高中物理竞赛练习题·静力学
高中物理竞赛练习题
静力学（预赛）
一、共点力作用下物体的平衡
1. 有两个质量分别为m1和m2的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环上，两环以细线相连，如图所示。已知细线所对的圆心角为α，求系统平衡时细线与竖直方向间所夹的角
θ为多少？
2. 有一水平放置的半径R的圆柱体光滑槽面，其上放有两个半径均为r的光滑圆柱体A和B，如图所示为其截面图。图中O为圆柱面的圆心，A、B分别为两圆柱的圆心，OQ为竖直线。已知A、B两圆柱分别重G1和G2，且R=3r。求此系统平衡时，OA线与OQ线之间的夹角α为多少？
3. 四个半径均为R的光滑球，静止于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰好在同一水平面上。现将一个相同的第五个球放在前述四球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？
4. 质量为m的立方块固定在弹簧上，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，未形变时长度分别为l1和l2，固定弹簧的另一端，使立方块可以沿水平面运动。立方块与平面之间的动摩擦因数为μ，弹簧两固定点间距离为L，立方块大小可不计。求立方块能够处于平衡状态的范围。
5. 两个质量相等的物体，用绳索通过滑轮加以连接，如图所示。两物体和平面之间的动摩擦因数μ相等，试问要使这两个物体所组成的系统开始运动，角ϕ的最小值应为多少？（已知A 物体所在平面恰好水平）
6. 半径为R 的刚性球固定在水平桌面上，有一个质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长2πa ，
2
R a =，绳圈的弹性系数为k （绳圈伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）。将绳圈从球的正上方轻轻放到球上，并用手扶着绳圈使之保持水平并最后停留在某个静力平衡位置上，设此时绳圈
长度为2πb ，b =，考虑重力，忽略摩擦，求绳圈的弹性系数k （用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度）。
二、一般物体的平衡
7. 圆桌面有三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿的重量忽略不计。某人坐在正对着一套桌腿的圆桌边缘上，使圆桌以另两条桌腿着地点的连线为轴而倾倒，圆桌倾倒后，他再坐到桌面的最高点上，恰巧又能使圆桌恢复过来。求桌面半径与桌腿半径之比。
8. 用线将一线筒挂在墙上，如图所示。线筒的质量为M ，小圆半径为r ，大圆半径为R ，线筒与墙壁间的摩擦因数为μ，问当线于墙夹角α为多大时，线筒才不会从墙上滑下？
9. 一石砌堤，堤身在基石上，高为h ，宽为b ，如图所示。
堤前水深等于堤高h ，水和堤身的单位体积重量分别为q
和γ，问欲防止堤身绕A 点翻到，比值
b h 应等于多少？
10. 如图所示，对均匀细杆的一段施力F ，力的方向垂直于杆。要将杆从地板上慢慢地无滑动抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数。
11. （14届复赛第1题）如图所示，用两段直径d 均为0.02m 且相互平行的小圆棒A 和B 水平地支起一根长l =0.64m 、质量分布均匀的木条。设木条与两圆棒之间的静摩擦因数为μ0=0.4，动摩擦因数μ=0.2。现使A 棒固定不动，并对B 棒施以适当外力，使木棒B 向左缓慢移动，试分析讨论木条的移动情况，并把它的运动情况表示出来。（设木条与圆棒B 之间最先开始滑动）
三、物体平衡条件
12. 一根质量为m 、长为L 的均匀杆处于竖直位置，其一端可绕固定的水平转轴转动。有两根劲度系数相同的水平弹簧把杆的上端拴住，如图所示。问弹簧的劲度系数为何值时才能使杆处于稳定平衡状态？
13. 如图所示，一均匀长方体，厚度为h ，静止地放在半圆柱的顶面上，长方体地面恰成水平状态。若半圆柱的半径为R ，且长方体与半圆柱间的静摩擦因数足够大，试讨论长方体的平衡属于何种性质的平衡？
14. 如图所示，在边长为a 的正方形的四个顶点各固定一个正点电荷q ，在正方形的中心放一负点电荷Q ，此时所有的电荷均处于平衡状态。现在负点电荷Q 受到外界扰动由中心沿OD 方向偏离一微小的距离x ，试问负点电荷是否为稳定平衡。
四、综合性习题
15. 两个相同长方体处于如图所示位置，当α为多少时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为μ，长方体长b ，宽a ，长方体间无摩擦。
16. 如图所示，一空心环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖直在铅垂面内，管口连线在一水平面上。向管内装入与管壁相切的小滚珠，左、右侧第一个滚珠都与圆管截面相切。已知单个滚珠重W ，共2n 个。试求从左边起第k 个和第（k +1）个滚珠之间的相互压力N k 。假设系统中处处无摩擦。
17. 一块重W =40N 的木板C 放置在两根水平固定托梁A 、B 上。C 在水平面内，垂直于两托梁，尺寸如图所示。忽略托梁宽度，C 与A 、C 与B 之间的摩擦因数分别是μA =0.2、μB =0.3，试求使木板运动所需平行于托梁的力P 。
n -1 n
高中物理竞赛辅导(2)
高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。
