圆心角定理的证明
圆周角度数定理的另一种证明方法
圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理，它是解决和圆有关的角的问题的重要依据，这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法，这种证明方法主要用的是外角方面的知识，老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明，而很少去探讨和思考别的证明方法，下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法，供大家参考．
求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
已知：⊙O中，∠AOB和∠ACB分别是所对的圆心角和圆周角．
求证：∠AOB=2∠ACB
证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述．
当圆心O在∠ACB的外部时，如图(2)．联结OC．
∵OC=OB，OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)
∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB；
当圆心O在∠ACB的内部时，如图(3)．联结OC．
∵OC=OB，OC＝OA
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC
∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°
∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°
∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC
∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB
∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)
∵∠OCA+∠OCB =∠ACB
∴∠AOB=2∠ACB ；
综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心角定理的证明
圆周角度数定理的另一种证明方法 圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理，它是解决和圆有关的角的问题的重要依据，这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法，这种证明方法主要用的是外角方面的知识，老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明，而很少去探讨和思考别的证明方法，下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法，供大家参考． 求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 已知：⊙O中，∠AOB和∠ACB分别是所对的圆心角和圆周角． 求证：∠AOB=2∠ACB 证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述． 当圆心O在∠ACB的外部时，如图(2)．联结OC． ∵OC=OB，OC＝OA ∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC ∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180° ∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC ∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB ∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB ∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA) ∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB ∴∠AOB=2∠ACB； 当圆心O在∠ACB的内部时，如图(3)．联结OC． ∵OC=OB，OC＝OA ∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC ∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180° ∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC
圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时： 图1 连接AO，并延长AO交⊙O于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时： 图2 连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。） 【证明】情况4：圆心角等于180°： 圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠A OC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°： 图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E
圆公共弦定理证明
圆公共弦定理证明 圆的十八个定理 1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。 5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。 6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。 7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。 8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。 9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）： （1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 18、（d是圆心距，R、r是半径） ①两圆外离 dDR+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交R-r
圆心角定理
