圆心角定理及其推论

1.圆心角定理：

圆心角定理是一个数学定理，最早由欧几里得提出。它的定义是：在一个平面或曲面内，给定任意不相等的两条弦，其对边分别能做出一个内角和一个外角，这两个角的总和

等于圆心的角的两倍。

2.推论：

圆心角定理的推论有很多，下面我们就来简单介绍一些：

（1）紧缩补定理：两个内角加上两条弦中夹角的一半，等于圆心角的两倍；

（2）扩展补定理：两个外角减去两条弦中夹角的一半，等于圆心角的两倍；

（3）弦背补定理：一条弦的两个内角加上另一条弦的两个外角，等于圆心角的两倍；

（4）内凹补定理：一条弦的两个外角减去另一条弦的两个内角，等于圆心角的两倍；

（5）外圆补定理：两条弦的两个内角中，任一个和两条弦夹角的一半，加上另一内

角减去夹角的另一半，等于圆心角的两倍；

（6）内圆补定理：两条弦的两个外角中，任一个和两条弦夹角的一半，减去另一外

角加上夹角的另一半，等于圆心角的两倍。

3.实际应用：

圆心角定理在几何中有广泛的应用，如：

（1）寻找多边形的三角型内切圆；

（2）确定两个相距远的圆的位置关系；

（3）确定多条弧线的位置关系；

（4）定位三角形的内心。

二、总结

圆心角定理是一个经典的几何定理，它解释了在一定条件下，任意两条无关的弦所对

应的角度和总和与圆心角相等这一规律。它的推论可帮助我们在几何形状的构建和计算中，更快捷、更准确地求解出想要的结果。圆心角定理在工程实际中也有着重要使用，能帮助

专家们准确精准地完成计算任务和构建工程图纸。

圆心角、弦、弧之间的关系耿延平

24.1 圆(第2课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形． A B O 老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB′=30°．二、探索新知如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

B ' AB =''A B ，AB=A ′B ′ 理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合 ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合． B ' ' A A ' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现：AB =''A B ，AB=A /B / ．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下．请三位同学到黑板板书，老师点评．例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习 1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。若∠AOB=∠A ＇OB ＇，则 AB ⌒ = A'B' ⌒ ，AB=A ＇B ＇，AM=A ＇M ＇ 2、推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 特别提示：①弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中； ②同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。 ③“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂ AOB AB ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧；④在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。 ⑤在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 3、应用（1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；（2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。（3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。

新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)

O A B E F C D 课前回顾 1、垂径定理的概念及其推论： 2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为 E 、 F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。知识点一、圆心角 1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。 3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。与圆有关的角——圆心角、圆周角

例题讲练例题一、概念理解 1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的 n m ，则∠AOB =____________． 3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________． 4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________． 5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。例题二、基础应用 6．已知：如图，A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB =CD ．求证：∠AOC =∠DOB ． 7．已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习 2011-2012学年九年级数学第5课时圆2 弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论一、知识点总结 1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数． 2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等． 3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半． 4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．思维导图如下：二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB为⊙O的弦，点C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD分别交⊙O于点E、F，试证明弧AE=弧BF．分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______”Array把证弧相等

转化为证________________．证明：例2 如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．分析：把证明弦相等转化为证明________相等．证明：例3（2008广东湛江）如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ． (2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．分析： (1)∠ACO=∠______，而∠______=∠______．

圆周角的定理及推论的应用

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。二、圆周角的定理 1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。 2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有： sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R 证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得： x+y+z=180 又由圆周角定理得： ∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x 于是： ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360

[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角

小班辅导教案知识点一圆心角定理 1.概念填空：（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心. （2）顶点在的角叫做圆心角. （3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等. （4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 . 2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 > 3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（） A.50° B.55° C.65° D.80° ̂= . 4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AC

̂的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′ 为（） A.60° B.大于60° C.小于60° D.不能确定题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD； ̂=BÊ. （2）AD 巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD. 题型二利用圆心角定理计算弧的度数 ̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD

̂的度数. 求BE 巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°， ̂的度数. 求AD 知识点二圆心角定理的逆定理 1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 2.下列命题中，真命题是（） A.相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弦所对的弧相等 C.度数相等的弧是等弧 D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm. 4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= . ̂=BĈ.若AB=3,则CD= . 5.如图，在⊙○中，AD

第3章圆题型解读3 五大性质定理之圆心角定理-北师大版九年级数学下册

题型全解3 五大性质定理之圆心角定理【知识梳理】 1.圆心角定理（附：顶点在圆心的角叫圆心角）-----“知一推三”：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（一般指劣弧）、两条弦、对应弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。简记为：等圆心角等弦心距。（知一推三）例:只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， ①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 2. 解析注意： ①一个知识点：知一推三； ②一个注意点：在同圆或等圆中； ③一条思路线：从等弧的角度思考等边（弦）、等角（圆心角）之间的关系 3.注意圆心角与圆周角综合运用题型（1）圆周角与圆心角关系：等弧或同弧所对的圆心角是圆周角的2倍即：如图，∠BOC=2∠A 注意：①熟悉三个位置图 ②熟悉四个辅助线图（特别注意3、4图，圆周角定理与垂径定理结合图） 31 3.圆心角与圆周角关系圆心角在圆周角边上圆心角在圆周角外部圆心角在圆周角内部O A C O A B C B A O B A O