分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中
由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。
高中物理竞赛(力学)练习题解
1、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R 。当飞船运行到P 点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。飞船喷气质量可以不计。 （1）试求飞船新轨道的近火星点A 的高度h 近和远火星点B 的高度h 远 ； （2）设飞船原来的运动速度为v 0 ,试计算新轨道的运行周期T 。 2，(20分)有一个摆长为l 的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O 的距离为x 处（x ＜l ）的C 点有一固定的钉子，如图所示，当摆摇摆时，摆线会受到钉子的阻挡．当l 肯定而x 取不同值时，阻挡后摆球的运动状况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的 高度不超过O 点），然后放 手，令其自由摇摆，假如摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求 x 的最小值． 3，（20分）如图所示，一根长为L 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a 和b ，它们的质量分别为m a 和 m b . 杆可绕距a 球为L/4处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b 几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块，图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上，使之绕O 轴逆时针转动，求当a 转过 角时小球b 速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b 与立方体物块始终接触没有分别．不计一切摩擦． 4、把上端A 封闭、下端B 开口的玻璃管插入水中,放掉部分空气后放手,玻璃管可以竖直地浮在水中(如下图).设玻璃管的质量m=40克,横截面积S=2厘米2,水面以上部分的长度b=1厘米,大气压强P 0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不 计,管内空气质量不计. (1)求玻璃管内外水面的高度差h. (2)用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A 端在水面下超过某一深度时,放手后玻璃管不浮起. 求这个深度. (3)上一小问中,放手后玻璃管的位置是否改变?如何改变?(计算时可认为管内空气的温度不变) 5、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°(如右图).一条 长度为l 的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处,另一端拴着一个质量为m 的小物体(物体可看作质点,绳长小于圆锥体的母线).物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动(物体和绳在上图中都没画出). a O b A B C D F
高中物理竞赛高二竞赛班全套物理讲义(答案解析)高二竞赛班第5讲 静力学续-静不定-教师版
约束比自由度多的时候就会出现静不定的问题。这种问题没有唯一解。当你判定一个体系是静不定的时候，就意味着你一定少弄了一些什么东西。可以通过解除约束的方式处理静定。要么是把刚性的假设去掉，弄出形变，要么是打滑开始打滑。 第4讲预计要讲1.5次，这次题量少一些，供调整。 例题精讲 【例1】 一个方桌，四根脚一样长。桌子边长为l ，以桌面中心为原点，平行于一条边作为x 轴，在（x , y ） 位置放一个质量为m 的物体，求各个脚上的受力。将四根腿可以视为劲度系数一样的很硬的弹簧。 四点共面表示为x1-x4=x2-x3 结果发现在正方形各边中点连成的小正方形中间区域内，各支持力大于0 而在此外，对角点支持力=0，需要重新计算。 【例2】 一个摩擦系数为11μ=的墙面，铰接了一个摩擦系数为233 μ=的木板，夹了一个圆柱，开始角度为15度，木板慢慢转到60度，求圆柱转过角度 略 本讲导学 第5讲 静力续-静不定 x y O 2N 1 N 3N 4 N
C 【例3】 如图一个高为h 三角板连着两个圆形金属套，套在半径为r 的圆柱上，摩擦系数为μ，为了保持 平衡，需要在距离x 的地方挂一个重物P 。问x 的取值范围。 【例4】 如图，杆AB 放在圆筒内，A 点处摩擦足够大，杆的C 点靠在筒的边缘。A 、C 两点位于通过圆筒轴的竖直平面内， 杆与水平方向夹角为α，现使杆沿筒边移到'C 点，'C OC ?∠=，问摩擦系数至少为多少，才能使杆能在'C 位置保持平衡。 本要的要点在于分析摩擦力方向。怎样理解“即将滑动” P 2r h x
【例5】 29届复赛模拟题第6套第4题 Andy Riley 画了《找死的兔子》，该书中的人们精通各种物理原理，从而帮助兔子成功自杀。 巨石的质量为5110kg ?，巨石下有10根圆木，人们拉着巨石缓缓移动。圆木的质量可以忽略，所有地方均不滑动。由于压力巨大，圆木被压扁了0.2%，圆木滚动之后被压扁的地方又恢复了原状。假设圆木滚动的时候作用力集中在A 、B 两点。重力加速度取9.8/g N kg = （1） 原始人至少需要多大的拉力才能将巨石拉动？ （2） 各处摩擦系数至少达到多少才能保证不滑动？ 解：由合外力等于0，重力可以忽略，两个作用点支持力、摩擦力各自等大。 由于力矩为0，所以两边支持力与摩擦力的合力过圆心。（5分） 摩擦角至少为θ。 cos 10.2%θ=- 解得 3.6θ=? （5分） A B
