第9章习题答案

习题9

1.下列集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？

(1)L＝{1，2，3，4，5}。

(2)L＝{1，2，3，4，6，9，12，18，36}。

(3)L＝{1，2，22，…，2n}。

(4)L＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。

解 (1)、(3)、(4)不是格。(2)是格。

2.设是格，证明：若a b c，则

(1)a∨b＝b∧c。

(2)(a∧b)∨(b∧c)＝(a∨b)∧(b∨c)。

证明 (1)由a b得a∨b＝b，而由b c得b∧c＝b，所以a∨b＝b∧c。

(2)因为(a∧b)∨(b∧c)＝(a∧b)∨b＝b，而由a∨b＝b和b∨c＝c得(a∨b)∧(b∨c)＝b∧c＝b，所以(a∧b)∨(b∧c)＝(a∨b)∧(b∨c)。

3.设是格，证明：对任意的a、b、c∈L，则((a∧b)∨(a∧c))∧((a∧b)∨(b∧c))＝a∧b。

证明由格的基本性质，有a∧b (a∧b)∨(a∧c)和a∧b (a∧b)∨(b∧c)，从而可得a∧b ((a ∧b)∨(a∧c))∧((a∧b)∨(b∧c))。

由于a∧b a和a∧c a，得(a∧b)∨(a∧c) a。同理可得(a∧b)∨(b∧c) b。于是((a∧b)∨(a ∧c))∧((a∧b)∨(b∧c)) a∧b。

综上可得((a∧b)∨(a∧c))∧((a∧b)∨(b∧c))＝a∧b。

4.完成定理9.2的证明。

证明首先证明 是一个偏序关系。

由于∨和∧满足吸收律，所以对于任意a、b∈L，有a∨(a∧b)＝a(1)和a∧(a∨b)＝a (2)，将(2)中的b取为a∧b得a∧(a∨(a∧b))＝a，再由(1)，即得a∧a＝a。所以a a，故 是自反的。

设a b，b c，则a∧b＝a，b∧c＝b，因为a∧c＝(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)＝a∧b＝a，所以a c，故 是传递的。因此， 是一个偏序关系。

其次证明a∧b是a和b的最大下界。

由于(a∧b)∧a＝a∧b，(a∧b)∧b＝a∧b，所以a∧b a，a∧b b，即a∧b是a和b的下界。

设c是a和b的任一下界，即c a，c b，那么就有c∧a＝c，c∧b＝c，而c∧(a∧b)＝(c∧a)∧b ＝c∧b＝c，所以c a∧b。故a∧b是a和b的最大下界。

最后再证a∨b是a和b的最小上界。

由于(a∨b)∨a＝a∨b，(a∨b)∨b＝a∨b，所以a a∨b，b a∨b，即a∨b是a和b的上界。

设c是a和b的任一上界，即a c，b c，那么就有c∨a＝c，c∨b＝c，而c∨(a∨b)＝(c∨a)∨b ＝c∨b＝c，所以a∨b c。故a∨b是a和b的最小上界。

因此，是格。

5.完成定理9.6未给出的证明。

证明因为a a，a 1，所以a a∧1，又因为a∧1 a，因此，a∧1＝a。

因为a∨1∈L，而1是L的全上界，故a∨1 1。由∨的定义有1 a∨1。由 的反对称性得a∨1＝1。

因为a a，0 a，所以a∨0 a，又因为a a∨0，因此，a∨0＝a。

6.设是格，证明：为分配格⇔对于任意的a、b、c∈L，有(a∨b)∧c a∨(b∧c)。

证明设为分配格。由(a∧c) a和(b∧c) (b∧c)可得(a∧c)∨(b∧c) a∨(b∧c)，所以(a∨b)∧c a∨(b∧c)。

反之，若对于任意的a、b、c∈L，有(a∨b)∧c a∨(b∧c)。则(a∨b)∧c＝((b∨a)∧c)∧c (b∨(a∧c))∧c(由已知条件)＝((a∧c)∨b)∧c (a∧c)∨(b∧c)(由已知条件)。又由(a∧c) (a∨b)∧c和(b∧c) (a∨b)∧c得(a∧c)∨(b∧c) (a∨b)∧c。于是有(a∨b)∧c＝(a∧c)∨(b∧c)。

又(a∨c)∧(b∨c)＝((a∨c)∧b)∨((a∨c)∧c)

＝(a∧b)∨(c∧b)∨(a∧c)∨(c∧c)

＝(a∧b)∨(c∧b)∨(a∧c)∨c

＝(a∧b)∨c

故为分配格

7.设A＝和B＝是两个格，f是A到B的同态映射，证明A的同态像(即f(L1)＝{f(x)|x∈L1})是B的子格。

证明显然f(L1)非空。

任意的f(x)、f(y)∈f(L1)，其中x、y∈L1，由f是同态映射，有

f(x)∨2f(y)＝f(x∨1y)∈f(L1)

f(x)∧2f(y)＝f(x∧1y)∈f(L1)

