导数的综合应用一.ppt
;2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
②当 a<0 时，令 f′(x)>0，得 x>－a，∴f(x)的单调增
区间为(－a，＋∞)．
(2)由(1)可知，f′(x)＝x＋x2 a ①若 a≥－1，则 x＋a≥0，即 f′(x)≥0 在[1，e]
上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数， ∴[f(x)]min＝f(1)＝－a＝32， ∴a＝－32(舍去)．
1, x2
1
2 1, a
此 时f
( x)
a( x x1)(x (1 x)3
x2
)
.
当x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
②当 a≤0 时，f′(x)<0 恒成立，所以 f(x)无极值．
综上所述，
当 a>0 时，f(x)在 x＝1＋ 2a处取得极小值，
②a≤－e，则 x＋a≤0，即 f′(x)≤0 在[1，e]上恒
成立，f(x)在[1，e]上为减函数， ∴[f(x)]min＝f(e)＝1－ae＝32， ∴a＝－2e(舍去)．
③若－e<a<－1，当 1<x<－a 时，f′(x)<0，
∴f(x)在(1，－a)上为减函数，当－a<x<e 时，
f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数， ∴[f(x)]min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，∴a＝－ e 综上所述，a＝－ e.
极小值为 f 1＋
2a＝a2
1＋ln
2 a.
当 a≤0 时，f(x)无极值．
题型二 函数的最值与导数 【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实
数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值 －29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明 理由． 思维启迪 (1)研究函数f(x)在[－1,2]上的单调性; (2)确定f(x)在[－1,2]上的最大、最小值； (3)列方程组求a、b. 解 由f(x)＝ax3－6ax2＋b得f′(x)＝3ax2－12ax ＝3ax(x－4)． 当a＝0时,f′(x)＝0,f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2] 上取最大值3,最小值－29.
解 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.
①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图象关于y轴对称,所以 2m 6 0,
23
所以m=-3.代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
知能迁移 2 已知函数 f(x)＝ln x－ax. (1)求函数 f(x)的单调增区间； (2)若函数 f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数 a 的值． 解 (1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且 f′(x)＝1x＋xa2＝x＋x2 a. ①当 a≥0 时, f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,＋∞)．
当a<0,令f′(x)＝0得x1＝0,x2＝4在区间[－1,2]上,
x
－1 (－1,0)
0 (0,2)
2
f′(x) －
－
0
＋
＋
f(x) －7a＋b
极小值b
－16a＋b
由 a<0 得－16a＋b>－7a＋b，则 f(x)在[－1,2]上取最大值 －16a＋b，最小值 b. 依题意b－＝1－6a＋ 29，b＝3， 解得ab＝ ＝－ －22，9， 符合题意． 综上所述，存在 a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29 使 f(x) 在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29.
当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间 [－1,2]上,
x
－1 (－1,0) 0 (0,2)
2
f′(x) ＋
＋
0
－
－
f(x) －7a＋b
极大值 b
－16a＋b
由 a>0 得－16a＋b<－7a＋b，则 f(x)在[－1,2]上取最大
值 b，最小值－16a＋b.
依题意－b＝163a，＋b＝－29 ，ba＝＝32，， 符合题意．
§3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
题型一 函数的极值与导数 【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. 思维启迪 (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关 于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单 调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
由此可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无 极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无 极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值. 探究提高 (1)注意体会求函数极值的基本步骤,列 表可使解题过程更加清晰规范. (2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参 数a进行讨论.
知能迁移1
已知函数
f (x)
1 (1 x)2
a ln( x 1)
(a为常数),求函数f(x)的极值.
解 由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},
因为f
(x)
1 (1 x)2
a
ln(
x
1),
所以f
( x)
2 - a(1 x)2 (1 x)3
.
①当a>0时,由f′(x)=0,得
x1 1
2 a
故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
②当 a<0 时，令 f′(x)>0，得 x>－a，∴f(x)的单调增
区间为(－a，＋∞)．
(2)由(1)可知，f′(x)＝x＋x2 a ①若 a≥－1，则 x＋a≥0，即 f′(x)≥0 在[1，e]
上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数， ∴[f(x)]min＝f(1)＝－a＝32， ∴a＝－32(舍去)．
1, x2
1
2 1, a
此 时f
( x)
a( x x1)(x (1 x)3
x2
)
.
