格与布尔代数

后述，一部分关于格与一部分关于布尔代数。

关于格

格是数学中的一种代数结构，它被广泛用于数学、计算机科学和逻辑学等领域。在数学中，格是一种偏序集合，它具有两个基本运算：上下拟合和交并运算。其中，上下拟合是指存在最小上估和最大下估，而交并运算则是指对于任意两个元素都可以求出它们的最大公共上界和最小公共下界。

尽管最初格是在点集拓扑学中发现的，但它们的概念在其他领域中也扮演着重要角色，例如，它们在科学中被用来定义空间，它们被用来解决许多计算机科学问题，例如，程序正确性证明，它们与数据结构有关，在逻辑学中，格被用来理解一些推理系统。

关于布尔代数

布尔代数是一种代数结构，它被广泛用于逻辑学、电子工程和计算机科学中。布尔代数是邓纳-Bier恩论文提出的一种基于命题逻辑的代数系统，其中对于两个命题P和Q，存在两个二元运算，即并（∨）和交（∧）。

这种代数系统可以用0和1表示，其中0表示假，1表示真。布尔代数

中的一些重要性质是：交换律、结合律、分配律等。

尽管在布尔代数中并和交这两个朴素的逻辑运算都不是独立产生的概念，但该理论在数学和计算机科学中有着重要应用。布尔代数不仅用

于设计电路和硬件，还用于在计算机程序和算法中描述逻辑条件，可

编程逻辑和任意逻辑等方面。

格与布尔代数的关系

虽然格和布尔代数看起来似乎是两种完全不同类型的代数结构，但它

们之间有着密切的联系。一些格配合着一些次区域可以构成布尔代数；同样，对于一个布尔代数而言，它也可以被看作是某个格所描述的偏

序集合。

在交集上平凡地定义结构子格也叫布尔子格。一个布尔代数的子集都

可以看做是一种决策支持系统（Decision Support System，DSS）或决

策信息系统（Decision Information System，DIS）。由此可见，布尔代

数是格论的一种特例，而格论是布尔代数的一种扩展。

总体而言，格与布尔代数的关系很紧密。事实上，这种关系已经在数

学和计算机科学的广泛应用中得到了充分的体现。同时，它们也是数

学和计算机领域最重要的基础理论之一。

结语

格论和布尔代数都是广泛应用于数学、计算机科学、逻辑学等领域的重要理论。虽然看起来它们是两种不同类型的代数结构，但在很多方面，它们之间也有着密切的联系。在未来，它们将继续在学术和工业领域的发展中发挥重要作用。

离散数学中的布尔函数和布尔代数

离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它在计算机科学等领域扮演着重要的角色。布尔函数和布尔代数是离散数学中的重要概念之一，它们在逻辑电路设计、计算机编程等方面具有广泛的应用。布尔函数是一种将布尔域上的值映射为布尔域上的值的函数。布尔域上的值只有两个：真和假。布尔函数的输入和输出都是布尔值。布尔函数可以通过真值表、函数表达式或者逻辑电路图表示。常见的布尔运算有与运算、或运算、非运算等。布尔函数可以定义在不同的布尔变量上，而布尔变量可以取真或假两个值。通过组合不同的布尔运算，可以构造出复杂的布尔函数。布尔代数是研究布尔函数性质和运算规则的代数系统。布尔代数的基本操作有与运算、或运算、非运算等。与运算、或运算和非运算是布尔函数的基本运算，在布尔代数中具有特殊的性质。例如，与运算满足交换律、结合律和分配律；或运算满足交换律、结合律和分配律；非运算满足德摩根定律。布尔代数还有很多其他的运算规则，如吸收律、零元律、幂等律等。这些运算规则可以用来简化布尔函数，使其更加简洁明了。布尔函数和布尔代数在逻辑电路设计中起着重要的作用。逻辑电路是一种基础的电子电路，用来完成逻辑运算。布尔函数可以用来描述逻辑电路的功能，布尔代数可以用来简化逻辑电路。通过布尔函数和布尔代数可以设计出各种复杂的逻辑电路，如逻辑门、多路选择器、时序电路等。逻辑电路在计算机硬件中广泛应用，是计算机工作的基础。因此，研究布尔函数和布尔代数不仅有助于理解离散数学的基本概念，也对计算机科学和工程领域有着重要的实际意义。此外，布尔函数和布尔代数在计算机编程中也具有重要的应用。计算机程序是一系列指令的集合，通过执行这些指令实现特定的功能。布尔函数可以用来描述程序中的条件和逻辑关系，判断某个条件是否成立，从而确定程序的执行路径。布尔代数可以用来简化程序的逻辑表达式，使程序更加高效和可读。在编程语言中，布尔变量和布尔运算是基础数据类型和基本运算符之一，它们与布尔函数和布尔代数密切相关。总之，离散数学中的布尔函数和布尔代数是研究离散结构和离散对象的重要概念。它们在逻辑电路设计、计算机编程等方面具有广泛的应用。深入理解布尔函数和布尔代数对于理解离散数学的基本原理，以及应用于计算机科学和工程领域具有重要的价值。

