河北省唐山市2013—2014学年度高三年级摸底考试--数学(理)
河北省唐山市2014届高三第三次模拟考试数学(理)试题(扫描版)
唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案1（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C -xyz ． 设AC ＝BC ＝2，因为A 1A ＝A 1C ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，A 1(1，0，1)，C (0，0，0)．CB →＝(0，2，0)，CA 1→＝(1，0，1)，A 1B 1→＝AB →＝(－2，2，0)．设n 1＝(a ，b ，c )为面BA 1C 的一个法向量，则n 1·CB →＝n 1·CA 1→＝0， 则⎩⎨⎧2b ＝0，a ＋c ＝0，取n 1＝(1，0，－1)．同理，面A 1CB 1的一个法向量为n 2＝(1，1，－1)． …9分所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝63，故二面角B -A 1C -B 1的余弦值为63． …12分（19）解：（Ⅰ）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i 等奖”为A i ，i ＝1，2，则P (A 1)＝663＝136，P (A 2)＝4A 3363＝ 4 36，则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝536． …4分故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率p ＝1－(1－536)2＝3351296． …6分（Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X 元，则X 的可能取值为x ， x2，0．由（Ⅰ）得P (X ＝x )＝136，P (X ＝ x 2)＝ 4 36，E (x )＝x 36＋2x 36＝x12． …9分该商场每天销售这种饮品所得平均利润Y ＝y [(36－20)－E (x )]＝(x 4＋24)(16－x 12)＝－148(x －48)2＋432．当x ＝48时，Y 最大．故x 设定为48（元）为最佳． …12分 （20）解：（Ⅰ）抛物线C 的准线x ＝－ p 2，依题意M (4－ p2，4)，则42＝2p (4－ p2)，解得p ＝4．故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，点M 的坐标为(2，4)， …3分（Ⅱ）设A (y 218，y 1)，B (y 228，y 2)．直线MA 的斜率k 1＝y 1－4y 218－2＝8y 1＋4，同理直线MB 的斜率k 2＝8y 2＋4．由题设有8y 1＋4＋8y 2＋4＝0，整理得y 1＋y 2＝－8．直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2y 218－y 228＝8y 1＋y 2＝－1． …6分设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ．由点M 在直线AB 的上方得4＞－2＋b ，则b ＜6． 由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝－x ＋b得y 2＋8y －8b ＝0． 由Δ＝64＋32b ＞0，得b ＞－2．于是－2＜b ＜6． …9分 |y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝42b ＋4， 于是|AB |＝2|y 1－y 2|＝8b ＋2．点M 到直线AB 的距离d ＝6－b2，则△MAB 的面积S ＝ 12|AB |·d ＝22(b ＋2)(6－b )2．设f (b )＝(b ＋2)(6－b )2，则f '(b )＝(6－b )(2－3b )．当b ∈(－2，2 3)时，f '(x )＞0；当b ∈(23，6)时，f '(x )＜0． 当b ＝ 2 3时，f (b )最大，从而S 取得最大值12839． …12分（21）解：（Ⅰ）h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x ，h '(x )＝e x －1． 当x ∈(－∞，0)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增． 当x ＝0时，h (x )取最小值h (0)＝0． …4分（Ⅱ）[f ( x k )g (－ x k )]k ＞1－x 2k 即[e x (1－ x k )]k ＞1－x2k． ①由（Ⅰ）知，f ( x k )－g ( x k )≥0，即e x k ≥1＋ xk ，又1－ x k ＞0，则e x k (1－ x k )＞(1＋ x k )(1－ x k )＝1－x 2k2＞0．所以[e x k (1－ x k )]k ＞(1－x2k2)k ． ② …7分设φ(t )＝(1－t )k －1＋kt ，t ∈[0，1]．由k ＞1知，当t ∈(0，1)时，φ'(t )＝－k (1－t )k －1＋k ＝k [1－(1－t )k ]＞0， φ(t )在[0，1]单调递增，当t ∈(0，1)时，φ(t )＞φ(0)＝0．因为x 2k 2∈(0，1)，所以φ(x 2k 2)＝(1－x 2k 2)k －1＋k ·x 2k 2＞0，因此不等式②成立，从而不等式①成立． …12分 （22）解：（Ⅰ）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ． 因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ． 所以AE 是⊙O 的切线． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ，所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD，则BD ＝2AD ，所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒，所以DE ＝AE tan 30︒＝233．由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，所以4＝233 (233＋CD )，所以CD ＝433． …10分（23）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即cos 2θ4＋sin 2θ＝1ρ2．在极坐标系中，设M (ρ，θ)，P (ρ1，α)，则题设可知，ρ1＝ ρ 2，α＝ θ2． ①因为点P 在曲线C 1上，所以cos 2α4＋sin 2α＝1ρ21． ②由①②得曲线C 2的极坐标方程为1ρ2＝cos 2 θ 216＋sin 2θ24． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1|OM |2＝116(1＋3sin 2 θ2)． 因为1|OM |2的取值范围是[116， 14]，所以|OM |的取值范围是[2，4]． …10分 （24）解：（Ⅰ）记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x －1，－1＜x ＜1，－3，x ≥1．由－2＜－2x －1＜0解得－ 1 2＜x ＜ 1 2，则M ＝(－ 1 2， 12)． …3分所以| 1 3a ＋ 1 6b |≤ 1 3|a |＋ 1 6|b |＜ 1 3× 1 2＋ 1 6× 1 2＝ 14． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得a 2＜ 1 4，b 2＜ 14．因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， …9分所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |． …10分。
03 三角函数与解三角形
