高等数学D
2020年整理高等数学D.pdf
高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。
了解函数的几种特性。
了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。
掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。
理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。
第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。
了解复合函数的极限运算法则。
第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。
第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。
了解初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。
第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。
理解左导数与右导数的概念。
掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。
掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。
第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。
第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。
第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。
第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。
掌握函数的一阶微分。
第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。
第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。
第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。
会求曲线的拐点。
会用函数的单调性证明简单的不等式。
高等数学课件D定积分概念与性质
作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i )
为高的小矩形, 并以此小
y
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 得
O a x1
xi 1 xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
i
3) 近似和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
O a
xi 1xi
bx
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n a ( y y y ) b 1 2 n n
3. 梯形公式
b a
f ( x ) dx
y
1 [ yi 1 yi ]x 2
ba 1 ( y0 yn ) ( y1 yn1 ) n 2
b
b
b
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
b
A3 A2 O A4
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
可积的充分条件: 定理1. 定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
x i
1 x dx
0
p p p
1
i
1
x i
O
i 1 i n n
x
n 1 2 n i p1 (2) lim lim p 1 n n i 1 n n n
x p dx
0
1
i
三、定积分的近似计算
b a
例1
设 f ( x) C[a, b] , 则 f ( x) d x 存在 , 根据定积分定义
高等数学课件D96几何中的应用
曲线曲率半径和主法线方向计算
曲率半径
曲率半径是描述曲线弯曲程度的量，可以通过公式 $R=frac{1}{|k|}$计算，其中$k$为曲线在某一点的曲率。
主法线方向
主法线方向与曲线的切线方向和副法线方向垂直，可以通过 向量的叉积求得。
微分法在几何极值问题中应用
几何极值问题
微分法可以用于求解几何中的极值问题， 如最小距离、最大面积等。通过构造函数 并求导，可以找到函数的极值点，从而得 到几何量的最大值或最小值。
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向量的运算
包括加法、减法、数乘和点乘等运算，其中加法和数乘是向量的 基本运算，满足交换律、结合律和分配律。
向量的分解
一个向量可以分解为多个向量的线性组合，这是向量空间的重要 性质之一。
空间直角坐标系与点坐标表示
空间直角坐标系的建立
在三维空间中，选取三条互相垂直的数轴作为坐标轴，建立空间 直角坐标系。
直线方程的一般形式
在三维空间中，直线方程可以由两个平面方程联 立求解得到，也可以用参数方程表示。
3
平面与直线的位置关系
通过求解平面与直线的方程，可以判断它们之间 的位置关系，如平行、相交或异面等。
常见曲面及其方程简介
球面方程
球面方程的一般形式为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，表示以(a,b,c)为球心、r为半径的球面。
06 线性规划问题在几何中可 视化解决方案
线性规划问题数学模型构建
确定决策变量
明确问题中需要决策的未 知量，用数学符号表示。
列出目标函数
根据问题要求，构建关于 决策变量的线性目标函数。
高等数学(D类基础)
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
大学文科数学简明教程（上册）,姚孟臣,北京大学出版社,2004,1；
大学文科高等数学题解（上册）,姚孟臣,高等教育出版社,2003,
参考书
1；
教学大纲
课程基本目的：1. 文科类高等数学是为适应现代科学文理渗透的趋势而设置的一门基础数学理论与应用数学方法相结合的课程。其教学内容和方法都具有明显的文科特点。 文科类高等数学D课内容主要包括微积分，讲授内容大约一学期60学时。 2. 使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，建立变量的思想。 3. 使学生受到一定运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。
第一章 函数与极限 6学时
函数
极限的概念
极限的计算
函数的连续性
第二章 一元函数微分学 10学时
导数的概念
导数的运算法则与基本公式
微分
第三章 中值定理和导数的应用 10学时
中值定理
洛必达法则
函数的单调性与极值
函数的微分法作图
第四章 一元函数积分学 10学时
不定积分的概念
不定积分的计算
定积分的概念和基本性质
英文简介
Advanced Mathematics （Basic D) is a preliminary and introductory course for students from social sciences departments etc. It is more elementary than Advanced Mathematics D.
