用分离变量法解常微分方程
常微分方程组的解法
常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。
常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。
解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。
常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。
其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。
一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。
变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。
常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。
特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。
数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。
常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。
龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。
变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。
常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
分离定理种类及应用方法
分离定理种类及应用方法分离定理是数学中的一个重要定理，用于解决线性偏微分方程的问题。
下面将详细介绍分离定理的种类及应用方法。
一、分离变量法分离变量法是分离定理的一种常见应用方法。
它的基本思想是将多变量的函数表示为各个变量的乘积形式，然后分别求解每个变量的方程，最后将得到的解合并，得到原问题的解。
应用方法：1.设定变量的分离形式：根据问题的具体情况，设定合适的变量分离形式。
通常来说，分离变量法适用于一维的偏微分方程，可以将解表示为一系列的单变量函数或特定的形式。
2.将偏微分方程转化为一系列的常微分方程：将原方程中的多个变量分离开来，得到一系列只包含一个变量的常微分方程。
3.逐个求解每个常微分方程：对于每个常微分方程，根据具体的形式选择适当的求解方法，例如使用分离变量法、常数变易法、变量替换法等。
4.合并得到原问题的解：将每个常微分方程的解合并，得到原问题的解。
二、特解法特解法是分离定理的另一种常见应用方法。
它的基本思想是通过猜测特定的解形式，将原问题转化为常微分方程或代数方程求解。
应用方法：1.设定特定解形式：根据问题的特点和已知条件，猜测合适的特定解形式。
常见的特定解形式有指数函数、幂函数、三角函数等。
2.代入原方程：将猜测的特定解形式代入原方程，得到常微分方程或代数方程。
3.求解方程得到特解：根据具体的形式选择适当的求解方法，例如积分、代数运算等，得到特解。
4.合并特解和通解：特解是原问题的一个解，将其与通解合并，得到原问题的完整解。
三、变量替换法变量替换法是分离定理的一种补充应用方法。
它的基本思想是通过改变变量的形式，将分离变量法或特解法无法解决的问题转化为可以求解的形式。
应用方法：1.寻找合适的变量替换：根据问题的特点和已知条件，寻找合适的变量替换，使得原方程可以转化为容易求解的形式。
2.代入原方程和求解：将变量替换代入原方程，得到新的方程。
根据具体的形式选择适当的求解方法，例如分离变量法、特解法等，求解得到新方程的解。
微分方程中的常微分方程解析
微分方程中的常微分方程解析微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了自然界和各个学科中许多现象的变化规律。
而常微分方程则是其中常见且重要的一类微分方程，它们具有许多有趣的性质和解析解的求解方法。
本文将介绍常微分方程的概念、解析解的求解方法以及解析解的应用。
一、常微分方程的概念常微分方程是指不含有偏导数的微分方程，一般形式可表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以通过求解微分方程来确定未知函数y的具体形式。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程中只包含未知函数的一阶导数，而高阶常微分方程中包含未知函数的多阶导数。
二、常微分方程解析解的求解方法求解常微分方程的解析解是指通过确定函数的具体形式来解决方程。
常见的常微分方程求解方法包括分离变量法、齐次化法、线性方程法、变量代换法等。
1. 分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，可以通过将变量分离来求解。
具体步骤如下：(1) 将方程改写为f(y)dy = g(x)dx的形式；(2) 对两边同时积分，得到∫f(y)dy = ∫g(x)dx；(3) 对于右边的积分，可以通过适当的变量代换或积分方法进行求解；(4) 最后，再通过反函数求解y，得到解析解。
2. 齐次化法对于形如dy/dx = f(x, y)的一阶常微分方程，可以通过齐次化来求解。
具体步骤如下：(1) 令y = vx，将方程转化为v + x(dv/dx) = f(x, vx)的形式；(2) 对两边同时求导，得到v' + (dv/dx)x = (df/dx)x^2；(3) 令u = v/x，可以得到u + x(du/dx) = (df/dx)x；(4) 对两边同时积分，再通过适当的变量代换或积分方法进行求解，最后得到解析解。
3. 线性方程法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以通过线性方程法来求解。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
微分方程解法总结
