高一期末复习(二)——解三角形

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下学期高一数学第一章解三角形全章教案必修5

下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；（3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程．教学过程一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =，即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==．探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理．三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=，所以sin sin sin a b cA B C ==．若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-；当C ∠为钝角时，90C α=-︒．故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=．同理可得sin sin a cA C =．因此sin sin sin a b c A B C==．四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==，所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形：（1）3,60,1b B c ==︒=；（2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，；所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习：（1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．（2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ．（4）课本第9页练习第1题．五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形．六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；（2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理．教学过程一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考．三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==．所以sin sin sin a b c A B C==．证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===．由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径．由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；（2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =．四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ；（4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ．解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解．例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)．分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆．解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒，所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒．又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒．在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈．答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值．解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a，所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ．例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=．证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=，又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ．五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形．教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形．教学过程一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=，即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．三．建构数学 1．余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2）已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）．解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页练习１，２，３，４五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如．教学过程一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角．四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈，所以 1.17()AD BC km =≈．因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈，所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2．在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==，所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==，所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-．例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ，即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=，求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值；五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状．六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．教学过程一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=，则48DBC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中，由余弦定理，得3233.95≈，所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===，所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业：书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

解三角形中的最值范围、多边形问题-专题课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

cos B cos c 2sin A ．
b
c
3 sin c
（1）求角 B 的大小和边长 b 的值；
3
（2）求 ABC 周长和面积的取值范围．
（∴2）12 cossBinaA
23ssinicnCBs1inb，Bsin23(B1
，)
6
1
，
B
6
2k ，k Z
2
，
B 为锐角， B ，
3
∵ cos B cos c 2sin A ，由2正余弦定理可得 a2 c2 b2 a2 b2 c2 2a ，
解三角形中的最值范围、多边形问题
1:在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， bsin A a cos(B ) ．
6
（1）求角 B 的大小；（2）若 b 2 3 ，求 ABC 面积的最大值
【解析】（1）由正弦定理得 sin Bsin A sin Acos(B ) ，由于 0 A ， sin A 0 ，
（1）在 ACD 中，设 AD x(x 0) ，由余弦定理得 7=x2 4x2 2x 2x cos 2 ，整理 3
得 7x2 7 ，解得 x 1 .所以 AD 1,CD 2.
（由2正）弦由定已理知得得sSinADBCDCAC4SAsCinAD C23，所，以解12得AsBinADCACsinB721A.C
从而 S 1 casin 3 3 ，所以 ABC 的面积取得最大值3 3 ．
2
3
（问：在（2）的基础上面积范围怎么求？周长范围怎么求？中线范围呢？）（问：在（2）的基础上附加一个“锐角三角形”条件，面积和周长范围怎么求？）
2：在锐角 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 cosB 3 sinB 2，

9.1.2-余弦定理课件(共48张PPT)高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册第九章解三角形

已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形就确定了,故
(3)(4)正确.
-6-
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则BC=(
A.9
课堂篇探究学习
B.19
C.√7
)
D.√19
答案:C
解析:由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos
-8-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点二:用余弦定理解三角形的问题
1.已知两边及夹角解三角形;
2.已知三边解三角形.
-9-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
名师点析 1.已知三边求三角的基本方法
方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.
方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定
所以利用正弦定理可得
sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,
所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,因为0<A<π,所以A=
为直角三角形.
π
2
,所以△ABC
-24-
课前篇自主预习
1
A=4+9-2×2×3×2=7,所以 BC=√7.故选 C.
-7-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
微练习2
(2020安徽定远县民族学校高一月考)在△ABC中,AB=5,

2022版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲三角恒等变换1

第四章三角函数、解三角形第二讲三角恒等变换练好题·考点自测1。

下列说法错误的是( ）A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的 B 。

存在实数α,β,使等式sin （α+β)=sin α+sin β成立 C 。

公式tan （α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan （α+β）(1—tan αtan β）,且对任意角α,β都成立 D.存在实数α，使tan 2α=2tan α2。

[2020全国卷Ⅲ,9，5分］已知2tan θ-tan(θ+π4)=7，则tan θ=( ）A.-2 B 。

—1 C.1 D 。

23。

［2021大同市调研测试］已知tan α2=3，则sinα1-cosα=( )A 。

3B .13C .-3D 。

−134.[2019全国卷Ⅱ，11,5分][文]已知α∈(0，π2），2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= （ )A.15B .√55C 。

