰⎰⎰改变积分次序有00()(())()yxf x dxf x dx dyF y dy +∞-∞-∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰同理有()[1()]xf x dx F y dy +∞+∞=-⎰⎰ 0()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞⇒=--⎰⎰.3、设随机变量X 的分布函数为0111()arcsin 11211x F x x x x π⎧<-⎪⎪=+-≤<⎨≥⎪⎩求()E X ？解：由上一题结论有()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞=--⎰⎰111111[1arcsin ](arcsin )022x dx x dx ππ--=---+=⎰⎰.4、设连续随机变量X 的密度函数为()f x 若对任意常数c 有()()f c x f c x +=- (0)x >且()E X 存在.证明()E X c =.证明：令x t c =-则有()()()()()()E X xf x dxc t f c t dtcf c t dttf c t dt +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==++=+++⎰⎰⎰⎰由密度函数性质有()()cf c t dt cf c t dt c +∞+∞-∞-∞+=+=⎰⎰令u t =-，有()()()()tf c t dttf c t dtuf c u duuf c u du +∞+∞-∞-∞+=-=+=-+⎰⎰⎰⎰故()0tf c t dt +∞-∞+=⎰所以()E X c =.5、证明事件A 在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设X 表示事件A 在一次试验中发生的次数，则(1,)X b p ，其中p 是事件A 发生的概率，则()(1)0D X p p =-≥由均值不等式得，当0.5p =时，()D X 有最大值0.25. 6、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()D X解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p p k p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知211()[1(1)]E X p p p =⨯=--又111[(1)](1)()(1)(1)k k k E X Xk k p Xk pk k p +∞+∞-==+=+==+-∑∑将21(1)x -的展开式两端求导得 1321223(1)(1)k x k kx x -=⋅+⋅++-+- 3222[(1)][1(1)]E X X pp p ⇒+==--222()()[()][(1)][()]D X E X E X E X X X E X ⇒=-=+-- 221[(1)]()[()]p E X X E X E X p-=+--=. 7、一只昆虫所生虫卵X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为p ，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y 的期望与方差？解：由题意知()!np X n en λλ-==(0,1,2,)λ= ，而n 个虫卵发育成k ()k n ≤个幼虫的概率为(|)(1)k kn knp Y k X n C p p -===- (0,1,,)k n =由全概率公式，对任意0,1,,k n = 有()()(|)(1)!nkkn kn n k n k p Y k p X n p Y k X n e C p p n λλ+∞+∞--========-∑∑(1)()[(1)]()()!()!!!k n kk kp pn k p p p p e e e e k n k k k λλλλλλλλ-+∞----=-===-∑即Y服从参数为pλ的泊松分布所以()()E Y D Y p λ==.8、设随机变量X 的密度函数()f x 是偶函数，且2(||)E X <+∞，证明X 与2X 不相关，但不独立.证明：因()f x 是偶函数，所以()xf x 、3()x f x 是奇函数，故此3()()0E X E X ==222(,)()()()0Cov X X E X X E X E X ⇒=⋅-=因而，X 与2X 不相关；选取0a >使得()1p X a ≤<，考察如下特定事件概率22(,)()()()p X a X a p a X a p X a p a X a ≤≤=-≤≤>≤-≤≤ 22()()p X a p X a =≤≤即2222(,)()()p X a X a p X a p X a ≤≤≠≤≤ 故X 与2X 不独立.9、设1X 、…、n X 中任意两个的相关系数都是ρ，试证:11n ρ≥--. 证明：因为111110()()2(,)nnni iiiji i i j D X D X Cov X X-====≤=+∑∑∑∑1111()2()()nni i i j i ij D X D X D X ρ-====+∑∑∑11111()[()()]()[1(1)]n ni ni i j i i i j i D X D X D X D X n ρρ-====≤++=+-∑∑∑∑11n ρ⇒≥--.。
概率统计第4章习题解