高中物理竞赛(静力学)
力、物体的平衡 补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。 一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 ①重心的定义： ++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。 ②重心与质心不一定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。 如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。 以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）： （0.5-x ） 2G =(x +0.25)2 G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m. 2.巴普斯定理： ①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。 如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ， 绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π 34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。 如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ， 绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得π R x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。 （2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形 AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的 4 1，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。 [答案：(1) 离圆心的距离6R ；(2)离底边中点的距离9 2L ] 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x . 有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x R R -=-ηπηπ得6 R x ==5cm. 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵
高中物理竞赛 静力学
静力学 1如图所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A 端受的拉力 T. 2：图3—9中，半径为R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长 但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、m.设圆盘与 绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度. 3、质量为m ，自然长度为2πa ，弹性系数为k 的弹性圈，水平置于半径为R 的固定刚性球上，不计摩擦。而且a = R/2 。（1）设平衡时圈长为2πb ，且b = 2a ，试求k 值；（2）若k = R 2mg 2 ，求弹性圈的平衡位置及长度。 4、均质铁链如图2悬挂在天花板上，已知悬挂处的铁链的切线与天花板的夹角为θ，而铁链总重为G , 试求铁链最底处的张力。 5、如图3所示，两不计大小的定滑轮被等高地固定在天花板上，跨过 滑轮的轻绳悬挂三部分重物。A 、B 部分的重量是固定的，分别是A G = 3 牛顿和B G = 5牛顿，C G 则可以调节大小。设绳足够长，试求能维持系 统静止平衡的C G 取值范围。 6、如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。 θ图 3
7、如图所示，一个重量为G 的小球套在竖直放置的、半径为R 的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L （L ＜2R ），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。 思考：若将弹簧换成劲度系数k ′较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？ 8、光滑半球固定在水平面上，球心O 的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图中所示的A 位置开始缓慢拉至B 位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力T 和球面支持力N 怎样变化？ 