圆心角圆周角定理

圆心角圆周角定理是一种几何定理，它指出：在任意一个圆内，任意三点都构成一个圆心角，它们的圆周角之和等于180°。

圆心角圆周角定理可以用来解决许多几何问题，例如：在一个圆内，如果已知两个点的圆心角，则可以计算出第三个点的圆心角。此外，它也可以用来证明某些圆的性质，例如圆的直径是它的最长直径。

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(提高)

圆周角和圆心角的关系—知识解说（提升）【学习目标】 1．理解圆周角的观点，认识圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．娴熟掌握圆周角的定理及其推理的灵巧运用；经过察看、比较、剖析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【重点梳理】重点一、圆周角 1.圆周角定义：像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的极点在圆上，而且两边都与圆订交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 3.圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论 2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．重点解说： (1)圆周角一定知足两个条件：①极点在圆上；②角的两边都和圆订交. (2)圆周角定理建立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种地点关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外面．（以下列图）重点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：四边形的四个极点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补 . 如图，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠ A+∠ C=180°，∠ B+∠ D=180° . B A C O D 重点解说：当四边形的四个极点不一样时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】种类一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：以下图，⊙ O中弦 AB＝ CD．求证： AD＝ BC．【思路点拨】此题主假如考察弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝ BC，只要证AD BC 或证∠AOD＝∠BOC即可．【答案与分析】证法一：如图①，∵AB ＝ CD，∴AB CD ． ∴AB BD CD BD ，即AD BC ， ∴AD ＝ BC．

9 垂径定理圆心角圆周角定理(

垂径定理圆心角圆周角定理垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧 1、平分弦所对的两条弧） 2、平分弦（不是直径） 3、垂直于弦 4、过圆心推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 [垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。] 圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。 2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。切线定理（定义）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。（数量法d=r）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。判定定理：1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径（d=r）

练习一选择题： 1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48° C．52°D．58° 2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°， AO∥DC，则∠B的度数为( ) A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（） A．100° B．110° C．120° D．130° 4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（） A.3≤OM≤5 B.3≤OM＜5 C.4≤OM≤5 D.4≤OM＜5 5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( ) A．15°B．28° C.29°D．34°

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础）【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角 1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

C A 2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O 中，，求∠A 的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )

(完整版)圆性质定理

圆的性质定理一．定理： 1.垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并均分弦所对的两条弧。 2.垂径定理的推论： (1) 均分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦； (2) 弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；(3) 均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧。（5 个条件：①直径②垂直于弦③均分弦④均分弦所对的优弧⑤均分弦所对的劣弧，知足此中两个，其余三个也建立。注：当具备① ③时，需对另一条弦增添它不是直径的3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 4．圆周角定理的推论：(1) 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等； (2) 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90 °的圆周角所对的弦是直径 . 5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们的切线长相等圆心与这一点的连线均分两条切线的夹角。 5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 6.弦切角定理的推论：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 7.订交弦定理：圆内的两条订交弦，被交点分红的两条线段长的积相等。 8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这限制。）一点到每条割线与园的交点的两条线段长的

积相等。 8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比率中项。二．性质： 1.在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。 2.确立圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确立（有且只有）一个圆。（作法：连结随意两点并作此中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中随意一点的距离为半径作圆） 3.切线性质概括：（ 1）垂直于切线（ 2 ）过切点（ 3）过圆心，假如一条直线知足这三个条件中随意 2 个，那么就知足第 3 个。（碰到切点连半径）增补 3：切线五大性质：（1 ）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（ 3）切线垂直于过切点的半径（4 ）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线的判断方法：（1 ）与圆有独一公共点的直线是圆的切线（ 2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（ 3 ）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判断定理）。续4：证明切线的协助线作法：（1）连半径，证半径与该直线垂直（ 2）作垂直，证垂线长度等于半径。 5．在直角三角形中的内切圆，半径 r=a+b+c/2 或 1/2 周长 - 斜边；一般三角形中， r=2s/c

圆周角的定理及推论的应用

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。二、圆周角的定理 1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。 2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有： sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R 证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得： x+y+z=180 又由圆周角定理得： ∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x 于是： ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360