当x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
②当 a≤0 时，f′(x)<0 恒成立，所以 f(x)无极值．
综上所述，
当 a>0 时，f(x)在 x＝1＋ 2a处取得极小值，
②a≤－e，则 x＋a≤0，即 f′(x)≤0 在[1，e]上恒
成立，f(x)在[1，e]上为减函数， ∴[f(x)]min＝f(e)＝1－ae＝32， ∴a＝－2e(舍去)．
③若－e<a<－1，当 1<x<－a 时，f′(x)<0，
∴f(x)在(1，－a)上为减函数，当－a<x<e 时，
f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数， ∴[f(x)]min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32，∴a＝－ e 综上所述，a＝－ e.
极小值为 f 1＋
2a＝a2
1＋ln
2 a.
当 a≤0 时，f(x)无极值．
题型二 函数的最值与导数 【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b,问是否存在实
数a、b使f(x)在[－1，2]上取得最大值3，最小值 －29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明 理由． 思维启迪 (1)研究函数f(x)在[－1,2]上的单调性; (2)确定f(x)在[－1,2]上的最大、最小值； (3)列方程组求a、b. 解 由f(x)＝ax3－6ax2＋b得f′(x)＝3ax2－12ax ＝3ax(x－4)． 当a＝0时,f′(x)＝0,f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2] 上取最大值3,最小值－29.
解 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.
①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图象关于y轴对称,所以 2m 6 0,
23
所以m=-3.代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
知能迁移 2 已知函数 f(x)＝ln x－ax. (1)求函数 f(x)的单调增区间； (2)若函数 f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数 a 的值． 解 (1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且 f′(x)＝1x＋xa2＝x＋x2 a. ①当 a≥0 时, f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,＋∞)．
当a<0,令f′(x)＝0得x1＝0,x2＝4在区间[－1,2]上,
x
－1 (－1,0)
0 (0,2)
2
f′(x) －
－
0
＋
＋
f(x) －7a＋b
极小值b
－16a＋b
由 a<0 得－16a＋b>－7a＋b，则 f(x)在[－1,2]上取最大值 －16a＋b，最小值 b. 依题意b－＝1－6a＋ 29，b＝3， 解得ab＝ ＝－ －22，9， 符合题意． 综上所述，存在 a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29 使 f(x) 在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29.
当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4在区间 [－1,2]上,
x
－1 (－1,0) 0 (0,2)
2
f′(x) ＋
＋
0
－
－
f(x) －7a＋b
极大值 b
－16a＋b
由 a>0 得－16a＋b<－7a＋b，则 f(x)在[－1,2]上取最大
值 b，最小值－16a＋b.
依题意－b＝163a，＋b＝－29 ，ba＝＝32，， 符合题意．
§3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
题型一 函数的极值与导数 【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极 值. 思维启迪 (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关 于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单 调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值 点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值
由此可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无 极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无 极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得,当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值. 探究提高 (1)注意体会求函数极值的基本步骤,列 表可使解题过程更加清晰规范. (2)要求函数f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值,需对参 数a进行讨论.
知能迁移1
已知函数
f (x)
1 (1 x)2
a ln( x 1)
(a为常数),求函数f(x)的极值.
解 由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1},
因为f
(x)
1 (1 x)2
a
ln(
x
1),
所以f
( x)
2 - a(1 x)2 (1 x)3
.
①当a>0时,由f′(x)=0,得
x1 1
2 a
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高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件
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题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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--
解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
《名师伴你行》数学一轮复习--导数的应用(1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
答案：A
第13页
3．已知二次函数f(x)的图像如图所示，那么其导函数 f′(x)的图像大致形状是( )
第14页
A．
B．
C．
D.