圆心角定理 (弧、弦、圆心角关系定理) 基本内容： 1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 在理解时要注意： ⑴前提：在同圆或等圆中； ⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。 基本概念理解： 1．在同圆或等圆中，若的长度＝ 的长度，则下列说法正确的个数是（ ） ①的度数等于 ；② 所对的圆心角等于所对的圆心角；③ 和 是等弧； ④ 所对的弦心距等于 所对的弦心距。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（ ） A ． B ． C ． 的度数= 的度数 D ． 的长度= 的长度 3．下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦； （3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4．已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 ． 5．在⊙O 中， 的度数240°，则 的长是圆周的 份． 概念的延伸及其基本应用： 1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍，则下列式子中能成立的是（ ） 2．在同圆或等圆中，如果，则AB 与CD 的关系是（ ） A ．CD A B 2> B ．CD AB 2= C ．C D AB 2< D ．CD AB = （2题图）
圆的切线与圆心角
圆的切线与圆心角 圆是几何学中常见的形状，它具有许多有趣的性质和特点。其中之 一就是圆的切线与圆心角的关系。本文将探讨这一主题，详细介绍圆 的切线与圆心角的定义、性质以及相关定理。 一、定义与性质 1. 圆的切线定义：在圆上的两个点A、B之间的直线AB称为圆的 切线。切线与圆的交点称为切点。 2. 圆心角定义：连接圆心与圆上一点所得的线段所对的角称为圆心角。圆心角的度数等于所对弧的度数。 性质1：切线与半径垂直 在圆上的切线与过切点的半径垂直。 证明：设O为圆心，切点为A，连接OA，OB。由于切线与半径相切，所以OA与切线的交角为90度。 性质2：切线与切线垂直 圆的两条切线若相交于圆上一点，则相交处的交角为90度。 证明：设切点为A、B，连接OA、OB，并延长AB相交于点C。 由性质1可知OA与切线L1垂直，OB与切线L2垂直。所以OA⊥L1，OB⊥L2，所以L1⊥L2，即切线L1与切线L2相交于90度。 二、切线与圆心角定理
1. 见圆的切线与切点角定理 (Tangent-Chord Theorem) 定理1：在圆上，若一条切线和一条弦相交于同一切点，则切线与 切点弦所对的弧的圆心角相等。 证明：设切点为A，弦上的两个点为B、C，弧BC所对的圆心角 为θ。连接OA，证明OA与切线的交角等于θ。 2. 见切线与切线的角定理 (Tangent-Tangent Angle Theorem) 定理2：在圆外一点，若有两条切线相交于该点，则它们的交角等 于两条切线所对的两个弧的和的一半。 证明：设圆心为O，切点为A、B，切线交点为C。弧AB所对角 度为θ1，弧ACB所对的圆心角为θ2。连接OA、OC，证明OA与CB 的交角等于(θ1+θ2)/2。 三、举例说明 例1：证明圆的切线与切点弦所对的弧的圆心角相等。 解：设切点为A，弦上的两个点为B、C，弧BC所对的圆心角为θ。连接OA，证明OA与切线的交角等于θ。 证明：根据定理1，只需证明切点弦AC所对的圆心角等于θ即可。 由于切点弦AC与弧BC相交于切点A，根据定理1可知，切点弦 AC所对的圆心角等于弧BC所对的圆心角θ，得证。 例2：求圆心角
圆心角定理
圆心角定理 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 注意：前提条件是在同圆或等圆中; 圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形对角互补 [重要辅助线] 1、半径——构造等长线段，倒角、等腰知识 2、弦心距——垂直与重点，勾股定理知识 3、直径——构造90°圆周角，直角三角形 [重要解题思路] 1、弧相等——弦相等——圆心角相等 弧条件不好用，记得转化为线段或角)
2、同弧所对圆周角相等 圆周角——找到其所对弧——找到弧所对其他圆周角 【例1】如图,ABC △是O 的内接三角形, 点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=,C β∠=. (1)当35α=?时，求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明. 【例2】已知：如图,MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是 AN 的中点, A P 是MN 上一动点,O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________. 【例3】如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ,AB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长.
三角形圆周角与圆心角的关系证明-概述说明以及解释
三角形圆周角与圆心角的关系证明-概述说明以及解 释 1.引言 1.1 概述: 三角形圆周角与圆心角的关系是几何学中一个重要的定理，它揭示了三角形内部圆周角和对应的三角形外部圆心角之间的特殊关系。在本文中，我们将从三角形的定义与性质出发，介绍圆周角与圆心角的概念，然后详细阐述三角形圆周角与圆心角之间的关系，并给出相应的证明过程。通过这一定理的讨论，我们可以更深入地理解三角形的几何特性，拓展思维，提高推理能力。最后，我们将总结该定理的重要性和应用价值，展示其在几何学中的广泛运用和深远意义。通过本文的阐述，读者将能够全面了解三角形圆周角与圆心角的关系，深化对几何学知识的理解和应用能力。 1.2 文章结构 本文将分为引言、正文和结论三个部分来探讨三角形圆周角与圆心角的关系。在引言部分，将先概述整篇文章的内容和主题，简要介绍三角形的定义与性质，引出本文研究的焦点。接着将介绍本文的结构安排，说明各个部分的内容和目的，为读者提供清晰的阅读指导。在正文部分，将详细阐述三角形的定义与性质，介绍圆周角与圆心角的概念，然后重点讨论三角形圆周角与圆心角之间的关系，并给出相应的证明过程。最后，在结
论部分将总结三角形圆周角与圆心角的关系，重述证明过程以加深理解，同时指出相关的应用与意义，为读者提供更多的思考和启示。整篇文章结构清晰，逻辑严密，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学知识。 1.3 目的 本文的目的是通过对三角形的定义与性质、圆周角与圆心角的概念以及三角形圆周角与圆心角的关系进行深入分析和探讨，最终证明三角形的圆周角等于其对应的圆心角的一半。通过这一定理的证明，不仅可以加深对三角形和圆的性质的理解，还可以帮助读者更好地应用和理解相关知识，在解决实际问题和推理推论时更加得心应手。通过本文的研究，希望读者能够对三角形的特性和圆的性质有更深入的认识，从而提高数学的理解和运用能力。 2.正文 2.1 三角形的定义与性质 三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。根据三角形的角度特点，我们可以将三角形分为不同类型，比如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 在三角形中，有一些基本性质需要我们了解和掌握： 1. 三角形的内角和总是等于180度。这是三角形的重要性质之一，无