圆周角定理

圆周角定理圆周角定理： 1.同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 3.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。中文名圆周角定理应用学科数学目录 1圆周角 ?定义 ?性质 2圆周角定理 ?定义 ?推论一： ?推论二： ?推论三： 3证明 1圆周角

定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆周角图性质 (1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； (2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； (3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 2圆周角定理定义圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。推论一：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论二：半圆（直径）所对的圆周角是直角。

推论三： 90°的圆周角所对的弦是直径。注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。 3证明已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：2∠BOC=∠BAC. 证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1 ∵OA、OC是半径解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOC是△AOC的外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情况2：

如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D 图2 ∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角） ∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角 ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：

圆周角和圆心角

圆心角和圆周角圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。例题 1.下列结论中，正确的是（） A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦D．圆是中心对称图形 2.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度． A．30 B．45 C．50 D．60 3.在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度． 4.如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE． 5.如图，已知点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．25°C．28°D．40° 5题6题7题8题 6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=1 2 ∠BOD，则⊙O的半径为（） A．B．5 C．4 D．3 7．如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数是（）

O D B A A．50° B．80°或50°C．130°D．50°或130° 8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2，弦BC的长为． 9. 如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75° 9题10题11题12题13题10.如图，AB是⊙O的直径，AB=10 cm，∠CAB=30°，则BC= 11．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= ． 12．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BD= ． 13. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=8，∠DCB=30°.则弦BD=_________。 14. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径． 15. 下列关于圆内接四边形的叙述正确的有（） ①圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫做圆内接四边形． A．1个B．2个C．3个D．4个 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．70°C．110°D．140° 16题17题18题 17．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（） A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5° 18. 如图，点A，B，C，D均在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ． 19. 一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径．

三角形圆周角与圆心角的关系证明-概述说明以及解释

三角形圆周角与圆心角的关系证明-概述说明以及解释 1.引言 1.1 概述: 三角形圆周角与圆心角的关系是几何学中一个重要的定理，它揭示了三角形内部圆周角和对应的三角形外部圆心角之间的特殊关系。在本文中，我们将从三角形的定义与性质出发，介绍圆周角与圆心角的概念，然后详细阐述三角形圆周角与圆心角之间的关系，并给出相应的证明过程。通过这一定理的讨论，我们可以更深入地理解三角形的几何特性，拓展思维，提高推理能力。最后，我们将总结该定理的重要性和应用价值，展示其在几何学中的广泛运用和深远意义。通过本文的阐述，读者将能够全面了解三角形圆周角与圆心角的关系，深化对几何学知识的理解和应用能力。 1.2 文章结构本文将分为引言、正文和结论三个部分来探讨三角形圆周角与圆心角的关系。在引言部分，将先概述整篇文章的内容和主题，简要介绍三角形的定义与性质，引出本文研究的焦点。接着将介绍本文的结构安排，说明各个部分的内容和目的，为读者提供清晰的阅读指导。在正文部分，将详细阐述三角形的定义与性质，介绍圆周角与圆心角的概念，然后重点讨论三角形圆周角与圆心角之间的关系，并给出相应的证明过程。最后，在结

论部分将总结三角形圆周角与圆心角的关系，重述证明过程以加深理解，同时指出相关的应用与意义，为读者提供更多的思考和启示。整篇文章结构清晰，逻辑严密，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学知识。 1.3 目的本文的目的是通过对三角形的定义与性质、圆周角与圆心角的概念以及三角形圆周角与圆心角的关系进行深入分析和探讨，最终证明三角形的圆周角等于其对应的圆心角的一半。通过这一定理的证明，不仅可以加深对三角形和圆的性质的理解，还可以帮助读者更好地应用和理解相关知识，在解决实际问题和推理推论时更加得心应手。通过本文的研究，希望读者能够对三角形的特性和圆的性质有更深入的认识，从而提高数学的理解和运用能力。 2.正文 2.1 三角形的定义与性质三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边和三个角组成。根据三角形的角度特点，我们可以将三角形分为不同类型，比如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。在三角形中，有一些基本性质需要我们了解和掌握： 1. 三角形的内角和总是等于180度。这是三角形的重要性质之一，无

