高一物理竞赛讲义第6讲.教师版

Congratulations, younglings! 我们今天开始学习静力学了，英文叫statics 。一看就知道，我们研究的是静止，或者更加广泛的平衡情况下所满足的力学。在学习的过程中，我们可以掌握最基本的力学的物理量的描述和计算推演方法。这些当然也是后面学习其他知识的基础。

1．力是物体间的相互作用．

包括施力物体，受力物体，作用力与反作用力、大小、方向、作用点，作用效果这几方面的概念、 单位：牛顿N

作用效果改变物体的运动效果（涉及动力学）改变物体的形状．

关于力的定义：很多种说法，比如用加速度来定义，用动量的变化率来定义，等等。 思考：如果我们用加速度来定义力，那么我们如何定义力的大小呢？ 思考：如何确定两个力相等呢？

2．重力：由于地球吸引产生的力．

施力物体：地球． 大小：G mg =， 2g 9.8/m s = 受力物体：在地球上的任何物体． 方向：竖直向下 反作用力：物体对地球的吸引力． 等效作用点：重心 质心和重心：质心是质量的等效中心．其计算方法： ∑∑=

i

i

i c m

x m x

∑∑=

i

i

i c

m

y

m y ∑∑=i

i i c

m

z m z

其中（c x ，c y ，c z ）是质心的坐标，i m 是系统中第i 个质点的质量，（i x ，i y ，i z ）是第i 个质点的坐标．注意质心不仅和物体几何形状有关，还与其质量分布相关．

重心是重力的等效作用点．当物体所在位置处的重力加速度g 是常量时，重心就是质心．若物体

很大，以致各处的g 并不能认为相同，则重心不等同于质心．

另外，质心也有很多其他的用途，比如在研究惯性力的过程中，在研究动量的过程中等，我们后面会有学习

知识点睛

温馨寄语

第6讲 力的基本性质

【例1】 求一块均匀三角板的重心位置，三边长a 、b 、c ． 【解析】 在三条中线的交点上．证明方法：微元法，把三角形分成无数个小条。每个小条都是重心是

中点，都连起来就是中线。

【例2】 求由三根均匀杆构成的三角形的重心位置，其中三杆长度为a ，b ，c ，

其中222a b c +=

【解析】 设密度为λ，并以直角边建立坐标系，把三根棒可以看成三个质点

a 棒：02a a λ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭，

b 棒：02b b λ⎛⎫

⎪⎝⎭，

c 棒：22b a c λ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

重心：201222c b b

a b c b bc x a b c a b c λλλλλλ⋅+⋅+⋅

+==⋅++++

201222c a a a b c a ac y a b c a b c

λλλλλλ⋅+⋅+⋅

+==⋅++++

思考如果，a 、b 、c 不能组成直角三角形呢？

重心将在三边中点组成的小三角形的内心上。证明略。

【例3】 求下面阴影的重心． 【解析】 设面密度为σ

解：假定大圆是实心，质心在O 点，质量为2πR σ，小圆的质量为负的（即控去的）2πr σ-，质量心在O '点，两质心相距l ，设O 点为原点． 2:πO R σ，()00， 2:πO r σ'-()0l -，

∴质心：

()()

2222222π0πππR r l r l R r R r

σσσσ

⋅+-⋅-=-- 222

0r l R r ⎛⎫

⎪-⎝⎭，．

【例4】 （RDF 分班考试题）已经知道均匀分布质量的圆板，切割成如图的太极形状的一半．实线通

过它的重心。已经知道原来的圆板半径为R ，求圆中心到重心的水平方向的距离x （如图）。

例题精讲

【例5】已知一个质量为M的没有盖子的圆柱形的杯子。里面开始是空的，然后往里面慢慢的注水。

进入了杯子的水和杯子的总重心会发生变化。请问重心如何变化？是否有最值？是多少？

（已知杯子底面积为S，水的密度为r,原来空杯子重心高度为H）

【例6】（RDF分班考试题）已知一个均匀质量的圆球壳，半径为R，现在将球壳上端高度为h的部

分切下，然后粘贴在圆球的最下面，形成一个“杯子”。求这个杯子的重心。

【例7】已知俄罗斯方块基础版中的图形是由四个完全一样的匀质正方形平板组成．进阶的有用五个板子组成的，请求出下列图形的重心（已知每个小正方形的边长为a）

3．弹力：

当相互接触的物体发生形变时所产生的恢复形变的力称为弹性力，胡克定律表明，当物体形变不太大时，弹性力与形变成正比，弹簧的弹性力F 与弹簧相对于原长的形变（拉伸或压缩）x 成正比，方向指向平衡位置，即 F kx =-