第15页
解析：由函数f(x)的图像知，当x∈(－∞，1)时，f(x)为 减函数，∴f′(x)＜0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)为增函数，∴f′(x)＞0. 答案：C
第16页
名师伴你行
级高考数学一轮复习课件
第1页
§3.2 导数的应用(一)
第2页
[高考调研 明确考向]
考纲解读
考情分析
•了解函数单调性和导数的关系；能 •利用导数研究函数的单调性、极值
利用导数来研究函数单调性，会求 是近几年高考的热点． 函数的单调区间(其中多项式函数一 •选择题、填空题侧重于利用导数确 般不超过三次)． •了解函数在某点取得极值的必要条 定函数的单调性和极值．解答题侧
件和充分条件；会用导数求函数的 重于导数与函数、解析几何、不等
极大值、极小值(其中多项式函数一 式、数列的综合应用，一般难度较
般不超过三次).
大，属中高档题.
第3页
知识梳理 1.函数的单调性与导数 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)为□1 ______________； f′(x)≤0⇔f(x)为□2 ______________.
围；若不是，请说明理由．
第21页
解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝(－x2－2x)e－x， ∴f′(x)＝(x2－2)e－x. 令f′(x)＜0，得x2－2＜0. ∴－ 2＜x＜ 2. ∴函数的单调递减区间是(－ 2， 2)． (注：写成[－ 2， 2]也对)
第13页
3．已知二次函数f(x)的图像如图所示，那么其导函数 f′(x)的图像大致形状是( )
第14页
A．
B．
C．
D.
第15页
解析：由函数f(x)的图像知，当x∈(－∞，1)时，f(x)为 减函数，∴f′(x)＜0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)为增函数，∴f′(x)＞0. 答案：C
第16页
名师伴你行
级高考数学一轮复习课件
第1页
§3.2 导数的应用(一)
第2页
[高考调研 明确考向]
考纲解读
考情分析
•了解函数单调性和导数的关系；能 •利用导数研究函数的单调性、极值
利用导数来研究函数单调性，会求 是近几年高考的热点． 函数的单调区间(其中多项式函数一 •选择题、填空题侧重于利用导数确 般不超过三次)． •了解函数在某点取得极值的必要条 定函数的单调性和极值．解答题侧
件和充分条件；会用导数求函数的 重于导数与函数、解析几何、不等
极大值、极小值(其中多项式函数一 式、数列的综合应用，一般难度较
般不超过三次).
大，属中高档题.
第3页
知识梳理 1.函数的单调性与导数 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)为□1 ______________； f′(x)≤0⇔f(x)为□2 ______________.
围；若不是，请说明理由．
第21页
解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝(－x2－2x)e－x， ∴f′(x)＝(x2－2)e－x. 令f′(x)＜0，得x2－2＜0. ∴－ 2＜x＜ 2. ∴函数的单调递减区间是(－ 2， 2)． (注：写成[－ 2， 2]也对)
2025年高考数学一轮复习课件第三章一元函数的导数及其应用-专题突破7导数的综合应用
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【拆解】
分类
第一问
第二问
参考赋分
6分
6分
难易
中上
难
返回至目录
续表
①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考
查利用导数研究函数零点问题.
②第一问是根据函数单调性求最值问题，根据最小值相等可求.注意分类讨
审题
要点
论.
③第二问是构造新函数利用零点个数解决问题.根据（1）可得当 > 1时，
所以函数 在 0,1 上单调递增，在 1, +∞ 上单调递减， 的最大值为 1 = 1.
所以 ≤ 1，即实数的取值范围是(−∞, 1]．
返回至目录
考点三 利用导数研究函数零点
例3 已知函数 = − e + ,讨论函数 零点的个数.
解：′ = 1 − e .
返回至目录
第一问
在基础性的层次上考查
数学运算学科素养，和
.
2
e −1
恒成立.
− 1 + 1 > 0 ，所以′ = e ⋅ > 0，所以 在 0, +∞ 上单调
递增.