9、如图所示，一个半径为R 的非均质圆球，其重心不在球心O 点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A 点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B 点与斜面接触，已知A 到B 的圆心角也为30°。试求球体的重心C 到球心O 的距离。 10、如图所示，一根重8N 的均质直棒AB ，其A 端用悬线悬挂在O 现用F = 6N 的水平恒力作用于B 端，当达到静止平衡后，试求： （1） 悬绳与竖直方向的夹角α；（2）直棒与水平方向的夹角β。 11. 半径为 r 、质量为 m 的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触．用一个高为 1.5 r 的圆柱形刚性圆筒（上下均无底），将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持接触，但相互无作用力。现取一个质量亦为 m 、半径为 R 的 图1F
高中物理竞赛练习题·静力学
高中物理竞赛练习题 静力学（预赛） 一、共点力作用下物体的平衡 1. 有两个质量分别为m1和m2的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环上，两环以细线相连，如图所示。已知细线所对的圆心角为α，求系统平衡时细线与竖直方向间所夹的角 θ为多少？ 2. 有一水平放置的半径R的圆柱体光滑槽面，其上放有两个半径均为r的光滑圆柱体A和B，如图所示为其截面图。图中O为圆柱面的圆心，A、B分别为两圆柱的圆心，OQ为竖直线。已知A、B两圆柱分别重G1和G2，且R=3r。求此系统平衡时，OA线与OQ线之间的夹角α为多少？ 3. 四个半径均为R的光滑球，静止于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰好在同一水平面上。现将一个相同的第五个球放在前述四球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？ 4. 质量为m的立方块固定在弹簧上，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，未形变时长度分别为l1和l2，固定弹簧的另一端，使立方块可以沿水平面运动。立方块与平面之间的动摩擦因数为μ，弹簧两固定点间距离为L，立方块大小可不计。求立方块能够处于平衡状态的范围。
5. 两个质量相等的物体，用绳索通过滑轮加以连接，如图所示。两物体和平面之间的动摩擦因数μ相等，试问要使这两个物体所组成的系统开始运动，角ϕ的最小值应为多少？（已知A 物体所在平面恰好水平） 6. 半径为R 的刚性球固定在水平桌面上，有一个质量为M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长2πa ， 2 R a =，绳圈的弹性系数为k （绳圈伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）。将绳圈从球的正上方轻轻放到球上，并用手扶着绳圈使之保持水平并最后停留在某个静力平衡位置上，设此时绳圈 长度为2πb ，b =，考虑重力，忽略摩擦，求绳圈的弹性系数k （用M 、R 、g 表示，g 为重力加速度）。 二、一般物体的平衡 7. 圆桌面有三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿的重量忽略不计。某人坐在正对着一套桌腿的圆桌边缘上，使圆桌以另两条桌腿着地点的连线为轴而倾倒，圆桌倾倒后，他再坐到桌面的最高点上，恰巧又能使圆桌恢复过来。求桌面半径与桌腿半径之比。 8. 用线将一线筒挂在墙上，如图所示。线筒的质量为M ，小圆半径为r ，大圆半径为R ，线筒与墙壁间的摩擦因数为μ，问当线于墙夹角α为多大时，线筒才不会从墙上滑下？
高中物理竞赛力学
高中物理竞赛力学 力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体的运动状态以及物体间相互作用的基本规律。在我们的日常生活中，力学有着广泛的应用，从行走、跑步、跳跃到各种机械设备的运行，都离不开力学的原理。而在高中物理竞赛中，力学也是不可或缺的一部分。 高中物理竞赛力学主要涉及牛顿运动定律、万有引力定律、动量守恒定律、机械能守恒定律等基本理论。这些理论为我们提供了理解和描述物体运动状态变化的基本工具。 我们要理解牛顿运动定律。这是力学的基础，包括惯性定律、加速度定律和作用与反作用定律。惯性定律告诉我们，物体具有保持其运动状态的性质，除非受到外部力的作用。加速度定律则告诉我们，物体的加速度与所受的合外力成正比，与物体的质量成反比。而作用与反作用定律则说明，每一个作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。 我们要掌握万有引力定律。这个定律描述了任何两个物体间存在的引力，它的大小与两物体的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。这个定律是解释天体运动和地球重力等问题的关键。
