2018年复旦附中自招题-含答案解析
1 2018年复旦附中自招题 1. 已知a、b、c是一个三角形的三边，则222222444222accbbacba的值是（ ） A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负
解：选B
222222444222accbbacba
2222224)(cbcba )2)(2(222222bccbabccba ])(][)([2222cbacba ))()()((cbacbacbacba ∵a、b、c是一个三角形的三边， ∴0cba，0cba，0cba，0cba，
∴0))()()((cbacbacbacba 2. 设m，n是正整数，满足mnnm，给出以下四个结论：① m，n都不等于1；② m，n都不等于2；③ m，n都大于1；④m，n至少有一个等于1，其中正确的结论是（ ） A.① B.② C.③ D.④
解：选D
由mnnm得111nm
若m，n均大于1，则,11,11nm111nm，矛盾， ∴m，n至少有一个等于1。 3. 已知关于x的方程axax2有一个根为1，则实数a的值为（ ）
A.251 B.251 C.251 D.以上答案都不正
确 解：选A
将1x代入，得12aa，
两边平方，得012aa，251a， 当251a时，1x不是原方程的根，舍 2
∴251a 4. 已知a，b，c是不完全相等的任意实数，若cbax2，cbay2，cbaz2，则关于x，y，z的值，下列说法正确的是（ ） A.都大于0 B.至少有一个大于0 C.都小于0 D.至多有一个大于
0 解：选B
0zyx，
若x，y，z均小于0，则0zyx，矛盾； 故至少有一个大于0。
5. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数ba，cb，ac，下列说法错误的是（ ） A.可能均为有理数 B.可能均为无理数
C.可能恰有一个为有理数 D.可能恰有两个为有理数
解：选D
若cba,,均为有理数，A正确；
若2a，3b，0c，B正确； 若2a，2b，0c，C正确; 6. 关于x，y的方程组0)12()2(0)2)((22yxyxyxyx的实数解有（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
解：选A
由①得0yx或02yx，
由②得02yx且012yx，
∴只有11yx一组解。 7. 为了得到函数23xy的图像，可以将函数1632xxy的图像（ ） A.先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位
B.先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位
C.先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位
D.先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位
解：选A 3
由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于x轴对称，得到1632xxy， 即4132xy，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位，得到23xy。 8. 若关于x的方程abx2有四个实数解，则化简bbaababababa的结果是（ ） A.2 B.0 C.2 D.4
解：选C 画出bxy2和ay的函数图像， ∵有四个交点，∴ ba0，
∴21111bbaababababa 方法二： ∵abx2，
∴abx2或abx2， ∴bax2或abx2， ∵原方程有四个实数解， ∴0a，0ba，0ab， ∴0b， ∴原式21111
9. 如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（ ）
A.10m B.43m C.143m D.
xy2ob 4
143m 解：选C 设022mxx的两根为1x，2x，
则0112121xxxx
解得143m。 10. 用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？（ ） .A 2 种 .B3种 .C4种 .D5种
解：选B 关键是看正多边形的内角和，如果围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角之和恰是一个周角，则可以铺满整个平面而不留缝隙，只有正三角形、正四边形和正六边形可以。
11. 已知对于满足：3ba，4cb的实数cba,,，均有kcba2恒成立，则实数k的最小值为 （ ） .A 7 .B 8 .C 9 .D 10
解：选D
7cbbacbbaca
102cabacba，所以k最小是10
12. 设1)(234xxxxxf，则关于)(xf的性质，正确的一项为 （ ） .A对任意实数x，)(xf总是大于0 .B对任意实数x，)(xf总是小于0 .C当0x时，0)(xf .D以上均不对
解：选A 222234)1()1(1)(xxxxxxxxxf
恒大于0
13. 已知实数cba,,满足0ba，且0cba，抛物线02cbxaxy在x轴上截得线段长度为l，则l的取值范围为 （ ） .A10l .B20l .C32l .D43l 解：选C
22212212144)(aacbxxxxxx
5
∵ 0a，)(cab ∴ acacaaacbaacb144222 ∵ )(bac ∴ abac21，∴ 3221xx 14. 已知实数y、x满足：062,033yyyx。则2yyx的值为（ ）。 0.A 21.B 1.C 23.D
解：选D
2yyx
23232633yyyyyy
yx.
15. 已知二次函数222axxy.当自变量x的取值范围为11x，y的取值既有正值又有负值。则实数a的取值范围为（ ）.
21.aA 21-.aB 21.aC或21-a .D以上答案都不正确
解：选D 显然，二次函数与x轴有两个交点，令交点横坐标为2,1xx，21xx。由韦达定理得221xx
若1121xx，则121xx与221xx矛盾， ∴0)1()1(ff， ∴0221)(221(）aa，
∴21a或21a 经检验当21a时，不符合题意。 16. 已知cba、、是互不相等的实数，三个方程02baxx①；02cbxx②；02acxx③，①②有公共根p，②③有公共根q，③①有公共根r，则abc（ ）. 6
1.A 3.B 1.C 2.D 解：将pqr带入三个方程得cabarcbcaqbabcp，又由韦达定理得aqrcpqbpr ∴1)(2pqrabc，选A 17. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖。在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中. 乙：我没有获奖，丙获奖了. 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖. 丁：乙说得对. 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）. .A甲 丁 .B乙 丙 .C乙 丁 .D以上都不正确
解：选D 显然乙、丁同对错 ① 当甲丙对，乙丁错时，乙丙或乙丁获奖 ② 当甲丙错，乙丁对时，无符合情况 18. 如图梯形ABCD中，CDAB∥,对角线AC与BD交于点K,点L为BD的中点。已知AKB△、ALD△的面积分别为1218、，则ALC△的面积为（ ）.