√33D.2√555。

［2020全国卷Ⅱ，13,5分][文］若sin x =−23，则cos 2x = 。

6.tan 67。

5°-tan 22。

5°= 。

7。

［2019江苏，13，5分]已知tanαtan (α+π4)=−23,则sin(2α+π4)的值是 .拓展变式1.［2020全国卷Ⅲ，5，5分］[文］已知sin θ+sin （θ+π3）=1，则sin （θ+π6)=（ )A .12B .√33C .23D .√222.1+cos20°2sin20°-sin 10°（1tan5°—tan 5°）= .3.已知α∈(0,π)，化简:(1+sinα+cosα)·(cos α2-sin α2)√2+2cosα= 。

4。

[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m =√5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则m√4-m 22cos 227°-1= （ )A 。

余弦定理与正弦定理-用余弦定理、正弦定理解三角形(第三课时)高一数学(北师大版2019必修第二册)

变式 1．(2011 年上海)在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，
若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求 A，C 两点之间的距离．
解：由条件知：C＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得sAinCB＝sAinBC，即siAn6C0°＝sin245°. 解得 AC＝ 6.
例2：在△ABC 中，若 2cosBsinA＝sin ，试判断CABC 的形状．
2．余弦定理
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ，c2
＝ a2＋b2－2abcos C ．余弦定理可以变形：cos A
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)；
2
2
整理,得4cos2 C 4cos C 1 0,解得cos C 1 , 2
0 C 180,C 60.
(2)由余弦定理得c2 a2 b2 2abcos C,
即7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab，由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,
SABC
1 2
absin
b=2，a=x，如 c 有两组解，则 x 的取值范围是
．
解：当 asinB＜ b＜ a 时，三角形 ABC 有两组解 . 又 b=2， B=60°， a=x，如果三角形 ABC 有两组解，
那么 x 应满足 xsin60°＜ 2＜ x，即 2＜ x＜ 4
3
,
10

高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题

高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数若的最小正周期为，且当时，则的值为（）A B C D【答案】C【解析】略2.函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是（）【答案】B【解析】根据五点得到，，，，，得到选B．【考点】三角函数的图像3.曲线在区间[0,2π]上截直线y=2及y=－1所得的弦长相等且不为0，则下列对的描述正确的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知关于函数中心轴对称，所以中心轴，即，弦长不为0，所以，的距离小于【考点】三角函数图像及性质4.已知，则的值是A．B．C．D．【答案】B【解析】原式=答案选B．【考点】同角三角函数的基本关系5.函数的一个单调增区间是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由诱导公式原三角函数可化为，原函数的单调递增区间即为函数的单调递减区间，由，可得所求函数的单调递增区间为，故原函数的一个单调增区间为．【考点】正弦函数的单调性6.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递增D．在单调递增【答案】A【解析】，所以，；又，即函数为偶函数，所以，所以函数，由图象可知选A．【考点】1．三角函数的图像和性质；7.偶函数（为正整数，），且在上递减，则的周期不可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，函数为偶函数，，所以，所以，又在上递减，所以在上递减，所以，故选D。