二． 高数D在同类课（微积分类课程）难度链中的位置（由难到易）：
同济大学《高等数学D》英文电子教案课件pptfile_5623579213949
Some Examples for Limit
f2 ( x) f1(a) f2 (a)
a
One Side Limit (An Informal View)
If the values of f (x) can be made as close as we like to L by taking values of x sufficiently close to a (but greater than a), written as lim f (x) L
Advanced Mathematics D
Chapter Two Limits & Continuity
Enter Calculus World
We have known “Function” This is the tool for us enter the Calculus
World The first adventure is “Limit” Limits is the soul of Calculus as well as
“割之弥细，所失弥小. 割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体，而无 所失矣”。
Calculation of a Circle Area
N=4 N=6 N=8 N=10 N=12
Inside Polygo n Area
2 2.598 2.828 2.939 3
Outsid e Polygo n Area
《高等数学D》课程教学大纲
《高等数学D》课程教学大纲(72学时，4学分) 点击下载点击下载一、课程的性质、目的和任务高等数学D是对数学要求较低的专业(如文科各专业)学生的一门必修的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
二、总学时与学分总学时为72，学分为4。
三、课程教学的主要内容及基本要求说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。
一、函数、极限、连续1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
2. 了解复合函数和反函数的概念。
3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。
4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
5. 了解极限的概念，会用四则运算法则及换元法则求极限。
6. 了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限。
7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。
会用等价无穷小求极限。
8. 了解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念以及间断点的概念，并会判别间断点的类型。
9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。
二、一元函数微分学1. 理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式及初等函数的导数的求法。
3. 了解高阶导数的概念。
4. 会求隐函数、参数式所确定的函数及反函数的导数。
5. 了解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。
6. 会用洛必达(L’Ho spital)法则求不定式的极限。
7. 会用导数判断函数的单调性和求函数的极值。
高等数学D习题课黑白
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10)] f (
) f (7) f [
]
f ( ) f (9) 6
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4. 解:
xx
(x) (x)
由
得 (x) ln(1 x) ,
x (,0]
7
5.
已知
f
(
x)
x f
3, [ f (x
习题课 函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
1
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R 函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
图形:
y
y f (x)
( 一般为曲线 )
O
D
x
2
2. 特性
有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数
为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C [X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
高等数学试题D
x2 ( y )dS 2 2 2 2 3 二、 （8 分）计算曲面积分 其中 : x y z R zdv 2 2 三、 （8 分） 计算重积分： 其中 是由 z x y , z 4 所围之立体.
四、 （8 分）求表面积为 a 而体积最大的长方体的体积。
(4) （B） y 2 y y 2 y 0 ; (5) (4) （C） y 2 y y 2 y 0 ;
,x
.
（D） y
(5)
2 y ( 4 ) y 2 y 0 .
x
13. 方程 y 2 y y e
的一个通解是 1 y (C 1 C 2 x )e x e x 2 ; (A) 1 y (C1 C 2 x )e x x 2 e x 2 (B) ；
.
/
(C) (D)
y (C1 C 2 x )e x y (C1 C 2 x )e x
2 2
( x y )
D
x 2 y 2 dxdy
=
.
（A） （B）
0
2
2
(sin cos )d
0
2 cos 0
r 3 dr
；
；
(sin cos )d
2
0
2 cos
r 3 dr
（C）2 （D）
D
(sin cos )d 2 x dxdy
.
.