微分方程解法总结微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
解微分方程的方法繁多，但主要可以归纳为以下几种常见的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法、常系数线性齐次微分方程法、变量可分离的高阶微分方程法和常系数高阶线性齐次微分方程法等。
一、分离变量法分离变量法是解微分方程最基本的方法之一，适用于可以把方程中的变量分离开的情况。
其基本思想是将微分方程两边进行分离，将含有未知函数和其导数的项移到方程的一边，含有自变量的项移到另一边，并对两边同时进行积分。
最后，再通过反函数和常数的替换，得到完整的解。
二、齐次方程法齐次方程法适用于微分方程中，当未知函数和其导数之间的比值是关于自变量的函数时，可以通过引入新的变量进行转换，将微分方程转化为可分离变量或者常微分方程的形式。
三、一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解这类方程需要使用一阶线性常微分方程解的通解公式，即y=e^(-∫p(x)dx)*∫[e^(∫p(x)dx)]q(x)dx。
通过对p(x)和q(x)的积分以及指数函数的运用，可以得到最终的解。
四、常系数线性齐次微分方程法常系数线性齐次微分方程可以表示为ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c为常数。
解这类方程需要使用特征根的方法。
通过假设y=e^(mx)的形式，将其带入方程中，并解出方程的特征根m1和m2，再根据数学推导，可以得到最终的通解。
五、变量可分离的高阶微分方程法变量可分离的高阶微分方程适用于可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的情况。
其基本思想是对微分方程两边进行合理的转化和变量替换，将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式，然后使用分离变量法进行求解。
六、常系数高阶线性齐次微分方程法常系数高阶线性齐次微分方程可以表示为ay^n + by^(n-1) + ... + cy = 0，其中a、b、c为常数。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。
通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。
在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。
常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。
通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。
常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。
2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。
3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。
4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。
5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。
结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。
常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。
希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。
如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。
分离变量法的适用条件
分离变量法的适用条件分离变量法是一种常用的数学求解方法，适用于某些特定条件下的问题。
下面将介绍分离变量法的适用条件及其应用。
一、适用条件1. 微分方程为一阶或二阶常微分方程。
2. 微分方程为可分离变量的形式，即可以将自变量和因变量分离开来。
3. 微分方程的解可表示为两个变量的乘积形式，即可以假设解为两个变量的函数乘积，并通过分离变量法求解。
二、应用场景1. 生物学领域：分离变量法常用于描述生物过程中的变化规律，如细胞分裂过程、生物种群的增长等。
2. 物理学领域：分离变量法可以用于求解热传导方程、波动方程等物理现象的描述。
3. 经济学领域：分离变量法可以应用于经济学中的一些模型，如供给与需求模型、经济增长模型等。
4. 工程学领域：分离变量法可以用于求解工程问题中的一些模型，如电路问题、热传导问题等。
三、分离变量法的步骤1. 将微分方程中的自变量和因变量分离开来，将其分别放置于等号两边。
2. 对两边的方程分别积分，得到两个方程。
3. 对两个方程进行化简和整理，得到最终的解。
四、注意事项1. 在使用分离变量法时，需要对微分方程进行一定的变形，使其满足分离变量的条件。
2. 在对两个方程进行积分时，需要注意常数的引入和确定。
3. 分离变量法只适用于一些特定的微分方程，对于一些复杂的微分方程可能无法使用此方法求解。
总结：分离变量法是一种常用且有效的数学求解方法，适用于一些特定条件下的问题。
在使用分离变量法时，需要满足微分方程为一阶或二阶常微分方程，并且可以将自变量和因变量分离开来。
分离变量法可以应用于生物学、物理学、经济学和工程学等领域，可以帮助我们求解一些模型和问题。
但需要注意的是，分离变量法只适用于一些特定的微分方程，对于一些复杂的微分方程可能无法使用此方法求解。
因此，在具体应用时需要结合实际问题，选择合适的数学方法进行求解。
常微分方程的解法
常微分方程的解法常微分方程（Ordinary Differential Equation）是描述自然现象和工程问题的基础数学模型，被广泛应用到各个领域中。
解常微分方程的方法不仅是数学学科的基本内容，也是物理、工程、经济等工科领域必须熟练掌握的数学工具之一。
本文将简单介绍常微分方程的基本概念和解法。