2014年高考数学（理）二轮复习精品资料-高效整合篇专题03 三角函数与解三角形（预测）解析版Word 版含解析（一） 选择题（12*5=60分）1.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试理科】已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ）A ．13-B ．23-C ．13D ．232.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向 右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ）.A sin 2y x = .B cos 2y x = .C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-3.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知cos 2θ=，则44sin cos θθ-的值为 （ ）B C 1811 D 29-【解析】4.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（理）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]245.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度6.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是 （ ） A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】若sin()πα-=且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．B ． C得9.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数10.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()g x x =B ．()g x x =C ．3())4g x x π=-D ．()4g x x =11.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A.(sin )(cos )f f αβ>B.(sin )(cos )f f αβ<C.(cos )(cos )f f αβ<D.(cos )(cos )f f αβ>12.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知方程sin x k x=在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则下列结论正确的是（ ）A.2sin 22cos ααα=B.2cos 22sin ααα=C.2sin 22cos βββ=D.2cos 22sin βββ=（二）填空题（4*5=20分）13.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．14.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b15.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】已知2242-=--)sin()cos(πααπ，则_______sin cos =+αα.16.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若12()()f x f x =-，则12x x =-.③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos 22y x =的图象. ⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称． 其中正确说法的序号是 .（二） 解答题（10+5*12=70分）17. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知函数(sin cos )()2cos ,x f x x x x R -=∈．(I)求函数()f x 图像的对称中心；(Ⅱ)求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的最小值和最大值故函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ1-，最小值为－2．18.【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（理）】已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图3所示.（1）试确定函数()f x 的解析式； （2）若123f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.试题解析：（1）由图象知，()max 2f x A ==，19.[山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.12cos 2sin(2)26x x x π=+=+…………………………………………3分20.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(,1)M π-． （1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =-，求()f C 的值．21.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅= ，求,AC BC 的长．由①②解得6,6AC BC ==． …………………12分22.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】已知函数2()cos cos ()f x x x x m m R =-+∈的图像过点(,0)12M π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图像各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数()g x 的图像.若,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，4a c +=，且当x B =时，()g x 取得最大值，求b 的取值范围.由226222πππππ+≤-≤-k x k ，k Z ∈，得36ππππ+≤≤-k x k ，（四）附加题（15分）23.如图4所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥. （1）设30MOD ∠= ，求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.【解析】。
河北省唐山市2013届高三9月摸底考试(数学理)
试卷类型：B唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试理科数学第I 卷 一、选择题（共60分）（1）复数3322i i ii+---+的虚部为(A ）2i （B ）－2i （C ）2 （D ）－2 （2）设集合U ＝AUB, A=｛1,2，3｝， A B={1}，则UC B ＝ （A ）｛2} (B) {3} (C) ｛1，2，3｝ （D) {2,3｝(3）已知x ，y满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z=2x －y 的最大值为lax —Y ｝-3，（A ） 2 （B ）1 （C ） －1 (D) 3（4）已知双曲22212x y a -＝1的离心串为2，则该双曲线的实轴长为（A)2 （B ）4 （C ） 23 (D) 43 (5)若tnn θ=2，则cos2θ＝（A ）45（B)－45（C ）35（D ）－35（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0. 3)内是增函数的是 （A) y=22xx-+ (B) y=coss(C ）y=0.5log ||x （D) y=x ＋x －1（7)在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB=PC=3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（A ）2π (B) 3π (C ）4π （D) 43π(8） 要得到函数sin()3y x π=-的图象,只需将函数sin()6y x π=-的图象 (A)向左平移6π个单位 （B ）向右平移6π单位(C)向左平移2π个单位 （D 向右平移2π个单位(9）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （A ）6＋25 （B ）8＋23 （C ）8＋25 (B)6＋23(10）一名小学生的年龄和身高(单位:cm ） 的数据如下: 年6 7 8 9 身118 126 136 144由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8y x a =+，预测该学生10岁时的身高为（A) 154 。
唐山市2013—2014高三第一次模拟考试数学理
为 2 , 则a b A．-2
B ．2
C．-4
D．4
→ → → → → → 11．AD, BE 分别是ABC 的中线，若| AD |=| BE |=1，且 AD 与 BE 的夹角为 120°，则 AB · AC = 8 A． 9 4 B． 9
-1-
C．
2 3
1 D． 3
12．各项均为正数的数列 {an } , {bn } 满足： an2 2an1 an , bn2 bn1 2bn (n N ) ，那么 A． n N , an bn an1 bn1 C． m N , n m, an bn B． m N , n m, an bn D． m N , n m, an bn
A. 56 B. 112 5．执行右边的程序框图，则输出的 S 是 A．5040 B．2450
6．已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 a3
S 5 5 , a2 a4 , 则 n 2 4 an
D．2n-1
A．4n-1 B．4n-1 C．2n-1 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．6 C．3 B．2 3 D．3 3
.