所以f(L1)对L2中运算∨2、∧2封闭，故A的同态像是B的子格。

8.设f是格到格的双射，证明：f是格同构⇔对∀a、b∈L，有a 1b⇔f(a) 2f(b)。

证明设f是格到格的格同构，格和诱导的代数系统记为和。对∀a、b∈L，若a 1b，则a∧1b＝a，f(a∧1b)＝f(a)，f(a)∧2 f(b)＝f(a)，故f(a) 2f(b)。

反之，设f(a) 2f(b)，则f(a)∧2 f(b)＝f(a∧1b)＝f(a)，由于f是双射，所以a∧1b＝a，故a 1b。

设对∀a、b∈L，有a 1b⇔f(a) 2f(b)，设a∧1b＝c，则c 1a，c 1b，于是f(a∧1b)＝f(c)，f(c) 2f(a)。f(c) 2f(b)。故有f(c) 2 f(a)∧2f(b)。

设f(a)∧2f(b)＝f(d)，则f(c) 2 f(d)，f(d) 2 f(a)，f(d) 2 f(b)，故有d 1a，d 1b，于是d 1a ∧1b，即d 1c，所以f(d) 2 f(c)，因此f(c)＝f(d)，即f(a∧1b)＝f(a)∧2 f(b)。

类似可证f(a∨1b)＝f(a)∨2 f(b)。

因此，f是格同构。

9.D90表示90的全体因子的集合，包括1和90，D90与整除关系 构成格。

(1)画出格的哈斯图。

(2)计算6∨10、6∧10、9∨30和9∧30。

(3)求D90的所有含4个元素且包含1和90的子格。

解（1）格所对应的哈斯图如下：

（2）从图中可以看出6∨10＝30，6∧10＝2，9∨30＝90，9∧30＝3。

（3）通过对除去1、90之后的10个元素的二元素组合共2

C＝45个进行验证，可求得满足条件的子

10

格共有24个：{1，2，6，90}；{1，2，10，90}；{1，2，18，90}；{1，2，30，90}；{1，2，45，90}；{1，3，6，90}；{1，3，9，90}；{1，3，15，90}；{1，3，18，90}；{1，3，30，90}；{1，3，45，90}；{1，5，10，90}；{1，5，15，90}；{1，5，18，90}；{1，5，30，90}；{1，5，45，90}；{1，6，18，90}；{1，6，30，90}；{1，9，10，90}；{1，9，18，90}；{1，9，45，90}；{1，10，30，90}；{1，15，30，90}；{1，15，45，90}。

10.设S＝{1，2，4，6，9，12，18，36}，设D是S上的整除关系：∈D⇔y是x的倍数。

(1)证明D是一个偏序关系。

(2)试画出关系D的哈斯图，并由此说明是一个格。

(3)D是一个分配格吗？为什么？

(4)求集合{2，4，6，12，18}的下界、最大下界、最小元素及上界、最小上界和最大元素。

(5)中有多少个5个元素的子格。

解（1）因为对S上任一元素，都有x整除它自身，故D自反。对任意x、y∈S，若xDy且yDx，即

x整除y，y整除x，所以x＝y，从而D反对称。

对任意x、y、z∈S，若xDy且yDz，即x整除y，y整除z，所以x整除z，即xDz，故D传递。

综上可得，D是一个偏序关系。

（2）其哈斯图如图所示。由于任意两个元素均有最大下界和最小上界，故是格。

（3）D不是分配格，因为2∨(9∧6)＝2∨1＝2，而(2∨9)∧(2∨6)＝18∧6＝6，所以2∨(9∧6)≠(2∨9)∧(2∨6)。

（4）集合{2，4，6，12，18}的下界为1和2，最大下界为2，最小元为2；上界为36，最小上界为36；最大元不存在。

（5）中有5个元素的子格共有下面的13个：

{2，6，12，18，36}；{2，4，6，12，36}；{1，6，12，18，36}；{1，6，9，18，36}；{1，4，9，12，36}；{1，2，9，18，36}；{1，2，6，18，36}；{1，2，6，12，36}；{1，2，6，9，18}；{1，2，4，9，36}；{1，2，4，18，36}；{1，2，4，12，36}；{1，2，4，6，12}。

11.证明：格是分配格⇔对∀a、b、c∈L，有(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)＝(a∨b)∧(b∨c)∧(c ∨a)。

证明必要性。由格是分配格，则对∀a、b、c∈L，有

(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)＝(a∧b)∨((b∧c)∨c)∧((b∧c)∨a)) (分配率)

＝((a∧b)∨(b∧c)∨c)∧((a∧b)∨(b∧c)∨a)) (分配率)

＝((a∧b)∨c)∧((b∧c)∨a)) (交换率、吸收率)

＝(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)∧(c∨a) (分配率)

＝(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) (幂等率、交换率)

充分性。由已知条件，则对∀a、b、c∈L，有

(((a∨b)∧(a∨c))∧a)∨(a∧(b∨c))∨((b∨c)∧((a∨b)∧(a∨c)))＝(((a∨b)∧(a∨c))∨a)∨(a ∨(b∨c))∧((b∨c)∨((a∨b)∧(a∨c)))