一、基本概念常微分方程是指仅涉及一个自变量和它的几个导数的方程。
通常形式为：$$F(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},...,y^{(n)})=0$$若仅涉及一阶导数，则称为一阶常微分方程，通常写作$y^\prime=f(x,y)$。
一般地，我们都要求解的是一阶常微分方程，因此本文仅介绍一阶常微分方程的解法。
二、解法1. 可分离变量法若已知的微分方程为$y^\prime=f(x,y)$，并且可以分离变量，即$f(x,y)=g(x)h(y)$，则可通过以下步骤求解：（1）将方程移项得到$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$；（2）分母h(y)移项得到$\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx$；（3）两边同时积分得到$\int\frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx+C$，其中C为常数。
2. 齐次方程法若已知的微分方程为$y^\prime=f(x,y)$，并且满足$f(x,y)=f(\frac{y}{x})$，则称该微分方程为齐次方程。
则可通过以下步骤求解：（1）令$y=ux$，则有$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$；（2）将$y^\prime=f(x,y)$代入$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$中得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(x,ux)$$（3）该方程可变形为$$\frac{du}{f(x,ux)-u}=\frac{1}{x}dx$$（4）对两边积分得到$$\int\frac{du}{f(x,ux)-u}=\ln|x|+C$$，其中C为常数。
可分离变量的微分方程的解法
可分离变量的微分方程的解法可分离变量的微分方程是指可以将微分方程中自变量和因变量分离，然后分别对两边求积分的方程。
其一般形式为dy/dx =f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)都是关于变量x和y的函数。
解这种微分方程的一般步骤如下：1. 将方程重写为dy/g(y) = f(x)dx，将x和y分离开。
2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3. 对上式右边和左边的积分进行求解，得到∫(1/g(y))dy = F(x) + C，其中C是常数。
4. 将上式两边关于y进行反函数运算，得到y = g^(-1)[F(x) +C]，其中g^(-1)表示g(y)的反函数。
5. 最后得到微分方程的解为y = g^(-1)[F(x) + C]。
下面是一些相关参考内容，用于解释和说明可分离变量的微分方程的解法：1. 《高等数学》- 许家栋等著本书是高校数学系教材，其中详细讲解了可分离变量的微分方程的解法。
书中从基本定义和概念出发，逐步介绍了可分离变量的微分方程的解法步骤，并配有大量的例题和习题，以帮助读者更好地理解和掌握该解法。
2. 《微分方程》- 吴钟灵等著这本书是微分方程的教材，其中涵盖了可分离变量的微分方程的解法。
书中详细介绍了可分离变量的微分方程的定义和性质，并提供了一些典型的例题和详细的解题过程，让读者能够通过实例来理解解方程的方法。
3. 《微积分学教程》- 张敬泉等著本书是一本综合性的微积分教材，其中的微分方程部分包含了可分离变量的微分方程的解法。
书中详细介绍了可分离变量的微分方程的概念和求解方法，并提供了一些典型的例题和解题思路，以帮助读者更好地理解和掌握该解法。
4. 在线教育平台上的相关视频课程很多在线教育平台上都提供了与微分方程相关的视频课程，其中包括了可分离变量的微分方程的解法。
通过观看这些视频课程，可以更直观地理解和学习可分离变量的微分方程的解法，同时还可以通过课后习题来巩固所学的内容。
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实用文档 标准文案 用分离变量法解常微分方程
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１ 直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dxdy= xfy (1.1)
的方程，称为变量分离方程，这里xf，y分别是的连续函数.
如果(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 )(ydy= xfxd,
这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：)(xdy=dxxf)( + c. (1.2)
其中，c表示该常数，)(xdy，dxxf)(分别理解为)(1y，xf的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使0y 的0yy是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122dxydyx的通解. 解：(1)变形且分离变量： ），，（111122yxxdxy
dy
(2)两边积分： cxdxydy2211 ，
得 cxyarcsinarcsin. 实用文档 标准文案 可以验证1y也是原方程的解，若视x和y是平等的，则1x也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2 曲线L上的点),(yxP处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分.求曲线L的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ的方程，用大写的),(YX表示法线上的动点，用小写的表示曲线L上的点，法为过点),(yxP的法线的斜率. 解：由题意得
y1法.
