高一物理竞赛讲义六——静力学平衡多种方法
静力学问题解答技巧
一、巧用矢量图解
1、如图所示，三角形ABC 三边中点分别为D 、E 、F ，在三角形中任取一点O ，如果DO 、
OE 、OF 三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为( )
(A) A O (B) OB (C) C O (D) DO
2、如图所示，一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上．有一劲度系数为k ，自然长度为L (L ＜2R )的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A ，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？
3、如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ 4、将合力F 分解为F 1和F 2两个分力，若已知F 的大小及F 1和F 2的夹角θ，且θ为钝角，则当F 1、F 2大小相等时，它们的大小为_______；当F 1有最大值时，F 2大小为_______。 分析与解 将一个力分解成两个力，在没有附加条件时，可以有无数种解，在有题给限制条件时，也有解集，根据力合成的平行四边形定则,被分解的力与两分力之间关系是“对角线”与夹对角线的两“邻边”的关系,基于平行四边形对边平行且相等的性质，合力与它的两分力之间的关系还可以用更简单的矢量图形——三角形来表示，如图，满足合力F 的两分力F 1和F 2夹角θ 且θ为钝角的矢量三角形是一解集，它们有公共外接圆，表示合力F 的有向线段是该圆的一条弦，该弦所对的圆周角均为π－θ，如图，由图可知当F 1、F 2大小相等时，对应的力矢量关系图为等腰三角形，表示F 1和F 2的线段为腰，底角为θ 2 ，故F 1和F 2的大小相等F 1＝F 2 ＝ F 2cos θ 2 ， 由图还容易得知，当表示F 1(F 2)的线段处于直径位置时，即表示相应的力有最大值，且三力关系矢量三角形呈直角三角形，这时F 2(F 1)大小为F ·cot (π－θ)＝-Fcot θ。 运用矢量图，我们了解了符合题目要求的力分解的全貌，并从中分检出两特殊解，解答过程非常简单清晰， 5、如图所示,放存水平面上的质量为m 的物体，在水平恒力F 1作用下，刚好做匀速直线运动.若再给物体加一个恒力F 2，且使F 1=F 2(指大小)，要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F 2应沿什么方向?此时地面对物体的作用力大小如何? 分析与解 首先分析未加力F 2时物体受力情况：物体在重力mg 、水平恒力F 1以及地面作甩力(支持力与滑动摩擦力的合力)F 作用下处于平衡状态，故三力矢量依次首尾相接构成闭合三角形，如图所示，在 A E C B O D F A sin cos sin cos cos sin cos sin -+≤≤ +-F θμθθμθθμθθμθ() 1cos 2kL kR G θ-=-()cos 2kRL R kR G θ=-F 1 这个闭合三角形中，表示重力和水平恒力的有向线段大小方向都是确定的，表示地面作 用力的有向线段方向总是与竖直(地面支持力作用线)成tan -1 μ，但这个力的大小是可改变的，以此为基础，若要再加一个力而使物体仍处于平衡，这个力的作用线应沿F 力，方向可与F 力一致，如图所示；也可与力F 相反，如图所示，这样物体所受各力矢量 仍能构成闭合三角形，返还实体，即F 2力可以是与竖直成tan -1 μ斜向后上拉，也可以是 与竖直成tan -1 μ斜向前下推，相应地，地面对物体的作用力将减少或增加F 2 . 由于以矢量图描述出物体平衡时的受力关系，我们理顺了如何加力的思路。 6、如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB 和AC 两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB 夹角60°，试求两环质量比M/m ． 7、如图所示，用细绳拴住两个质量为m 1、m 2（m 1＜m 2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m 1处细绳与水平夹角α是多少？ 8/如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m 1和m 2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m 1和m 2与斜面的摩擦因数为μ1和μ2 ，并满足tanα= 21μμ，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒 与斜面上最大倾斜线AB 的夹角θ． 二、巧取研究对象 选取研究对象一般遵循的原则是：尽量取“整体”，“化内为外”时或方程数不足时取“部分”，整分结合，方便解题。 1、有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，BO 竖直放置，表面光滑。AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m,两环间有一个根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图）。现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ） (A) N 不变，T 变大 (B) N 不变，T 变小 (C) N 变大，T 变大 (D) N 变大，T 变小 2、三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r 0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r 0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r 0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计） 解析： 因为环2的半径为环3的2倍，环2的周长为环3的2倍，三环又是用同种金属丝制成的，所以环2的质量为环3的2倍。设m 为环3的质量，那么三根绳承 sin30sin15 M m =62 += 12 1tan m m α-= A B m 1 m 2 θ α1212s 2o 2c θμμ= + 担的力为3mg ，于是，环1与环3之间每根绳的张力F T1=mg 。没有摩擦，绳的重量不计，故每根绳子沿其整个长度上的张力是相同的（如图所示）F T1= F T2=mg 。 对环3，平衡时有：3F T1-mg -3 F T2cos α=0， 由此3 2 cos =α 环2中心与环3中心之距离：α αα2 0cos 1cos cot -==r r x ， 即05 2r x = 3、一个底面粗糙质量为M 的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30o 夹角，用一端同定的轻绳系一质量为m 的小球，轻绳与斜面的夹角为30o ，如图所示，当劈静止时，绳中拉力的大小为 ；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k 倍，为使整个系统静止，k 值不能小于 。 