15．过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4，则|AB|= . 1 16． 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足： f ( x) f ( x) x2 , 当 x＜0 时， f ( x ) ＜x ,则不等式 f ( x ) + ≥ 2
-5-
z A1 C1
B1
A
O x
C
y
B
（Ⅱ）以 OC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz， 则 A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C1(0，2， 3)． → →＝CC → ＝(0，1， 3)， AB ＝(2，2，0)，BB
河北省唐山市2013届高三第一次模拟考试数学理 扫描版含答案.pdf
（18）解： （Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X（元）． X的可能值为200，240，280，320，360．X的分布列为 X200240280320360P0.250.50.150.050.05X的均值为 E(X)＝200×0.25＋2400.5＋2800.15＋320＋360)×0.05＝246…5分 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 E(8000X)＝8000E(X)＝1968000（元）．…7分 （）60≤t≤100时，y＞300． 1名职工中路途补贴超过300元的概率p＝P(60≤t≤100)＝0.1，…8分 记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，则 P(A)＝C×0.12×0.92＋×0.13×0.9＋0.14＝0.0523…12分 （19）解： （Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA． 又∠APD＝⊥PD，而CD∩PD＝D，所以PA⊥平面PCD． 因为PA(平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．…4分 （20）解： （Ⅰ）由得(1＋4k2x2＋＋m2－1＝0 由于l与C1有唯一的公共点A，故Δ1＝64k2m2－16(1＋4k2m2－1＝0 从而m2＝1＋4k2．①…2分 由得(1＋k2x2＋2＋m2－r2＝0 由于l与C2有唯一的公共点B，故Δ2＝4k2m2－4(1＋k2m2－r2＝ 从而m2＝r2(1＋k2)．②…4分 由①②）得k2＝． 由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2)．…6分 （注：由图形直接看出r取值范围而未做代数推理的只给1分A(x1，y1)，B(x2，y2)，由（Ⅰ）的解答可知 x1＝－＝－＝－ |AB|2＝1＋k2(x2－x12＝ (1＋k2)＝k2·(4－r22 ＝·(4－r2＝ 所以|AB|2＝－(r2＋)≤r＜2…10分 因为r2＋≥22＝＝ 所以当r＝2＋y2＝2．…12分 （23）解： （Ⅰ）依题意， |OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos(φ＋)，|OC|＝4(φ－)，…2分 则|OB|＋|OC|＝4(φ＋)＋4cos(φ－) ＝(cosφ－φ)＋(cosφ＋sinφ)＝4cosφ， ＝|OA|．…5分 （Ⅱ）当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为(2，)，(2，－)． 化为直角坐标为B(1，)，C(3，－)． …7分 C2是经过点(m，0)，倾斜角为α的直线， 又经过点B，C的直线方程为y＝－(x－2)…9分 所以m＝α＝．…10分。
2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题04 平面向量(理)(预测)
(一)选择题（12*5=60分）1.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知平面向量a ()1,2=-，b()4,m =，且a b ⊥ ，则向量53a b -=( )A. (7,16)--B.(7,34)--C.(7,4)--D.(7,14)-2. 【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】已知点(6,2)A ，(1,14)B ，则与AB共线的单位向量为（ ）A ．125(,)1313-或125(,)1313- B ．512(,)1313- C ．512(,)1313-或512(,)1313- D ．512(,)1313-3. 【河南中原名校2013－2014学年上学期期中联考】已知向量a r＝（cosθ，sinθ），向量b r1）,则｜2a r －b r｜的最大值与最小值的和是（ ）A ．B ．6C ．4D ．16 【答案】C 【解析】因为|2|a b -===，故其最大值为416=，最小值为088=+-，它们的和为4，选C.4．【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学】 已知()211||1,22a ab a b=⋅=-= ，,则a 与b 的夹角等于（ ） A ．30°B.45°C. 60°D. 120°5．【山东省青岛市2014届高三上学期期中考试】向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos()2πα+=（ ）A.13 B. 13-C. 3-D. 3-6．【河北衡水中学2014届高三上学期期中考试】平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ）B. C.4D.127．【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学】在平面直角坐标系中，A ，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．【山东省青岛市2014届高三上学期期中考试】设a 、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ）A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥9．【河北衡水中学2013～2014学年度上学期二调高三数学试卷】在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则⋅的值等于（ ）A ．0B ．49C ．4D ．49-10．【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】在等比数列{}n a 中，7a 是89,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：OAB ∆（O 为原点）中，(1,1)OA = ，(2,)OB q =，A∠为锐角，则公比q 等于（ ）A ．1B ．－1C ．－2D ．12-11．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学】已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++= ，则 OC AB ⋅的值为（ ）A. 15-B. 15C. 65-D.6512．【浙江省温州八校2014届高三上学期期初联考数学试题】ABC ∆的三个内角A 、B 、C成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，则ABC ∆一定是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．非等边锐角三角形D ．钝角三角形（二） 填空题（4*5=20分）13．【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足→PC ＝2→BP ，则→AB ·→AP ＝ ．14．【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学】P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足02=++PC PB PA ，若ABC ∆的面积为1，则ABP ∆的面积为__________.15．【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学】在平面四边形ABCD 中，点F E ,分别是边BC AD ,的中点，且2=AB ，1=EF ，3=CD ．若15=⋅BC AD ，则BDAC ⋅的值为____ ．16．【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.因2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=- 可求得1<24BC AD -≤⋅ .（三）解答题（10+5*12=70分）17. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||c =//c a ，求：c 的坐标（2）若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角18. 【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题】 已知)),1(),-1,0(),1,-1(R m mOC OB OA ∈===（． （1）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值；（2）证明：对任意实数m ，恒有 1CA CB ⋅≥成立所以恒有1CA CB ⋅≥.19．【山东省文登市2014届高三上学期期中统考】已知()2c o s ,2s i n a αα= ，()cos ,sin b ββ=，02αβπ<<<. （1）若a b ⊥，求2a b - 的值；（2）设()2,0c = ，若2a b c +=，求α、β的值.20．【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，0βαπ<<<.（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求α，β的值.21．【苏州市2014届高三暑假自主学习测试】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．22.【2013---2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考】已知向量22,cos )m x x =+ ，(1,2cos )n x =，设函数n m x f ⋅=)(，x ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期与最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中， c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值.（四）附加题（15分）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上两点，直线AB 过焦点F ，交抛物线与,A B 两点（1） 求OA OB ⋅的值；（2） 过点,A B 分别作抛物线的切线，设两切线交点为P ，求FP AB ⋅ ；第11 页共11 页。