【考点】余弦函数的周期性8.设的三个内角为A，B，C，向量m＝n＝若m·n＝1＋，则C＝（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，而在三角形中由，所以上式为：，整理得，因为C为三角形内角，所以，故选择C【考点】1．两角和的正弦展开式；2．辅助角公式9.下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据诱导公式由正弦函数的单调性可知所以故选C【考点】诱导公式10.已知，则____________________．【答案】【解析】【考点】两角和的正切公式与正切的二倍角公式11.若f（x）＝sin（2x＋φ）为偶函数，则φ值可能是（）A．B．C．D．π【答案】B【解析】函数是偶函数，所以可能为【考点】三角函数奇偶性12.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分．已知，，且函数图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是．（1）求的值；（2）将函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求函数的解析式，并求在上的最值．【答案】（1）1 （2），【解析】（1）由对称轴的距离求得函数周期，进而得到值，代入可求得角，从而确定函数解析式，将自变量代入求解的值；（2）由平移规律得到函数的解析式，由的范围得到的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：（1），，，（2），，；【考点】1．三角函数化简及求值；2．三角函数性质及图像平移13.已知（）A．0B．1C．－1D．【答案】A【解析】因为，所以【考点】函数的性质14.扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3 cm2，求圆心角的大小．【答案】或6【解析】可联立扇形周长和面积的公式求出半径和弧长，然后用弧长公式求圆心角．试题解析：由题意可得解得，或∴α＝＝或α＝＝6．【考点】1、扇形的弧长公式；2、扇形的面积公式．【易错点晴】本题考查了扇形弧长和面积公式，区分不清弧长和周长的关系易错．15.（2015秋•昆明校级期末）已知，则cos （α﹣β）= ．【答案】【解析】由同角三角函数基本关系可得cosα和sinβ，代入两角差的余弦公式计算可得．解：∵，∴cosα=﹣=﹣，sinβ==，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=故答案为：．【考点】两角和与差的余弦函数．16.（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由条件利用三角函数的恒等变换化简所给的式子，可得结果．解：=====1，故选：A．【考点】三角函数的化简求值．17.角﹣2015°所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】利用终边相同的角的集合定理即可得出．解：∵﹣2015°=﹣360°×6+145°，而90°＜145°＜180°，∴角﹣2015°所在的象限为第二象限．故选：B．【考点】象限角、轴线角．18.已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边长，若，则= ．S△ABC【答案】．【解析】利用正弦定理把已知等式化边为角，求出B，可得三角形为等边三角形，则面积可求．解：△ABC中，∵b=2acosB，∴根据正弦定理，得sinB=2sinAcosB，又∵A=，∴sinB=2sin cosB，即sinB=cosB，可得tanB=．∵B∈（0，π），∴B=；∵A=，B=，∴C=π﹣（A+B）=．则a=b=c=1，∴S=．△ABC故答案为：．【考点】正弦定理；余弦定理．19.把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x+）C．y=cos2x D．y=﹣sin2x【答案】D【解析】三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数解析式即可．解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故选D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．20.在中，若，则此三角形为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由已知及正弦定理得，，，因为，所以，．故选C．【考点】正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形形状的判断．21.的三个内角的对边分别为，成等差数列，且．（1）求的值；（2）若也成等差数列，试判断的形状，并说明理由．【答案】（1）；（2）为等边三角形．【解析】（1）由成等差数列，得，变形，由数量积的定义知，由此可得；（2）题意是，可由正弦定理化角为边：，结合余弦定理可得，再由知为等边三角形．试题解析：（1）∵成等差数列，∴，∴，，所以；（2）由题意，由正弦定理得，又，所以，化简得，又，所以，所以为等边三角形．【考点】等差数列的性质，向量的数量积，余弦定理．三角形形状的判断．【名师】判定三角形形状的两种常用途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．22.若函数 (其中)的值域为，则的取值范围是 .【答案】【解析】由题意知，当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.若函数的值域为，即，则的取值范围是.【考点】函数的值域.23.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状【答案】直角三角形【解析】首项根据正弦定理将边转化为角，再根据二倍角公式化简，以及和差化积，以及当时，,化简，最后能求得三角形的形状.试题解析：∵bcosB＋ccosC＝acosA，由正弦定理，得sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA.∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0.∴2cosBcosC＝0.∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝或C＝，即△ABC是直角三角形．【考点】1.三角函数恒等变换；2.判定三角形形状.24.设角属于第二象限，且，则角属于（）A．第一象限B．第三象限C．第一象限或第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为角属于第二象限，所以，从而，当是偶数时，为一象限角，当奇数时为三象限角，又因为，所以，所以角属于第三象限，故选B.【考点】1、角的概念的推广；2、各三角函数在各个象限内的符号.25.已知向量.（1）若,求向量的夹角；（2）已知，且，当时，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据向量数量级的运算可知求向量的夹角的余弦等于向量的数量积与两向量模长的比值，可求得夹角的余弦值为，代入即可求得夹角；（2）由向量的运算可求得，经化简可得，令，结合即可求得的值．试题解析：（1）由已知，得,设与的夹角为，则，.（2）由，得,当，即时，.【考点】向量夹角，三角函数的恒等变换.26.函数的一个单调区间（）A．B．C．D．【答案】D【解析】易知函数为偶函数，当时，，由五点作图法作出其简图，如图所示，由图可知，函数的一个递减区间为，故选D．【考点】函数的单调性．【技巧点睛】已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如或(其中，)的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解．但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错．27.函数f（x）=2tan（2x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【答案】B【解析】根据正切函数的周期公式进行求解即可．解：函数的周期T=，故选：B．28.已知，，，，求的值.【答案】【解析】因为，所以运用两角和余弦公式求的值.先由同角三角函数关系求，，再代入两角和余弦公式得结果试题解析：∵，，∴，∵，，∴，∴.【考点】两角和余弦公式【方法点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等.29.将函数的图像上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数的图像上各点向右平行移动个单位长度，得到图像的函数解析式为：，再把横坐标缩短为原来的一半，得到图像的函数解析式为：，最后将纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是，故选A.【考点】三角函数图象变换．【方法点晴】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，“左加右减，上加下减”，熟练记忆平移规律是解题的关键，横向伸缩是变周期，纵向伸缩是变振幅，属于基础题．30.要得到的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】，所以只需将的图象向右平移个单位【考点】三角函数图像平移变换31.已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时, 扇形的圆心角等于（）A．2B．3C． 1D． 4【答案】A【解析】设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40，∴扇形的面积S=lr=•l•2r≤=100．当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为α==2，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100【考点】扇形面积公式32.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在直线AC上，且AD=4DC.（1）求BD的长；（2）求的值.【答案】（1）;（2）【解析】（1）中可求出各边的值和各角的正余弦值,由,求出,在中，由余弦定理可求得长;（2）在中利用正弦定理,可求得.试题解析:（1）因为所以，，又因为，所以.在中，由余弦定理，得，所以（2）在中，由正弦定理，得，所以，所以【考点】正余弦定理33.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）所求式子利用诱导公式化简，根据B为锐角确定出B的度数，代入后利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的取值范围试题解析：（2）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有≤，所以，cosA+sinC的取值范围为．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数34.函数是( ).A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．周期为奇函数【答案】B【解析】因，故是奇函数，且最小正周期是，即，应选答案B。