分析与解 这个问题中，要我们确定轻绳的拉力和地面的作用力，所以我们首先将小球及劈与轻绳、地面隔离，将小球及劈视为一体取作研究对象，对这个整体分析受力如图所示，图中F 是地面对研究对象的作用力，在k 取最小值而整个系统静止的情况下，该力作用线与竖直成θ＝tan -1k 的夹角；图中F T 是轻绳对研究对象的拉力.由于系统平衡，它们与重力(M +m )g 的合力为零，即三力矢量构成图中闭合三角形关系，根据正弦定理，力矢量满足如下方程： （M ＋m ）g sin (300 +θ) ＝F T sin θ 在上列方程中包含有两个未知量，所以我们需另取研究对象，以得到新的物理关系方程。我们可取小球为隔离体，分析它的受力如图，由于小球平衡而得知其所受重力mg 、斜面支持力F N 与轻绳拉力F T 构成图中矢量三角形关系，注意到题给条件，该三角形是底角30o 的 等腰三角形，由此又有方程：F T ＝mg 2cos30o 解这个方程可得轻绳上拉力F T ＝ 3 3 mg ，将此结果代入上一方程，可得 （M ＋m ）g sin (300 +θ) ＝m 3 sin θ ,由于θ＝tan -1k ,于是可得k =3m 6M+3m 4、如图所示，一长L 、质量均匀为M 的链条套在一表面光滑,顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少? 5、如图所示，一台轧钢机的两个滚子，直径各为d =50cm,以相反方向旋转，滚子间距离为 a =0.5cm ，如果滚子和热钢间的动摩擦因数为0.1，试求进入滚子前钢板的最大厚度。 解析：热钢板靠滚子的摩擦力进入滚子之间，根据摩擦力和压力的关系，便可推知钢板的厚度 以钢板和滚子接触的部分为研究对象，其受力情况如图所示，钢板能进入滚子之间，则在水平方向有:θθsin cos N f ≥ (式中N f μ=)，所以由两式可得：μ≥tan θ 设滚子的半径为R ，再由图中的几何关系可得 a a b R a b R R -- -- -= 2 2)2 (tan θ，将此式代入得b ≤(d+a)- 2 1μ+d F F T (M+m)g tan -1k f N A R θ 1 3 2 1 T F x 2 T F α r 0 2r Mg =cot 22α πT n M F g n =⋅cot 22απ a 代入数据得b ≤0.75cm 即钢板在滚子间匀速移动时，钢板进入滚子前厚度的最大值为0.75cm. 三、巧解汇交力系平衡 1、如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m 1、m 2，当它们静止时，m 1、m 2与球心的连线跟水平面分别成60°、30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是（ ） (A) 1∶2 (B) 3∶1 (C) 1∶3 (D) 3∶2 2、如图所示，BC 两个小球均重G ，用细线悬挂而静止于A 、G 两点，细线BC 伸直。 求:⑴AB 和CD 两根细线的拉力各多大？ ⑵细线BC 与竖直方向的夹角是多大？ 细线BC 与竖直成60°角 3、如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切, 一根均匀直棒AB 与水平成60O 角靠墙静止，求棒长. 4、如图所示，在墙角处有一根质量为m 的均匀绳，一端悬于天花板上的A 点，另一段悬于竖直墙上的B 点，平衡后最低点为C ，测得绳长AC ＝2CB ，且绳B 点附近的切线与竖直成α角，则绳在最低点C 处的张力和在A 处的张力各为多大？ 如图1—17所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水 平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A 端固定在球面的顶点,B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ。试求铁链A 端受的拉力F T 。 解：以铁链为研究对象，由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链 不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁链的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况． 在铁链上任取长为ΔL 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图所示．由于该微元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足： C B A D 60︒ 30︒ θ 2cos60CD G F G ==2sin603AB F G G == A C B α L =+1313 tan 3TC mg F α=222tan 33A mg mg F α⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24tan 3mg α += cos T T T F F G F θθθθ+∆=∆+ cos cos T F G Lg θθρθ∆=∆=∆ 由于每一段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大T F θ∆，所以整个铁链对 A 端的拉力是各段上T F θ∆的和，即 cos cos T T F F Lg g L θρθρθ=∆=∆=∆∑∑∑ 观察cos L θ∆的意义，由于θ∆很小，所以CD OC ⊥，DCE θ∠=，cos L θ∆表示ΔL 在竖直方向上的投影ΔR ，所以cos L R θ∆=∑ 所以cos T F g L gR ρθρ=∆=∑。 5、如图所示，有一轻杆AO 竖直放在粗糙的水平地面上，A 端用 细绳系住，细绳另一端固定于地面上B 点，已知θ=30o ，若在AO 杆中点施一大小为F 的水平力，使杆处于静止，这时地面O 端的 作用力大小为_________，方向_________。 6、一均匀光滑的棒，长L ，重G ，静止在半径为R 的半球形光滑碗内，如图所示，R 4R G ； （2）cos2θ cos θ ＝L 4R 。 7、如右图所示，一吊桥由六对竖直钢杆悬吊着，六对钢杆在水平桥面上分列两排，其上端分别挂在两根钢缆上。已知图中相邻两钢杆间距离均为9m ，靠近桥面中心的钢杆长度为2m （即AA ＇＝DD ＇＝2m ），BB ＇＝EE ＇，CC ＇＝PP ＇。若钢缆两端与水平方向成45°角且钢杆自重不计，为使每根钢杆能承受相同负荷，试求：每根钢杆长度应各为多少米？ 本题为静力学综合题，又是一个与现实生活中桥梁实例相似的应用类问题，巧妙选取受力分析的研究对象，是较简便地求解本题的关系。 