式中比例系数k 称为弹簧的倔强系数，也叫劲度系数，负号表示弹性力与形变反方向．

对于弹性力须说明三点：

① 绳子的张力是一种弹性力．绳子和与之连接的物体之间有相互作用时，不仅绳子与物体之间有弹性力，而且在绳子内部也因发生相对形变而出现弹性力．这时，绳子上任一横截面两边互施作用力，这对作用力和反作用力称为绳子的张力，一般情况下，与绳子相应的比例系数k 很大，因而形变很小，可以忽略．所以绳子的张力不是由绳子的形变规律确定，而是由求解力学问题时确定．因而，在物理中，我们一般抽象出柔软不可伸长的轻绳．

② 在光滑面（平面或曲面）上运动的物体受到的支撑力也是一种弹性力．这种由物体与支撑面相互作用而发生形变产生的弹性力，也是一种使物体约束在该支撑面上运动的约束力，通常把物体所受到的约束力称为约束反力，约束反力的方向总是与支撑面垂直．与绳子的张力一样，由于相应的k 很大，因而形变很小，可以忽略，约束反力的大小由求解物体的运动来确定，若支撑面是粗糙的，则物体除受约束反力外，还要考虑该表面的摩擦力．

③ 弹簧串连：12

1111

n

k k k k =+++串

当然这两个公式在实际解题中往往会变形，关键要抓住各弹簧是弹力一致还是形变量一定． 弹簧并连：12n k k k k =+++并

知识点睛

牛顿和胡克

牛顿和胡克本来是学术交流的好哥们，相互通信，讨论问题。胡克对牛顿的最巨大的帮助就是纠正了牛顿关于天体运行的理解。牛顿开始时候认为天体的运行是在引力和离心力两个力作用下进行的（没错，牛顿不知道惯性力的概念，他不知道离心力不是实际的力。）胡克提示了之后，牛顿才开始尝试平方反比力和椭圆轨道关系的研究。

（形变量一定）

【例8】 如图所示，两根劲度系数分别为1k 和2k 的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑细绳连

接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑轮下挂一重为G 的物体时，滑轮下降的距离多大？

【解析】 12222

G

k x k x ⋅=⋅=

∴下降，12121124x x G k k ⎛⎫

+=⋅+ ⎪⎝⎭

【例9】 如图所示的一个升降机，体重为160kg P =的人在升降机中，手执一绳使自己

平衡于空中，升降机底坐重230kg P =，求这人手中应使多大的力？

【解析】 座底：2413P F F F +=+ 人：134P F F =+ 轮B ：132F F = 轮A ：212F F = ()3121

22.5kg

4

F P P =+=

例题精讲

牛顿和胡克

然而“天下大事，分久必合，合久必分。”两个人的合作基本也就到此为止了。两个人同时宣布自己证明了平方反比力就是椭圆轨道的原因。然而两个人都没有提出材料证明自己的观点。后来，牛顿发表了《论运动》，也就是《自然哲学的数学原理》的前身，彻底的论证了这个论点。胡克就悲剧了，他不会微积分，用平面几何证明太繁琐，不被认同；在皇家科学院中，地位跌入低谷。 。

4．摩擦力

摩擦力也是一种接触力，当相互接触的物体作相对运动或有相对运动趋势时，接触面间会产生一种阻碍相对运动或相对运动趋势的力，这种力称为摩擦力，前者称为滑动摩擦力，后者称为静摩擦力．

摩擦定律指出：

①滑动摩擦力与正压力成正比，与两物体的接触面积无关 ②当相对速度不太大时，滑动摩擦力与速度无关

③静摩擦力的大小为0与最大值（称为最大静摩擦力）之间的某一值，此值由相对运动趋势的程度而定，最大静摩擦力也与正压力成正比． 摩擦定律可 f N μ=滑 0max f N μ=静

式中μ和0μ分别称为滑动摩擦系数和静摩擦系数，0μ与μ近似相等，一般情况下，可认为0μ与μ

相等，统称为摩擦系数．

从另一个角度来说，力也可以分成两种：

第一类叫做主动力。例如重力、弹簧的弹力、滑动摩擦力等。这些力的特点是，受力由当前系统的位置或者外界条件直接给定。

第二类叫做约束力。这些力是由约束条件引起的，不由外界条件直接确定，只能通过体系内部的平衡方程解得。例如支持力、静摩擦力、铰链对杆的作用力、绳子的拉力等。每个约束都会使得描述约束力的变量加1。