习 题 四1．设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝( ). A.61；B.65； C.625；D.5.1()3056E X np ==⨯= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ ）.A. 3；B. 6；C. 10；D. 12.()1()3E X E Y ==因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y ==3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝__________．(10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==22()(())()18.4E X E X D X =+=4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）.22113()233999E X =+⨯+⨯= 5．设X 的概率密度函数为,01()2,120,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它求2() ,().E X E X1221()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰122232017()()(2)6E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰6求 () ,(),().E X EY E XY()E X =()E Y =()(1)(1)0.25(1)10.1(1)20.32(1)0.15210.15220.050.25E XY =-⨯-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯=-7．设二维随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为e 0(,)0y x yf x y -⎧<<=⎨⎩，，其它求（1）()E X Y +; (2) ()E XY .()()(,)E X Y x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰(())3y xx y e dy dx +∞+∞-=+=⎰⎰()()(,)(())2yxE XY xy f x y dxdyxy e dy dx +∞+∞-∞-∞+∞+∞-===⎰⎰⎰⎰8．设随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=1，D (Y )=2，则D (X -Y )= . ()()()3D X Y D X D Y -=+=9．设正方形的边长在区间［0，2］服从均匀分布，则正方形面积A =X 2的方差为_________.41()1()123E X D X === 2214()(())()133E X E X D X =+=+=10．设随机变量X 的分布律为求 D (X ).22()()(())D X E X E X =-1111()101255105E X =-⨯++⨯+⨯=22221114()(1)01255105E X =-⨯++⨯+⨯=224119()()(())52525D XE X E X =-=-= 11．设随机变量X 的概率密度函数为||1()e 2x f x -=，求D (X )．1()()02xE X xf x dx xe dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰22201()()222xE X x f x dx x e dx +∞+∞--∞===⎰⎰22()()(())2D X E X E X =-=12．设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为,01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 e ,0()0,y Y y f y -⎧≥=⎨⎩其它求D (X )，D (Y )，D (X -Y )． 由例5知()1E X =27()6E X =221()()(())6D XE X E X =-= (1)()()1Y E E X D X == 由随机变量X ，Y 相互独立7()()()6D X Y D X D Y -=+=13．设D (X )=1,D (Y )=4,相关系数0.5XY ρ=，则cov(X ,Y )=_______. cov(X ,Y)=1ρ=14．设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为1sin()0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩，，其它求cov(X ,Y )，XY ρ． ()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22001sin()24x x y dxdy πππ=+=⎰⎰由对称性()4E Y π=2200()()(,)12()sin()22E XY xy f x y dxdyxy x y dxdy πππ+∞+∞-∞-∞=-=+=⎰⎰⎰⎰cov(X ,Y )=22()()()()24E XY E X E Y ππ--=-222()24()4XY ππρπ--==15．设二维随机变量(X , Y )有联合概率密度函数1(),02, 02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 试求E (X )，E (Y )，cov(X , Y )，XY ρ．()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰220017()86x x y dxdy =+=⎰⎰ 由对称性7()6E Y =2200()()(,)14()()83E XY xy f x y dxdyxy x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ cov(X ,Y )= 1()()()36E XY E X E Y -=-2222200()()(,)15()()83E X x f x y dxdyx x y dxdy -∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰由对称性5()3E Y =2211()()(())36D XE X E X =-=111XY ρ==-16．