设桥重为2G 先取整个桥为受力分析的研究对象，则：2T CF 45°=G ① 即T CF =T GP =G ② 又由题意可知 ：T CC ′=T BB ′=T AA ′=T DD ′=T EE ′=T PP ′= ③ 再取C 点为共点力平衡的研究对象 θ A B O F 45° 45° A ＇ B ＇ C ＇ D ＇ E ＇ P ＇ T CF sin45°=T CC′ +T BC cos∠BCC′④ T CF cos45°=T BC ∠BCC′⑤ 由②③④⑤联列方程得：tan∠BCC′=最后取B点为受力平衡的研究对象 则：T BC ∠BCC′=T AB ∠ABB′⑥ T BC cos∠BCC′=T B′B +T AB cos∠ABB′⑦ 由⑥⑦得，tan∠ABB′=3 又因为=2m 所以BB′=EE′=5m CC′=PP′=11m [说明] 已知部分线段和角度，求其他线段长度原为几何问题。但从各有关点受力平衡可知有关角度，从而求出未知线段，这就是本题的题思路。巧妙地选取受力分析的点和物体可简化解题过程。 8、如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离a＝4R 3π，其中R为圆柱体半径，如果半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ。 9、如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向 垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数． 解析：人将杆缓慢抬起的过程中，地板对杆作用的 弹力和摩擦力会不断地发生变化，因此，抬起至某一位 置时可能要发生滑动，解题时需判断何处最易滑动（这 是第一个难点），当杆与水平面的角度成α时受力如图 3所示，取重力和人作用于杆的力F作用线的交点O为 轴，设杆长为2L，根据力矩的平衡条件得： NLcosα=fL(1/sinα+sinα)=fL α α sin sin 12 + 因此， α + α = α + α α α = α + α α = ctg tg 2 1 N cos sin 2 sin cos N sin 1 sin cos N f 2 2 2 要使杆不滑动，须满足条件：N fμ ≤， 即 α α μ ctg tg+ ≥ 2 1 ， 因为2tgαctgα=2为正值，所以当2tgα=ctgα时，有极值， 即： 2 2 tg= α时， 4 2 min = μ sin 3 34 μπ θ μπ = + F mg N O α F 高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。 分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中 由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。 高中物理竞赛辅导讲义静力学 高中物理竞赛辅导讲义 第1篇静力学 【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力）（2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合）3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M =FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件： 3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 今天，我们除了要复习一下之前的内容之外，还需要学习一点关于流体的简单知识，算是对于初中物理的致敬吧~ 1．静止流体内的压强 在重力场中相互连通的静止流体内的压强与位置的关系十分简单。此关系可归结为两点： ⑴ 等高点，压强相等 ⑵ 高度差为h 的两点，压强差为gh ρ，越深处压强越大。 2．浮力，浮心 由阿基米德原理可知，浮力和排开体积的流体的受重力大小相等，方向相反。 F gV ρ= 浮力的作用点称为浮心，和物体同形状，同体积那部分流体的重心，但定不等同于物体的重心，只有在物体密度均匀时，它才与浸没在流体中的物体部分的重心重合。 3．浮体平衡的稳定性 浮在流体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等，方向相反，处于平衡状态。 浮体对铅垂方向（即垂直于水面）的扰动，显然平衡是稳定的。 浮体对水平方向（即水平方向）的扰动，其平衡是随遇的。 浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，平衡稳定性与浮心和物体的重心的相对位置有关。向右扰动后，如果重心G 的位置比浮心B 更右侧，则为不稳定平衡；如果重心G 的位置右移等于浮心B ，则为随遇平衡；如果重心G 右移小于浮心B ，则为稳定平衡。 【例1】 一立方形钢块平正地浮在容器内的水银中，已知钢块的密度ρ为37.89g/cm ，水银 的密度为0ρ为313.6g/cm 。 ⑴ 问钢块露出水面之上的高度与边长之比为多大？ ⑵ 如果在水银面上加水，使水面恰与钢块的顶相平，问水层的厚度与钢块边长之比为多大？ 例题精讲 方法提示 本讲导学 高中物理竞赛专题 流体静力学和运动学 【例2】 用手捏住悬挂着细木棒的细绳的一端，让木棒缓慢地逐渐浸入水中，讨论在此过程中 木棒和绳的倾斜情况。 【例3】 一个下窄上宽的杯中盛有密度为ρ的均匀混合液体，经一段时间后，变为两层液体， 密度分别为1ρ和2ρ（21ρρ>）则会分层并且总体积不变，问杯底压强是否改变，变 大或变小？ 【例4】 一个半球形漏斗紧贴着桌面放置（如图）现有位于漏斗最高处的孔向内注水，当漏斗 内的水面刚好达到孔的位置时，漏斗开始浮起，水开始从下面流去。若漏斗半径为R ，而水密度为ρ，求漏斗质量？ 竞赛辅导讲义 第二部分：静力学 第一课时：复习高考（理科综合要求）知识点 一、考点内容 1．力是物体间的相互作用，是物体发生形变和物体运动状态变化的原因。 2．重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力，重心。 3．形变与弹力，胡克定律。 4．静摩擦，最大静摩擦力。 5．滑动摩擦，滑动摩擦定律。 6．力是矢量，力的合成与分解。 7．平衡，共点力作用下物体的平衡。 二、知识结构 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎩⎨⎧→→→⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→的灵活使用方法：整体法和隔离法产生条件、摩擦力、弹力、重力顺序原则受力分析实效原则图解法（几何法）力的分解式法图解法（几何法）、公力的合成力的等效性使物体产生形变物体产生加速度）改变物体运动状态（使力的效果效果各异作用力与反作用力效果相同 平衡力支持力等回复力、浮力、压力、动力、阻力：向心力、效果子力、电场力、磁场力不接触的力：重力、分产生条件、大小、方向力接触的力：弹力、摩擦性质力的种类物体受力物体同时定是施力物体施力物体同时定是受力相互性受力物体施力物体物体间作用物质性力的属性—物体间的相互作用—力的定义力.......321 三、复习思路 复习是将分散学习的知识进行归纳、整理，使他们系统化、条理化，从而能提纲挈领掌握本单元的知识，并把本单元的重点知识和形成的能力进一步巩固和提高。 这一课时是以力的概念和平行四边形定则为核心展开的，研究了三种不同的力及力的合 Congratulations, younglings! 