7.A 9.B 11.C 13.D 解：由L为BD中点可得21ALDALBSS△△，∴3ALKS△
∴24ABlS△,由蝴蝶定理得KADS△24KBCS△
∴432418CBKABKCLKALKSSKCAKSS△△△△，∴4CLKS△ ∴7ALCS△，选A 19. 甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给已，获利%10，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了%10，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，甲在上述股票交易中（ ） .A甲刚好盈亏平衡 .B甲盈利1元 .C甲盈利9元 .D甲亏本1.1元
解：选B 甲第一次卖给乙赚了100%101000元，乙用1100元买入股票，
2118K
L
AB
DC
2018上海中学自招真题及答案
所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形
在△ABE 中 AE 5 1 其中 AE 1 解得 BE 5 1
BE 2
2
（2）在△ACD 中过 A 作 AF 垂直CD 于点 F
易得FAD 18
所以 sin18 FD
AD
1 2= 5 1
【答案】（1） 6 c≤9 （2） 8104
【解析】（1）令 f 1 f 2 f 3 k ， g x f x k ， 0 k≤3 则 g x x 1 x 2 x 3 所以 f x g x k x3 6x2 11x 6 k
【答案】 45
4
【解析】如右图所示
易得 AC 92 122 15
所以OC 15
2
△C△OF∽ ABC
所以 OF OC 解得OF 45 即 EF 45
AB BC
8
4
8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即 n ），如果n 是奇
2
数，则将它乘以 3 再加1（即 3n 1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如 果对于正整数 n （首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第 八项为1，则 n 所有可能取值为
得到△ACB ，则点 C 的坐标是
【答案】
3 (,
3)
22
【解析】如右图所示易得
CAD BAO 60
过C 作CD x 轴于点 D 在△ACD 中 AC 1 易解得
AD 1 ， CD 3
2
2
即 C( 3 , 3 )
22
7、一张矩形纸片 ABCD ， AD 9， AB 12 ，将纸片折叠，使 A 、 C 两点重 合，折痕的长是
2018年上海中学自主招数学试卷-含答案详解
2018年上海中学自主招数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知x2+ax−12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有( )A. 0B. 2C. 4D. 62. 如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD=EC，过A作直线l，作DM//BA 交l于M，作EN//CA交l于N.设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则( )A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. S1与S2的大小与过点A的直线位置有关3. 设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2=2(q1+q2)，若方程甲：x2+p1x+q1=0，乙：x2+ p2x+q2=0，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定4. 设a=121+223+325+⋯+100722013，b=123+225+327+⋯+100722015，则以下四个选项中最接近a−b的整数为( )A. 252B. 504C. 1007D. 2013二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）5. 已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于______ ．6. 有______个实数x，可以使得√120−√x为整数．7. 如图，△ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF=______．8. 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−34m2(m>0)与x轴交于A，B两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m的值等于_______．9. 定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r<72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值．10. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人．11. 对于各数互不相等的正整数组(a1,a2,…a n)(n是不小于2的正整数)，如果在i<j时有a i>a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的逆序数为2，则(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的逆序数为______．12. 若n为正整数，则使得关于x的不等式1121<nx+n<1019有唯一的整数解的n的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共16.0分。
复旦附中自招题
复旦附中自招题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列词语中，加点字的读音完全正确的一项是（）A. 狡黠（xiá）剽悍（piāo）暂时（zhàn）戛然而止（jiá）B. 提防（dī）星宿（xiù）胆怯（qiè）牵强附会（qiǎng）C. 纤细（qiān）殷红（yān）闷热（mēn）茅塞顿开（sè）D. 龟裂（jūn）称职（chèng）游说（shuì）忍俊不禁（jīn）2. 下列词语中，没有错别字的一项是（）A. 端详萧索莫名其妙暗然失色B. 狼藉迁徙迫不及待焕然一新C. 炫耀游弋谈笑风声碌碌无为D. 繁衍端详走头无路盛气凌人3. 下列句子中，加点成语使用恰当的一项是（）A. 面对这道难题，他漫不经心地做，最后还是没有解出来。
B. 当四川汶川大地震不期而遇时，给当地的人们带来巨大灾难。
C. 他在政治课上答错了一道题，结果弄得面红耳赤，声名狼藉。
D. 车展会的展位上，样车鳞次栉比，展示出迷人的魅力。
4. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 通过这次社区劳动，使她更喜欢参加青年志愿者活动。
B. 我们只有相信自己的能力，才能在各种考验前充满信心。
C. 长沙市文明办开展与策划“我爱星城”的活动，得到市民很多的响应。
D. 为了防止不再出现这样的问题，我们班全体同学专门开会研究，制定出具体的改进措施。
5. 下列文学常识表述有误的一项是（）A. 关雎蒹葭都选自诗经，诗经是我国最早的一部诗歌总集，收录了从西周到春秋时期的诗歌305篇，分为风、雅、颂三部分。
B. 鲁迅，原名周树人，浙江绍兴人，我国伟大的无产阶级文学家、思想家、革命家。
他的小说集有呐喊彷徨，散文集有朝花夕拾。
C. 变色龙的作者是俄国作家契诃夫，他与法国的莫泊桑和美国的欧·亨利并称为“世界三大短篇小说巨匠”。
D. 简·爱是英国作家夏洛蒂·勃朗特的代表作，作品讲述了贫苦孤女简·爱为寻求人格独立、爱情和尊严而挣扎奋斗的故事。
复旦附中自招数学试卷
复旦附中自招数学试卷一、在复旦附中自招数学考试中，若题目给出数列1，3，5，7...，问此数列的第10项是多少？A. 10B. 17C. 19D. 21（答案）C解析：此数列为等差数列，首项为1，公差为2，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入n=10，a1=1，d=2，计算得第10项为19。
二、若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边的长度可能为？A. 2B. 3C. 12D. 14（答案）C解析：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，第三边的长度应在3（8-5）和13（5+8）之间，所以只有12符合条件。
三、在复旦附中自招数学中，若题目要求解方程x2-5x+6=0，其解应为？A. x=1, x=6B. x=2, x=3C. x=-2, x=-3D. x=1, x=5（答案）B解析：此方程为二次方程，可通过因式分解法求解，分解为(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。
四、若一个正方体的表面积为24平方米，则其体积为？A. 4立方米B. 6立方米C. 8立方米D. 12立方米（答案）C解析：正方体的表面积公式为6a2，体积公式为a3。
由题意知6a2=24，解得a=2，所以体积为23=8立方米。