专题02 平面向量解析三角形的“四心”高一数学下学期同步讲义(人教A版2019必修第二册)

专题02 平面向量解析三角形的“四心”一．“四心”的概念介绍及平面向量表示1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1.⇔=++O 是ABC ∆的重心.2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是ABC ∆的内心.O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．==⇔O 为ABC ∆的外心.二．考点讲解考点一：三角形的重心例1：在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =______. 【答案】2133a b 【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-，所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.例2：若P 是ABC ∆内部一点，且满足2PA PB CB +=，则ABP ∆与ABC ∆的面积比为_______. 【答案】13【分析】利用向量的加法运算得出PA PB CP +=，取AB 的中点为O ，进而得出点P 为ABC ∆的重心，根据重心的性质即可得出答案.【详解】2PA PB CB PA PB CB BP CP +=⇒+=+= 取AB 的中点为O ，则2PA PB PO += 即2PO CP =，则点P 为ABC ∆的重心根据重心的性质可得，点P 到AB 的距离是点C 到AB 的距离的13则13ABP ABC S S ∆∆= 故答案为：13【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题.考点二：三角形的垂心例3：已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()cos cos AB AC AP R AB BAC Cλλ=+∈，则直线AP 必经过ABC ∆的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得0AP BC ⋅=从而得到结论．【详解】()cos cos AB AC AP R AB B AC C λλ⎛⎫⎪=+∈ ⎪⎝⎭两边同乘以向量BC ,得AP BC ∴⊥(1t ∈即点P 在BC 边的高线上，所以P 的轨迹过△ABC 的垂心，故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．考点三：三角形的内心例4：O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【分析】先根据||ABAB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC→方向上的单位向量，确定||||A A B A A C C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．考点四：三角形的外心例5：在ABC ∆中，2AC =，6BC =，60ACB ∠=︒，点O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OC mOA nOB =+（,m n ∈R 且1m n +≠）．（1）证明：11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心，求m 、n 的值；（3）若点O 为ABC ∆的外心，求m 、n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-，1n =-；（2）3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【分析】（1）根据条件OC mOA nOB =+,结合向量的加法运算,化简即可证明. （2）根据重心的向量表示为0OA OB OC ++=,即可求得m 、n 的值. （3）根据点O 为ABC ∆的外心,求得21||2CO CB CB ⋅=,21||2CO CA CA ⋅=,CA CB ⋅,再根据已知分别求得CO CB ⋅,CO CA ⋅,结合平面向量基本定理即可求得m 、n 的值. 【详解】（1）CO mAO nBO =+()()m AC CO n BC CO =+++mAC mCO nBC nCO =+++即CO mAC mCO nBC nCO =+++ 所以CO mCO nCO mAC nBC --=+ 则()1m n CO mAC nBC --=+ 所以11m nCO CA CB m n m n =++-+-；（2）若点O 为ABC ∆的重心则0OA OB OC ++= 因为OC mOA nOB =+ 所以0mOA nOB OC --+= 则1m =-,1n =-（3）由O 是ABC 的外心得21||182CO CB CB ⋅==,21||22CO CA CA ⋅==,6CA CB ⋅=, 所以,1111m n CO CB CA CB CB CB m n m n m n CO CA CA CA CB CAm n m n ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎪+-+-⎨⎪⋅=⋅+⋅⎪+-+-⎩即23321m n m n -=⎧⎨+=-⎩,解得3757m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.三．课后作业1．在ABC ∆中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（） A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案；【详解】如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+，由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.2．已知点O 是ABC ∆所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0a OA bOB c OC →→→→++=，则点O 是ABC ∆的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【分析】在AB ，AC 上分别取单位向量,AD AE →→，作AF AD AE →→→=+，则AF 平分BAC ∠，用,,OA AB AC →→→表示出,OB OC →→代入条件式，用,AB AC →→表示出AO→，则可证明A ，F ，O 三点共线，即AO 平分BAC ∠．【详解】在AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得AB AD c →→=，AC AE b →→=，则||||1AD AE →→==．以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，如图，则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bc AO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.3．点M ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，满足MA MB MC ++=0，|NA NB NC ==∣，且PA PB ⋅=PB PC PC PA ⋅=⋅，则M 、N 、P 依次是ABC ∆的（）A ．重心，外心，内心B ．重心，外心，垂心C ．外心，重心，内心D ．外心，重心，垂心【答案】B【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案．【详解】解：0MA MB MC ++=，∴MA MB MC +=-，设AB 的中点D ，则2MA MB MD +=，C ∴，M ，D 三点共线，即M 为ABC ∆的中线CD 上的点，且2MC MD =．M ∴为ABC 的重心．||||||NA NB NC ==， ||||||NA NB NC ∴==，N ∴为ABC 的外心；PA PB PB PC =，∴()0PB PA PC -=，即0PB CA =，PB AC ∴⊥，同理可得：PA BC ⊥，PC AB ⊥，P ∴为ABC 的垂心；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题． 4．