我们今天开始学习静力学了，英文叫statics 。一看就知道，我们研究的是静止，或者更加广泛的平衡情况下所满足的力学。在学习的过程中，我们可以掌握最基本的力学的物理量的描述和计算推演方法。这些当然也是后面学习其他知识的基础。 1．力是物体间的相互作用． 包括施力物体，受力物体，作用力与反作用力、大小、方向、作用点，作用效果这几方面的概念、 单位：牛顿N 作用效果改变物体的运动效果（涉及动力学）改变物体的形状． 关于力的定义：很多种说法，比如用加速度来定义，用动量的变化率来定义，等等。 思考：如果我们用加速度来定义力，那么我们如何定义力的大小呢？ 思考：如何确定两个力相等呢？ 2．重力：由于地球吸引产生的力． 施力物体：地球． 大小：G mg =， 2g 9.8/m s = 受力物体：在地球上的任何物体． 方向：竖直向下 反作用力：物体对地球的吸引力． 等效作用点：重心 质心和重心：质心是质量的等效中心．其计算方法： ∑∑= i i i c m x m x ∑∑= i i i c m y m y ∑∑=i i i c m z m z 其中（c x ，c y ，c z ）是质心的坐标，i m 是系统中第i 个质点的质量，（i x ，i y ，i z ）是第i 个质点的坐标．注意质心不仅和物体几何形状有关，还与其质量分布相关． 重心是重力的等效作用点．当物体所在位置处的重力加速度g 是常量时，重心就是质心．若物体 很大，以致各处的g 并不能认为相同，则重心不等同于质心． 另外，质心也有很多其他的用途，比如在研究惯性力的过程中，在研究动量的过程中等，我们后面会有学习 知识点睛 温馨寄语 第6讲 力的基本性质 高一物理竞赛讲义 一般情况下物体的平衡 1.共点力作用下物体的平衡条件 若几个力交于一点或几个力的作用线交于一点，则这几个力叫做共点力。 在共点力作用下物体的平衡条件是这些力的合力为零。即 2.有固定转动轴物体的平衡条件 在有固定转动轴的物体上，如果所有正力矩之和等于所有负力矩之和，或者说，作用在物体上的各力的力矩的代数和等于零，则该物体处于平衡状态，即∑M＝0。 3.物体的一般平衡条件为 应用物体的一般平衡条件时要注意： （1）此条件成立的前提是物体所受外力均在一个平面内. （2）方程∑M i＝0对任意一个转动轴均成立 （3）取不同的转动轴建立方程时，要注意分析每个力对该轴的力臂以及使物体转动的方向；同一个力对于不同的转动轴，产生的力矩的正负和力臂的大小均可能不同。 （4）依次取不同的转动轴可以列出多个方程，对处于平衡的物体而言，独立的方程一共只有三个，只能解出三个未知数。 【例题与习题】 1．如图所示，重为G的一根均匀硬棒AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、棒与竖直方向的夹角分别为α、β.求证： tanβ=2tanα。 2有一条重为G的绳子，它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳两端和水平线夹角为θ。求： （1）绳的一端对挂钩的作用力F为多大？ （2）绳的最低点的张力T为多大？ 3、如图所示为四种悬挂镜框的方案，设墙壁光滑， 镜框重心位置在镜框的正中间，指出图中可能实 现的方案是（） 4、如图所示，有三块完全相同且密度均匀的砖叠放在桌子边缘， 砖长为L，把桌面上三块砖从上到下依次向外缓慢推出，为 保持砖块不致翻倒，第一块砖最多只能推出长度为d，则d 等于（）。 A、L/2 B、3L/4 C、11L/2 D、5L/6 5、两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细 线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同 的细线连接A、B两球.然后用一水平方向的力F作用在小球A上， 此时三根细绳均处于直线状态，且OB细线恰好处于坚直方向， 如图，如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，则力F 的大小为_______。 6、如下图所示，两根重杆OA和AB，由铰链连接，并用铰链悬挂在天花板上，B位于O的正下 方。若在B端沿纸平面施一个力F，使系统在纸平面内平衡，不计一切摩擦，试分析F的方向应在什么范围？ 7、在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上， 并将小石块放置于水平地面上.已知小石块的质量为m1，气球（含球内 氢气）的质量为m2，气球体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不 变量），风沿水平方向吹，风速为v.已知风对气球的作用力f=ku（式中 静 力 学 静力学研究平衡问题。包括共点力平衡和转动平衡。 第一讲 力及共点力平衡 一、力及特征 1、重力 重心：一个物体的各部分都要受到重力的作用，从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。 质心位置的确定 121122........c i i m m x m x m x m x xdm ++=++==∑?（） (其中各x 均为矢量) 重力均匀作用在物体上的各点，所以重心和质心是同一点。但万有引力作用在物体上各点是平方反比的非均匀分布，所以万有引力如果要说“引力心”，一般就不在质心了。 题：质量为m 1和m 2的二个质点，间距为L ，系统的重心 2112 m l x m m = + 题：匀质三角板的质心的位置 解：微元说明每个细条的质心都在中点，所以三角板的质心必在三条中线的交点。 题：一薄壁烧杯，半径为r ，质量为m ，重心位于中心线上，离杯底的距离为H ，今将水慢慢注入杯中，问烧杯连同杯内的水共同重心最低时，水面离杯底的距离等于多 少？为什么？（设水的密度为ρ） 答案： h = 222 2m m r mH h r ρπρπ-++= 题：如图，半径为R 的匀质球体，内部挖去半径为R/2的球，求剩余部分重心的位置。答案：m 2到球心间距R/14 提示：设球的密度为ρ 挖去部分的质量 3 1432R m πρ?? = ??? 剩余部发的质量 3 3244332R m R πρπρ?? =- ??? 376R πρ= 则 122 R m m x =（x 为m 2到球心间距） 3317266R R R x πρπρ= 14 R x = 解1、积分，根据对称性 4500 ()[2()]cos(45)2 R r Rd R πρ ρθθ=-? 得 22 R r π = 22 R R ππ （，） 解2、直角坐标积分 9090220 ()[()]cos cos 2 R x Rd R R d R πρ ρθθρθθρ===? ? 2 R x π = 同理 2 R y π = 解3、微元求和 2()()()()2sin cos c R dx dy x x x R x R πρ ρ ρρρθθ====∑∑∑ 2R x π= 同理 2R y π = 解4、虚功原理 取1/2圆环，将圆环设为匀质软铁链放在光滑1/4球面上，设质心在θ处。要使其 高中物理竞赛力学 力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体的运动状态以及物体间相互作用的基本规律。