例如支持力带来一个约束，描述支持力需要一个参数：支持力的大小（因为支持力的方向垂直于接触面）；静摩擦力带来一个约束，描述静摩擦力需要一个参数；二维空间里的铰链带来两个约束，描述铰链的作用需要两个参数（Fx ，Fy ）。滑动摩擦不带来约束，所以滑动摩擦力不作为约束力处理，其大小由正压力和摩擦系数决定，一定意义上是“由外界条件直接给定”，所以滑动摩擦力被当作主动力。如果绳子一端是用手拉着，那么相当于没有约束，拉力大小由手决定，这种情况绳子的拉力就被当作主动力。

【例10】 如图所示，木板A 质量为M ，以相对地面的速度v 在水平面上向北运动，木板上放一质量

为m 的板B ，各接触面间滑动摩擦因数均为μ，当木块B 也有相对地面向东的速度v 时，试分析木块B 的受摩擦力的情况．

【解析】 B 相对于A 有速度2v 向东南方向

所以B 受A 对B 的摩擦力向西北方向 摩擦力阻碍的是相对运动．

例题精讲

知识点睛

1．力作为矢量和速度一样，可以作矢量的合成与分解． 三角形法则：12F F F +=合，如图

平行四边形法则：12F F F +=合，如图

特别注意力的正交分解，建立直角坐标系()x y ，，可以把任意一个力分解到x 、y 方向．

【例11】 如图所示，有五个力1F 、2F 、3F 、4F 、5F 作用于一点O ，松成一个正六边形的两邻边和三

条对角线.设310N F =，试求这五个力的合力

.

【解析】依据正六边形的几何性质及平行四边形定则，不难看出1F 和4F 这两

个力的合力一定与3F 重合，2F 和5F 这两个力的合力也与3F 重合，如图.这样，所求五个力的合力，就等效为求三个方向相同、大小相等且同一直线上的三个力的合力，即五个力的合力大小为3330N F =，方向与3F 相同.

例题精讲

知识点睛

摩擦力产生的原因

所有的表面，即使是看起来很光滑的表面，从微观上看都是粗糙的。如果你通过扫描隧道显微镜看放大的石墨晶体的照片，那么在原子层次上晶体表面的不规则性就会暴露无遗。当两个表面接触的时候，每个表面上的突出点就会碰到并暂时粘合在一起，这就是静摩擦力和动摩擦力的起因。这个过程的详细情形目前还不清楚，因而它仍然是物理学和工程学上面研究的一个课题。

【例12】 求挡板在何角度时对小球的支持力最小．

【解析】

此时支持力最小，90θ=︒时

2．力合成分解应用

摩擦角：滑动摩擦角定义为arctan

f N

ϕ=滑

．把支持力和滑动摩擦力考虑成一个力（即全反力），则F f N =+合滑，由于f N μ=滑．∴F 合与N 夹角arctg θμ= 这个角度的特点是大小保持不变，虽然这个“全反力”的大小可能根据情况的变化而变化

【例13】 筷子夹鸡蛋，摩擦紧锁问题，设筷子与鸡蛋的摩擦系数为μ，求筷子多大角度时在不平桌面

上始终不会把鸡蛋滑出．

【解析】 筷子夹住鸡蛋给鸡蛋两个力，支持力N 和摩擦力f 、用全反力

考虑，此时鸡蛋仅受两个全反力，F 与N 夹角为arctg μ，N 与y 轴夹角为α，若arctg μα>，则两全反力的合力始终指向x -方向，则鸡蛋不会滑出，筷子夹2arctg μ时，鸡蛋始终不会滑出．

例题精讲

知识点睛

牛顿和胡克

后来矛盾加剧，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》。把各种前人的成果总结起来，运用微积分，建立了经典力学。胡克因为没有领会微积分这个工具，尝试运用平面几何，虽然方法巧妙，但是逐渐被人们遗忘了。后来《原理》卖的太好了，不断再版，内容也不断修改。一方面迫于教会的压力，牛顿加入了上帝的概念；另一方面，牛顿对胡克的贡献也采取了逐渐抹杀的态度。从“令人尊敬的胡克先生”到后来的“胡克”。其实看过《原理》的人都知道，

里面大部分的东西的证明方法都是仿照《几何原本》的公理体系，也运用了 很多胡克的平面几何证明方法。

这个故事告诉我们：1. 不要和数学比自己好，而且心眼小的人争论。 2.平面几何不如微积分，前者太巧妙，不好用，不好想；后者好想好用。

。

【例14】 木箱重为G ，与地面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的力F 拉木箱使之沿水平地面匀速前

进，如图所示，问角α为何值时拉力F 最小?这个最小值为多大?