河北省唐山市2013届高三数学第一次模拟考试 理 新人教A版(含解析)
2013年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）（2013•唐山一模）设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据题目给出的集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，由并集的概念直接得到集合B的可能情况．解答：解：由集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，所以B={1，3，4}或B={2，3，4}或B={3，4}或B={1，2，3，4}共4种可能．所以满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是4．故选C．点评：本题考查了并集的概念，考查了子集与并集的运算转换，是基础题．2．（5分）（2013•唐山一模）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|=（）A．B．13 C．10 D．考点：复数求模．专题：计算题．分析：把给出的复数化简，然后由是不等于0，虚部不等于0求解a的值，最后代入模的公式求模．解答：解：由=．因为复数为纯虚数，所以，解得a=2．所以|3﹣ai|=|3﹣2i|=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）（2013•唐山一模）已知，则tan2α=（）C．D．﹣．A．B．﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：先根据α的范围和特殊角的三角函数求出α=，即可求出tan2α的值、解答：解：∵cos（α+）=α∈（0，π）∴α+=解得α=∴tan2α=tan=故选：A．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．4．（5分）（2013•唐山一模）求三个不相等的实数a，b，c最大值的程序框图如图所示，则空白判断框内应为（）A．a＞b？B．a＞c？C．d＞b 或 a＞c？D．a＞b 且 a＞c？考点：选择结构．专题：计算题；概率与统计．分析：分析题中的程序框图，可得在第1步比较大小时，如果条件成立输出a，说明此时a是3个数中的最大值，由此可得空白判断框内应填上“a＞b 且 a＞c？”，得到本题答案．解答：解：由题意，程序求a，b，c中的最大值第1步，比较a与b、c的大小，当a比b、c都大时，输出a的值；当a不能比b、c都大时，进入第2步；第2步，由于a不是最大值，所以比较b、c的大小当b＞c时，输出b；当b＜c时，输出c综上所述，空白判断框内应填上：a＞b 且 a＞c？故选：D点评：本题给出3个数比较大小的程序框图，求空白处应该填上的内容．着重考查了分段函数的对应法则和选择结构的理解等知识，属于基础题．5．（5分）（2013•唐山一模）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，根据=﹣6，求出cosθ 的值，即可求得与的夹角θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，由||=1，||=2，=+﹣2=1+1×2×cosθ﹣2×4=﹣6，可得cosθ=．再由0≤θ≤π可得θ=，故选C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．6．（5分）（2013•唐山一模）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移．个单位考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．解答：解：依题意，f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）（2013•唐山一模）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，可得结论．解答：解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为：=36﹣6=30故选B点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）（2013•唐山一模）不等式组，表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．1C．2D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．解答：解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为，设C（m，m+1），则S AODC﹣S ABO﹣A BCD=S△ABC，即（1+m+1）m﹣﹣=解得m=5，∴C的坐标为（5，6），代入ax﹣y﹣2a=0，得a=2．故选C．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．9．（5分）（2013•唐山一模）如图1，边长为2的d正方形ABCD中，E，F 分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF折起，使A，C，B二点重合于G，所得二棱锥G﹣DEF的俯视图如图2，则其正视图的面积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意知，所得三棱锥G﹣DEF的三个侧面两两垂直，它的正视图为一个等腰三角形，底边长为EF 的长，高是原三棱锥G﹣DEF的高，即可求出正视图的面积．解答：解：由题设条件，所得三棱锥G﹣DEF的三个侧面两两垂直，它的正视图为一个等腰三角形，底边长为EF的长，高是原三棱锥G﹣DEF的高，设正视图中三角形的高为h，由体积法得：=S△GEF×DG，即××××h=×1×1×2，∴h=，则其正视图的面积为==．故选B．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三视图中的正视图面积，解决本题的关键是由题设条件得出正视图的形状及正视图的几何特征．求解本题的关键是准确熟练理解三视图的投影规则，其规则是：主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．10．（5分）（2013•唐山一模）己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．解答：解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，即km＜1．，．由y2=4x得其焦点F（1，0）．由，得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2）．所以，由①得，x1+2x2=3 ③由②得，．所以m=﹣k．再由，得，所以x1+1=2（x2+1），即x1﹣2x2=1④联立③④得．所以=．把m=﹣k代入得，解得，满足mk=﹣8＜1．所以．故选A．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是利用向量关系得到两个交点A，B的坐标的关系，同时灵活运用了抛物线的定义，属中高档题．11．（5分）（2013•唐山一模）x0函数f（x）=2sinx﹣πlnx（x∈（O，π））的零点，x1＜x2，则①x0∈（1，e）；②x0∈（1，π）；③f（x1）﹣f（x2）＜0；④f（x1）﹣f（x2）＞0．其中正确的命题为（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．分析：根据端点函数值的正负，根据函数的零点判定定理判断是否存在零点，来判断①②是否正确；求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，来判断③④是否正确．解答：解：∵f（1）=2sin1﹣πln1=2sin1＞0，f（e）=2sine﹣π＜0，∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，又∵f′（x）=2cosx﹣，当x∈（0，]时，2cosx＜2，＞2，∴f′（x）＜0；当x∈（，π）时，cosx＜0，∴f′（x）＜0，∴函数在（0，π）上是减函数，故①④正确．故答案是①④．点评：本题借助考查命题的真假判断及应用，考查函数的零点判定及利用导数判定函数的单调性．12．（5分）（2013•唐山一模）三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分的体积等于（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：可得四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体GABC，由已知数据结合三棱锥的体积公式可得答案．解答：解：由题意三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，如图：连接AB1与A1B交于M，AC1与A1C交于N，连接CM，BN交与G，由已知数据可得A1M=MB=A1N=NC=3，GB=GC=CM==4，所以G到平面ABC的距离h==2四面体A1ABC，B1ABC的公共部分为四面体NABC，四面体B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体MABC可知四面体A1ABC，B1ABC，C1ABC的公共部分为四面体GABC，可得其体积为：V=S ABC×h=9×2=6故选D点评：本题考查三棱锥（四面体）的体积，得出公共部分为四面体GABC是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.13．（5分）（2013•唐山一模）不等式的解集为（1，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：化简所给的不等式可得 52x﹣4•5x﹣5＞0，即（5x﹣5）（5x+1）＞0，解得 5x＞5，由此求得不等式的解集．