在我们的日常生活中，力学有着广泛的应用，从行走、跑步、跳跃到各种机械设备的运行，都离不开力学的原理。而在高中物理竞赛中，力学也是不可或缺的一部分。 高中物理竞赛力学主要涉及牛顿运动定律、万有引力定律、动量守恒定律、机械能守恒定律等基本理论。这些理论为我们提供了理解和描述物体运动状态变化的基本工具。 我们要理解牛顿运动定律。这是力学的基础，包括惯性定律、加速度定律和作用与反作用定律。惯性定律告诉我们，物体具有保持其运动状态的性质，除非受到外部力的作用。加速度定律则告诉我们，物体的加速度与所受的合外力成正比，与物体的质量成反比。而作用与反作用定律则说明，每一个作用力都有一个大小相等、方向相反的反作用力。 我们要掌握万有引力定律。这个定律描述了任何两个物体间存在的引力，它的大小与两物体的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。这个定律是解释天体运动和地球重力等问题的关键。 再者，我们要理解动量守恒定律和机械能守恒定律。动量守恒定律说明，在没有外力作用的情况下，物体的总动量保持不变。而机械能守恒定律则说明，在没有外部能量输入的情况下，一个系统的机械能总和保持不变。 学习高中物理竞赛力学不仅可以帮助我们理解自然世界的规律，还可以培养我们的逻辑思维和问题解决能力。通过理解和应用这些理论，我们可以更好地理解各种自然现象，甚至可以将这些理论应用到未来的科技研究和开发中。 高中物理竞赛力学是探索力的奥秘的重要途径，它不仅能帮助我们理解自然世界的规律，还能激发我们的科学兴趣和求知欲。让我们一起深入学习力学，开启科学探索之旅吧！ 高中物理竞赛是针对高中生的一项国际性竞赛活动，旨在激发学生对物理学的兴趣和热情，提高他们的科学素养和解决问题的能力。力学是物理学的一个重要分支，也是高中物理竞赛中的一个重要内容。本讲义将针对高中物理竞赛中的力学部分进行辅导，帮助学生更好地理解和掌握力学知识。 力和力的单位：力是物体之间的相互作用，具有大小和方向两个属性。在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）。 第一章静力学 【竞赛知识要点】重心共点力作用下物体的平衡物体平衡的种类力矩刚体的平衡流体静力学（静止流体中的压强） 【内容讲解】 一.物体的重心 1.常见物体的重心：质量均匀分布的三角板的重心在其三条中线的交点；质量均匀分布的半径R的半球体的重心在其对称轴上距球心3R/8处；质量均匀分布的高为h的圆锥体的重心在其对称轴上距顶点为3h/4处。 2.重心：在xyz 三维坐标系中，将质量为m的物体划分为质点m1、m2、m3……m n.设重心坐标为（x0,y0，z0）,各质点坐标为（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)……(x n,y n,z n).那么： mx0=∑m i x i my0=∑m i y i mz0=∑m i z i 【例题】 1、（1）有一质量均匀分布、厚度均匀的直角三角板ABC，∠A=30°∠B=90°，该三角板水平放置，被A、B、C三点下方的三个支点支撑着，三角板静止时，A、B、C三点受的支持力各是N A、N B、N C，则三力的大小关系是. （2）半径为R的均匀球体，球心为O点，今在此球内挖去一半径为0.5R的小球，且小球恰与大球面内切，则挖去小球后的剩余部分的重心距O点距离为. 2、如图所示，质量分布均匀、厚度均匀的梯形板ABCD，CD=2AB，求该梯形的重心位置。 3、在质量分布均匀、厚度均匀的等腰直角三角形ABC（角C为直角）上，切去一等腰三角形APB，如图所示。如果剩余部分的重心恰在P点，试证明：△APB的腰长与底边长的比为5：4. 4、（1）质量分别为m,2m,3m……nm的一系列小球（可视为质点），用长均为L的细绳相连，并用长也是L的细绳悬于天花板上，如图所示。求总重心的位置 静力学问题解答技巧 一、巧用矢量图解 1、如图所示，三角形ABC 三边中点分别为D 、E 、F ，在三角形中任取一点O ，如果DO 、 OE 、OF 三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为( ) (A) A O (B) OB (C) C O (D) DO 2、如图所示，一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上．有一劲度系数为k ，自然长度为L (L ＜2R )的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A ，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？ 3、如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A 与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ 力、物体的平衡 补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对随意转动点都平衡。 一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 ①重心的定义： ++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。 ②重心与质心不肯定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重 合。 如将质量匀称的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 局部对折,求重心。 以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）： （0.5-x ） 2G =(x +0.25)2 G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m. 2.巴普斯定理： ①质量分布匀称的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。 如质量分布匀称的半圆盘的质心离圆心的间隔 为x ， 绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π 34R x = ②质量分布匀称的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。 如质量分布匀称的半圆形金属丝的质心离圆心的间隔 为x ， 绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得π R x 2= 1. （1）半径R =30cm 的匀称圆板上挖出一个半径 r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下局部的重心。 （2）如图b 所示是一个匀称三角形割去一个小三角形AB 'C '， 而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的4 1，已知BC 边中线长度为L ，求剩下局部BCC 'B '的重心。 [答案：(1) 离圆心的间隔 6R ；(2)离底边中点的间隔 9 2L ] 解(1)分割法:在留下局部的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的间隔 为x . 全国中学生物理竞赛内容提要全国中学生物理竞赛内容提要 一、理论基础 力学 1、运动学 参照系。质点运动位移和路程，速度，加速度。相对速度。 矢量和标量。矢量合成和分解。 匀速及匀速直线运动及其图象。运动合成。抛体运动。圆周运动。 刚体平动和绕定轴转动。 2、牛顿运动定律 力学中常见几种力 牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系概念。 摩擦力。 弹性力。胡克定律。 万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星运动。 3、物体平衡 共点力作用下物体平衡。力矩。刚体平衡。重心。 物体平衡种类。 4、动量 冲量。动量。动量定理。 动量守恒定律。 反冲运动及火箭。 5、机械能 功和功率。动能和动能定理。 重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外引力势能公式（不要求导出）。弹簧弹性势能。 功能原理。机械能守恒定律。 碰撞。 6、流体静力学 静止流体中压强。 浮力。 7、振动 简揩振动。振幅。频率和周期。位相。 振动图象。 参考圆。振动速度和加速度。 由动力学方程确定简谐振动频率。 阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。 8、波和声 横波和纵波。波长、频率和波速关系。波图象。 波干涉和衍射（定性）。 声波。声音响度、音调和音品。声音共鸣。乐音和噪声。 热学 1、分子动理论 原子和分子量级。 分子热运动。布朗运动。温度微观意义。 分子力。 分子动能和分子间势能。物体内能。 2、热力学第一定律 热力学第一定律。 3、气体性质 热力学温标。 理想气体状态方程。普适气体恒量。 理想气体状态方程微观解释（定性）。 理想气体内能。 理想气体等容、等压、等温和绝热过程（不要求用微积分运算）。 4、液体性质 流体分子运动特点。 表面张力系数。 浸润现象和毛细现象（定性）。 5、固体性质 晶体和非晶体。空间点阵。 固体分子运动特点。 6、物态变化 熔解和凝固。熔点。熔解热。 蒸发和凝结。饱和汽压。沸腾和沸点。汽化热。临界温度。 固体升华。 第 2讲 静力学复习 本讲提示： 受力分析是高中物理中一项重要的基本功，包含常见力的性质，平衡力的规律两大基本内容。本讲我们从常见模型一点点的入手，逐步巩固的复习。 复习模块一：常见模型的特征力 知识点睛 1.弹力的性质以及规律 弹力是由于形变长生的力，具体的体现在弹簧，接触面，杆，绳等。 弹簧弹力：胡克定律F kx =． 轻绳：弹力方向沿绳且指向绳收缩方向 轻杆：与轻绳不同，轻杆的弹力可以指向任意方向 面和面：弹力垂直于接触面 球和球：弹力沿两球球心连线 难点：轻杆的弹力，可以自由转动的轻杆只有两个受力点时，弹力一定沿杆方向，可以是拉力也可以是压力。对于多个点受力的轻杆，必须用力矩平衡与力平衡规律联立分析。 2.判断弹力有无： ①消除法：去掉与研究对象接触的物体，看研究对象能否保持原状态，若能则说明此处弹力不存在，若不能则说明弹力存在．如图：球A 静止在平面B 和平面C 之间，若小心去掉B ，球静止，说明平面B 对球A 无弹力，若小心去掉C ，球将运动，说明平面C 对球有支持力． ②假设法：假设接触处存在弹力，做出受力图，再根据平衡条件判断是否存在 弹力．如图，若平面B 和平面C 对球的弹力都存在，那么球在水平方向上将不再平衡，故平面B 的弹力不存在，平面C 的弹力存在． ③替换法：用轻绳替换装置中的轻杆，看能否维持原来的力学状态，如果可以，则杆提供的是拉力，如果不能，则提供支持力． 3.判断摩擦 物体间有相对运动或相对运动的趋势．有相对运动时产生的摩擦力叫滑动摩擦力，有相对运动趋势时产生的摩擦力叫静摩擦力． ①滑动摩擦力：N F F μ=，μ是动摩擦因数，与接触物体的材料和接触面的粗糙程度有关，与接触面的大小无关．N F 表示压力大小，可见，在μ一定时，N F F ∝． ②静摩擦力：其大小与引起相对运动趋势的外力有关，根据平衡条件或牛顿运动定律求出大小．静摩擦力的大小在零和最大静摩擦力max F 之间，即max 0F F ≤≤．静摩擦力的大小与N F 无关，最大静摩擦力的大小与N F 有关． ③方向：滑动摩擦力方向与相对运动方向相反，静摩擦力方向与相对运动趋势方向相反． 判断静摩擦力的有无：在接触面粗糙，两物体接触且互相挤压的条件下，可使用下列方法 假设法：假设没有静摩擦力，看物体是否发生相对运动，若发生，则存在相对运动趋势，存在静摩擦力． 反推法：根据物体的状态和受力分析推出静摩擦力的大小和方向． 第一章 静力学 第一讲 力的解决 一、矢量的运算 1、加法 表达：a + b = c 。 名词：c 为“和矢量”。 法则：平行四边形法则。如图1所示。 和矢量大小：c = α++cos ab 2b a 2 2 ，其中α为a 和b 的夹角。 和矢量方向：c 在a 、b 之间，和a 夹角β= arcsin α++αcos ab 2b a sin b 22 2、减法 表达：a = c －b 。 名词：c 为“被减数矢量”，b 为“减数矢量”，a 为“差矢量”。 法则：三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起 始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是 差矢量。 差矢量大小：a = θ-+cos bc 2c b 2 2 ，其中θ为c 和b 的夹角。 差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在 41T 内和在21T 内的平均加速度大小。 解说：如图3所示，A 到B 点相应 41T 的过程，A 到C 点相应21T 的过程。这三点的速度矢量分别设为A v 、B v 和C v 。 根据加速度的定义 a = t v v 0t -得：AB a = AB A B t v v -，AC a = AC A C t v v - 由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 1v ∆= B v －A v ，2v ∆= C v －A v ，根据三角形法则，它们在图3中 的大小、方向已绘出（2v ∆的“三角形”已被拉伸成一条直 线）。 本题只关心各矢量的大小，显然： A v = B v = C v = T R 2π ，且：1v ∆ = 2A v = T R 22π ，2v ∆ = 2A v = T R 4π 所以：AB a = AB 1t v ∆ = 4T T R 22π = 2T R 28π ，AC a = AC 2t v ∆ = 2 T T R 4π = 2 T R 8π 。 （学生活动）观测与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？ 答：否；不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达：a ×b = c 名词：c 称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。 叉积的大小：c = absin α，其中α为a 和b 的夹角。