五、在复旦附中自招数学考试中，若题目给出函数y=2x+1，当x=3时，y的值为？A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）C解析：将x=3代入函数y=2x+1中，得y=2*3+1=7。
六、若一个圆的半径为r，则其面积与周长的比为？A. r/2B. 1/2C. r/2πD. π/2（答案）C解析：圆的面积公式为πr2，周长公式为2πr，所以面积与周长的比为πr2/(2πr)=r/2π。
七、在复旦附中自招数学中，若题目要求求解不等式2x-5>3，其解集为？A. x>1B. x>2C. x>3D. x>4（答案）D解析：将不等式2x-5>3移项得2x>8，再除以2得x>4。
历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版
2018年复旦大学自主招生考试数学试题选择题（每题5分，共150分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． A ．20B ．26C ．30D ．362．若a>1，b>1且lg （a+b ）=lga+lgb ，则lg （a −1）+lg （b −1）= ． A ．lg2B ．1C ．不是与a 、b 无关的常数D ．03．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则z1的值是 ． A ．3＋4i B ．i 5453+ C ．i 154153+ D ．i 254253-4．已知函数f （x ）=cos （x k 2316++π）+cos （x k 2316--）=23sin （x 23+π），其中x 为实数且k 为整数．则f （x ）的最小正周期为 ．A ．3πB ．2π C ．πD ．2π5．已知A ＝｛（x ，y ）∣y ≥x 2｝，B={（x ，y ）∣x 2+（y −a ）2≤1}．则使A∩B＝B 成立的充分必要条件为 ．A ．a=45B ．a≥45 C ．0<a<1 D ．a≥16．已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D ，E 两点使得AD ＝BE ＝3a，连接A ，E 两点以及C ，D 两点．则AE 和CD 之间的最小夹角为 ． A ．9πa B ．3πa C ．3π D ．以上均不对7．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4，（n≥1），且a 1=9， 其前n 项之和为S n ，则满足不等式∣S n −n −6∣<1251的最小整数是45． A ．6B ．7C ．8D ．98．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 ．A ．120B ．260C ．340D ．4209．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3．已知从甲袋中摸到红球的概率为31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32．则从乙袋中摸到红球率为 ． A ．97 B ． 4519C ．3013D ．4522 10．方程f （x ）=543423322212321---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 ．A ．1个B ． 2个C ．3个D ．无实根11．已知a ，b 为实数，满足（a+b ）59=−1，（a −b ）60=1，则∑=-601)(n n nb a＝ ．A ．0121B ．−49C ．0D ．2312．a=21是“直线（a+2）x +3a y +1=0与直线（a −2）x +（a+2）y −3=0相互垂直”的 ． A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件13．设函数y =f （x ）对一切实数x 均满足f （2+x ）=f （2−x ），且方程f （x ）=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 ．A ．0B ．10C ．12D ．1414．已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2βα+=sinγ，则下列四个表达式:（1）tanαtanβ=1 （2）0<sinα+sinβ≤2 （3）sin 2α+sin 2β=1 （4）cos 2α+cos 2β=sin 2γ中，恒成立的是 ．A ．（1）（3）B ．（10（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）15．设S n =1+2+…+n，n ∈N ．则∞→n lim1)32(2++n nS n nS ＝ ．A ．2B ．321C ．161 D ．6416．复数z =iia 212+-（a ∈R ，i=1-）在复平面上对应的点不可能位于 ． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知f （x ）=asin x +b 3x ＋4（a ，b 为实数）且f [lg （lg 310）]=5，则f [lg （lg3）]= ．A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值18．已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝3π，PD ⊥平面ABCD ，线段PD ＝AD ，点E 是AB 的中点，点F 是PD 的中点，则二面角P －AB －F 的平面角的余弦值＝ ．A ．21 B ．552 C ．1475D ．1473 19．在（32-）50的展开式中有 项为有理数．A ．10B ．11C ．12D ．1320．棱长为a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切．则两球半径之和为为 ．A ．无法确定B ．aC ．a 233-D ．a 255- 21．在集合{1，2，…11}中任选两个作为椭圆方程12222=+by a x 中的a 和b ，则能组成落在矩形区域{（x ，y ）||x |<11，|y |<9}内的椭圆个数是 ．A ．70B ．72C ．80D ．8822．设a ，b ，c 为非负实数，且满足方程02562684495495=+⨯-++++cb a cb a ，则a+b+c的最大值和最小值 ．A ．互为倒数B ．其和为13C ．其乘积为4D ．均不存在23．给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，和式∑++=1211n n i a的最大值＝ ．A ．)1(210+n aB ．n a210 C ．)1(25+n aD ．n a 2524．设z 0（z 0≠0）为复平面上一定点，z 1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z 1−z 0|=|z 1|，z 为复平面上另一个动点满足z 1z =−1．则z 在复平面上的轨迹形状是 ．A ．一条直线B ．以01z -为圆心，01z 为半径的圆 C ．焦距为012z 的双曲线 D ．以上均不对25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为 ．A ．3123a π B ．343a π C ．3242a π D ．3243a π 26．已知函数f （x ）的定义域为（0，2），则函数g （x ）=f （x +c ）+f （x −c ） 在 0＜21时的定义域为 ．A ．（1−c ，2+c ）B ．（c ，2−c ）C ．（1−c ，2−c ）D ．（c ，2+c ） 27．设函数f （x ）=sin （2x +ϕ），（−π<ϕ<0），y =f （x ）图象的一条直线x =8π．则ϕ的值为 ．A ．4πB ．43πC ．－43πD ．2π28．设f （x ）是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数．已知当x ∈[2，3]时，f （x ）=−x ，则当x ∈[－2，0］时，f （x ）的表达式为 ．A ．−3+|x +1|B ．2−|x +1|C ．3−|x +1|D ．2+|x +1|29．当a 和b 取遍所有实数时，则函数f （a ，b ）=（a+5−3|cosb|）2+（a −2）|sinb|）2所能达到的最小值为 ．A ．1B ．2C ．3D ．430．对任意实数x ，y ，定义运算x ºy 为x ºy ＝a x +b y +c xy ，其中a ，b ，c 为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算．已知1º2＝3，2º3＝4且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 均有x ºd=x ，则d= ．A ．－4B ．－2C ．1D ．4历年自主招生考试数学试题大全专题下载链接：/a760682.html链接打开方法：1、按住ctrl键单击链接即可打开专题链接2、复制链接到网页。
2018年上海华二附中自招数学试卷及详细答案