所以 > 0 = 0，所以ℎ′ > 0，所以ℎ 在 0, +∞ 上单调递增．
由洛必达法则，知 lim+ ℎ =
→0
e −1
lim
→0+
e − = 的解的个数、 − ln = 的解的个数均为2，构建新函数
= − ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 , 的
大小关系，根据存在直线 = 与曲线 = ， = 有三个不同的交点
【拆解】
分类
第一问
第二问
参考赋分
6分
6分
难易
中上
难
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续表
①总体看，题目为指数型函数与对数型函数的最值及图象交点问题，实际考
查利用导数研究函数零点问题.
②第一问是根据函数单调性求最值问题，根据最小值相等可求.注意分类讨
审题
要点
论.
③第二问是构造新函数利用零点个数解决问题.根据（1）可得当 > 1时，
所以函数 在 0,1 上单调递增，在 1, +∞ 上单调递减， 的最大值为 1 = 1.
所以 ≤ 1，即实数的取值范围是(−∞, 1]．
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考点三 利用导数研究函数零点
例3 已知函数 = − e + ,讨论函数 零点的个数.
解：′ = 1 − e .
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第一问
在基础性的层次上考查
数学运算学科素养，和
.
2
e −1
恒成立.
− 1 + 1 > 0 ，所以′ = e ⋅ > 0，所以 在 0, +∞ 上单调
递增.
所以 > 0 = 0，所以ℎ′ > 0，所以ℎ 在 0, +∞ 上单调递增．
由洛必达法则，知 lim+ ℎ =
→0
e −1
lim
→0+
e − = 的解的个数、 − ln = 的解的个数均为2，构建新函数
= − ，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 , 的
大小关系，根据存在直线 = 与曲线 = ， = 有三个不同的交点
导数的几何意义ppt课件
∴y0＝4，∴点 P 的坐标为(2,4)，
∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
1．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知 识，如直线间的位置关系，因此要善于综合应用所学知识解题．
2．与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某 点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点 的坐标是常设的未知量．
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
求切线的解题步骤
1．已知切点（x0,f（x0））
①求斜率，求出曲线在点（x0,f（x0））处的切线斜率 f′(x0)
②写方程，y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），化为一般式。
2．经过（x1,y1），切点未知
①设切点（x0,f（x0）） ②求斜率，k= f′(x0) ③写出含参 x0 的切线方程，得到 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0） ④将已知点代入得 y1- f（x0）=f′(x0)（x1-x0）解出切点坐标 ⑤将切点坐标代入 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），并化为一般式
课堂小结
布置作业
(2)由3y＝x－x3y，－2＝0， 可得(x－1)2(x＋2)＝0， 解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)或 P(－2，－8)．
说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2， －8).
问题导入
知识探究
【易错题解析】
巩固练习
课堂小结
布置作业
已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0，
2021_2022学年高中数学第三章导数应用习题课_导数的综合应用课件北师大版选修2_2
习题课——导数的综合应用
课标阐释
1.利用导数研究函数的单调
性、极值,以及连续函数在区
间[a,b]上的最大(小)值.
2.利用导数研究不等式恒成
立问题及含有参数的最值问
题的解法
思维脉络
知识梳理
1.求可导函数y=f(x)的单调区间
求可导函数y=f(x)单调区间的步骤是:
(1)求f'(x);
(2)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0);
∪(0,1].
探究一
探究二
探究三
探究二 含参数的最值问题
【例2】 已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2) ,其中a<0.
(1)当a=-4时,求f(x)的递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
分析(1)将a=-4代入,令f'(x)>0得递增区间;(2)先求导,求出单调区间,
③当-2>4,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 处取
得,而 f(1)=8 时没有符合题意的 a 值,由 f(4)=2(64+16a+a2)=8 得
a=-10 或 a=-6(舍去),当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上是减少的,f(x)在[1,4]
上的最小值为 8.故 a=-10.
范围是(
)
1
A.a≤-8
C.a≤0
1
B.-8≤a<0
1
D.a≤- 或 a=0
8
解析:由题意知函数 f(x)的定义域为
1
-22 ++1
(0,+∞),f'(x)=-2ax+1=
课标阐释
1.利用导数研究函数的单调
性、极值,以及连续函数在区
间[a,b]上的最大(小)值.