意义： c 的大小相应由a 和b 作成的平行四边形的面积。 叉积的方向：垂直a 和b 拟定的平面，并由右手螺旋定则 拟定方向，如图4所示。 显然，a ×b ≠b ×a ，但有：a ×b = －b ×a ⑵ 点乘 高中物理-高一二力平衡（人教版）教案 一、教材分析 本讲的主要内容是力的平衡，要求学生掌握平衡的基本概念，如正方形、矩形等简单的形体做矩形的静力学分析；掌握平衡的判断条件和平衡稳定的条件；能够应用物理原理解决实际问题。 二、教学目标 1.了解力的概念，知道力对物体的作用； 2.了解力的平衡的概念，了解平衡的稳定条件； 3.掌握平衡的判断方法； 4.掌握平衡的应用方法，能够解决实际问题。 三、教学重难点 1.力的平衡的概念和判断方法； 2.平衡的应用方法； 3.解决实际问题。 四、教学方法 1.讲述法； 2.举例法。 五、教学过程 1.引入课题： 本节课我们要学习的内容是力的平衡，力的平衡是我们学习力学的重中之重，它能帮助我们解决很多实际问题。 2.讲解力的概念和力的平衡的概念 力的概念讲解： 当两个物体之间存在相对的作用，那么其中一个物体对另一个物体的作用就是力，它的大小与方向都是在作用的两个物体之间的。力的单位是牛（N）。 力的平衡的概念讲解： 当一个物体受到的所有外力合成为零时，就称为力的平衡。外力包括作用在物体上的重力和其他物体对物体的作用力。 3.力的平衡的稳定条件 力的平衡有稳定平衡和不稳定平衡之分。 稳定平衡条件：当物体受到微小外力作用后，回复原来状态的作用力的线经过物体重心的下方时，物体具有稳定平衡性。 不稳定平衡条件：当物体受到微小外力作用后，回复原来状态的作用力的线经过物体重心的上方时，物体具有不稳定平衡性。 中立平衡条件：当物体受到微小外力作用后，回复原来状态的作用力的线经过物体重心时，物体具有中立平衡性。 4.力的平衡的判断方法 力的平衡的判断方法可以用平衡的条件来判断。 例如：求图4-4所示的物体是否处于平衡状态。 解：将图4-4中各个力的大小、方向和作用点标示出来，再将 它们合成，得到合成力F。 根据力的平衡的原理，当一物体处于平衡状态时，合成力F 必定为零。因此，我们可以根据合成力F是否为零来判断物 体是否处于平衡状态。 5.力的平衡的应用方法 力的平衡的应用方法可以用平衡方程来表示。 例如：已知由ABCD四个质点组成的物体中，C质点处处于 平衡状态，求力P的大小。 物理竞赛培训专题 《物体的平衡》（6课时） 一、 知识提纲： 1．力的种类：按性质分类：重力、弹力、摩擦力、万有引力、电场力、安培力、洛仑兹力 等。 2．受力分析： 3．力矩：力和力臂的乘积叫做力对转动轴的力矩 4．力的合成与分解：平行四边形和矢量三角形。 5．物体的平衡：平衡条件：合外力为零、合外力矩为零；平衡种类：稳定平衡、随遇平衡、不稳定平衡。 6．摩擦角：令静摩擦因数0μ等于某一角ϕ的正切值，即ϕμtg =0，这个ϕ角就称为摩擦角。 7．流体静力学（流体在静止时物体的平衡）：浮力的等效作用点称为浮心，一般情况下浮心与浸没在流体中物体的几何中心重合。 二、 典型例题： 例题1：一木箱重G ，与地面动摩擦因数为μ，现用斜向上的力F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进。求拉力F 与水平方向夹角a 为何值时拉力最小？这个最小值多大？ 例题2：三根长度相同均为L 的轻杆，用绞链连接于C 、D 两点，再用绞链固接在同一水平面内A 、B 两点上。长度AB=2L ，绞链C 上挂着质量为m 的重物。要使中间的杆保持水平放置，施加在绞链D 上的力F 最小为多少？ 例题3：如图所示，电荷量为q 1的正点电荷固定在坐标原点O 处，电荷量为q 2的正点电荷固定在x 轴上，两电荷相距l.已知q 2=2q 1。 (i)求在x 轴上场强为零的P 点的坐标。 (ii)若把一电荷量为q 0的点电荷放在P 点，试讨论它的稳定性(只考虑q 0被限制在沿x 轴运动和被限制在沿垂直于x 轴方向运动这两种情况) 例题4：一个半径为R 的刚性光滑球体静止放置。质量为M 的环状均匀弹性绳水平套在球体上，已知绳环原长时的半径a R 2 1 = ，套在球上时绳环半径变为2b =a ，求弹性绳的劲度系数k 。 例题5：有一长为L ，重为G 0的均匀杆AB ，A 端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙之间的 高中物理竞赛一般物体的平衡稳度知识点讲解 平衡状态的特点 物体处于静止或匀速运动状态，称之为平衡状态。平衡状态下的物体是高中物理中重要的模型，解平衡问题的基础是对物体进行受力分析。物体的平衡在物理学中有着广泛的应用：在静力学中有单体平衡、双体平衡；在气体压强的计算中。带电粒子在电、磁场中等等，都需要用到物体平衡知识。在高考中，直接出现或间接出现的几率非常大。 平衡态物体的特点： ⑴平面共点力作用下的物体受到的合外力为零。如果物体仅受三个力，则任意两力的合力与第三力大小相等、方向相反。合外力为零，意味着物体受到的诸力在任一方向 上的分力的矢量和为零，因而常用正交分解法列平衡方程。形式为：⎩ ⎨⎧=∑=∑00y x F F ⑵有固定转动轴物体的平衡，其合力矩为零，即M 合=0。它表示使物体顺时针转动的力矩等于使物体逆时针转动的力矩(全国高考卷近年未出现该类题，但上海卷时有出现)。 一般物体的平衡 力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零)0(=∑外F 和合力矩为零∑=)0(M 同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为 ∑=0x F ∑=0x M 0=∑y F 0=∑y M ∑=0z F ∑=0z M z y x M M M ,,分别为对x 轴、y 轴、z 轴的力矩。 由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系（设在xOy 平面内），则0,0,0===∑∑∑y x x M M F 自动满足，则 一般物体的平衡问题 物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种． 一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这样的平衡叫做稳定平衡．如图1—1（a）中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的． 图1— 时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做 —1（c）中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的．从能量方面来分析： 物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡； 物体系统偏离平衡位置，减少者为不稳定平衡； 物体系统偏离平衡位置，不变 两种方法解题，一是根据平衡的条件 从物体受力或力矩的特征来解题，二 是根据物体发生偏离平衡位置后的能 量变化来解题。 例1．有一玩具跷板，如图1—2所示，试讨论它的稳定性（不考虑杆的质量）． 