2018年华二附中自招数学试卷及解析1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为 【答案】40【解析】根据题意，将2x =代入到75212ax bx x x ++++有7522222128a b ⋅+⋅+++=-有752226a b ⋅+⋅=-，将2x =-代入到75212ax bx x x ++++有()()752222212261440a b -+-+-+=+=2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = 【答案】311-【解析】根据题意，122b x x a a +=-=-，121c x x a a⋅==+，()2221212122x x x x x x +=+- ()()22221624a a a a =--+=-+=，计算可得311a =±；根据原有式子2(2)10x a x a +-++=，()()22241850a a a a ∆=--+=-+≥，有411a ≥+或411a ≤-，综上有311a =-3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援 【答案】60°【解析】根据题意画出图形，可以注意到ABC 是一个等腰三角形，所以乙船应该朝北偏东60°方向沿直线前往救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x y x yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有组解【答案】2【解析】根据题意1x y x y x y y x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有12y x -=，代入x yx y xy -+=，有22x y x y y y -++=；有1y =或22x y x y -+=+推出得11x y =⎧⎨=⎩或231333x y -⎧=⎪⎨⎪=⎩有2组解 5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 【答案】25【解析】将a b c ++平方得()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++2222222222222222420a ab ac bc b c a b ab ac bc bc a b ab ac bc ≥+++++≥+++++=++++=有25a b c ++≥6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是 【答案】69y ≥【解析】根据题意有当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，244p p--≥-=，有8p ≤-，当x p =时22225569y p p p =-+=+≥7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是【答案】23【解析】根据题意易得G 、H 为AC 的三等分点，1166AGDCHDAGBBCHABCD SSSSS =====111212AGEBEGHFBFCHABCD SSSSS ===== 则阴影部分面积为11111212126663++++=8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC += 【答案】16 【解析】9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥， 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为【答案】2n k （k 为[1,2]n中的奇数） 【解析】10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是【答案】2 【解析】11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.【答案】108A =，135B =，180C =，117D =【解析】先设这4个数为1234,,,x x x x ，且它们的和能被234,,x x x ，另234x x x <<，则根据题意有：()()1234213421x x x x x x x x x N +++÷=+++÷=,N 为自然数，即()13421x x x x N ++÷=-，因为它们的首位数字相同，所以1N -应该在3附近，又因为234x x x <<，所以()13424x x x x ++÷=；12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.【答案】12【解析】2OP OA=，∴12 HC HBBC-=附录：无答案试卷1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x yx yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +=9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.。
2018年上海中学自主招数学考试试卷
2018年上海中学自主招数学试卷一.填空题1．已知，则的值等于．2．（3分）有个实数x，可以使得为整数．3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD＝BF，BD＝CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF ＝．4．（3分）在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于．5．（3分）定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r＜72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有个可能的值．6．（3分）学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有人．7．（3分）对于各数互不相等的正整数组（a1，a2，…a n）（n是不小于2的正整数），如果在i＜j时有a i＞a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的逆序数为．8．（3分）若n为正整数，则使得关于x的不等式有唯一的整数解的n的最大值为．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．（3分）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．610．（3分）如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关11．（3分）设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2＝2（q1+q2），若方程甲：x2+p1x+q1＝0，乙：x2+p2x+q2＝0，则（）A．甲必有实根，乙也必有实根B．甲没有实根，乙也没有实根C．甲、乙至少有一个有实根D．甲、乙是否总有一个有实根不能确定12．（3分）设a＝+…，b＝+…，则以下四个选项中最接近a﹣b的整数为（）A．252 B．504 C．1007 D．2013三.解答题13．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．14．是否存在m个不全相等的正数a1、a2、…、a m（m≥7），使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一.填空题1．已知，则的值等于﹣1 ．【分析】由左边通分得＝，则有（a+b）2＝ab，然后把+通分得，配方后得，再把（a+b）2＝ab整体代入即可得到值．【解答】解：+＝＝，∵，∴＝，∴（a+b）2＝ab，∴+＝＝﹣1．2．（3分）有11 个实数x，可以使得为整数．【分析】由二次根式有意义可知x≥0，120﹣≥0，可得≥0．而为整数数只有11个，从而可知对应的x取值个数．【解答】解：∵有意义，∴x≥0，∴120∴≥0．∵为整数数，∴的值为0、1、2、…10，共11个整数．∴x取值对应有11个．故答案为：11．3．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD＝BF，BD＝CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF ＝90°﹣∠A．【分析】由等腰三角形两底角相等用∠A表示出∠B，由SAS证得△DBF≌△ECD得出∠BFD ＝∠CDE，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出∠FDC＝∠B+∠BFD，又∠FDC＝∠EDF+∠CDE，从而得解．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，在△DBF和△ECD中，，∴△DBF≌△ECD（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDC＝∠B+∠BFD，∠FDC＝∠EDF+∠CDE，∴∠B＝∠EDF，∴∠EDF＝90°﹣∠A，故答案为：90°﹣∠A．4．（3分）在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于 2 ．【分析】设方程x2+mx﹣m2＝0的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系及m的取值范围判断出x1＜0，x2＞0，再由﹣＝求出OA＝|x1|＝﹣x1，OB＝x2，再把OA＝|x1|＝﹣x1，OB＝x2代入﹣＝即可求出m的值．