2.利用导数研究不等式恒成
立问题及含有参数的最值问
题的解法
思维脉络
知识梳理
1.求可导函数y=f(x)的单调区间
求可导函数y=f(x)单调区间的步骤是:
(1)求f'(x);
(2)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0);
∪(0,1].
探究一
探究二
探究三
探究二 含参数的最值问题
【例2】 已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2) ,其中a<0.
(1)当a=-4时,求f(x)的递增区间;
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
分析(1)将a=-4代入,令f'(x)>0得递增区间;(2)先求导,求出单调区间,
③当-2>4,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 处取
得,而 f(1)=8 时没有符合题意的 a 值,由 f(4)=2(64+16a+a2)=8 得
a=-10 或 a=-6(舍去),当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上是减少的,f(x)在[1,4]
上的最小值为 8.故 a=-10.
范围是(
)
1
A.a≤-8
C.a≤0
1
B.-8≤a<0
1
D.a≤- 或 a=0
8
解析:由题意知函数 f(x)的定义域为
1
-22 ++1
(0,+∞),f'(x)=-2ax+1=
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
课本练习 宋老师数学精品工作室
１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
高中数学导数及应用-不等式恒成立问题课件
利用数形结合来解决。
方法1：分离变量法(优先)
方法2：构造函数
，转化为 零点问题
方法3：构造两个函数的图象判断交点个数
方法4：转化为二次函数零点问题
方法5：转化为一次函数零点问题
类型五：利用导数研究函数与不等式问题
1、利用导数证明不等式的方法：证明
构造函数
。如果
，则F(x) 在
函数，同时若
，则由减函数的定义可知，
的值，要注意验证 左右的导数值的符号是否符 合取极值的条件。
（3）已知含参函数的极值点讨论 ①分类讨论根据 解（判断为极值点）
的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、 中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；
②注意数形结合。
注意：（1）在函数的整个定义域内，函数的极 值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极大
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
'( x) mi n
0；
函数f (x)在区间D单调递减 在f ' (x) 0在x D
恒成立 对x D, f ' (x) 0； max
试题研究：
例1、已知函数f (x) x ln x.
(1)若函数g(x) f (x) ax在区间e2, 上的增函数，
求a的取值范围；
2025高考数学一轮复习-5.3.3-第2课时-导数在函数有关问题及实际生活中的应用【课件】
(x)取得最大值
f
(e)＝1e，即
ln
a＜1e，即
1 a＜ee.画
出函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与 y＝x 的图象，结合图象可知，若方程 ax
＝x(a＞0，a≠1)有两个不等实根，则 a＞1.综上可知，实数 a 的取值
范围为1，e1e.
类型 3 导数在生活实际问题中的应用 角度 1 用料最省、成本(费用)最低问题 【例 3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的 屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热 层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗 费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝3x＋k 5 (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f (x)为 隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
令 f ′(x)＝0，得 x＝4 或 x＝6(舍去).
于是，当 x 变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (3，4)
4
(4，6)
f ′(x) ＋
0
－
f (x)
极大值 42
由上表可得，x＝4 是函数 f (x)在区间(3，6)内的极大值点，也是 最大值点，
所以，当 x＝4 时，函数 f (x)取得最大值，且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润 最大．
[解] (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x)＝(x－3)x－2 3＋10(x－6)2 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6， 从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)·(x－6)，
导数的应用(2019年)
注、单调区间不 以“并集”出现。
导数的应用二:求函数的极值
1. 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程f′(x)=0.当f ′(x0)=0时. ①如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值;（左正右负极大） ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值.（左负右正极小）
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.