离散数学答案第十章格和布尔代数

第十章格和布尔代数习题10.1 1．解 ⑴不是，因为L 中的元素对{2,3}没有最小上界； ⑵是，因为L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝任何一对元素a ,b ，都有最小上界和最大下界； ⑶是，与⑵同理； ⑷不是，因为L 中的元素对{6,7}没有最小上界不存在最小上界。 2．证明 ⑴因为，a ≤b,所以，a ∨b=b ；又因为，b ≤c,所以，b ∧c=b 。故a ∨b=b ∧c ； ⑵因为，a ≤b ≤c,所以，a ∧b=a,b ∧c=b,而a ∨b=b ，因此，(a ∧b )∨(b ∧c )=b ；又a ∨b=b,b ∨c=c,而b ∧c=b, 因此，(a ∨b )∧(b ∨c )=b 。即 (a ∧b)∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(b ∨c)。习题10.2 1．解由图1知：＜S 1,≤＞不是＜L,≤＞的子格，这是因为，e ∨f=g ∉S 1; ＜S 2,≤＞不是＜L,≤＞的子格， ∵e ∧f=c ∉S 2; ＜S 3,≤＞是＜L,≤＞的子格. 2．解 S 24的包含5个元素的子格有如下的8个： S 1={1,3,6,12,24}, S 2={1,2,6,12,24}, S 3={1,2,4,12,24}, S 4={1,2,4,8,24}, S 5={1,2,3,6,12}, S 6={1,2,4,6,12}, S 7={2,4,6,12,24}, S 7={2,4,8,12,24}. 3．证明因为，一条线上的任何两个元素都有（偏序）关系，所以，都有最大下界和最小上界，故它是格，又因为它是的子集，即是的子代数，故是子格。 4．证明由(10-4)有，a ∧b ≤a ,由已知a ≤c ,由偏序关系的传递性有，a ∧b ≤c ；同理 a ∧b ≤d 。由(10-5)和以上两式有，a ∧b ≤c ∧d . 5．证明因为由(10-4)有，a ∧b ≤a ，因此， (a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨(c ∧d ) ① 由分配不等式有， a ∨(c ∧d )≤(a ∨c )∧(a ∨d ) ② 再由由(10-4)有， (a ∨c )∧(a ∨d ) ≤a ∨c ③ 由偏序关系的传递性和①②③则有， (a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨c 同理 (a ∧b )∨(c ∧d )≤b ∨d 因此有， (a ∧b )∨(c ∧d )≤(a ∨c ) ∧(b ∨d )。习题10.3 1．解 ⑴ 是，全上界是24，全下界是1； ⑵1的补元是24；3的补元是8；8的补元是3，4、6没有补元。图1 图2

离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答习题五（第五章格与布尔代数） 1．设〈L ，?〉是半序集，?是L 上的整除关系。问当L 取下列集合时，〈L ，?〉是否是格。 a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10} [解] a) 〈L ，?〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。 b) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。例如：8 12=LUB{8，12}不存在。 c) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。 1 6 3 1 2 4 8 63 1 2 4 1 1

倒例如：46=LUB{4，6}不存在。 2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。证明：〈S ，?〉是〈2B ，?〉的子格。其中 S={y|y=f (x)，x ∈2A } [证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}?B 所以B 1∈2B ，故此S ?2B ；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A )，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A ，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2) =f (A 1∪A 2) （习题三的8的1））由于A 1∪A 2?A ，即A 1∪A 2∈2A ，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1 (B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1 (B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A ，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是 GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ?f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f (x)=y ∈B 2。故此x ∈A 2=f -1 (B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2}，因此x ∈A 1∩A 2，从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2)，所以 GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ?f (A 1∩A 2) 9 7 31