解答：解：由不等式，可得 25x﹣1＞4•5x+4，化简可得，52x﹣4•5x﹣5＞0，即（5x﹣5）（5x+1）＞0，解得 5x＞5，或5x＜﹣1 （舍去）．由5x＞5，可得 x＞1，故不等式的解集为（1，+∞），故答案为（1，+∞）．点评：本题主要考查分式不等式、指数不等式以及一元二次不等式的解法，属于中档题．14．（5分）（2013•唐山一模）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率其焦点到渐近线的距离为1，则C的方程为﹣y2=1 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的方程为，取其焦点F（c，0），一条渐近线方程．利用点到直线的距离公式可得，及c2=a2+b2，即可得出．解答：解：设双曲线的方程为，取其焦点F（c，0），一条渐近线方程．则，化为b=1．联立，解得故C的方程为．故答案为．点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式是解题的关键．15．（5分）（2013•唐山一模）1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N（100，100），则成绩在120分以上的考生人数约为23 ．（注：正态总体N（μ，σ2）在区．间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0，997）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：根据正态分布，求出μ=100，σ=10，在区间（80，120）的概率为0.954，由此可求成绩在120分以上的考生人数解答：解：由题意，μ=100，σ=10，在区间（80，120）的概率为0.954∴成绩在120分以上的概率为=0.023∴成绩在120分以上的考生人数约为1000×0.023=23故答案为：23点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2013•唐山一模）△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则 cosA+cosC= ．考点：等差数列的性质；解三角形．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得 2b=a+c，设C为最大角，则A为最小角，可得C=2A，且 0＜A＜．再由正弦定理可得2sin3A=sinA+sin2A，化简可得 2cosA=5﹣8sin2A=5﹣8（1﹣cos2A ），解得cosA 的值，即可得到cosA+cosC的值．解答：解：△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．设C为最大角，则A为最小角，再由最大角是最小角的2倍，可得C=2A，且 0＜A＜．再由正弦定理可得 2sinB=sinA+sin2A，∴2sin（π﹣3A）=sinA+sin2A，即2sin3A=sinA+sin2A，2（3sinA﹣4sin3A）=sinA+2sinAcosA，化简可得 2cosA=5﹣8sin2A=5﹣8（1﹣cos2A ），解得cosA=，cosA=﹣（舍去）．则 cosA+cosC=cosA+cos2A=cosA+2cos2A﹣1=+2×﹣1=，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，正弦定理、倍角公式的应用，属于中档题．三、解答题：其中（17）-（21）题为必考题，.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•唐山一模）已知等比数列{a n}满足（I）求{a n}的通项公式；（II）设，求数列的前n项的和．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等比数列的通项公式及已知即可解得a1及q，即可得到a n；（II）对于b n提取n+1，再利用裂项求和即可得出b n，即可得到=n•（﹣3）n﹣1．再利用错位相减法及等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设a n=a1q n﹣1，依题意，有解得a1=1，q=﹣．∴a n=（﹣）n﹣1．（Ⅱ）b n=++…+=（n+1）[++…+]=（n+1）[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=n．∴=n•（﹣3）n﹣1．记数列{}的前n项的和为S n，则S n=1+2×（﹣3）+3×（﹣3）2+…+n×（﹣3）n﹣1，﹣3S n=﹣3+2×（﹣3）2+3×（﹣3）3+…+n×（﹣3）n，两式相减，得4S n=1+（﹣3）+（﹣3）2+…+（﹣3）n﹣1﹣n×（﹣3）n=﹣n×（﹣3）n，故S n=．点评：熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和、错位相减法是解题的关键．18．（12分）（2013•唐山一模）某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25 50 15 5 5公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：（I）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；（II）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少冇两名路途补贴超过300 元的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）确定一名职工所享受的路途补贴的可能取值，求出相应的概率与分布列，可得均值，即可估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；（II）求出1名职工中路途补贴超过300元的概率，利用互斥事件的概率公式，可求随机选取四名职工，至少有两名路途补贴超过300 元的概率．解答：解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X（元）．X的可能值为200，240，280，320，360．X的分布列为X 200 240 280 320 360P 0.25 0.5 0.15 0.05 0.05X的均值为E（X）=200×0.25+240×0.5+280×0.15+（320+360）×0.05=246．…（5分）该公司每月用于路途补贴的费用总额约为E（8000X）=8000E（X）=1968000（元）．…（7分）（Ⅱ）依题意，当60≤t≤100时，y＞300．1名职工中路途补贴超过300元的概率P=P（60≤t≤100）=0.1，…（8分）记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A，则P（A）=×0.12×0.92+×0.13×0.9+0.14=0.0523．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列与均值，考查互斥事件的概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2013•唐山一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性质及侧面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，进而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可证明平面PAB⊥平面PCD．（II）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．又∠APD=，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．由PA⊥PD，=（0，﹣a，﹣b），=（0，2﹣a，﹣b），得﹣a（2﹣a）+b2=0．①因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2﹣a）2+b2．②由①，②得a=1，b=1．由（Ⅰ）知，=（0，﹣1，﹣1）是面PCD的一个法向量．设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，又=（2，﹣1，﹣1），=（0，2，0），所以取=（1，0，2）．因为cos＜，＞=﹣，又二面角B﹣PC﹣D为钝角，所以二面角B﹣PC﹣D的余弦值﹣．点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求二面角的余弦值等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．（12分）（2013•唐山一模）已知椭圆C1：和动圆，直线l：y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．（I）求r的取值范围；（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，联立直线方程和圆的方程，由直线和椭圆及直线和圆都有唯一公共点，利用判别式等于0得到k与r的关系k2=，由k2≥0求解r的取值范围；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A，B两点的横坐标，写出AB两点间的距离，利用k，m，r之间的关系把两点间的距离转化为含有r的函数式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此时圆 C2的方程．解答：解：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0，从而m2=1+4k2 ①由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0，从而m2=r2（1+k2）②由①、②得k2=．由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知x1=﹣=﹣，x2=﹣=﹣．|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）•=•k2•（4﹣r2）2=•（4﹣r2）2=，所以|AB|2=5﹣（r2+）（1≤r＜2）．因为r2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了数学转化思想方法及整体带代换能力，训练了学生的计算能力，考查了利用基本不等式求最值，属难题．21．