再者，我们要理解动量守恒定律和机械能守恒定律。动量守恒定律说明，在没有外力作用的情况下，物体的总动量保持不变。而机械能守恒定律则说明，在没有外部能量输入的情况下，一个系统的机械能总和保持不变。 学习高中物理竞赛力学不仅可以帮助我们理解自然世界的规律，还可以培养我们的逻辑思维和问题解决能力。通过理解和应用这些理论，我们可以更好地理解各种自然现象，甚至可以将这些理论应用到未来的科技研究和开发中。 高中物理竞赛力学是探索力的奥秘的重要途径，它不仅能帮助我们理解自然世界的规律，还能激发我们的科学兴趣和求知欲。让我们一起深入学习力学，开启科学探索之旅吧！ 高中物理竞赛是针对高中生的一项国际性竞赛活动，旨在激发学生对物理学的兴趣和热情，提高他们的科学素养和解决问题的能力。力学是物理学的一个重要分支，也是高中物理竞赛中的一个重要内容。本讲义将针对高中物理竞赛中的力学部分进行辅导，帮助学生更好地理解和掌握力学知识。 力和力的单位：力是物体之间的相互作用，具有大小和方向两个属性。在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。
物理竞赛入门之二：静力学单元测试题
二.静力学单元测试题 一、选择题 1.如图2-1所示，均匀直棒AB 的A 端在水平力F 作用下处于静止状态，则地面对 直棒的作用力方向是( )． A ．偏向棒的左侧，见力F 1 B ．沿棒方向，见力F 2 C ．偏向棒的右侧，见力F 3 D ．垂直水平面，见力F 4 2．如图2-2所示，人字梯置于铅垂平面内，A 、B 两处摩擦因数相同，当人爬至D 处时，系统失去平衡．此时，A 、B 两处( )． A ．同时滑动 B ．A 处先滑动 C ．B 处先滑动 D ．无法判断 3．如图2-3所示，木块A 置于固定平面上，另一物块B 叠放在A 之上．A 、B 质量均为m 加，A 与平面及A 与B 之间的摩擦因数分别为1μ和2μ．现用水平力F 拉B ，使A 和B 一起滑动，下列结论正确的是( )． A ．21μμ< B ．21μμ≤ C ．21μμ= D ．21μμ> · 4．如图2-4所示，半径为R 的光滑球静止在竖直光滑墙和光滑轻杆AB 之间．杆A 端是轴，在B 端施竖直向上的力F ，以使整个装置平衡．现使θ增大一些，则力F 及其对轴A 的力矩M 的变化是( )． A ．F 、M 都增大 B ．F 、M 都减小 C ．F 增大，M 减小 D ．F 减小，M 增大 5．如图2-5所不，重力为G 的均匀吊桥处于水平位置时，三根平行钢索与桥面成300，且系点间距ab=bc=cd=do ．若每根钢索受力相同，则每根钢索受力大小为( )． A ．G B ．3G C ．63G D ．3 2G 二、填空题 1．质量为m 的柔软绳，悬挂于同一高度的两固定点A 、B 之间．已知绳悬挂点处的切向与水平夹角为θ，则绳最低点C 处的张力为 ． 2．如图2-6所示，圆柱A 、B 各重50N 和150N ，放置在V 形槽中，不计各处摩擦，平衡时，两圆柱中心连线AB 与水平轴x 的夹角是 ． 3．工人在建造房屋的飞檐时砌了四块砖，一块砌在另一块上面，而且每块砖都比底下一块突出一些，如图2-7所示．设每块砖均长l ，当屋檐的砖不用水泥就能保持平衡时，每块砖突出部分的最大长度为 ． 4．沿着一个边长为l 的均匀等厚的正方形的两条对角线，将它分成四个三角形．割去其中一个，则剩余部分的重心离原正方形重心的距离为 ． 5．如图2-8所示，四个半径相同的均质球在光滑水平面上堆成锥形，下面三球用细绳缚住，绳与此三球心共面，且各球重量为G ，则绳内的张力大小是T= ． 三、计算题 1．质量M 1=2.0kg 的铁块放在水平导轨AB 的A 端．导轨、支架的形状及各部分的尺寸如图2-9所示，它只能绕通过支架垂直于纸面的水平轴转动．导轨、支架的重心在CD 中点，重量M 2=4.0kg ．现用一细线沿导轨向右拉铁块，拉力F=12N ，铁块与导轨间摩擦因数50.0=μ ．从铁块开始运动，导轨支架能保持静止的时间是多 少?(取g=10m/s 2)
高一物理竞赛讲义六——静力学平衡多种方法
静力学问题解答技巧 一、巧用矢量图解 1、如图所示，三角形ABC 三边中点分别为D 、E 、F ，在三角形中任取一点O ，如果DO 、 OE 、OF 三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为( ) (A) A O (B) OB (C) C O (D) DO 2、如图所示，一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上．有一劲度系数为k ，自然长度为L (L ＜2R )的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A ，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？ 3、如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ 第一章 静力学 第一讲 力的解决 一、矢量的运算 1、加法 表达：a + b = c 。 名词：c 为“和矢量”。 法则：平行四边形法则。如图1所示。 和矢量大小：c = α++cos ab 2b a 2 2 ，其中α为a 和b 的夹角。 和矢量方向：c 在a 、b 之间，和a 夹角β= arcsin α++αcos ab 2b a sin b 22 2、减法 表达：a = c －b 。 名词：c 为“被减数矢量”，b 为“减数矢量”，a 为“差矢量”。 法则：三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起 始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是 差矢量。 差矢量大小：a = θ-+cos bc 2c b 2 2 ，其中θ为c 和b 的夹角。 差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在 41T 内和在21T 内的平均加速度大小。 解说：如图3所示，A 到B 点相应 41T 的过程，A 到C 点相应21T 的过程。