（多选）已知M 为ABC ∆的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【答案】BC【分析】由题可知M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，由此依次计算判断即可得出结果. 【详解】M 为△ABC 的重心，∴M 是三边中线的交点，且在中线三等分点处，对于A ，由于△ABC 为任意三角形，故中线不一定相等，则,,MA MB MC 不一定相等，故A 错误；对于B ，D 为BC 的中点，2MB M MD C +∴=，2MA MD =-，0MA MB MC ++=∴，故B 正确；对于C ，()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+，故C 正确；对于D ，()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+，故D 错误. 故选：BC.5．ABC ∆中，3AB =，6AC =，G 为ABC ∆的重心，O 为ABC ∆的外心，则AO AG ⋅=______．【答案】152【分析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值. 【详解】解：因为G 为ABC 的重心，O 为ABC 的外心，所以212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅221166AB AC =+93615662=+=，即152AO AG ⋅=. 故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 6．已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ABC ∆所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()()122123OP OD OC R λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的______（填“内心”“外心”“垂心”或“重心”）. 【答案】重心【分析】根据已知条件判断,,P C D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心. 【详解】∵点P 满足()()()122123OP OD OC λλλ⎡⎤=-++∈⎣⎦R ，且()()112212133λλ-++=， ∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ABC ∆的重心. 故答案为：重心【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的重心的知识，属于基础题. 7．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG PQ λ=，将OG 用λ，OP ，OQ 表示； (2)设OP xOA =，OQ yOB =，证明：11x y+是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含OG 的图形OPG ，利用向量的加法法则知OG OP PG +＝，再根据PG PQ λ=和PQ OQ OP -＝即可（2）根据（1）结合OP xOA =，OQ yOB =知：()()11OGOP OQ xOA yOB λλλλ-+-+＝＝，再根据G 是OAB 的重心知：()2211133233OG OM OA OB OA OB ⨯++＝＝＝，最后根据OA OB 、不共线得到关于x y λ，，的方程组即可求解【详解】(1)解＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x ＋λy ；① 另一方面，△G 是△OAB 的重心，△＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，△由①②，得解得△＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．。

高考数学(文)二轮复习专题一三角函数和平面向量第2讲平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ，所以sin(A+C )=3sin B cos B ，所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)

高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1．答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2．答案 D解析因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7．所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3．答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42．由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4．答案 C解析由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5．答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6．答案 C解析在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32；当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7．答案 A解析由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°．故选A ． 8．答案 D解析由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9．答案 C解析由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10．答案 C解析由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ．因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3，所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11．答案 A解析由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4．由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12．答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14．答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22．由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2．由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15．答案 22解析在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ．由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°．又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16．答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4．设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42．三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1．在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1．又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°．当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)．故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。