（12分）（2013•唐山一模）己知函数f（x）=（mx+n）e﹣x在x=1处取得极值e﹣1（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；（II ）当．x∈（a，+∞）时，f（2x﹣a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由函数f（x）=（mx+n）e﹣x在x=1处取得极值e﹣1，得到f（1）=e﹣1，f′（1）=0，联立后求得m和n的值，则函数解析式可求，代入导函数后由导函数大于0和导函数小于0求得原函数的单调区间；（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x），求导后分析f′（x）的单调性，然后对a分类讨论，根据a的范围得到g′（x）的符号并判断g（x）的单调性，由单调性得到a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e﹣x，得f′（x）=﹣（mx+n﹣m）e﹣x．依题意，f（1）=e﹣1，f′（1）=0，即，解得m=1，n=0．所以f（x）=xe﹣x．f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x．当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以，函数f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；（Ⅱ）设g（x）=f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x），则g′（x）=2[f′（2x﹣a）﹣f′（x）]．设h（x）=f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x，则h′（x）=（x﹣2）e﹣x．当x∈（﹣∞，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．（1）若a≥2，则当x∈（a，+∞）时，2x﹣a＞x，h（2x﹣a）＞h（x），即f′（2x﹣a）＞2f′（x），所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）单调递增，此时g（x）＞g（a）=0，即f（2x﹣a）+f（a）﹣2f（x）＞0．（2）若a＜2，则当x∈（a，）时，2x﹣a＞x，h（2x﹣a）＜h（x），即f′（2x﹣a）＜2f′（x），所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）单调递减，此时g（x）＜g（a）=0．综上，a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．四、选做题：请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．（10分）（2013•唐山一模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAMM，交圆0于点D，过D作DE上MN于E．（I）求证：DE是圆O的切线：（II）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．考点：综合法与分析法(选修）．专题：计算题；证明题．分析：（I）连结OD，易证∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD，从而可证DE是圆O的切线；（II）由DE是圆O的切线，可得DE2=EA•EB，而DE=6，AE=3，从而可求得AB；又O到MN的距离等于D到MN的距离等于|BC|，从而可求得△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．因为∠EAD=∠OAD，所以∠ODA=∠EAD．…（2分）因为∠EAD+∠EDA=90°，所以∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD．所以DE是圆O的切线．…（4分）（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2=EA•EB，即62=3（3+AB），所以AB=9．…（6分）因为OD∥MN，所以O到MN的距离等于D到MN的距离，即为6；又因为O为AC的中点，C到MN的距离等于12 …（8分）故△ABC的面积S=AB•BC=54．…（10分）点评：本题考查综合法在证明中的应用，考查辅助线的添加，考查作图、推理与分析、运算的能力，属于中档题．23．（2013•唐山一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．己知曲线C1的极坐标方程为p=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤a＜π），射线与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（I ）求证：；（II ）当时，B，C两点在曲线C2上，求m与a的值．考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．解答：解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．24．（2013•唐山一模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=丨x﹣a丨+|x﹣1丨，a∈R．（I ）当a=3时，解不等式 f（x）≤4；（II）当x∈（﹣2，1））时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．求 a 的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（I ）当a=3时，f（x）=丨x﹣3丨+|x﹣1丨=，由 f（x）≤4即可求得不等式 f（x）≤4的解集；（II）由双绝对值的几何意义可得f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，分（x﹣1）（x﹣a）≥0与（x﹣1）（x﹣a）＜0讨论，即可求得当x∈（﹣2，1）时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|的 a 的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵a=3时，f（x）=丨x﹣3丨+|x﹣1丨=，∴当x＜1时，由f（x）≤4得4﹣2x≤4，解得x≥0；∴0≤x＜1；当1≤x≤3时，f（x）≤4恒成立；当x＞3时，由f（x）≤4得2x﹣4≤4，解得x≤4．∴3＜x≤4…（4分）所以不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，当（x﹣1）（x﹣a）≥0时，f（x）=|2x﹣a﹣1|；当（x﹣1）（x﹣a）＜0时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．…（7分）记不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为A，则（﹣2，1）⊆A，故a≤﹣2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查绝对值不等式的解法，通过对x的范围的“分类讨论”，去掉绝对值符号是关键，考查等价转化思想与方程思想的综合运用，属于中档题．附：高考各科的答题技巧解题方法1：调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
2014届河北省唐山市高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案)
21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) (1 x)e 1. .
x
（I）求函数 f ( x ) 的最大值； （Ⅱ）设 g ( x)
f ( x) , 证明 g ( x) 有最大值 g (t ) ，且-2＜t＜-1. x
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请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22． （本小题满分 10 分）选修 4―1:几何证明选讲 如图，AE 是圆 O 的切线，A 是切点，AD⊥OE 于 B、C 两点． （Ⅰ）证明：O，D，B，C 四点共圆； （Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC 的大小．
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12．各项均为正数的数列 {an } , {bn } 满足： an2 2an1 an , bn2 bn1 2bn (n N ) ， 那么 A． n N , an bn an1 bn1 C． m N , n m, an bn B． m N , n m, an bn D． m N , n m, an bn
(
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(
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7 3 又 h (－2)＝1－ 2＞0，h (－1)＝1－ ＜0，h (0)＝0， e e 所以 h (x)在(－2，－1)有一零点 t． 当 x∈(－∞，t)时，g (x)＞0，g (x)单调递增； 当 x∈(t，0)时，g (x)＜0，g (x)单调递减． „10 分 由（Ⅰ）知，当 x∈(－∞，0)时，g (x)＞0；当 x∈(0，＋∞)时，g (x)＜0． 因此 g (x)有最大值 g (t)，且－2＜t＜－1． „12 分 （22）解： （Ⅰ）连结 OA，则 OA⊥EA．由射影定理得 EA2＝ED·EO． ED EC 由切割线定理得 EA2＝EB·EC，故 ED·EO＝EB·EC，即 ＝ ， BD EO 又∠OEC＝∠OEC，所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE． 因此 O，D，B，C 四点共圆． „6 分
【KS5U首发】河北省唐山市2013届高三摸底考试(数学理)答案