这三点的速度矢量分别设为A v 、B v 和C v 。 根据加速度的定义 a = t v v 0t -得：AB a = AB A B t v v -，AC a = AC A C t v v - 由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 1v ∆= B v －A v ，2v ∆= C v －A v ，根据三角形法则，它们在图3中 的大小、方向已绘出（2v ∆的“三角形”已被拉伸成一条直 线）。 本题只关心各矢量的大小，显然： A v = B v = C v = T R 2π ，且：1v ∆ = 2A v = T R 22π ，2v ∆ = 2A v = T R 4π 所以：AB a = AB 1t v ∆ = 4T T R 22π = 2T R 28π ，AC a = AC 2t v ∆ = 2 T T R 4π = 2 T R 8π 。 （学生活动）观测与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？ 答：否；不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达：a ×b = c 名词：c 称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。 叉积的大小：c = absin α，其中α为a 和b 的夹角。意义： c 的大小相应由a 和b 作成的平行四边形的面积。 叉积的方向：垂直a 和b 拟定的平面，并由右手螺旋定则 拟定方向，如图4所示。 显然，a ×b ≠b ×a ，但有：a ×b = －b ×a ⑵ 点乘 今天，我们除了要复习一下之前的内容之外，还需要学习一点关于流体的简单知识，算是对于初中物理的致敬吧~ 1．静止流体内的压强 在重力场中相互连通的静止流体内的压强与位置的关系十分简单。此关系可归结为两点： ⑴ 等高点，压强相等 ⑵ 高度差为h 的两点，压强差为gh ρ，越深处压强越大。 2．浮力，浮心 由阿基米德原理可知，浮力和排开体积的流体的受重力大小相等，方向相反。 F gV ρ= 浮力的作用点称为浮心，和物体同形状，同体积那部分流体的重心，但定不等同于物体的重心，只有在物体密度均匀时，它才与浸没在流体中的物体部分的重心重合。 3．浮体平衡的稳定性 浮在流体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等，方向相反，处于平衡状态。 浮体对铅垂方向（即垂直于水面）的扰动，显然平衡是稳定的。 浮体对水平方向（即水平方向）的扰动，其平衡是随遇的。 浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，平衡稳定性与浮心和物体的重心的相对位置有关。向右扰动后，如果重心G 的位置比浮心B 更右侧，则为不稳定平衡；如果重心G 的位置右移等于浮心B ，则为随遇平衡；如果重心G 右移小于浮心B ，则为稳定平衡。 【例1】 一立方形钢块平正地浮在容器内的水银中，已知钢块的密度ρ为37.89g/cm ，水银 的密度为0ρ为313.6g/cm 。 ⑴ 问钢块露出水面之上的高度与边长之比为多大？ ⑵ 如果在水银面上加水，使水面恰与钢块的顶相平，问水层的厚度与钢块边长之比为多大？ 例题精讲 方法提示 本讲导学 高中物理竞赛专题 流体静力学和运动学 【例2】 用手捏住悬挂着细木棒的细绳的一端，让木棒缓慢地逐渐浸入水中，讨论在此过程中 木棒和绳的倾斜情况。 【例3】 一个下窄上宽的杯中盛有密度为ρ的均匀混合液体，经一段时间后，变为两层液体， 密度分别为1ρ和2ρ（21ρρ>）则会分层并且总体积不变，问杯底压强是否改变，变 大或变小？ 【例4】 一个半球形漏斗紧贴着桌面放置（如图）现有位于漏斗最高处的孔向内注水，当漏斗 内的水面刚好达到孔的位置时，漏斗开始浮起，水开始从下面流去。若漏斗半径为R ， 而水密度为ρ，求漏斗质量？ 高中物理力学部分竞赛题 （本试卷满分150分，，三个大题，共21小题。请考生务必请将所有题目的答案答在答题卡上相应的位置，答在试卷上的不给分，只交答题卡） 一、选择题（共70分；在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的 小题有多个选项正确．全部选对的得5分，选对但不全的得2.5分，有错选的得零分。） 1、如图所示，在一条直线上两个振源A 、B 相距6m ，振动频率相等，从t 0时刻A 、B 开始振动，且都只振动一个周期，振幅相等，振动图像A 为甲，B 为乙。若A 向右传播的波与B 向左传播在t 1 = 0.3s 时相遇，则 （ ） A ．两列波在A 、 B 间的传播速度 均为10m/s B ．两列波的波长都是4m C ．在两列波相遇过程中，中点C 为振动加强点 D ．t 2 = 0.7s 时刻B 点经过平衡位置且振动方 向向下 2、1930年美国天文学家汤博发现冥王星，当时错估了冥王星的质量，以为冥王星比地球还大，所以命名为大行星．然而，经过近30年的进一步观测，发现它的直径只有2300公里，比月球还要小．2006年8月24日晚在布拉格召开的国际天文学联合会(IAU)第26届大会上，来自各国天文界权威代表投票通过联合会决议，今后原来九大行星中的冥王星将不再位于“行星”之列，而属于矮行星，并提出了行星的新定义．行星新定义的两个关键：一是行星必须是围绕恒星运转的天体；二是行星的质量必须足够大，它自身的重力必须和表面力平衡使其形状呈圆球．一般来说，行星直径必须在800公里以上，质量必须在50亿亿吨以上．假如冥王星的轨道是一个圆形，则由以下几个条件能估测出其质量的是（其中万有引力常量为G ） （ ） A ．