10.设 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数,则在 D 内 Q P , ( x, y) D Pdx Qdy x y L . 与 路径无关的条件 是 (A) 充分条件; (C) 必要条件. (B) 充要条件; （D）以上均不对
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高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。
了解函数的几种特性。
了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。
掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。
理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。
第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。
了解复合函数的极限运算法则。
第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。
第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。
了解初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。
第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。
理解左导数与右导数的概念。
掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。
掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。
第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。
第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。
第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。
第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。
掌握函数的一阶微分。
第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。
第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。
第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。
会求曲线的拐点。
会用函数的单调性证明简单的不等式。
第五节：函数的极值与最大、最小值要求：理解函数的极值与最值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，会解有关最值的应用题。
第四章不定积分第一节：不定积分的概念与性质要求：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，记11个基本积分公式，掌握直接积分法。
第二节：换元积分法要求：掌握第一类换元法、第二类换元法。
第三节：分部积分法要求：掌握分部积分法。
第六章微分方程第一节：微分方程的基本概念要求：了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念。
第二节：可分离变量的微分方程要求：掌握可分离变量的微分方程的求解方法。
掌握齐次方程的求解方法。
第三节：一阶线性微分方程要求：掌握一阶线性微分方程的求解方法。
第四节：可降阶的高阶微分方程要求：掌握前两种类型的高阶微分方程的降阶方法。
第五节：常系数齐次线性微分方程要求：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。
二、试卷结构《高等数学D(一)》共五道大题：一、填空题（5*3分）二、选择题（5*3分）三、判断题（5*2分）四、计算题（6*7分）五、解答题（2*9分）共100分。
各章比例：第一章10%、第二章25%、第三章21%、第四章22%、第六章22%。
三、练习题(一)一、填空题1．函数1y x=的定义域是 。
2．0sin 5lim 2x x x →= 。
3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。
4．不定积分⎰= 。
5．微分方程430y y y '''-+=的通解为________________________.二、单项选择题1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ ） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导2．曲线y =4x =处的切线方程是 （ ） A ．114y x =- B ．112y x =+ C ．114y x =+ D ．124y x =+ 3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21xB ．3xC ．xD ．211x+4．设()f x 为连续函数，则下列等式中正确的是 （ ）A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()d f x dx f xC dx=+⎰ C ．()()d f x dx f x =⎰ D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．微分方程12'x y e-=的通解是 （ ） A ．2xy e C -=+ B ．2x y e C =+C ．22xy eC -=-+D ．2x y Ce -= 三、计算题1．求极限 ()011lim x x x e x x e →---。
2．设函数1sin 2 ,0 (), ,0x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。
3．设参数方程()1sin cos x t t y t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。
4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d y x。
5．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。
6．求不定积分2arcsin x ⎰。
7．求不定积分3。
8.求微分方程30dy xy dx +-=满足初始条件10x y ==的特解。
四、解答题 1．求函数()()23213f x x x =--的极值。
2．证明不等式：当0x >时，1ln(x x +。
一. 1. 1[,0)(0,)3-+∞U 2. 523.()()f x dx f x '4.()322133x C -+5.312x x y C e C e =+.二. 1.A 2.C 3.D 4.D 5.C三. 1.12 2.1,2a b == 3.cos sin 1sin cos dy t t t dx t t t-=-- 4.y y y x '=- 5. 22ln ln y x C -=. 6.()31arcsin 3x C +7.3221(1)3x C -- 8.33y x=-四.1. 极大值()213f =，极小值()20f = 2. 利用函数的单调性可证明之 (二)一、 填空题1.函数arcsin(4)()e xx f x -=的定义域是 。
2.若 lim(1)3x x a x →∞+=，则常数a = 。
3.设4ln (1),y x =-则d y = 。
4.不定积分x = 。
5.微分方程'''450y y y -+=的通解为 。
二、单项选择题1.设210sin (),00,x x f x x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则()f x 在点0x =处（ ） A ．0lim ()x f x →不存在； B ．0lim ()x f x →存在，但()f x 在点0x =处不连续； C ．'(0)f 存在； D ．()f x 在点0x =处连续，但不可导。
2.函数1()x f x x+=在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则定理中的ξ为（ ） A． BC． D3.曲线e x y x =+点0x =处的切线方程是（ ）A ． 210y x --=；B ．220y x --=；C ．10y x --=；D ．20y x --=4. 微分方程x e y =''的通解为 （ ）A. Cx e y x +=B. 21C x C e y x ++=C. 21C e C y x +=D. x C e C y x 21+=5.微分方程222x dy y dx x ydy =-是（ ）A ．可分离变量方程B ．一阶线性方程C ．齐次方程D ．二阶线性方程三、计算题1． 求极限1ln cos(1)lim π1sin 2x x x →--。
2． 讨论函数 ||,0e (),01x x f x x x ≤⎧=⎨>+⎩ ，在点0x =处是否连续？是否可导？3． 设由方程e 2xy xy y ++=确定隐函数()y y x =，求0d d x y x =。
4． 设由参数方程2arctan ln(1)x t t y t =-⎧⎨=+⎩确定y 是x 的函数，求22d d y x 。
（求到一阶）5．求不定积分x 。
6． 求微分方程'ln x xy y x +=满足初始条件112x y ==的特解。
7． 求微分方程0dx =的通解。
四、综合题1．求函数ln x y x =的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点。
2．证明：当π02x <<时，sin 2πx x >。
(选做)。