唐山市2012—2013学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ADCBD AABCC DBB 卷：CDABD ADBCB AC 二、填空题：（13）(－1，0)∪(0，2] （14）17 （15）6（16）－272三、解答题： （17）解：（Ⅰ）a 1＝S 1＝ 27(81－1)＝2．…1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ 2 7(8n －1)－ 2 7(8n －1－1)＝23n －2．当n ＝1时上式也成立，所以a n ＝23n －2（n ∈N *）． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n ＝log 223n －2＝3n －2， …7分 所以 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝ 1 3[(1－ 1 4)＋( 1 4－ 1 7)＋…＋(13n －2－13n ＋1)]＝ 1 3(1－13n ＋1)＝n 3n ＋1． …12分（18）解：（Ⅰ）如图，以A 为原点，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系． 设AA 1＝a （a ＞0），依题意得B 1(32，－ 12，a )，A (0，0，0)，C (0，1，0)．B 1C →＝(－32， 32，－a )，A 1C 1→＝AC →＝(0，1，0)，由异面直线B 1C 与A 1C 1所成的角为60︒，知 |cos 〈B 1C →，A 1C 1→〉|＝|B 1C →·A 1C 1→|___________|B 1C →||A 1C 1→|＝323＋a 2＝ 12，解得a ＝6． …4分 所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝ 1 2AB ·AC sin 120︒·AA 1＝ 1 2×1×1×32×6＝324．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B 1C →＝(－32， 32，－6)．设n ＝(x ，y ，z )为面ACB 1的法向量，则n ·AC →＝0，n ·B 1C →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－32x ＋ 3 2y －6z ＝0． 取z ＝1，得x ＝－22，于是n ＝(－22，0，1)． …9分又m ＝(0，0，1)为面ACB 的一个法向量，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝ 13．因此二面角B 1-AC -B 的余弦值为 13． …12分 （19）解：（Ⅰ）依题意，⎩⎨⎧0.5＋a ＋b ＝1，0.5＋2a ＋3b ＝1.7．解得a ＝0.3，b ＝0.2． …4分 （Ⅱ）Y 的所有可能取值为0，100，200，300，400，600． P (Y ＝0)＝0.22＝0.04，P (Y ＝100)＝C 120.2×0.3＝0.12，P (Y ＝200)＝0.32＝0.09，P (Y ＝300)＝C 120.2×0.5＝0.2，P (Y ＝400)＝C 120.3×0.5＝0.3，P (Y ＝600)＝0.52＝0.25． …8分 Y 的分布列为…10分E (Y )＝0×0.04＋＝360（元）． …12分（20）解：（Ⅰ）根据题意，|y －3|＝3·x 2＋(y －1)2． 化简，得曲线E 的方程为3x 2＋2y 2＝6． …4分 （Ⅱ）直线l 方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (2k 2＋3)x 2＋4kx －4＝0． …6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k2k 2＋3， ①x 1x 2＝－42k 2＋3． ②AF →＝λFB →即(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝－λx 2．③ 由①②③，得 1 2＋34k 2＝λ(λ－1)2＝1(λ－1λ)2．…9分因为2≤λ≤3，所以22≤λ－1λ≤233，从而 34≤1(λ－1λ)2≤2， 解不等式 3 4≤ 1 2＋34k 2≤2，得 12≤k 2≤3．故k 的取值范围是[－3，－22]∪[22，3]． …12分（21）解：（Ⅰ）当b ＝0时，f (x )＝x 3＋cx ＋d ，f '(x )＝3x 2＋c ． f (0)＝d ，f '(0)＝c ． …2分曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线为y ＝cx ＋d ． 由⎩⎨⎧y ＝x 3＋cx ＋d ，y ＝cx ＋d ，消去y ，得x 3＝0，x ＝0． 所以曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线只有一个公共点即切点． …5分（Ⅱ）由已知，切点为(1，1)． 又f '(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，于是 ⎩⎨⎧f (1)＝1，f '(1)＝－12，即⎩⎨⎧1＋b ＋c ＋d ＝1，3＋2b ＋c ＝－12，得c ＝－2b －15，d ＝b ＋15．从而f (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15． …8分 由⎩⎨⎧y ＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15，12x ＋y －13＝0，消去y ，得x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝0． 因直线12x ＋y －13＝0与曲线y ＝f (x )只有一个公共点(1，1)， 则方程x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝(x －1)[x 2＋(b ＋1)x －b －2] ＝(x －1) (x －1) (x ＋b ＋2) 故b ＝－3． …10分于是f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋12，f '(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x分 （22）解：（Ⅰ）由已知及由切割线定理，有AB 2＝AD ·AE ＝ 1 3AC · 23AC ，所以AC 2＝ 92AB 2． …3分由勾股定理得，BC ＝AC 2－AB 2＝7．…5分（Ⅱ）设圆O 与BC 的交点为F ，圆O 的半径为r ．由割线定理，得CF ·CB ＝CE ·CD ＝ 1 3AC · 23AC ＝AB 2，…8分 即(7－2r )×7＝14，解得r ＝ 52．…10分（23）解：（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程化为ρ＝sin θ＋3cos θ， 两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsin θ＋3ρcos θ，则曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋3x ，即x 2＋y 2－3x －y ＝0． …3分曲线C 2的极坐标方程化为 1 2ρsin θ＋32ρcos θ＝4，则曲线C 2的的直角坐标方程为 1 2y ＋32x ＝4，即3x ＋y －8＝0． …6分（Ⅱ）将曲线C 1的直角坐标方程化为(x －32)2＋(y － 12)2＝1，它表示以(32， 12)为圆心，以1为半径的圆． 该圆圆心到曲线C 2即直线3x ＋y －8＝0的距离d ＝|3×32＋ 12－8|2＝3， …8分 所以|AB |的最小值为2．…10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ≥2．其图象如下：…3分当x ＝ 12时，f (x )＝0．当x＜12时，f(x)＜0；当x＞12时，f(x)＞0．所以a＝0．…6分（Ⅱ）不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m．因为f(x)的最小值为－3，所以问题等价于－3＜m2－4m．解得m＜1，或m＞3．故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．…10分。
河北省唐山市2014届高三9月摸底考试数学理试卷Word版含答案
河北省唐山市2014届高三年级摸底考试数学（理）试题说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第II 卷．第Ⅰ卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分。
2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。
4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知复数z 满足z （1+i ）=i ，则复数z 的共轭复数为 A ．1122i + B ．1122i - C ．1+i D ．1-i2．设U=R ，已知集合A={x|x >1}，B={x|x >a}，且（U A ð）B R =，则实数A 的 取值范围是A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞3．已知点A （6，2），B （l ，14），则与AB 共线的单位向量为 A ．512512,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 B ．512,1313⎛⎫-⎪⎝⎭C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．512,1313⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知sin2a=13，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A ．23 B ．23-C ．13D ．13-5．执行右面的程序框图，那么输出S 的值为 A ．9 B ．10 C ．45 D ．556．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5=13，S 15=63，则S 20=A ．100B ．90C ．120D ．1107．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为A ．B ．C ．24D ．8．已知双曲线2222x y a b-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F l ，F 2，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ． 22143x y -=9．直三棱柱ABC －A 1B 1 C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB=BC=1, ∠ABC=120o ，AA 1，则球O 的表面积为A ．4πB ．16πC ．24πD ．8π10．设函数f （x ）=x 2－23x+60, g （x ）=f （x ）+|f （x ）|，则g （1）+g （2）+…+g （20）= A ．0 B ．38 C ． 56 D ．11211．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为 A ．23B ．59C ．19D ．1312．设x ，y ∈R ，则(3－4y －cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为 A ．4 B ．5 C ．16 D ．25第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上． 13．过坐标原点与曲线y=lnx 相切的直线方程为 。