[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角
小班辅导教案 知识点一圆心角定理 1.概念填空： （1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心. （2）顶点在的角叫做圆心角. （3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等. （4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 . 2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 > 3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（） A.50° B.55° C.65° D.80° ̂= . 4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AC
̂的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′ 为（） A.60° B.大于60° C.小于60° D.不能确定 题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系 例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD； ̂=BÊ. （2）AD 巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD. 题型二利用圆心角定理计算弧的度数 ̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD
̂的度数. 求BE 巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°， ̂的度数. 求AD 知识点二圆心角定理的逆定理 1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 2.下列命题中，真命题是（） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弦所对的弧相等 C.度数相等的弧是等弧 D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm. 4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= . ̂=BĈ.若AB=3,则CD= . 5.如图，在⊙○中，AD
圆心角是圆周角的2倍 三个证明过程
圆心角是圆周角的2倍三个证明过程 标题：圆心角是圆周角的2倍：发现、证明和应用 概要： 圆心角和圆周角是圆的两个重要角度概念。本文将深入探讨圆心角是圆周角的2倍的证明过程，并以从简到繁的方式讲解。 引言： 圆心角和圆周角是几何学中与圆相关的重要概念。在研究圆的角度特性时，我们发现了一个引人注目的性质：圆心角等于圆周角的2倍。本文将逐步探究三个不同的证明过程并分享个人理解。 正文一：发现圆心角是圆周角的2倍 在我们开始证明之前，让我们先来观察一个关键现象。考虑一个圆，以O表示其圆心。假设有一个弧ADB，其中D是弧上一点，而A和B是弧的两个端点（图1）。现在，我们以O为顶点画一个角θ，使其两条边分别与弧的两个端点相切。 图1：圆心角 可观察到，圆心角θ的度数等于弧ADB的度数的两倍（2θ）。请注意，这一发现并非仅适用于特定的圆心角度数，而是对于任意情况都
成立。 正文二：证明一——利用圆内切角性质 为了更全面地理解这个性质，我们将探究第一个证明过程。利用圆内 切角的性质是证明圆心角是圆周角的2倍的一种方法。设θ为圆心角 的度数，即∠AOB=θ。现在，我们来看证明的步骤： 1. 内切角的性质：以切点C绘制切线CD（图2）。根据圆内切角的性质，切线与弦AB相交的角ACD等于弦上对应的圆周角AOB。 图2：内切角的性质 2. 证明内切角等于圆心角：在△AOC中，AO=CO（由圆的性质可知），∠OAC=∠OCA=θ/2（AO与OC垂直平分∠AOC）。同样地，在△BOC中，BO=CO（由圆的性质可知），∠OBC=∠OCB=θ/2。根据三角形内角和定理，θ/2+θ/2+∠ACD=180°，即θ+∠ACD=2θ。 3. 结论：根据第2步的推导，我们得出∠ACD=θ。而根据步骤1中的描述，我们知道∠ACD等于弧ADB的度数。弧ADB的度数也等于θ。 这样，我们成功地证明了圆心角是圆周角的2倍。 正文三：证明二——利用弧对的性质
初中数学：圆心角定理练习(含答案)
初中数学：圆心角定理练习（含答案） 知识点1 圆的中心对称性 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A．角 B．等边三角形 C．平行四边形 D．圆 图3－4－1 2．如图3－4－1所示，正方形ABCD的四个顶点都在圆上，以点O为中心，逆时针旋转这个图形，如果旋转后的图形和原图形重合，那么最小的旋转角度为( ) A．45° B．90° C．120° D．180° 知识点2 圆心角的定义 3．如图3－4－2，下列各角是圆心角的是( ) A．∠AOB B．∠CBD C．∠BCO D．∠DAO 图3－4－2 图3－4－3 4．如图3－4－3，在⊙O中，AB是弦，∠OAB＝50°，则弦AB所对的圆心角的度数是________．
知识点3 圆心角定理 5．下列命题是真命题的是( ) A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．相等的圆心角所对的弦相等 C ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D ．顶点在圆内的角是圆心角 图3－4－4 6．如图3－4－4，AB 是⊙O 的直径，∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝36°，则下列说法错误的是( ) A ．C 是BD ︵ 的中点 B ．D 是CE ︵ 的中点 C ．E 是AEB ︵ 的中点 D ．E 是AC ︵ 的中点 7．已知：如图3－4－5，在⊙O 中，∠AOD ＝∠BOC .求证：AB ＝CD . 图3－4－5
8．如图3－4－6，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，且CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，求证：C 是AB ︵ 的中点． 3－4－6 知识点4 圆心角度数与它所对的弧的度数的关系 9．如图3－4－7所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，OA ∥BC ，∠OBC ＝40°，则AB ︵ 的度数是( ) A ．10° B ．20° C ．40° D ．70°
第3章圆 题型解读3 五大性质定理之圆心角定理-北师大版九年级数学下册