冥王星围绕太阳运转的周期和轨道半径 B ．冥王星围绕太阳运转的线速度和轨道半径 C ．冥王星一个的卫星查龙(charon)围绕冥王星在圆形轨道上转动的线速度和轨道半径 D ．冥王星一个的卫星查龙(charon)围绕冥王星在圆形轨道上转动的周期和轨道半径 3、如图所示，两个轮子的半径R =0.20 m ，由电动机驱动以角速度ω=8.0 rad/s 匀速同向转动，两轮的转动轴在同一水平面上，相互平行，距离d =1.6 m . 一块均匀木板条轻轻平放在两轮上，开始时木板条的重心恰好在右轮的正上方. 已知木板条的长度L ＞2d ，木板条与 轮子间的动摩擦因数μ=0.16 木板条运动到重心恰好到达左轮正上 方所需的时间是 （..） A ．1 s B ．0.785 s C ．1.5 s D ．条件不足，无法判断 4、如图所示，长为L 的长木板水平放置，在木板的A 端放置一个质量为m 的小物块，现缓慢地抬高A 端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v ，则在整个过程中（ ） A ． 木板对物块做功为212mv B ． 擦力对小物块做功为mgL sin α C ． 支持力对小物块做功为mgL sin α D ． 滑动摩擦力对小物块做功为21sin 2mv mgL α- 1、本题20分如图6所示,宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动,火星半径为R ;当飞船运行到P 点时,在极短时间内向外侧点喷气,使飞船获得一径向速度,其大小为原来速度的α倍;因α很小,所以飞船新轨道不会与火星表面交会;飞船喷气质量可以不计; 1试求飞船新轨道的近火星点A 的高度h 近和远火星点B 的高度h 远 ； 2设飞船原来的运动速度为v 0 ,试计算新轨道的运行周期T ; 2,20分有一个摆长为l 的摆摆球可视为质点,摆线的质量不计,在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O 的距离为x 处x ＜l 的C 点有一固定的钉子,如图所示,当摆摆动时,摆线会受到钉子的阻挡．当l 一定而x 取不同值时,阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方摆球的高度不超过O 点,然后放 手,令其自由摆动,如果摆线被钉子阻挡后,摆球恰巧能够击中钉子,试求x 的最小值． 3,20分如图所示,一根长为L 的细刚性轻杆的两端分别连结小球 a 和 b ,它们的质量分别为m a 和 m b . 杆可绕距a 球为 L/4处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b 几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块,图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上,使之绕O 轴逆时针转动,求当a 转过 角时小球b 速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动,且小球b 与立方体物块始终接触没有分离．不计一切摩擦． 4、把上端A 封闭、下端B 开口的玻璃管插入水中,放掉部分空气后放手,玻璃管可以竖直地 浮在水中如下图.设玻璃管的质量m=40克,横截面积S=2厘米2,水面以上部分的长度b=1厘 米,大气压强P 0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不计,管内空气质量不计. 1求玻璃管内外水面的高度差h. 2用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A 端在水面下超过某一深度时,放手后玻璃管不浮起.求这个深度. 3上一小问中,放手后玻璃管的位置是否变化 如何变化 计算时可认为管内空气的温度不变 a O b A B C D F 第一章 静力学 例题：如图均匀带轴的直角弯杆，质量为m ，OA 段长度是AB 段 长度的2倍，对杆施力F ，使杆静止在如图的位置，求F 的最小值 (在 计算重力矩时，可分别计算OA 、AB 部分的重力矩。) 解： mgl l mg l F 322315+= 15 F N = 例题：如图，半径为R 的匀质球体，内部挖去半径为R/2的球，求剩余部分重心的位置。 提示：设球的密度为ρ 挖去部分的质量 3 1432R m πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 剩余部发的质量 33244332R m R πρπρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 376R πρ= 则 124 R m m x =（x 为m 2到球心间距） 3317266R R R x πρπρ= 14 R x = 例题：一薄壁烧杯，半径为r ，质量为m ，重心位于中心线上，离杯底的距离为H ，今将水慢慢注入杯中，问烧杯连同杯内的水共同重心最低时，水面离杯底的距离等于多少？为什么？（设水的密度为ρ） 解：当烧杯连同杯内的水共同重心在水面上时，就处于最低位置。有 ()222 h mgH g r h m g r h gh ρπρπ+=+ 22()2h mgH g r h mg g r h h ρπρπ+⋅⋅=+ h = 例题：两个轻弹簧，劲度系数为k 1、k 2，按图所示连接，并在下面悬挂一重物G ，滑轮质量不计，把滑轮和两个弹簧等效一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数。 