2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(函数的性质及其应用)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全

（函数的性质及其应用）

一、选择题

1. （2018上海）设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）

的图像绕原点逆时针旋转π6

后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）

的可能取值只能是（ ） （A ）3 （B ）

32

（C ）

33

（D ）0

2．（2018浙江）函数y =||2x sin2x 的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2.答案：D 解答：令||()2sin 2x y f x x ，|

|

||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x ，所以

()f x 为奇函数①；当(0,)x 时，||

20x ，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①②可

知，选D.

3．（2018天津文）已知13313

711

log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）

（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>

3．【答案】D

【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<，1

10

3

1110444??????

<<< ? ? ???????

，

即01b <<，1333

17

log log 5log 52=>，即c a >，综上可得：c a b >>．故选D ．

4．（2018天津理）已知2log e =a ，ln 2b =，1

2

1

log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） (A) a b c >>

(B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >>

4．【答案】D

【解析】由题意结合对数函数的性质可知：

2log e 1a =>，()21

ln 20,1log e b ==

∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．

5．（2018全国新课标Ⅰ文）设函数()20

1 0

x x f x x -?=?>?，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围

是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，

5.答案：D

解答：取12x =-，则化为1

()(1)2

f f <-，满足，排除,A B ； 取1x =-，则化为(0)(2)f f <-，满足，排除C ，故选D .

6．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=?

>?，，

，，

()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）

6. 答案：C

解答：∵()()g x f x x a =++存在2个零点，即()y f x =与y x a =--有两个交点，)(x f 的图象如下：

要使得y x a =--与)(x f 有两个交点，则有1a -≤即1a ≥-，∴选C.

7．（2018全国新课标Ⅱ文、理）函数()2

e e x x

f x x --=的图像大致为（ ）

7．【答案】B

【解析】0x ≠，()()2

e e x x

f x f x x

---==-，()f x ∴为奇函数，舍去A ，()11e e 0f -=->，

∴舍去D ；

()(

)()

()()24

3

e

e e e 22e 2e x

x x x x x

x x

x x f x x

x

---+---++=

'=

，2x ∴>，()0f x '>，所以

舍去C ；因此选B ．

8．（2018全国新课标Ⅲ文）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）

A ．ln(1)y x =-

B ．ln(2)y x =-

C ．ln(1)y x =+

D ．ln(2)y x =+

8.答案：B

解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B.

9．（2018全国新课标Ⅲ文、理）函数42

2y x x =-++的图像大致为（ ）

9．答案：D

解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；

又因为3

22424(22

y x x x x x '=-+=-+

-，则()0f x '>的解集为22(,)(0,)22-∞-，()f x 单调递增区间为2(,)2-∞-，2

(0,2；()0f x '<的解集为

22((,)+∞，()f x 单调递减区间为2(，2()+∞.结合图象，

可知D 选项正确.

10．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若

(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=（ ） A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 10．【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，()()()311f x f x f x ∴+=-+=-，4T ∴=，

因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f +++

+=+++++????， 因为()()31f f =-，()()42f f =-，所以()()()()12340f f f f +++=，

()()()222f f f =-=-，()20f ∴=，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==，选C ．

11．（2018全国新课标Ⅲ理）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）

A ．0a b ab +<<

B ．0ab a b <+<

C ．0a b ab +<<

D ．0ab a b <<+

11．答案：B

解答：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，

∴

0.31log 0.2a =

，0.31

log 2b =， ∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab

+<<，

又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，故选B.

二、填空:

1．（2018北京理）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］

上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 1．【答案】sin y x =（答案不唯一） 【解析】令()(]00

402x f x x x =??=?

-∈??

，，，，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．又如，令()sin f x x =，则()00f =，()()0f x f >对任意的(]

0,2x ∈都成立，但()f x 在[]0,2上不是增函数．

2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒?（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，）

，则a= 。

3. （2018上海）已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）

上速减，则α=_____

4. （2018上海）已知常数a >0，函数

2

22()(2)

f x ax =+的图像经过点

65p p ?? ???，、15Q q ?

?- ??

?，，若236p q pq +=，则

a =__________

5．（2018江苏）函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．

5．【答案】[)2,+∞

【解析】要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为

[)2,+∞．

6．（2018江苏）函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2

()1||,20,2

x x f x x x π?<≤??=??+<≤??-

则((15))f f 的值为 ▲ ．

6．【答案】

2

2

【解析】由()()4f x f x +=得函数()f x 的周期为4， 所以()()()11151611122

f f f =-=-=-+

=， 因此()()1215cos 2π42f f f ??

=== ???

．

7．（2018浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡

母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,1

53100,3x y z x y z ++=??

?++=??

当81z =时，x =___________，y =___________． 7.答案：8 11

解答：当81z

时，有

811005327

100

x y x

y ，解得

811

x y

.

8．（2018浙江）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λ

λ-≥???-+

，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是

___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

8.答案：(1,4) (1,3](4,)?+∞

解答：∵2λ=，∴24,2

()43,2

x x f x x x x -≥?=?-+

当2x ≥时，40x -<得24x ≤<.

当2x <时，2430x x -+<，解得12x <<. 综上不等式的解集为14x <<.

当2

43y x x =-+有2个零点时，4λ>.

当2

43y x x =-+有1个零点时，4y x =-有1个零点，13λ<≤. ∴13λ<≤或4λ>

.

9．（2018天津文）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ?++-≤?=?-+->??，，

，．

若对任意x ∈［–3，+∞），

f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．

9．【答案】1,28??

????

【解析】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，

整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 1

102

2a x x x ??≥-+> ???，

结合二次函数的性质可知，当12x =时，2max 1

11112

2848x x ??-+=-+= ???，则18a ≥；

②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()

()2min

32

30a x x x ≤--+-≤≤，

结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()

2min

322x x --+=，则2a ≤；

综合①②可得a 的取值范围是1,28??

????

．

10． （2018天津理）已知0a >，函数222,0,

()22,0.

x ax a x f x x ax a x ?++≤=?-+->?若关于x 的方程()f x ax

=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .

10．【答案】()4,8

【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得()21x a x =-+，

很明显1x =-不是方程的实数解，则21

x a x =-+，

当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得()22x a x =-，

很明显2x =不是方程的实数解，则2

2

x a x =-

，

令()2

2,01,0

2

x x x g x x x x ?-≤??+=??>?-?，其中211211x x x x ??

-=-++- ?++??，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围．

结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8．

11．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()()

22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．

11、答案：7-

解答：可得2log (9)1a +=，∴92a +=，7a =-.

12．（2018全国新课标Ⅲ文）已知函数2()ln(1)1f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．

12．答案：2- 解答：())

2ln

11()f x x x x R -=++∈，

22()()ln(1)1ln(1)1f x f x x x x x +-=+++++22ln(1)22x x =+-+=，

∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-.

三、解答题

1. （2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均勇士，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

（单位：分钟），

而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族S的人均通勤时间g x

（）的表达式；讨论（）的单调性，并说明其实际意义。

g x