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河北省唐山市2013－2014学年度高三年级摸底考试数学（理）试题说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第II 卷．第Ⅰ卷为选择题；第II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分。
2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。
4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知复数z 满足z （1+i ）=i ，则复数z 的共轭复数为 A ．1122i + B ．1122i - C ．1+i D ．1-i2．设U=R ，已知集合A={x|x >1}，B={x|x >a}，且（U A ð）B R = ，则实数A 的 取值范围是A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞3．已知点A （6，2），B （l ，14），则与AB共线的单位向量为A ．512512,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 B ．512,1313⎛⎫-⎪⎝⎭C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．512,1313⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知sin2a=13，则cos 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A ．23 B ．23-C ．13D ．13-5．执行右面的程序框图，那么输出S 的值为 A ．9 B ．10 C ．45 D ．556．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5=13，S 15=63，则S 20=A ．100B ．90C ．120D ．1107．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为A ．B ．C ．24D ．8．已知双曲线2222x y a b-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F l ，F 2，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ． 22143x y -=9．直三棱柱ABC －A 1B 1 C 1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB=BC=1, ∠ABC=120o ，AA 1，则球O 的表面积为A ．4πB ．16πC ．24πD ．8π10．设函数f （x ）=x 2－23x+60, g （x ）=f （x ）+|f （x ）|，则g （1）+g （2）+…+g （20）= A ．0 B ．38 C ． 56 D ．11211．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长大于1的概率为 A ．23B ．59C ．19D ．1312．设x ，y ∈R ，则(3－4y －cosx)2+(4+3y+sinx)2的最小值为 A ．4 B ．5 C ．16 D ．25第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上． 13．过坐标原点与曲线y=lnx 相切的直线方程为 。
14．抛物线y 2=2px （p>0）的准线截圆x 2+y 2－2y －1=0所得弦长为2，则p= 。
15．若存在正数x ，使2x +a>4x 成立，则实数a 的取值范围是 。
16．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，2132n n n a a a ++=-，则{a n }的前n 项和S n = 。
三、解答题：本大题共70分，其中17—21题为必考题，22，23，24题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．己知csin A= acos C ．（I ）求C;（II ）若sin sin()3sin 2,C B A A +-= 求△ABC 的面积。
从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到频率分布直方图如下：（I）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（II）以上述样本的频率作为概率，从该校高三学生中有放回地抽取3人，记抽到的学生成绩不低于90分的人数为X;求X的分布列和期望．19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD、ADEF、ABGF均为全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．（I）求证：CE∥平面ABGF;（II）求二面角G-CE-D的余弦值。
20．（本小题满分12分）已知点M是椭圆C：2222x ya b=1(a>b>0)上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2 =60o，∠F1 MF2（I）求椭圆C的方程；( II)设N(0，2)，过点p（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．已知函数f （x ）=21n x －ax+a （a ∈R ）． （I ）讨论f （x ）的单调性；（II ）若f （x ）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，21211()()121f x f x x x x ⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1:几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ． （I ）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆； （II ）证明：AC 2+BF·BM=AB 2．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为122,(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos .ρθθ=（I ）求C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求弦长|AB|． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)=|x+l|－|x －2|．（I ）求不等式f （x ）≥2的解集； （II ）若不等式f （x ）≤|a －2|的解集为R ，求实数a 的取值范围．参考答案（18）解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40＋0.0075×20×60＋0.0075×20×80＋0.0150×20×100＋0.0125×20×120＋0.0025×20×140＝92．…5分（Ⅱ）样本中成绩不低于90分的频率为0.0150×20＋0.0125×20＋0.0025×20＝0.6，所以从该校高三学生中随机抽取1人，分数不低于90分的概率为0.6．…7分由题意，X～B(3，0.6)，P(X＝k)＝C k30.6k0.43－k（k＝0，1，2，3），其概率分布列为：…10分X的期望为E(X)＝3×0.6＝1.8．…12分（19）解：（Ⅰ）连结BF，由题意，可知BC∥=EF，故四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF．又CE⊂/平面ABGF，BF⊂平面ABGF，所以CE∥平面ABGF．…5分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝2－axx，x ＞0．若a ≤0，f '(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上递增；若a ＞0，当x ∈(0，2a )时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(2a，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a ≤0，f (x )在(0，＋∞)上递增， 又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立．若a ＞2，当x ∈(2a，1)时，f (x )递减，f (x )＞f (1)＝0，不合题意．若0＜a ＜2，当x ∈(1， 2a)时，f (x )递增，f (x )＞f (1)＝0，不合题意．若a ＝2，f (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减， f (x )≤f (1)＝0，合题意．故a ＝2，且ln x ≤x －1（当且仅当x ＝1时取“＝”）．…8分当0＜x 1＜x 2时，f (x 2)－f (x 1)＝2ln x 2x 1－2(x 2－x 1)＋2＜2(x 2x 1－1)－2(x 2－x 1)＋2＝2(1x 1－1)(x 2－x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜2(1x 1－1)．…12分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2．…2分当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；。