F

α

【解析】这个题目可以讲解的非常精彩！

方法1三角函数公式法：

对木箱进行受力分析如图所示，由物体做匀速直线运动的平衡条件有： cos N F F αμ=………………① sin N F F G α+=……………②

①②联立得：cos sin F F G αμαμ+=，sin cos G

F μμαα=+

令tan μϕ=（摩擦角）代入得：

tan sin tan sin cos cos()

G G

F ϕϕϕααϕα==

+- 当tan arc αϕμ==时，F 有最小值min 2

sin 1F G G μ

ϕμ==+．

方法2二次方程法：

设这个力的水平分量为x F ，竖直分量为y F

则有：222x y x

y F N F N G F F F μ⎧=⎪⎪

+=⎨⎪+=⎪⎩由前两个方程消掉N 得到：x y F G F μ=(-)带入第三个方程后

我们得到关于y F 的一元二次方程：

2222()y y G F F F μ-+=化简得到：222222(1)20y y F G F G F μμμ+-+-=

一定有解，则有：2

4

2

2

2

2

4(1)()0G G F μμμ∆=4-+-≥

解得222

21G F μμ≥+因此有min 21F G μ

μ

=+

方法3二次函数法：

前面同方法2，得到222222(1)2y y F F G F G μμμ=+-+把这个当成关于y F 的二次函数，显

然它在2

22(1)

y b G F a μμ=-=+时候有极值 2

22

22222

min

22

242222222(1)2(1)(1)(1)(1)(1)

G G F G G G G G μμμμμμμμμμμμμ⎛⎫=+-+ ⎪++⎝⎭-++==

++

因此得到min 2

1F G μ

μ

=

+

F f

F

α

F N

G

方法4微元扰动法：

在极值附近的一个角度α变化一个很小合适的角度α∆一定可以满足()()F F ααα=+∆ 由于sin cos G F μμαα

=+所以只要分母保持不变即可 因此有

sin cos sin()cos()

sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin tan μααμααααμααμααμααααααμαααα

μα

+=+∆++∆+=∆+∆+∆-∆∆=∆= 代入回原来的式子得到：min 21F G μμ=

+ 方法5矢量分析法：

把支持力和摩擦力合成成一个力，则这个力的大小未知，但是方向确定，和竖直方向成夹角 arctan ϕμ=

因此原来的问题就转化成三力平衡问题

显然当支持力和摩擦力的合力与拉力互相垂直的时候拉力最小，并且最小值为： min 2sin 1G F G μϕμ==

+

由此可见，数学方法和物理方向相比起来，繁琐程度不是一个量级的……

ϕ

G min F

1． 求由彼此相切的球组成的系统的质心位置（如图），所有球具有同样直

径3cm d =，而它们的质量按规律增加，1m m =，23m m =，35m m =，

…，()21N m N m =-．500N =，各球的密度均匀．

【解析】 ()()()()()()2222121121211112322122

i i c i N N

d m x i i N N N d i i x N N N m i --++-++-====- 24110m N d bN

-=≈ 华山论剑

动摩擦力公式f N μ=

大家都学过了动摩擦力的公式。其实在历史上很多科学家都自然而然的认为摩擦力和支持力是应该有正比例关系的，然而真正做实验证实这个公式的却是我们著名的“库伦定律”的发现人：库伦。他一生成就很多，库伦定律和f N μ=是他最大的成就。其中前者如此的重要，

库伦在关于库伦定律的证明的实验等等方面的贡献如此之大，大家就忽略了他对于摩擦力的研究了。

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学习效果反馈：

代课教师：

通过今天学习，你觉得：

1.本讲讲义内容设置：

A．太难太多，吃不透

B．难度稍大，个别问题需要下去继续思考

C．稍易，较轻松

D．太容易，来点给力的

2.本节课老师讲解你明白了：

A .40%以下

B .40%到80%

C .80%以上但不全懂

D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）