设X , Y 相互独立，X ~N (0，1)，Y ~N (1，2)，Z = X +2Y ，试求X 与Z 的相关系数．cov(,)cov(,2)()2cov(,)101x z x x y D X x y =+=+=+=()(2)()4()9D Z D X Y D X D Y =+=+=13xz ρ==17．设随机变量~X N (5,3)，Y 在[0，6]上服从均匀分布，相关系数12XY ρ=，求（1）(2)E X Y -；（2）(2)D X Y -.(2)()2()5231E X Y E X E Y -=-=-⨯=-2(2)()4()4cov(,)()4()4613449122XY D X Y D X D Y X Y D X D Y ρ-=+-=+-=+⨯-⨯=18．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为2,01,0(,)0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求（1）E （X ＋Y ）；（2）E （XY ）；（3）XY ρ.1()()(,)2(())1x E X Y x y f x y dxdy x y dy dx +∞+∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰100()()(,)12()4xE XY xy f x y dxdyxy dxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰1()(,)22()3x E X x f x y dxdy xdy dx -∞-∞===⎰⎰⎰⎰1()3E Y =cov(X ,Y )= 1()()()36E XY E X E Y -=221200()(,)12()2x E X x f x y dxdy x dy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰221200()(,)12()6x E Y y f x y dxdyy dy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰221()()(())18D X E X E X =-=221()()(())18D YE Y E Y =-=12xz ρ==。
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。
中南大学概率论与数理统计第四册练习册详细答案汇总
第一章 随机事件及其概率练习1.1 随机事件与样本空间一、解：1. 由于每颗骰子出现1—6点数是等可能性的，同时掷三颗骰子，三个点数之和最小的为3，最大的为18，故样本空间为：S ={3, 4, 5, ……, 18}.2. 在此试验中，可能的结果有6×6=36个，故试验的样本空间为： S ={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), ……(5, 6), (6,6)}.3. 以“0”表示次品，“1”表示正品，则试验的样本空间为：S ={00, 0100, 0101, 0110, 0111, 100, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111}. 4. 设三段长分别为1x , 2x , 3x ，则试验的样本空间为： S ={(1x , 2x ,3x )| 1x +2x +3x =1, 1x >0, 2x >0, 3x >0}. 二、解：1. C AB 2. A +B +C 3. C B A C B A C B A C B A +++ 4. AB +BC +AC 5. C B A C B A C B A ++ 三、解：1. C B A 2. C AB 3. C B A C B A C B A ++ 4. C B A BC A C AB ++ 5. A +B +C 6. C B A 四、解：1. 依题意：}21210|{≤≤≤≤=x x x A 或，故}2312141|{≤≤≤≤=x x x B A 或2. S x x B A =≤≤=+}20|{.3. }2341|{≤≤==⋃=⋃=x x B B A B A B A . 4. 因为AB =}121|{<<x x ，故}21210|{≤≤≤≤=x x x AB 或.五、解：1. C B A ⋂⋂表示1990年以前出版的中文数学书；2. 在“馆中的数学书都是90年后出版的中文版”的条件下，有 C B A ⋂⋂=A ；3. CB C 表示1990年以前出版的都是中文版。
概率论第四章习题解答(全)
(0.9)10 (0.9)9 3486 0.3874 0.7361
则需要调整设备的概率
P{Y 1} 1 P{Y } 1 0.7361 0.2639
（3）求一天中调整设备的次数 X 的分布律 由于 X 取值为 0，1，2，3，4。 p 0.2369 ，则 X B (4, 0.2369) 于是
个随机变量，其概率密度为
1 x, 0 x 1500, 15002 1 f ( x) ( x 3000),1500 x 3000, 2 1500 0, 其它
求 E( X ) 解 按连续型随机变量的数学期望的定义有
0 1500
E ( X ) xf ( x)dx xf ( x)dx
X p
2
3
4
9
1 8
5 8
1 8
1 8
所以
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 。 8 8 8 8 4
（2）因为 Y 的取值为 2,3，4，9 当 Y 2 时，包含的字母为“O”，“N”，故
P{Y 2}
1 C2 1 ； 30 15
当 Y 3 时，包含的 3 个字母的单词共有 5 个，故
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
而
P{ X 1} P ( A1 )
1 2