【解答】解：设方程x2+mx﹣m2＝0的两根分别为x1、x2，且x1＜x2，则有x1+x2＝﹣m ＜0，x1x2＝﹣m2＜0，所以x1＜0，x2＞0，由﹣＝，可知OA＞OB，又m＞0，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是OA＝|x1|＝﹣x1，OB＝x2，所以+＝，即＝，故＝，解得m＝2．故答案为：25．（3分）定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r＜72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有11 个可能的值．【分析】利用⊙B运动的距离除以⊙B的周长即可得出答案；【解答】解：∵让动圆B沿着圆A的圆周滚动一圈回到原来的位置，∴⊙B滚动的路程为：2π（72﹣r），∴⊙B自转了＝﹣1（圈），∵r＜72且r是一个整数，∴r可以为1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，共11个，故答案为：11．6．（3分）学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有44 人．【分析】设码头剩有x只船，则学生有（4x+20）人，根据如果每船坐8人，则有船不空也不满，可列不等式组求解．【解答】解：设码头剩有x只船，则学生有（4x+20）人，由题可得：解得：5＜x＜7，∵x只能为整数，∴x＝6当x＝6时，4x+20＝44．即共有学生44人．故答案是：44．7．（3分）对于各数互不相等的正整数组（a1，a2，…a n）（n是不小于2的正整数），如果在i＜j时有a i＞a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的逆序数为13 ．【分析】根据题意，各数互不相等的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，根据从6个数字中任选2个的所有组合数减去2得到所有可能的结果数．【解答】解：根据题意，各数互不相等的正整数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，从6个数字中任选2个共有15种组合，∵（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的逆序数为2，∴（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的逆序数是所有组合数减去2，即共有15﹣2＝13种结果，故答案为：13．8．（3分）若n为正整数，则使得关于x的不等式有唯一的整数解的n的最大值为220 ．【分析】先解关于x的不等式组，由题意可得出n的不等式，求出n的最大值．【解答】解：由题意得：，解得：，∵不等式有有唯一的整数解，∴，∴n≤220．∵n为正整数，∴n的最大值为220．故答案为：220．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．（3分）已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】根据十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的两个数的和，然后计算即可得解．【解答】解：∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），∴a＝﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣3+4＝1，3+（﹣4）＝﹣1，即a＝±11，±4，±1共6个．故选：D．10．（3分）如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关【分析】利用等高模型，用转化的思想解决问题即可．【解答】解：连接AD，AE．∵DM∥BA，EN∥CA，∴S1＝S△ADB，S2＝S△AEC，∵BD＝EC，∴S△ABD＝S△AEC，∴S1＝S2，故选：B．11．（3分）设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2＝2（q1+q2），若方程甲：x2+p1x+q1＝0，乙：x2+p2x+q2＝0，则（）A．甲必有实根，乙也必有实根B．甲没有实根，乙也没有实根C．甲、乙至少有一个有实根D．甲、乙是否总有一个有实根不能确定【分析】将两方程根的判别式相加可得出△1+△2＝（p1﹣p2）2≥0，由此可得出△1、△2中至少有一个大于等于0，即甲、乙至少有一个有实根．【解答】解：方程甲的根的判别式△1＝p12﹣4q1，方程乙的根的判别式△2＝p22﹣4q2，∴△1+△2＝p12﹣4q1+p22﹣4q2，＝（p12+p22）﹣4（q1+q2），＝p12+p22﹣2p1p2，＝（p1﹣p2）2≥0，∴△1、△2中至少有一个大于等于0，即甲、乙至少有一个有实根．故选：C．12．（3分）设a＝+…，b＝+…，则以下四个选项中最接近a﹣b的整数为（）A．252 B．504 C．1007 D．2013【分析】根据题意列出算式a﹣b＝++++……+﹣＝﹣，再进一步计算可得．【解答】解：a﹣b＝++++……+﹣＝﹣＝1007﹣＝＝＝503，∴最接近a﹣b的整数为504，故选：B．三.解答题13．已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．【分析】（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．【解答】解：（1）线段MN与BD垂直．连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道MB＝，MD＝，所以MB＝MD．三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：MN垂直BD．（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，∵M是AC的中点，∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，∵AC＝4，∴BM＝2，∴BE＝1，EM＝，MD＝2，从而可知BD＝＝2∴BN＝．由Rt△BMN可得：MN＝＝．如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，∵M、N分别是AC，BD中点，∴MD＝AC，MB AC，∴MD＝MB，∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，∴∠BMD＝30°，∴∠BDM＝＝75°，∵∠MDA＝45°∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，令ED＝x，则BE＝x，AD＝2，AB＝2，∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，解得x＝，则BD＝2，∵M、N分别是AC，BD中点，∴MD＝2 DN＝．由Rt△MND可得：MN＝＝．14．是否存在m个不全相等的正数a1、a2、…、a m（m≥7），使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值；若不存在，说明理由．【分析】设前两个数为a1，a2，则按照“每个数都等于其相邻两数的乘积“，依次列式，找出循环规律，则问题得解．【解答】解：设前两个数为a1，a2，则有a1•a3＝a2，∴a1＝，a3＝a2•a4，∴a4＝＝，a4＝a3•a5，∴a5＝＝＝，a5＝a4•a6，∴a6＝＝a6＝a7•a5，∴a7＝＝a1，a7＝a6•a8，∴a8＝a2，…∴每6个数为一个循环∵m≥7∴当m＝6k，（k≥2，且k为正整数）时，存在符合题意的m值．。
2018上海市交大附中自招试卷数学试题(含答案)
2018年上海市交大附中自主招生试卷第一部分1. 已知13x x +=-，求3311000x x ++.2.11(1)x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =，求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分）（2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞ （6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。
历年上海复旦附中自招英语试题及答案解析