圆形的几何定理

圆形的几何定理定理一、圆上任意一段弧所对的圆心角等于所对的圆周角的两倍。即【简写：圆心角两倍于圆周角】定理二、 (i) (ii) (iii) x =2y 。半圆上的圆周角是一直角。若AB 是一条直径，则.ACB =90 于同一弓形內的圆周角皆相等。若AB 是一条弦，则一 APB = - AQB 。【简写：半圆上的圆周角】【简写：同弓形內的圆周角】定理四、定理五、圆內接四边形的两个对角互补。即 x y =180。及 a b =180 。圆內接四边形任何一个外角与其內对角相等。即 x = y 。【简写：圆內接四边形对角】【简写：圆內接四边形外角】定理三、 B A x b a y y x

定理六由圆心画一垂直线至任何一条弦会平分该弦。即若ON丄AB，则AN = BN。 "1 ■■定理七由圆心画一条直线至弦的中点，则该直线必与该弦互相垂直。即若AM = MB，则0M丄AB。厂。\ W丿(［丿 A A、L M 丄/ B 【简写：圆心至弦的垂线平分弦】【简写：圆心至弦中点的连线垂直弦】定理九若某圆內的两条弦相等，则该两条弦与圆心的距离相等。即若AB = CD，则0M = ON。若两条弦与圆心等距，则该两条弦的长度相等。即若 0M = ON，贝U AB = CD 【简写：与圆心等距的弦等长】 A B 【简写：等弦与圆心等距】

定理十、相等的圆心角所对的弧及弦相等。即若AOB 二COD, 则AB = CD 、AB = CD 。【简写：等角对等弦】、【简写：等角对等弧】定理十一、相等的弧所对的圆心角及弦相等。即若AB = CD , 贝U AOB = - COD、AB = CD。【简写：等弧对等角】、【简写：等弧对等弦】定理十二、相等的弦所对的圆心角及弧长相等。即若AB二CD , 贝U AOB "COD、AB =CD。【简写：等弦对等角】、【简写：等弦对等弧】定理十三、弧长与所对的圆心角（圆周角）成比例。即AB:CD 二m : n。【简写：弧长与圆心角成比例】【简写：弧长与圆周角成比例】切线 A D O B C O B C

[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角

小班辅导教案知识点一圆心角定理 1.概念填空：（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心. （2）顶点在的角叫做圆心角. （3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等. （4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 . 2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 > 3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（） A.50° B.55° C.65° D.80° ̂= . 4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AC

̂的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′ 为（） A.60° B.大于60° C.小于60° D.不能确定题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD； ̂=BÊ. （2）AD 巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD. 题型二利用圆心角定理计算弧的度数 ̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD

̂的度数. 求BE 巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°， ̂的度数. 求AD 知识点二圆心角定理的逆定理 1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 2.下列命题中，真命题是（） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弦所对的弧相等 C.度数相等的弧是等弧 D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm. 4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= . ̂=BĈ.若AB=3,则CD= . 5.如图，在⊙○中，AD

第16讲圆心角、圆周角定理

O A B C 第16讲圆（二）知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是AB 所对的圆心角) 二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角 (∠ACB 是AB 所对的圆周角)．四、圆周角的定理及推论： (1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= ° 例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC O D C B A

C A E F D O B 例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。求证：∠D=∠B 例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5、如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。经典练习：一、选择题． 1．如果两个圆心角相等，那么（） A ．这两个圆心角所对的弦相等 B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（）

初三数学圆周角与圆心角的关系讲义

二、

圆. (五)三角形的外接圆 1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆. 2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 注意： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点. ②锐角三角形的外心在三角形的内部：直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点：钝角三角形的外心在三角形的外部. ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个而一个圆的内接三角形却有无数个. 典昭析考点一：圆周角的定义与圆周角定理例1、请用科学的方法证明圆周角立理：一条狐所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 例人如图，在＜30中，直径CD垂直于弦AB,若ZC=25°,则ZB0D的度数是 ( ) A. 25° B. 30°C・ 40°D・ 50°

例3、如图将00沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧AMB上一点, A・ 45°B・ 30° C・ 75。D・ 60° 例4、如图，00的半径是2, AB是00的弦，点P是弦AB上的动点，且 1WOPW2,则弦AB所对的圆周角的度数是( A. 60° B. 120° C. 60°或120°D・ 30°或150° 考点二：圆周角定理的推论例1.如图，已知经过原点的OP与x、y轴分別交于A、B两点, 一点，则ZACB=( A・ 80°B・ 90° C. 100° D.无法确泄例久如图，以AABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC, BC的交点分别为D、E,且DE=BE. (1)试判断AABC的形状，并说明理由. (2)已知半圆的半径为5, BC=12,求srnZABD的值.