从而法线PQ的方程为 )(1xXyyY.
又PQ被y轴平分，PQ与y轴交点M的坐标为2,0y，代入上式，得 )0(12xyyy.
整理后，得 xyy2，
分离变量，解得 cyx2
22，
其中c为任意正数，如图1.
２ 变量可替换的微分方程
),(yxp
y y M
L x
Q
2y
x 图1 实用文档 标准文案 通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:
2.1齐次方程 形如 xydxdy (1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u是u的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 xyu， (1.4)
即uxy，于是 udxduxdxdy. (1.5)
将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(uudxdux，
整理后，得到 xuudxdu)(. (1.6)
方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解. 例3 求微分方程dxdyxydxdyxy22的通解.
解：原方程化为 22ydxdyxxy xy，
即
1
xy
x
y
dxdy， 实用文档 标准文案 于是，令xyu，即xuy，将dxduudxdy代入该方程，得
12uudxduxu，
整理，即有 112uuuuudxdux，
分离变量，得 xdxduuu1 0u，
两边积分，得 1lnlnlncxuu，
将xyu代回来，得 yccxxyxy11lnln，
xyeyc1， 即 xycey，其中c为任意常数.
另, 0u即0y也是原方程的解，但此解课包含于通解0c之中.故,方程的通解为xycey.
2.2形如 222111cybxacybxadxdy (1.7) 的方程，这里212121,,,,,ccbbaa均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.
我们分三种情形来讨论： 实用文档 标准文案 2.2.1 常数kccbbba212111的情形. 这时方程化为 kdxdy
有通解 ckxy，
其中为任意的常数c.
2.2.2 212111cckbbaa的情形. 令ybxau22，这时有 212222cuckubadxdybadxdu
是变量分离方程.
2.2.3 2111bbba的情形. 如果方程1.2中21,cc不全为零，方程右端分子、分母都是yx,的一次多项式，因此 0121cybxa，
0222cybxa. （1.8） 代表Oxy平面上两条相交直线，设交点,.若令 xX，
yY.
则（2.2）化为 011YbXa，
022YbXa. 实用文档 标准文案 从而（2.1）变为 XYYbXaYbXadXdY2211. (1.9)
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解. 如果方程（2.1）中021cc可不必求解（2.2），直接取变换xyu即可.
上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型
222111cybxacybxafdxdy
.
例4 求解方程 766322yxyxdxdy （2.0）
解： 解方程组 0322yx, 0766yx, 得34,61yx. 于是，令 61Xx,
34Yy,
代入方程（2.4），则有 YXYXdxdy6622. 1.2
再令XYu,即 uXY，则5.2化为 duuuuXdX2211，
两边积分，得 cuuX~12lnln22，
因此 1~2212ceuuXc， 实用文档 标准文案 代回原变量，得 1222cXXYY，
即 122613461234
cxyxy.
因此，方程（2.3）的通解为 cxyxyxy184737222，
其中，c为任意常数. 通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.
凑微分 当方程
222111cybxacybxadxdy
满足： 21ba （2.2） 时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.
即：将12ba代入方程222111cybxacybxadxdy中，
有 222121cybxacyaxadxdy
即 dxcybxa)(111dycybxa)(222 展开，得 dxcydxbxdxa111dycydybxdya222 （2.3） 实用文档 标准文案 有条件（2.6）可知， dxbxdyaydxaxdyaxyda12222)( （2.4） 将（2.8）代入（2.7）中，得 0)222(1212222xcxaycybxyad. 很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为 Cxcxaycybxya1212222222，其中C为任意常数.
例5 求解方程85yxyxdxdy.
解法一：该方程属于（2.2.2）的情形.于是，令yxu.则dydxdu 所以，原方程可化为
83udxdu.
这是一个分离变量方程.整理可得 xuu6162.
将yxu代入，可得 xyxyx6)(16)(2 即，通解为 cyxxyyx1610222.其中c为任意常数.
观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解.
解法二：原方程变形为 dxyxdyyx)5()8(. 整理得 058)(dxxdxdyydyydyxdy.