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结总结离散数学知识点第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，别同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的确信为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能浮现一次，求极小项时变元别够合取真，求极大项时变元别够析取假； 5.求范式时，为保证编码别错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的办法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算办法：P规则，T规则 ①真值表法；②直截了当证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词惟独一具个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，别包括0； 2.基：集合A中别同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系)

①每一具分划基本上由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应浮现且仅浮现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都浮现，没有要求只浮现一次；第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种别同的关系；数为mn，A到B上能够定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个别同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU I; x 对称闭包：s(R)=RU1-R; 传递闭包：t(R)=RU2R U3R U…… 6.等价关系：集合A上的二元关系R满脚自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A上的关系R满脚自反性，反对称性和传递性，则称R 是A上的一具偏序关系； 8.covA={|x,y属于A，y盖住x}； 9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在也许别唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在也许别唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B

第七章格与布尔代数

第七章格与布尔代数 1. 说明什么叫格？ 2. 给定偏序集、、如下图所示，其中哪些不是格？为什么？ 3下面图哪些是格？对于不是格的，要说明原因。 4. 填空：是平凡格，当且仅当 ( ). 5.证明全序都是格。 6. 填空：设是格, 是由格诱导的代数系统。其中∨与∧是在A 上定义二元运算。: a,b ∈A 则 a ∨b 表示（）。 q (a) (b) (c) (d) ３２ 5 15 6 4 1 2 3

a ∧ b 表示（）。 7. 说明什么叫子格？ 8. 给定偏序集、、如下图所示，其中哪些不是格的子格？为什么？ 9.设是一个格,任取a,b ∈A,a也是格. 10.具有一、二、三个元素的格各有几种不同构形式？请分别请画出它们的哈斯图。 11.具有四个元素的格有几种不同构形式？请分别请画出它们的哈斯图。 12具有五个元素的格有几种不同构形式？请分别请画出它们的哈斯图。 13. 证明格中下面式子成立： (a ∧b)∨(c ∧d)≤(a ∨c)∧(b ∨d) a a c a

14. 请说出什么叫分配格？ 15. 指出判定一个格是分配格的充分且必要条件是在该格中没有任何子格与两个五元素非分配格之一同构。请画出这两个五元素非分配格。 16. 下面具有五个元素的格中，哪些是分配格？ 17.具有五个元素的格中，有几个不是分配格？请画出这些非分配格的图。 18. 验证下面格不是分配格。 19. 验证下面格不是分配格。 a b c d e

9学习指导与习题解答-8

第八章格与布尔代数 §8.1 基本要求 1. 掌握半序格、半序子格、代数格、代数子格的定义，了解半序格和代数格的定义是等价的。 2. 掌握互相对偶的两个关系、互相对偶的两个格的定义，了解二者关系。掌握格中表达式、对偶格中的对偶表达式、本格中的对偶表达式的定义，掌握并会应用对偶原理1及对偶原理2。 3. 了解格的其它性质，如格的保序性、分配不等式、模不等式等。 4. 掌握并会应用格同态映射、格的自同态映射、格同构映射的定义。了解格的同态映射一定是保序映射，同构映射的逆映射也是同构映射等结论。 5. 掌握有界格、有余格、分配格以及模格的定义以及相关的结论。了解一个格为模格的充要条件。 6. 掌握布尔代数的定义及其16个性质，掌握并会应用Huntington公理来判定一代数系统是否为布尔代数。了解电路代数、集合代数、命题代数、开关代数。掌握并会应用布尔代数的子集是其子代数的充要条件。 7. 掌握可唯一表示布尔代数中元素的基底的定义及其性质。掌握极小元的定义及其性质。掌握布尔代数的生成、极小项、多项式、多项范式、布尔代数中一组元素互相独立等概念，了解布尔代数中元素与多项范式的关系和极小项、基底、极小元间的关系。 8. 掌握布尔代数中同态、同构的概念及其相应结论。了解如果两个有限布尔代数的维数相同，则这两个代数同构；任意n维布尔代数（B，·，+，ˉ，0，1）与开关代数（B n，·，+，ˉ，0n，1n）同构；Stone定理。 9. 掌握电路函数、布氏式的概念，了解任意一个电路函数，都可表为一个布氏式。掌握最简多项式、极简多项式的概念。掌握两种得到组成极简多项式的极简项的方法：Quine 方法、Karnaugh图法，会应用这两种方法求极简项，对布尔代数进行化简。 10. 了解格与布尔代数在计算机科学中的应用。