【典型例题】 1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO=（）解析：∵弧BC=弧CD=弧DE，∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°,∴∠AOE=78°,∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO=51° 2.如图，B是劣弧AC的中点，已知∠BAO=65°,则∠BCO=_____________ 解析：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=65°,∴∠AOB=50°,∵弧AB=弧BC，∴∠BOC=∠AOB=50°,∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=65°. 3．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为．解析：连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长C B A O

圆心角--知识讲解(基础)

圆心角--知识讲解（基础）【学习目标】 1.了解圆心角的概念； 2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. B A O 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 要点二、圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释： (1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. (3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点诠释：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相

，，，等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】类型一、圆心角的概念 1.判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断．【答案与解析】解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置; ②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心; ③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心; ④是，满足圆心角定义. 【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等. 类型二、圆心角定理及推论 2.（2016台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若则的度数为何？（） =150°∠A=65°∠D=60°A．25B．40C．50D．55

圆心角定理讲解

圆心角定理 (弧、弦、圆心角关系定理) 基本内容： 1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。在理解时要注意： ⑴前提：在同圆或等圆中； ⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。基本概念理解： 1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（） ①的度数等于；② 所对的圆心角等于所对的圆心角；③ 和是等弧； ④ 所对的弦心距等于所对的弦心距。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（） A ． B ． C ．的度数= 的度数 D ．的长度= 的长度 3．下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 4．已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为． 5．在⊙O 中，的度数240°，则的长是圆周的份．概念的延伸及其基本应用： 1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍，则下列式子中能成立的是（） 2．在同圆或等圆中，如果，则AB 与CD 的关系是（） A ．CD A B 2> B ．CD AB 2= C ．C D AB 2< D ．CD AB = （2题图）

圆心角定理

圆心角定理定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等. 注意：前提条件是在同圆或等圆中; 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形对角互补 [重要辅助线] 1、半径——构造等长线段，倒角、等腰知识 2、弦心距——垂直与重点，勾股定理知识 3、直径——构造90°圆周角，直角三角形 [重要解题思路] 1、弧相等——弦相等——圆心角相等弧条件不好用，记得转化为线段或角)

2、同弧所对圆周角相等圆周角——找到其所对弧——找到弧所对其他圆周角【例1】如图,ABC △是O 的内接三角形, 点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=,C β∠=. (1)当35α=?时，求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系，并给予证明. 【例2】已知：如图,MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是 AN 的中点, A P 是MN 上一动点,O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________. 【例3】如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ,AB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长.

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心弧弦弦心距之间的关系［知识要点归纳］ 1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防

止出现“∠=⋂ AOB AB ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。 6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。 7. 辅助线方法小结：（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I ）连过弧中点的半径；（II ）连等弧对的弦；（III ）作等弧所对的圆心角。 ∴AB ＝CD 弦AB 、DC 若PO 平分∠APC 弦AB 、CD 交于P 点（

圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系

圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系本课教学“password ” ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 独立探索“password ” ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 合作研究“password ” ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 诱导破解“password ” 讲授破解知识点一、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ ①② ③④⑤或①③ ②④⑤或…… 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴ 二、圆心角定理：圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④ ① ②③④或② ①③④…… ② 三、圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D BC BD =AC AD =⇒⇒ AC BD =D B BA ED =⇒⇒ BA ED =

第2课时圆心角定理的推论

第3章圆的基本性质 3.4 圆心角第2课时圆心角定理的推论知识点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.如图3- 4- 14, AB , CD 是O O 的两条弦，0M 丄AB , ON 丄CD ,贝 ⑴如果AB = CD ,那么 ⑵如果A B = CD ,那么 ⑶如果/ AOB = Z COD ,那么 2.如图3- 4- 15所示，在O O 中，A B = A C , / A = 30° ,则/ B 的度数是（） A. 150° B . 75° C . 60° D . 15° 3. 如图3-4- 16,已知点A , B , C 均在O O 上，并且四边形 OABC 是菱形，那么/ AOC ） A . / AOC > 2 / AOB B . (4)如果 OM = ON ,那么与2/AOB 之间的大小关系是（图 3-4- 15 C . / AOC V 2/ AOB D .

4. 如图3-4- 17,已知AB是O O的直径，C, D是BE上的三等分点，/ AOE = 60° 则/ COE的度数为（） A. 40° B. 60° C. 80° D . 120° 5. _________________________________________________________________________ 如图3-4 —18,圆心角/ AOB = 20 °，将AB旋转n°得到CD，则CD的度数是 ___________________ 6. _______________________________________________________________________ 如图3— 4 —19,在O O 中，C 是弧AB 的中点，/ A= 50° ,则/ BOC= __________________ ° . 图3—4—20 7. 如图3—4—20, O是圆心，且PO平分/ BPD, OE丄AB, OF丄CD ,则下列结论： ①AB = CD:②A B=C D:③PO = PE:④BG= DG :⑤PB = PD,其中正确的是 ____________________________________________________________________________________ （填写序号）. &课本课内练习第2题变式如图3 —4 —21所示，在O O中，弦AB与弦CD相等.求证：A D = BC 图3—4—21 9. 2019牡丹江如图3—4—22 ,在O O中，AC = CB, CD丄OA于点D, CE丄OB于点 E.求证：AD = BE.