1.Y o u s h o u l d p a y a t t e n t i o n t o t h e w a y_____y o u s t a n d a n d s i t.A. ofB. thatC. whichD. how正确选项B考查内容定语从句试题分析本题考察the way 后接定语从句的用法;the way 后接定语从句有三种形式：1.不用引导词；2.用that 做引导词；3.用in which 做引导词;本题的考察点是第2 种;同学们根据汉语思维可能误选D;总而言之,同学们对这三种形式一定要牢记2. Lack of eye contact can _____ nervousness.A. signalB. markC. sighD. design正确选项A考查内容词语辨析试题分析本题考察高中英语词汇的辨析;根据句子意思：缺少眼神交流可以说明一个人很紧张;A 选项signal 有“表示；表明；预示”的意思,符合题意;B 选项mark 是“做记号,做标记”的意思；C 选项sigh 是“叹气”的意思,单词拼写与signal 类似,同学们可能误选;D 选项design 是“设计”的意思;总而言之,只有A 选项符合题意3. Miss Yang is _____ a good shop assistant because she greets every customer cheerfully.A. looked uponB. regardedC. viewedD. considered正确选项D考查内容词语辨析试题分析本题考察高中英语词汇及词组的辨析;本题难度较大,根据句意：杨小姐被认为是一名优秀的商店售货员因为她会愉快地与每一位顾客打招呼;题目的四个选项都有“被视为,被看成是”的意思,所以本题的难点在于这些词语的搭配的辨析A, B, C三个选项的错误之处在于应在单词后加上as 才正确;例如：Miss Yang is lookedupon/regarded/viewed as a good shop assistant because she greets every customercheerfully. 本题只有considered 才可以直接用在题干中;总而言之,同学们务必重视词语的搭配4. Skimming is an important way of understanding a text faster and more _____.A. efficientlyB. effectivelyC. sufficientlyD. conveniently正确选项A考查内容词语辨析试题分析本题考察高中英语词汇的辨析;本题选项的四个单词非常容易弄混淆;单词之间的拼写,后缀都有类似的地方;A 选项是“有效率地”的意思；B 选项是“有效果地,有影响地”的意思；C 选项是“足够地,充足地”的意思；D 选项是“方便地”的意思;根据句意：浏览是一种更快更有效的理解文本的重要方法;总而言之,只有A 符合题意;5. He did not look happy because people always _____ Debbie to him.A. favoredB. preferredC. appreciatedD. enjoyed正确选项B考查内容词语辨析试题分析本题考察词语及词组辨析;根据句意：他看上去不是很开心因为大家总是更喜欢Debbie 而不是他;虽然四个选项都有“喜爱,喜欢”之意,但只有B 选项有“prefe rA to B”这样的搭配符合题干;总而言之,根据题干的搭配,只有B 选项符合题意;6. A girl entered and sat down opposite him _____ hesitation.A. withB. inC. beyondD. without正确选项D考查内容短语固定搭配介词试题分析本题考察短语的固定搭配,也是考察介词在短语中的用法;根据句意“一名女孩进来了,毫不犹豫地坐在他对面;”without hesitation 是“毫不犹豫”的固定表达;总而言之,只有D 选项符合题意;7. The general _____ his soldiers and then started his speech.A. glared atB. gazedC. glanced atD. looked正确选项C考查内容单词辨析短语固定搭配介词试题分析本题考察单词辨析及词组的搭配;本题的难点在于对英文中表示“看”这个意思的单词及词组辨析;A 选项的意思是“怒目而视”,不符合题干的意思,因为将军不会愤怒地看着士兵然后开始发表演说;B 选项的意思是“凝视,注视”,意思是符合题意的,但需要用介词at 搭配在后面；同理D 选项也是少了介词at;而C 选项的意思是“瞥了一眼,扫视”,也是符合题意的;总而言之,C 选项是正确的;8. Stop _____. It is not that bad.A. signingB. singingC. sighingD. sighted正确选项C考查内容单词辨析试题分析本题考察单词辨析;四个选项拼写较类似,只有看清选项就可以做对;A选项的意思是“签字；签名”；B 选项是“唱歌”；C 选项是“叹气”；D 选项是“看得见的”；根据句意：别叹气了;没那么糟糕啊;总而言之,只有C 选项符合题意;9. Mr Smith is a senior _____ works for someone else.A. whichB. whoC. whereD. what正确选项B考查内容定语从句试题分析本题考察高中英语的必考语法知识点--定语从句;根据句意：史密斯先生是一名给别人打工的高级雇员;可知句子里的先行词是senior 表示“人”的词语,选项中只有B 选项who 才可以用来指代人;总而言之,只有B 选项符合语法的表达要求;10. All our company’s employees _____ a two-day holiday every year.A. enjoyB. likeC. fondD. appreciate正确选项A考查内容单词辨析试题分析本题考察英语动词辨析;本题的难度在于选项都有“喜欢”的意思,但根据本题句意会发现“喜欢”用在这里并不合适;本句句意：我们公司全体员工每年享有两天假期;只有A 选项有“享有,享用”的意思;所以本题的陷阱在于“喜欢”这个词意;总而言之,只有A 选项符合句意;11. He asked for my assistance in _____ the plan.A. carrying outB. taking outC. setting outD. putting out正确选项A考查内容词组辨析试题分析本题考察高中英语词组carry out;carry out 的意思是“实施,执行”,根据句意：他执行计划时向我寻求帮助;其它几个选项并没有“执行,实施”之意;总而言之,只有A 选项正确;12. Ms Li _____ that Jane was a very active girl in class.A. remarkedB. askedC. wantedD. wished正确选项A考查内容单词辨析;试题分析本题考察英语动词辨析;本题的四个选项除A 是高中词汇外都是小学及初中词汇,而A 选项意思是“说起,评论”的意思;根据句意：李小姐说简在班里是一名很积极的女孩;总而言之,A 选项符合题意;13. _____ me to buy Grandpa a newspaper on our way home.A. LetB. HaveC. RemindD. Make正确选项C考查内容单词辨析;试题分析本题考察英语动词辨析;本题考察高中英语的重要单词remind 表示“提醒”的意思;根据句意：记得提醒我回来时路上给爷爷买份报纸;A 选项用在题干中应把to 删掉,B 和D 是不会出现在这样的语境中;总而言之,C 选项符合题意;14. Listening to music will help you _____ the boredom of waiting for the bus.A. relieveB. declineC. refuseD. resist正确选项A考查内容单词辨析;试题分析本题考察英语动词辨析;A 选项的意思是“缓解,减轻”；B 选项的意思是“拒绝,下降”；C 选项的意思是“拒绝”；D 选项的意思是“抵制,抵挡”;根据句意：听音乐将有助于你缓解等车时的无聊感;总而言之,A 选项符合句意;15. The government _____ financial assistance to small companies.A. suppliesB. providesC. offersD. furnishes正确选项A考查内容单词辨析及词组搭配介词;试题分析本题考察英语动词辨析及词组搭配;本题的难度在于A,B,C 三个选项都有“提供,供应”的意思,然而根据题干中的to,可知只有C 选项offer 才能用在这里;根据句意：政府给小企业提供了财政援助;总而言之,C 选项符合语法要求;16. He whistled cheerfully on his way home _____ he had passed the examination.A. whileB. asC. thoughD. whereas正确选项B考查内容状语从句;试题分析本题考察高中英语中的状语从句;本题的难点在于as 用在这里表示“因为, 由于”的意思;而其它选项并没有这个意思;根据句意：因为他通过了考试,于是他回家路上哼着欢快的小曲;总而言之,B 选项符合题意;17. _____ Tom seems to enjoy his job very much, he is looking for something better. Which one of the following is WRONGA. AlthoughB. WhereasC. WhileD. Despite正确选项D考查内容状语从句;试题分析本题考察状语从句的连接词;题干中问的是下列选项哪一个不正确;四个个选项都有“尽管；即使”的意思,而D 选项需要在后面加上the fact that 才正确;根据句意：尽管Tom 看上去很喜欢他的工作,可他还是在找更好的;总而言之,D 选项符合语法要求;18. All the electronic products in the shop are _____ for three years.A. guardedB. guaranteedC. ensuredD. assured正确选项B考查内容单词辨析;试题分析本题考察英语动词辨析;本题的难点在于四个单词都和“保证,确保”有些关系;而只有B 选项才可以用在这个语境下,即“提供保修”的意思;根据句意：商店里所有电子产品三年保修;总而言之,只有B 选项符合语境;19. You look nice in green. It seems that green _____ you very much.A. matchesB. fitsC. suitsD. goes正确选项C考查内容单词辨析;试题分析本题考察高中英语动词辨析;A,B,C 三个选项都有“匹配,适合”的意思,但C 选项suit 可以指服装,颜色相配,合身的意思;根据句意：你穿绿色的衣服很好看; 看上去绿色和你很搭啊;总而言之,C 选项符合题干的语境;20. They have found an _____ treatment for lung cancer.A. efficientB. effectiveC. sufficientD. essential正确选项B考查内容单词辨析;试题分析本题考察高中英语形容词辨析;A 选项的意思是“有效率的”；B 选项是“有效果的”；这两个选项的意思尤其要注意,不要混淆C 选项是“足够的”；D 选项是“必须的；重要的”;根据句意：他们找到了一种治疗肺癌有效的方法;总而言之,B 选项符合题意;II．