分析和解：假定物体偏离平衡位置少 许，看其势能变化是处理此类问题的 主要手段之一，本题要讨论其稳定性， 可假设系统发生偏离平衡位置一个θ 角，则： 在平衡位置，系统的重力势能为 当系统偏离平衡位置θ角时，如图1一 势能为 [cos co mg L l θ- 例2．如图1—4a， 一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在 光滑的固定曲面上，且均处于Oxy平 面内．如果要使杆子在该平面内为随 遇平衡，试求该曲面在 曲线方程． 又由于AB杆竖直时 1 2 C y a =， 那么B点的坐标为 消去参数得 类型二、物体系的平 衡问题的最基本特征就是物体间受力 情况、平衡条件互相制约，情况复杂 解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。 例3．三个完全相同的圆柱体，如图1一6叠放在水平桌面上，将C柱放上去之前，A、B两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦 图 1 由∑F Ay 2 由∑F Ax =0得 211 1 22 f N N +-=③ 由∑E A ＝0得 12 f R f R =④ 由以上四式可得 1 1 2 N G =， 2 3 2 N G = 而 202 f N μ ≤， 11 f N μ ≤ μ≥2 μ≥ 类型三、物体在力系作用下的平衡问 题中常常有摩擦力，而摩擦力F f 与弹 力F N 的合力凡与接触面法线方向的夹 1 l和 2 l， 1 2 在各种 情况得出小环的平衡条件 f N F F μ ≤， 由图1—9可知 s i n t a n c o s f T N T F F F F θ μθ θ ≥== 定义tan μϕ =，ϕ为摩擦角，在得出摩擦 角的概念以后，再由平衡条件成为 掌握了基本的力的知识，我们就来继续探索一下物体的平衡需要哪些有关于力的方程来约束。 回忆一下初中我们如何处理平衡问题？ 二力平衡：两个力大小相等，方向相反，作用在同一直线上 三力平衡（高中）：相互平行的三个力，和二力平衡处理起来没有本质区别；如果三力共点，那么可以用力的矢量三角形法则处理。也可以用力的正交分解方法处理。 其中三角形的方法比较需要几何知识， 正交分解的方法，比较需要解方程能力。 共点力平衡的正交分解方法： 运用坐标系和力的正交分解可以归纳出静力学一般解题步骤。 ①受力分析：对题目中每个个体或者你所选定的系统找出其受的各种力，并且画 出受力图。为了防止漏力，要养成按一般步骤分析的好习惯，一般应先分析重力；然后环绕物体一周，找出跟研究对象接触的物体，并逐个分析这些物体对研究对象的弹力和摩擦力，最后分析其他场力（电场力、磁场力）等。 ②根据受力分析得到的力是立直角坐标系，要求需要分解的力越少越好。 ③根据直角坐标系对各种力进行正交分解（其中某个方向的力可正可负）。 ④由平衡关系写出 2020 Fx Fy ==此即最后的静力学方程。 ⑤根据此方程可解出所需要的问题。 取正交分解的时候，我们的原则是，建立一个直角坐标系，最好沿着某一方向上，完全没有某个“无关”的力 例题精讲 方法提示 本讲导学 高中物理竞赛专题 力平衡（一） 【例1】 均匀长棒一端搁在地面上，另一端用细线系在天花板上，如图所示，若 细线竖直，试分析棒的受力情况。 【例2】 如图三根长度均为l 的轻杆用段链连接并固定在水平天花板上的A 、B 两点，AB 两点相距2l ，会在段链C 上悬挂一个质量为m 的重物，要使CD 杆保持水平，则在D 点上应施加的最小力为多少？ 【例3】 两个质量为M ，半径为R 的相同圆球A 和B ，用两根长为l （2l R =）的 绳悬挂于O 点，在两球上另有一质量为m （m nM =），半径为r （2 R r = ）的圆球C ，如图，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角θ与n 的关系. 最新高中物理竞赛知识点讲解 第一部分 力＆物体的平衡 第一讲 力的处理 一、矢量的运算 1、加法 表达：a + b = c 。 名词：c 为“和矢量”。 法则：平行四边形法则。如图1所示。 和矢量大小：c = α++cos ab 2b a 22 ，其 中α为a 和b 的夹角。 和矢量方向：c 在a 、b 之间，和a 夹角β= arcsin α ++αcos ab 2b a sin b 2 2 2、减法 表达：a = c －b 。 名词：c 为“被减数矢量”，b 为“减数矢量”，a 为“差 矢量”。 法则：三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。 差矢量大小：a = θ-+cos bc 2c b 22 ，其中θ为c 和b 的夹角。 差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在 4 1 T 内和在2 1 T 内的平均加速度大小。 解说：如图3所示，A 到B 点对应41T 的过程，A 到C 点对应21 T 的过程。这 三点的速度矢量分别设为A v 、B v 和C v 。 根据加速度的定义 a = t v v 0t -得：AB a = AB A B t v v -，AC a = AC A C t v v - 由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 1v ∆= B v －A v ，2v ∆= C v －A v ，根据三角形法则，它们 在图3中的大小、方向已绘出（2v ∆的“三角形”已 被拉伸成一条直线）。 本题只关心各矢量的大小，显然： A v = B v = C v = T R 2π ，且：1v ∆ = 2A v = T R 22π ，2v ∆ = 2A v = T R 4π 所以：AB a = AB 1t v ∆ = 4T T R 22π = 2T R 28π ，AC a = AC 2t v ∆ = 2 T T R 4π = 2T R 8π 。 （学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是 匀变速运动？ 答：否；不是。 3、乘法 矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 ⑴ 叉乘 表达：a ×b = c 名词：c 称“矢量的叉积”，它是一个新 的矢量。 叉积的大小：c = absin α，其中α为a 和b 的夹角。意义：c 的大小对应由a 和b 作成的平行四边形的面积。 叉积的方向：垂直a 和b 确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示。 显然，a ×b ≠b ×a ，但有：a ×b = －b ×a ⑵ 点乘 表达：a ·b = c高中物理竞赛辅导(2)
高中物理竞赛辅导讲义静力学
高中物理竞赛 流体静力学和运动学
高一物理竞赛讲义-静力学
高一物理竞赛讲义第6讲.教师版
高一物理竞赛讲义- 专题一 力的平衡
高中物理竞赛讲座1(静力学word)
高中物理竞赛力学
1《静力学》内容讲解
高一物理竞赛讲义六——静力学平衡多种方法
高中物理竞赛静力学
高中物理竞赛讲义全套
高一秋季物理竞赛班第2讲_静力学复习_学生版
2023年高中物理竞赛资料静力学
高中物理-高一二力平衡(人教版)教案
力和平衡
高中物理竞赛一般物体的平衡稳度知识点讲解
高一物理竞赛讲义八——平衡的种类
高中物理竞赛专题：力平衡(无答案)
最新高中物理竞赛知识点讲解(冲刺版)