初中数学文档：圆心角与圆周角

圆心角与圆周角【今日目标】 1、牢记圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理（即四量定理）、圆周角定理及其推论； 2、熟练运用四量定理、圆周角定理进行圆的有关计算与推理。【知识点击】 1、圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个、、或中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 3、圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数。 4、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 5、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。【典例精析】考点1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理的基本理解【例1】1、下列说法：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②

同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等；③等弧所对的圆周角相等； ④圆心角相等，所对的弦相等，其中正确的说法有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8， ∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为。 3、如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆 O半径为5 2 ，tan∠ABC＝ 3 4 ，则CQ的最大值是。 ●变式训练： 1、已知和是同圆中的两条弧，且=2 CD AB, 那么弦CD与2AB的大小关系为。 2、.如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上一动点（不与 A，B重合），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA=x°，∠PQB=y°，则y与x的函数关系是。 3、如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4， CD=6，则AE的长为。

圆心角是圆周角的2倍三个证明过程

圆心角是圆周角的2倍，这个几何定理是我们在学习圆的时候经常会遇到的概念。它的证明过程有很多种，接下来我将针对这个主题从三个不同的角度来进行详细的阐述和解释。一、几何图示证明 1. 在平面直角坐标系中，以原点为中心画一个单位圆，并且假设有一个角度为θ的圆心角。 2. 在圆的周长上标记出θ和2θ的弧度，根据圆的定义和弧度的概念，我们可以知道θ和2θ所对到的弧长分别为L=θ和L=2θ。 3. 然后我们可以利用三角函数的定义和性质，通过计算sin(θ)和 sin(2θ)的关系，可以得出sin(2θ)=2sin(θ)。 4. 结合三角函数和几何图示的知识，我们可以得出圆心角2θ所对到的圆弧长度是θ的两倍，也就是圆周角的两倍。二、三角函数证明 1. 我们知道，在任意角度θ下，sinθ=a/c，cosθ=b/c，其中a、b、 c是直角三角形的三边长度。 2. 我们构造一个任意三角形ABC，其中∠B为顶点的圆心角，∠ACB 为对应的圆周角。 3. 根据正弦定理sin(∠B) = AB/AC，sin(∠ACB) = AC/AB，由于 ∠ACB=2∠B，所以sin(2∠B) = 2sin(∠B)cos(∠B)。 4. 通过代入正弦定理得到的等式和sinθ=a/c，cosθ=b/c的关系，并结合∠ACB=2∠B，我们可以推导出sin(2θ) = 2sinθcosθ。

5. 我们可以得出结论：圆心角是圆周角的2倍。三、向量法证明 1. 我们知道向量的模长和方向可以对应到平面上的直角坐标系，而向量的夹角对应于直角坐标系中两个向量夹角的余弦值。 2. 对于圆心角和圆周角来说，我们可以利用向量的性质和定义，来分别表示圆心角和圆周角所对应的向量。 3. 圆平面上两个点A和B分别表示圆心角和圆周角所对应的弧度，我们可以得到两个向量OA和OB。 4. 我们知道两个向量的夹角余弦值等于向量的点积除以模长的乘积，即cosθ=(OA*OB)/(|OA|*|OB|)。 5. 通过计算得到cos(2θ)=(OA*OB)/(|OA|*|OB|)，又因为|OB|=2|OA|，所以我们可以得出cos(2θ)=2cosθ。 6. 根据向量的性质和定义，我们可以推导出圆心角是圆周角的2倍。我们可以使用几何图示、三角函数和向量法来证明圆心角是圆周角的2倍。这个定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，而且通过不同的证明过程，我们可以更加深入地理解和掌握这个定理的原理和应用。希望通过这篇文章，你能对圆心角是圆周角的2倍有更清晰的认识和理解。在平面几何学中，这个定理的解释和应用是非常重要的。通过不同的证明过程，我们可以更全面地理解圆心角和圆周角的关系，也能更好

垂径定理,圆周角与圆心角的关系

圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线 , 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试

一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，的度数。例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E