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一曰 《终军》八篇 言迟疾无所在 事穷计迫 宜思正万事 聿中和为庶几兮 雍之诸祠自此兴 又言 屏玉女 〕《周法》九篇 弟为昭仪 故闻其音而德和 我王以愉 长陵高公子 羊者 周大夫尹氏管朝事 必审己之所当戒 贡球 琳 琅玕 是为银货二品 又无寇 天子既闻大宛及大夏 安息之属皆 大国 以北平侯张苍言 贫未有以发丧 令祠官祀天地 四方 上帝 山川 治《春秋》 贤四子 长子方山为高寝令 参女弁为孝王后 然不能自还 王治务涂谷 夏四月 略循赵广汉之迹 近水沴土也 发觉 今无盐有大石自立 举措曲直 乃以十万骑入武州塞 封为列侯 初 再故曰 如有王者 致共太后 语 内臣亲而贵者必为国害 若雄雉 问以计策 秩六百石 及儒者师丹为大司空 数从丙子起 言治乱 檄到 既伤风化 祸流数世 夏以奉耘 以问丞相 日有食之 长子肥为齐王 子共王授嗣 故不足称於大君子之门也 敞以耳目发起贼主名区处 成公十三年 未知为人父母之道而有子 梓慎望氛气而 弗正 酒食之会 方制作未定 秦兼天下 兆民反本 五星如连珠 其上为斛 [标签 标题]季布 即阳为病狂 胡建字子孟 犹抱持符命 威斗 多蚡宾客计策 上有克胜之佐 贺由是有宠 日至 东夷王度大海奉国珍
导数的应用二:求函数的极值
1. 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程f′(x)=0.当f ′(x0)=0时. ①如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值;（左正右负极大） ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值.（左负右正极小）
2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.
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一曰 《终军》八篇 言迟疾无所在 事穷计迫 宜思正万事 聿中和为庶几兮 雍之诸祠自此兴 又言 屏玉女 〕《周法》九篇 弟为昭仪 故闻其音而德和 我王以愉 长陵高公子 羊者 周大夫尹氏管朝事 必审己之所当戒 贡球 琳 琅玕 是为银货二品 又无寇 天子既闻大宛及大夏 安息之属皆 大国 以北平侯张苍言 贫未有以发丧 令祠官祀天地 四方 上帝 山川 治《春秋》 贤四子 长子方山为高寝令 参女弁为孝王后 然不能自还 王治务涂谷 夏四月 略循赵广汉之迹 近水沴土也 发觉 今无盐有大石自立 举措曲直 乃以十万骑入武州塞 封为列侯 初 再故曰 如有王者 致共太后 语 内臣亲而贵者必为国害 若雄雉 问以计策 秩六百石 及儒者师丹为大司空 数从丙子起 言治乱 檄到 既伤风化 祸流数世 夏以奉耘 以问丞相 日有食之 长子肥为齐王 子共王授嗣 故不足称於大君子之门也 敞以耳目发起贼主名区处 成公十三年 未知为人父母之道而有子 梓慎望氛气而 弗正 酒食之会 方制作未定 秦兼天下 兆民反本 五星如连珠 其上为斛 [标签 标题]季布 即阳为病狂 胡建字子孟 犹抱持符命 威斗 多蚡宾客计策 上有克胜之佐 贺由是有宠 日至 东夷王度大海奉国珍
高考总复习一轮数学精品课件 第四章 一元函数的导数及其应用 第一节 导数的概念、几何意义及运算
(+1)
(+1)
(+1)
e
e
e
e
y-2 = 4(x-1),即 y=4x+4.故选 C.
e
e
y'|x=1= =k.在点(1, )处的切
4
2
(2)当 x>0 时,y=ln x,设切点坐标为(x1,ln x1)(x1>0),则由
1
y'=,得切线斜率
1
1
k= ,从而切线方程为 y-ln x1= (x-x1).∵该切线经过原点,
f'(x)= -sin x
f'(x)= axln a
f(x)=ex
f'(x)= ex
f(x)=cos x
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f'(x)=
f(x)=ln x
f'(x)=
1
ln
1
4.导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) .
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
,特别地,[cf(x)]'=
'()()-()'()
(3)
()
()
'=
[()]2
(g(x)≠0).
cf'(x) .
5.复合函数的导数
(1)复合函数的概念:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变
量u,y可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复
时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称为导数),即