Fill in the blanks with the given word in its proper form.1. It’s ______ that careless driving can lead to accident. avoid正确答案Unavoidable考查内容动词转化成形容词句子翻译不谨慎驾驶将不可避免导致交通事故;2. ______ is more than speaking and listening communicate正确答案Communicating考查内容动词转化成动名词句子翻译交流要比听说重要得多;3. Without ______, she went to Simon and gave him a big smile. hesitate正确答案hesitation考查内容动词转化成名词句子翻译她毫不犹豫地走向Simon 并朝他灿烂一笑;4. Mr Young came over at once and remarked, ‘You made a good ______ on her.’impress正确答案impression考查内容动词转化成名词句子翻译杨先生立刻过来了,“你给她留下了良好的印象嘛;”5. Thank you to get myself a ______ of that tomorrow is her birthday. remind正确答案reminder考查内容动词转化成名词句子翻译谢谢提醒自己明天是她生日;6. My mother reminded me not to eat ______ food while travelling. health正确答案unhealthy考查内容名词转化形容词句子翻译我妈妈提醒我旅游时别吃不健康的食品;7. We should remind the passengers that smoking is not ______ during flight. allow正确答案allowed考查内容动词的过去分词句子翻译我们应提醒乘客飞机上禁止吸烟;8. Eye contact is sometimes the key to ______. communicate正确答案communication考查内容动词转化成名词句子翻译眼神交流有时是交流的关键所在;9. In ______ cultures, it is necessary to keep eye contact when you are speaking with someone.west正确答案western考查内容western 作形容词的用法句子翻译在西方文化里,和人交谈时有必要保持眼神交流;10. For instance, an Asian might close his eyes in ______ or look down while listening to a speaker.concentrate正确答案concentration考查内容动词转化成名词句子翻译例如,一名亚洲人在听别人说话时可能会聚精会神地闭上眼睛或是看下面;__。
2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版(含答案)--共9套
2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版（含答案）--共9套目录2018交附自招数学答案2018上中自招数学2018上中自招数学答案2019复附自招数学答案2019交附自招数学2020上中、交附、七宝自招上海中学自招试题上海中学自招真题解析2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6x3-11x2+x+4=【答案】(x-1)(3x-4)(2x+1)【解析】试根法易得x=1时，上式值为0.利用长除法可得原式=(x-1)(6x2-5x-4)=(x-1)(3x-4)(2x+1)2、设a>b>0，a2+b2=4ab，则a+b=a-b【答案】3【解析】令a+b=x，a-b=y则x>y>0a2+b2=4aba2+b2-2ab=2aby2=1(x2-y2)2x2=3y2xa+b=3=3即y a-b3、若x2+x-1=0，则x3+2x2+3=【答案】4【解析】降次法x2=1-x所以原式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=-x-(1-x)+5=4(,34、已知1(b -c )2=(a -b )(c -a )，且a ≠0，则b +c =4a【答案】2【解析】1(b -c )2=(a -b )(c -a )4(c -b )2=4(a -b )(c -a )⎡⎣(c -a )+(a -b )⎤⎦2=4(c -a )(a -b )⎡⎣(c -a )-(a -b )⎤⎦2=0所以c -a =a -bb +c =2a 即b +c=2a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是【答案】49【解析】P =2⨯2=43396,、直线l ：y =-3x +与x 、y 轴交于点A 、B ，△AOB 关于直线AB 对称得到△ACB ，则点C 的坐标是【答案】33)22【解析】如右图所示易得∠CAD =∠BAO =60︒过C 作CD ⊥x 轴于点D 在△ACD 中AC =1易解得AD =1，CD =3223C (,)223即7、一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕的长是【答案】45 4【解析】如右图所示易得AC=所以OC=152=15△C△OF∽ABC所以OF=OC解得OF=45即EF=45 AB BC848、任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n），如果n是奇2数，则将它乘以3再加1（即3n+1），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对于正整数n（首项）按照上述规则实施变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n所有可能取值为【答案】128/2/16/20/3/21【解析】92+12212418 12451081632642 163 20 21 1289、正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的13即面积为210、已知y 1=2x 2+(4-m )x +(4-m )与y =mx 在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为【答案】m <4【解析】（1）当0<m 时，0<x ，y 2=mx >0，且x ≤0时，y 2≤0∴x ≤0时y 1>0∴y 1x =0>0故4-m >0∴m -4<04则∆<0解得-4<m <4∴0<m <4（2）当m <0时，同理解得m <0（3）当m =0时，y 1>0恒成立综上所述，m <411、已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，(x -a )2(x -b )2(x -c )2化简：++=(a -b )(a -c )(c -b )(a -b )(c -a )(c -b )【答案】1-(x -a )2(b -c )-(x -b )2(c -a )-(x -c )2(a -b )=(a -b )(b -c )(c -a )【解析】原式=(a -b )(b -c )(c -a )(a -b )(b -c )(c -a )=1212、已知实数a 、b 满足a 2+ab +b 2=1，t =ab -a 2-b 2，-⎩1则t 的取值范围是【答案】-3≤t ≤-13【解析】由a 2+b 2≥2ab ，a 2+b 2≥-2ab得⎧1-ab ≥2ab 解得-1≤ab ≤1⎨ab ≥-2ab 3t =ab -(1-ab )=2ab -1所以-3≤t ≤-1313、（1）求边长是1的正五边形的对角线长（2）求sin18︒【答案】（1）5+1（2）5-122【解析】（1）正五边形的一个内角大小为：(5-2)⨯180︒÷5=108︒所以△ABE 和△ACD 是黄金三角形在△ABE 中AE =BE 5-1其中AE =1解得BE =25+12（2）在△ACD 中过A 作AF 垂直CD 于点F易得∠FAD =18︒1所以sin18︒=FD =2=5-1AD5+122x y -1⎩14、（1）f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，0<f (-1)=f (-2)=f (-3)<3，求c 的取值范围（2）f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30，求f (10)+f (-6)【答案】（1）6<c ≤9（2）8104【解析】（1）令f (-1)=f (-2)=f (-3)=k ，g (x )=f (x )=k ，0<k ≤3则g (x )=(x +1)(x +2)(x +3)所以f (x )=g (x )+k =x 3+6x 2+11x +6+k 故c =6+k ，又0<k <3所以6<c ≤9（2）f (1)=10，f (2)=20，f (3)=30令g (x )=f (x )-10x =x 4+ax 3+bx 2+(c -10)x +d则有g (1)=g (2)=g (3)=0令g (x )=0的第四个根是m 则g (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -m )所以g (10)+g (-6)=9⨯8⨯7⨯(10-m )+(-7)⨯(-8)⨯(-9)(-6-m )=8064即f (10)+f (-6)=g (10)+g (-6)+40=810415、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）背景知识：平面α：Ax +By +Cz +d =0；球：(x -a )2+(y -b )2+(z -c )2=R 2；点(a ,b ,c )到平面α的距离公式：d =球心到平面的距离为d ，当d <R 时，球与平面相交，当d =R 时，球与平面相切，当d >R 时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足m +n +k =1，求m 2+n 2+k 2的最小值；问题（2）：解方程++=1(x +y +z )2⎧x =1【答案】（1）1（2）⎪y =2⎨3⎪z =3【解析】（1）设点(m ,n ,k )则该点在平面x +y +z =1上而所求m 2+n 2+k 2即为该点到原点距离的平方Aa +Bb +Cc +D A 2+B 2+C 2z -212+12+12y -1z -2x y -1x ⎨⎨原点到平面x +y +z =1的距离为：d =1=33⎛3⎫21所以(m 2+n 2+k 2)= ⎪=（2）配方法min⎝3⎭3++=1(x +y +z )2x +y +z -(2+2+2z -2)=0(-1)2+(⎧x =1-1)2+(⎧x =1-1)2=0⎪y -1=1解得⎪y =2⎪⎪z =3⎪z -2=1⎩x y -1z -2则交大附中自主招生试卷2018.03第一部分 1. 已知13x x +=-，求3311000x x++. 2. 11(1)x x x tx x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为»BC的切线，正方形ABCD 边长为200，»BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分） （2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞（6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =上海中学自主招生试卷2018.031.因式分解：326114x x x -++=2.设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b+=-3.若210x x +-=，则3223x x ++=4.已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=5.一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是6.直线:l y =+x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是7.一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是8.任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ），如果n 是奇数，则将它乘以3加1（即31n +），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为9.正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为10.已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为11.已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：222()()()()()()()()()x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------12.已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-.15.我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz d α+++=；球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（21()2x y z +=++.参考答案1.(1)(34)(21)x x x --+2. 3.4 4.2 5.49 6.33(,227.4548.128、2、16、20、3、219.22cm 10.4m <11.112.133t -≤≤-13.（112+；（2）14-14.（1）69c <≤；（2）810415.（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++= ．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b ab a b ab +==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a b a b+=- 3、若210x x +-=，则3223x x ++=． 【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=，()20m n ∴-=，m n ∴=， 即a b c a -=-，即2a b c =+，2b c a+∴=． 5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是． 【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=． 6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是 ．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ==．因此折痕长为454． 8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为． 【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形 ABCDEF的相似比为1:3．因为 ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404m x -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<； 若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________． 【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________． 【答案】133t -≤≤-． 【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理．12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-， 133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤， ()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩． 【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．上海中学自招试题1、因式分解：326114x x x -++=．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- ．3、若210x x +-=，则3223x x ++=．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +=_________．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．6、直线:l y =+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n ，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R>时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。