解：设悬挂上重物G 后滑轮的位置比未悬挂重物G 时的位置下降了x ∆，而弹簧k 1和k 2分别伸长了1x ∆和2x ∆ 122x x x ∆+∆=∆ 而 1122k x k x ∆=∆ 滑轮受力平衡 1122k x k x G ∆+∆= 高一物理竞赛《静力学》专练（精华版） 静力学 1．直径为d 和D 的两个圆柱，置于同一水平的粗糙平面上，如图所示，在大圆柱上绕以绳子，作用在绳端的水平拉力为F ，设所有接触处的摩擦系数为μ，试求大圆柱能翻过小圆柱时，μ值必须满足的条件。 2．如图所示，四个半径为r 、质量相等的光滑小球放在一个表面光滑的半球形碗底内，四小球球心在同一水平面内．今用另一个完全相同的小球置于四个小球之上，为使下面四小球相互接触不分离，碗半径应满足什么条件． 3．如图所示，有一固定的、半径为a 、内壁光滑的半球形碗（碗 口处于水平位置），O 为球心。碗内搁置一质量为m 、边长为a 的等边三角形均匀薄板ABC 。板的顶点A 位于碗内最低点，碗的最低点处对A 有某种约束使顶点A 不能滑动（板只能绕A 点转动）。 (1)．当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点A 、B 、C 的作用力的大小各为多少。 (2)．当板处于上述平衡状态时，若解除对A 点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后薄板具有的最大动能。 4．一质量为m 的小球被固定在质量为M 的大圆环上．把此圆环挂在一不光滑的钉子上，如图所示．若要使环上的任何一点(除小球所在位置外)挂在钉子上，都能使环保持平衡，则环与钉子之间的摩擦系数μ至少多大? 5．如图所示，将一支正六棱柱形铅笔放在斜面上，斜面倾角a=40°，铅笔与水平方面成θ角，铅笔静止，试问： （1）铅笔与斜面之间的静磨擦因数至少为多大？ （2）θ角至少多大？ 6、一根细棒AB ，A 端用铰链与天花板相连，B 端用铰链与另一细棒BC 相连。二棒长度相等，限于在图示的竖直面内运动，且不计较铰链处的磨擦。当在C 端加一个适当的外力（与AB 、BC 在一个平面内）可使二棒静止在如图所示的位置，即二棒相互垂直，且C 端在A 端的正下方。 （1）不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明理由。 （2）如果AB 棒质量为m 1，BC 棒质量为m 2，求此外力的大小和方向。 （3）此时BC 棒对AB 棒的作用力的大小是多少？ 7、质量为m 、长为l 的匀质细棒AB ，一端A 置于粗糙地面（可视为固定），另一端B 斜靠在墙上，如图所示。自A 至墙引垂线AO ，已知∠OAB=a ，棒与墙间的动磨擦因数为μ。求棒不至滑下时棒与AO 所在的平面与铅垂面的最大倾角θ以及此时墙对棒的支撑力N 。 高三物理竞赛练习静力学（A） 2010-08-11 学号 ____ 姓名 __________ 1、重量分别为P和Q的两个小环A和B ，都套在一个处在竖直平面内的、光滑的固定大环上。 A、B用长为L的细线系住，然后挂在环的正上方的光滑钉子C上。试求系统静止平衡后AC部分线段的长度。 2、质量为m的均匀细棒，A端用细线悬挂于定点，B端浸没在水中，静止平衡时，水中部分长度为全长的3/5 ，求此棒的密度和悬线的张力。 3、长为1m的均匀直杆AB重10N ，用细绳AO、BO悬挂起来，绳与直杆的角度如图所示。为了使杆保持水平，另需在杆上挂一个重量为20N的砝码，试求这个砝码的悬挂点C应距杆的A 端多远。 4、半径为R的空心圆筒，内表光滑，盛有两个同样光滑的、半径为r的、重量为G的球，试求B与圆筒壁的作用力大小。 5、为了将一个长为2m的储液箱中的水和水银分开，在箱内放置一块质量可不计的隔热板AB ，板在A处有铰链，求要使板AB和水平面夹53°角，所需的的水银深度。已知水的深度为1m 、水和水银的密度分别为ρ水= 1.0×103kg/m3和ρ汞= 13.57×103kg/m3。 6、六个完全相同的刚性长条薄片依次架在一个水平碗上，一端搁在碗口，另一端架在另一个薄片的正中点。现将质量为m的质点置于A1A6的中点处，忽略各薄片的自重，试求A1B1薄片对A6B6的压力。 静力学（A ） 提示与答案： 1、提示：本题应用共点力平衡知识，正确画出两个小环的受力，做出力的矢量三角形，利用力三角形和空间几何三角形相似求解。 答案： Q P Q +L 。 2、提示：本题利用力矩平衡知识求解，列方程注意转动点（或转动轴）应根据所求问题正确选取，另注意浮力的作用点在浸没段的中心点。 答案： 25 21ρ水 ；7 2mg 。 3、提示：本题利用刚体平衡条件求解，列出力的平衡方程和力矩平衡方程求解，列力矩平衡方程注意转动点（或转动轴）应根据所求问题正确选取。 答案：0.125m 。 4、提示：隔离A 较佳，右图中的受力三角形和（虚线）空间几何三角形相似。根据系统水平方向平衡关系可知，N 即为题意所求。 答案： 2 R Rr 2r R --G 。 5、提示：液体的压力垂直容器壁，且作用点在深度的一半处。 答案：0.24m 。 6、提示：设A 1B 1对A 6B 6的作用力为N ，则由A 1B 1对支点A 2的平衡可得B 1对碗口的作用力为N ，由此类推，可得各薄片在碗口受的支持力可以推知如下图；但是，在求B 6处的支持力N ′时，N ′≠32N ，而应隔离如右图—— 以m 所放置的点为转轴，列力矩平衡方程，易得 N ′= 11N 答案： 42 1 mg 。2023年高中物理竞赛资料静力学
高中物理竞赛 流体静力学和运动学(无答案)
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高一物理竞赛《静力学》专练（精华版）
第一部分 《静力学》训练题