1 1 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 3 2 1 2 1 1 1 P ( A2 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) ， 4 3 2 4 3 一般地，若当 X k 时，盒中共有 k 1 只球，其中只有一只白球，故 P ( X k ) P ( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 1 k 1 k 2 1 2 1 1 1 k 1 k k 1 4 3 2 k k
概率论与数理统计第4章作业题解
解：E(X)kk1kgF^a(1 a)2kg 刁，下面求幕级数 kx k 1的和函数，1 (1a)k 1易知幕级数的收敛半径为R 1，于是有kx k1 (x k )(k 1k 1产)1 x2 )(1 x)x 1,第四章作业题解甲、乙两台机床生产同一种零件 ，在一天内生产的次品数分别记为 X 和Y.已知X,Y 的概率分布如下表所示：解： E(X) 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 1E(Y) 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 0.9因为 E(X) E(Y)，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。
E(X)袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5, 最大编号，求E(X).现从中任意抽取3 个球，用X 表示取出的3个球中的 解：X 的可能取值为 3,4,5.因为P(X 3)1 100.1； P(X4)C 50.3；所以P(X 5)C 42C 536100.6设随机变量 E(X)3 0.10.30.6 4.5X 的概率分布P{Xk}k 1(1 a)(k 0,1,2丄),其中a 0是个常数，求某人每次射击命中目标的概率为 p ,现连续向目标射击，直到第一次命中目标为止，求射 击次数的期望.解：因为X 的可能取值为1,2,……。
依题意，知X 的分布律为P(X k) q k1p, q 1 p,k 1,2,L L(1在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹.规定4弹全未中得0分，只中1弹得15 分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分.某人每次射击的命中率为，此人期 望能得到多少分E(Y) 0 0.0256 15 0.1536 30 0.3456 55 0.3456 100 0.1296设随机变量X 的概率分布为P{X(1)k% 获化，)，说明X 的期望不存在。
根据已知条件，a 0,因此0E(X)a 1 (1 a)2冷a)2 1 a1 a a .1，所以有所以 E(X)kq k 1pk 1p (q k)k 1p(k1qk) p聶解：设4次射击中命中目标的子弹数为X ,得分为Y,则X~B(4,概率均为•求途中遇到红灯次数的期望 解：设遇到红灯次数为 X ,依题意，知X~B(3, 故 E(X) 3 0.41.2设随机变量X 的概率密度函数为X, 0 x 1,f (x) 2 x, 1 x 2,求 E(X).0, 其他设随机变量X 的概率密度函数为ax, 0x2,f (x) bx c, 2 x 40, 其他所以，由 E(X) 2，得 i a56b36c 2又233 5P(1 X 3) 1axdx 2(bx c)dxa 2b c 2 由3 3 53 P(1 X 3) ■ 得—a b c4 2 24解联立方程①②③，得 a 1 b—，c 14，4又 E(X) 2,P{1 X3 3}，求常数a,b,c 的值.解：由f (x)dx 1 24o axdx 2 (bx c)dx ，得2a 6b 2c1 因为E(X)24xf (x)dxxaxdxx(bx w8c)dxa356,厂b 6c 3①X k P k(1)—k 1k 1k-发散,不符合离散型随机变量期望定义的要 ik设从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，在各交通岗遇到红灯是相互独立的 解：E(X)xf (x)dx \2dx 021x(2 x)dx(x 2133x)21.设随机变量X 的概率密度函数为 f (x)1 (1 x 2)说明X 的期望不解：级求,从而X 的期望不存在•2 3——吐于dx - ° —i^dx ,显然，积分发散，根据连续型随机(1 x ) ° 1 x变量期望的定义，X 的期望不存在某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72分,96分以上的考生占考生总数的%.求考生外语成绩在6°分至84分之间的概率设随机变量X 的概率密度函数为E(Y) E(2X)2E(X)2 1对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间(a,b)内，求球体积的均值存在•解:积分 x f(x)dx解：设X 2~ N(,)，依题意得,E(X) 72P(X 96)2.3%°.°23，贝U P(X 96) °.977即有 (7)⑵所以3 212所以X ~ N(72,122)故所求的概率为P(6°84) P(|X 721 12)P(|-护|1)2 (1)2 °.8413 10.6826对习题中的随机变量X, 计算 E(X 2)、E(5X 24).解：E(X 2)°2 °.4 12 °.3 22 °.2 32°.12 2E(5X 4) 5E(X )14f(x) e x , x°,分别计算 Y 2X 的期望和Y 2X的期望解：因为X ~ E()，其中 1，所以 E(X)E(e 2X) e 2xf (x)dx2xexdx3xe dx游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层 起运行•设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处,且X ~ U[0,60],求该游客等候时间的期望•解：用随机变量Y 表示游客的等候时间 伸位:分钟),则Y g(X),其函数关系为5 x, 0 x 5, 25 x, 5 x 25,y g(x)55 x, 25 x 5565 x, 55 x60.