题型全解3 五大性质定理之圆心角定理 【知识梳理】 1.圆心角定理（附：顶点在圆心的角叫圆心角）-----“知一推三”： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（一般指劣弧）、两条弦、对应弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 简记为：等圆心角 等弦心距。（知一推三） 例:只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， ①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 2. 解析注意： ①一个知识点：知一推三； ②一个注意点：在同圆或等圆中； ③一条思路线：从等弧的角度思考等边（弦）、等角（圆心角）之间的关系 3.注意圆心角与圆周角综合运用题型 （1）圆周角与圆心角关系：等弧或同弧所对的圆心角是圆周角的2倍 即：如图，∠BOC=2∠A 注意：①熟悉三个位置图 ②熟悉四个辅助线图（特别注意3、4图，圆周角定理与垂径定理结合图） 31 3.圆心角与圆周角关系 圆心角在圆周角边上 圆心角在圆周角外部圆心角在圆周角内部O A C O A B C B A O B A O
【典型例题】 1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO=（） 解析：∵弧BC=弧CD=弧DE，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°,∴∠AOE=78°,∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO=51° 2.如图，B是劣弧AC的中点，已知∠BAO=65°,则∠BCO=_____________ 解析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=65°,∴∠AOB=50°,∵弧AB=弧BC，∴∠BOC=∠AOB=50°,∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=65°. 3．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为． 解析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长C B A O
圆心角--知识讲解(基础)
圆心角--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角的概念； 2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. B A O 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点诠释： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 要点二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点诠释： (1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. (3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点诠释： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相
，，，等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角的概念 1.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断． 【答案与解析】 解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置; ②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心; ③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心; ④是，满足圆心角定义. 【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等. 类型二、圆心角定理及推论 2.（2016台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若 则的度数为何？（） =150°∠A=65°∠D=60°A．25B．40C．50D．55
圆心角是圆周角的2倍 三个证明过程
圆心角是圆周角的2倍，这个几何定理是我们在学习圆的时候经常会 遇到的概念。它的证明过程有很多种，接下来我将针对这个主题从三 个不同的角度来进行详细的阐述和解释。 一、几何图示证明 1. 在平面直角坐标系中，以原点为中心画一个单位圆，并且假设有一 个角度为θ的圆心角。 2. 在圆的周长上标记出θ和2θ的弧度，根据圆的定义和弧度的概念，我们可以知道θ和2θ所对到的弧长分别为L=θ和L=2θ。 3. 然后我们可以利用三角函数的定义和性质，通过计算sin(θ)和 sin(2θ)的关系，可以得出sin(2θ)=2sin(θ)。 4. 结合三角函数和几何图示的知识，我们可以得出圆心角2θ所对到的圆弧长度是θ的两倍，也就是圆周角的两倍。 二、三角函数证明 1. 我们知道，在任意角度θ下，sinθ=a/c，cosθ=b/c，其中a、b、 c是直角三角形的三边长度。 2. 我们构造一个任意三角形ABC，其中∠B为顶点的圆心角，∠ACB 为对应的圆周角。 3. 根据正弦定理sin(∠B) = AB/AC，sin(∠ACB) = AC/AB，由于 ∠ACB=2∠B，所以sin(2∠B) = 2sin(∠B)cos(∠B)。 4. 通过代入正弦定理得到的等式和sinθ=a/c，cosθ=b/c的关系，并 结合∠ACB=2∠B，我们可以推导出sin(2θ) = 2sinθcosθ。
5. 我们可以得出结论：圆心角是圆周角的2倍。 三、向量法证明 1. 我们知道向量的模长和方向可以对应到平面上的直角坐标系，而向 量的夹角对应于直角坐标系中两个向量夹角的余弦值。 2. 对于圆心角和圆周角来说，我们可以利用向量的性质和定义，来分 别表示圆心角和圆周角所对应的向量。 3. 圆平面上两个点A和B分别表示圆心角和圆周角所对应的弧度，我们可以得到两个向量OA和OB。 4. 我们知道两个向量的夹角余弦值等于向量的点积除以模长的乘积， 即cosθ=(OA*OB)/(|OA|*|OB|)。 5. 通过计算得到cos(2θ)=(OA*OB)/(|OA|*|OB|)，又因为|OB|=2|OA|，所以我们可以得出cos(2θ)=2cosθ。 6. 根据向量的性质和定义，我们可以推导出圆心角是圆周角的2倍。 我们可以使用几何图示、三角函数和向量法来证明圆心角是圆周角的2倍。这个定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，而且通过不同的 证明过程，我们可以更加深入地理解和掌握这个定理的原理和应用。 希望通过这篇文章，你能对圆心角是圆周角的2倍有更清晰的认识和 理解。 在平面几何学中，这个定理的解释和应用是非常重要的。通过不同的 证明过程，我们可以更全面地理解圆心角和圆周角的关系，也能更好