高一第二学期期末复习资料-家长打印版(共48页)

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18. 已知在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b sin A 3a cos B 3c ．
（1）求角 A 的大小；（2）若 a 4 ， D 为 BC 的中点， ABC 的面积为 3 3 ，求 AD 的长．
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必修二第 7 章复数期末考试复习
概念
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题型五: 平面向量的应用
13. O 是△ABC 所在平面内的一定点，P 是△ABC 所在平面内的一动点，若(―P→B －―P→C )·(―O→B ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
＋ OC )＝( PC － PA )·( OA ＋ OC )＝0，则 O 为△ABC 的( )
A．内心
B．外心
C．重心
D．垂心
2．（多选）下列命题中正确的是( )
A．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 ―→ ―→ ―→
B．已知 A，B，C 是平面内任意三点，则 AB ＋ BC ＋ CA ＝0 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
C．若 O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足( OB － OC )·( OB ＋ OC －2 OA )＝0，则
ABC 的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
10
15．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（2a﹣c）（a2﹣b2+c2）＝2abccosC．（1）求角 B 的大小；（2）若 sin A 3 cos C 1 ，求 b 的值．
2a
16．如图，在 ABC 中， B 60 ， AB 8 ， AD 7 ，点 D 在 BC 上，且 cos ADC 1 ． 7
，且 a + b = 5，

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高一数学必修5 解三角形
【基础知识回顾】
1.三角形中边与角之间的关系．
（1）在△ABC 中，A+B+C=______，sin（A+B）=______，cos（A+B）=______。
（2）在△ABC 中，若最大角C为锐角，则cosC______0，△ABC为______三角形；若最大
角C为直角，则cosC______0，△ABC为______三角形；若最大角C为钝角，则cosC______0，
△ABC为______三角形
2.正弦定理．
在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等，即________＝________＝________.
正弦定理可解决____________和____________这两个问题。
3.余弦定理．
三角形中任何一边的______等于其他两边的______的和减去这两边与它们的______的余弦
的积的______．即a2＝______________，b2＝__________________，c2＝
__________________.
余弦定理的推论：
cosA＝________________；cosB＝________________；cosC＝______________.
余弦定理可解决__________，__________和__________这两个问题。
4.三角形面积公式：____________，____________和____________，要求一个三角形的面
积，要知道的条件是：____________。
【练习】
考点一、正弦定理

1、在△ABC中，若005,60,15aAC，则此三角形的最大边长为_________。

2、在△ABC中，03,33,30,bCBa则_________。
3、在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，则_____.sinsinsinabcABC
考点二、余弦定理
4、在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A( )

A．090 B．060 C．0135 D．0150
5、在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )．
A.π3 B.π6 C.π4 D.π12

6、在△ABC中，若1413cos,8,7Cba，则最大角的余弦是（）[来源:学.科.X.X.K]
A．51 B．61 C．71 D．81
考点三、三角形形状的判断
7、在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
8、在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直
角三角形、钝角三角形)
考点四、三角形面积
9、在△ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（）
A．12 B．221 C．28 D．36[
10、已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )．
A．75° B．60° C．45° D．30°
11、在△ABC中，c＝3，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为( )．

A.32或3 B.32或34 C.3或34 D.3

12、在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则asin A等于( )．
A.2393 B.2293 C.2633 D．33
考点五、应用题
13、一只船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距灯塔68海里的M处，
下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 .
14、为测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB =45°，∠CBA=75°，
AB=120米，则河宽米.
考点六、综合题型

15、在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cosC2，sinC2)，n＝(cosC2，

－sinC2)，m，n的夹角为π3.
(1)求C的大小；
(2)已知c＝72，三角形的面积S＝332，求a＋b的值．
16、在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cosC＝34.
(1)求sinA的值；(2)求BC→·CA→的值．

17、已知函数，
(1)求()fx的最小正周期；

(2)若(0,)，2()43f, 求sin的值．

18、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos.cbA(1)求证：A=B；
(2)若△ABC的面积154,cos,25SCc求的值.
19、已知ABC 的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc,A是锐角,且
Babsin23
.

(1)求A的度数；
(2)若7a，ABC的面积为310，求22cb的值.

20、在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为,,abc，已知1tan2B，1tan3C，且1c.
(1)求tanA；
(2)求ABC的面积.