由于X ~U[0,60]，根据随机变量函数的期望公式，可得游客等候时间的期望为设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为212y , 0 y x 1, 0, 其他，求 E(X),E(Y),E(XY),E(X 2Y 2).X解：因为，当 0 x 1 时，f X (x) f (x, y)dy o 12y 2dy 4x 31 2 2当 0 y 1 时，f Y (y)f (x, y)dx y 12y 2dx 12y 2(1 y)所以，E(X)xf X (x)dx13x 4x dx 45123E(Y)yf Y (y)dyy 12y 2(1 y)dy 51 x2E(XY) xyf (x, y)dxdy Q dx o xy12y dy解：设球的直径测量值为X ，体积为V ，1a x b,f (x) b a '0,其他,因此，球体积的均值为1 31 b31E(V) E(：X )xdx66 ab a则有V1X 3.显然X 的概率密度函数为 6E(Y) E[g(X)]5 250(5 x)dx § (25 x)dx 55 25(55 x)dx 60(65 x)dx5570 6f (x, y)(a b)(a 2 b 2)244入x 3y o dxoVdxE(X2) E(Y2)x2f X(x)dx 0x4x3dx1y2f Y(y)dy 0y212y2(1 y)dyE(X2Y2) E(X2) E(Y2) 2 2 163 5 154.17 设随机变量X与Y相互独立，概率密度函数分别为f x(X)2x,0, 0 x 1,和其他，f Y(y),5,5,求E(XY).解：E(X) xf(x)dx 1x 2xdx 0E(Y) yf(y)dy5 y I5ye dyyd( e5y)5 y ye5 y Ie dye5因为X和Y相互独立，所以E(XY) E(X)E(Y) 6 4.4.18设二维随机向量(X,Y)服从圆域D {(x,y): x2 y2R2}上的均匀分布，求E(.X2Y2).解：根据二维随机向量的计算公式:EC X2Y2) x2y2f (x, y)dxdyx22 2y2 R2 X R2『dxdy,此积分用极坐标计算较为方便，于是有E(X2Y2) 12R2 0\2drd2R3设随机变量X与Y相互独立，并且均服从U (0, ),求E(max{X,Y}).解：由于X服从U (0,)，故其分布函数为,于是根据公式3.7.5, max{X,Y}的分布函数为显然，X i 均服从两点分布，且X X 1 X 2 L X 10，于是有9 20P{X i 0}(亦)20, P{X i由此求得1所以Eg 160,x 0,F x (x)0 x ,同理，Y 服从U(0,)，故其分布函数为1,y 0,1,Fmax (z) 0,2z~2, 1,因此 E(max{X,Y})=0,民航机场的一辆送客汽车每次载 时没有旅客下车，就不停车 的平均停车次数• 解：用随机变量 2z,求到后得密度函数 f max (z):0, 其他.2 Zf max (Z)dZ -3 20名旅客自机场开出，沿途有10个车站.若到达一个车站 .设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的，求汽车 X 表示汽车的10个车站总的停车次数，并记第i 站有旅游下车, 第i 站无旅游F 车，「1'2丄，1°, E(X i ) 1 20 0.8784, E(X) 10[120] 8.784.将一颗均匀的骰子连掷10次,求所得点数之和的期望 解：设X i 表示第i 次掷出的点数 (i =1,2，…,10), 则掷10次骰子的点数之和为 X 10 X i 。
概率论与数理统计（I）第四章答案
第四章 大数定律及中心极限定理导 学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。
并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：⋯⋯,21,,,n X X X 独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。
全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。
三个定理。
“大数”及“极限”均要求+∞→n ，在实际问题中，n 充分大即可。
§2节主要研究对象为：算术平均值()n X X nX +⋯+=11；§4节的主要研究对象为： nni i X X X +⋯+=∑=11，比n X 1少了。
§2节的学习，不妨先从复习入手。
第二、三章已熟悉了()()⋅⋅D E 及,先推算出21)(,)(σμnX D X E =⋯==⋯=这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NX D 2)(σ=中的n1很宝贵。
定理二是由定理一推得的，关键点为：n A X X X n +⋯++=21及X X n n n ni i A ==∑=11，于是可用定理一了。
推导本身是一件很愉快的事。
§2节的三个定理可在比对中学习。
定理一（契）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。
定理二（马）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 独立或同分布。
定理三（辛）不要求)(X D 一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：μ−→−PX ,即算术平均值依概率收敛于数学期望。
“贝”的结论为：p nn PA −→−，即频率依概率收敛于概率。
这个结论很精致，十分简单了。
翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。
其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。