这里(a∨b)∧(a∨c)、a、(b∨c)分别相当于式中的a、b、c。

而上式左端＝a∨(a∧(b∨c))∨((b∨c)∧(a∨b)∧(a∨c)) (吸收率)

＝a∨((a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)) (吸收率、交换率)

＝a∨((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) （已知条件）

＝a∨(b∧c) （吸收率、交换率）

因为a (a∨b)∧(a∨c)，故((a∨b)∧(a∨c))∨a)＝(a∨b)∧(a∨c)。

因为(a∨b)∧(a∨c) a∨b∨c，故((a∨b)∧(a∨c))∧(a∨b∨c)＝(a∨b)∧(a∨c)。

将上述两结果代入上式右端，再利用吸收率得

右端＝(a∨b)∧(a∨c)。

于是a∨(b∧c)＝(a∨b)∧(a∨c)。

由于分配率是对偶的，故只需要证明一个分配率，所以是分配格。

12.举出两个含有6个元素的格，其中一个是模格，另一个不是模格。

解 6元素的格有多种，其中有部分是分配格，从而是模格。

图中（1）、（2）是分配格，从而是模格。（3）不是分配格，也不是模格。（4）不是分配格，是模格。

13.所有链都是分配格。

解设是链，则是格。假设∧和∨是其运算。对 a、b、c∈L，只有以下两种情况：（1）a是三者中最大的，即b a，c a；

（2）a不是三者中最大的，即a b或a c。

对于情况（1），b∨c a，故a∧(b∨c)＝b∨c。显然a∧b＝b，a∧c＝c，所以a∧(b∨c)＝b∨c＝(a∧b)∨(a∧c)。

对于情况（2），a b∨c，而a∧b＝a或a∧c＝a，从而(a∧b)∨(a∧c)＝a，所以(a∧b)∨(a∧c)＝a＝a∧(b∨c)。

由于分配率是对偶的，故只需要证明一个分配率，所以是分配格。

14.证明：具有三个或更多元素的链不是有补格。

证明设具有三个或更多元素的链。

对任意a∈L，且a≠0，a≠1，如果a有补元b，即有a∨b＝1，a∧b＝0。因为L是链，必有a b

或b a。

若a b，则有a∧b＝a，与a≠0矛盾。

若b a，则有a∨b＝a，与a≠1矛盾。

矛盾表明a的补元b不存在。因此，这种链不是有补格。

15.请画出所有含有5个元素的互不同构的格，并指出其中哪些格是有补格，哪些是分配格，哪些是布尔格。

解含有5个元素的互不同构的格有5个，如下图所示。

其中（1）、（2）、（3）是分配格，（4）、（5）是有补格，无布尔格。

16.设D30＝{1，2，3，5，6，10，15，30}， 是整除关系，找出格中的所有原子，并找出一个含有4个元素的子格，使它不是布尔代数。

解D30的所有原子为：2，3，5。{1，2，10，30}是含有4个元素的子格，但它不是布尔代数，这是因为2的补元15不存在。

17.设是一布尔代数，在L上定义二元运算⊕为：a⊕b＝(a∧b)∨(a∧b)，证明是一个阿贝尔群。

证明由于∨、∧、这三个运算在L上都是封闭的，所以⊕在L上也是封闭的。

（1）对任意a、b、c∈L，(a⊕b)⊕c＝((a∧b)∨(a∧b))⊕c

＝(((a∧b)∨(a∧b))∧c)∨()

a∧

∨

∧∧c)

b

(

a

)

((b

＝(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)∨((a∨b)∧(a∨b)∧c)

＝(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)∨(((a∧b)∨(a∧b))∧c)

＝(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)

同理可证a⊕(b⊕c)＝(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)∨(a∧b∧c)

所以(a⊕b)⊕c＝a⊕(b⊕c)，即运算⊕满足结合率。

（2）因为：a⊕b＝(a∧b)∨(a∧b)＝(b∧a)∨(b∧a)＝b⊕a，所以运算⊕是可交换的。

（3）对任意a∈L，a⊕0＝0⊕ a＝(0∧a)∨(0∧a)＝0∨(1∧a)＝a，故0是L中关于运算⊕的单位元。

（4）对任意a∈L，a⊕ a＝(a∧a)∨(a∧a)＝0∨0＝0，故L中每个元素都均以自身作为逆元。

综上所述，是一个阿贝尔群。

18.设L＝{1，2，5，10，11，22，55，110}是110的正因子集合， 是整除关系，偏序集是否构成布尔代数，为什么？

解偏序集构成布尔代数。证明如下：

设gcd和lcm分别表示求两个数的最大公约数和最小公倍数。易证gcd和lcm都满足交换率、结合率和吸收率，所以是格。

易证gcd对lcm，lcm对gcd满足分配率，所以是分配格。

由于1是的全下界，110是的全上界，而1与110互为补元，2与55互为补元，5与22互为补元，10与11互为补元，所以是有补格。

综上可知，偏序集构成布尔代数。