高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质练习

2.3.4平面与平面垂直的性质练习新人教A版必修2 一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则( ) A．m∥βB．m?βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直[答案] C 2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则( ) A．a?αB．a∥αC．a⊥αD．a?α或a∥α[答案] D 3．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定[答案] B 4．如下图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )

A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点[答案] D [解析] ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，∴AC⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°．∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．

5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于( )

A．B．C．D．[答案] A

[解析] 由已知条件可知∠BAB′＝π4，

∠ABA′＝π6，设AB＝2a，则BB′＝2asinπ4＝2a，A′B＝2acosπ6＝3a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝6．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )

A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部[答案] A [解析] ∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，又∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A．二、填空题7．平面α⊥平面β，直线l?α，直线m?β，则直线l，m的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的________心．[答案] 垂[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．

三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．[证明] 平面ABC⊥平面BCDCD⊥BC?CD⊥平面ABC

AB?平面ABC?

CD⊥ABAB⊥AC?AB⊥平面ACD

AB?平面ABD?平面ABD⊥平面ACD．

10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD

是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．

(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．[解析] (1)∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB

⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．能力提升一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是( ) A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b

[答案] D [解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案] C [解析] l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A错；l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B错；

l⊥α，α∥β?l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是( ) A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a?α，b⊥β，α∥βD．a?α，b∥β，α⊥β[答案] C [解析] b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a?α，∴b⊥a. 4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是( )

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③[答案] C [解析] 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，BC?平面A′DE，DE?平面A′DE，∴BC∥平面A′DE. ③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．二、填空题5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.

[答案] 45°[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．

∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ. 在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°．6．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________. [答案] (12，1) [解析] 如图，过D作DG⊥AF，

垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK. 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分

点．所以t的取值范围是(12，1)．三、解答题7．(2015·甘肃兰州一中期末) 如图，四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC，CE与平面ABE所成的角为45°．(1)证明：AD⊥CE；(2)求二面角A－CE－B的正切值．[解析] (1)证明：如图，取BC的中点H，连接HD，交CE于点P，连接AH，AP. ∵AB＝AC，∴AH⊥BC．又∵平面ABC⊥平面BCDE，∴AH⊥平面BCDE，又CE?平面BCDE，∴AH⊥CE.

又∵HCCD＝CDDE＝12，∠BCD＝∠CDE＝90°，∴Rt△HCD∽Rt△CDE. ∴∠CDH＝∠CED，∴HD⊥CE.又AH∩HD＝H，∴CE⊥平面AHD．

∴AD⊥CE. (2)由(1)CE⊥平面AHD，得AP⊥CE，又HD⊥CE，∴∠APH就是二面角A－CE－B的平面角．过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接EG. ∵BE⊥BC，且BE⊥AH，AH∩BC＝H，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥CG，又BE∩AB＝B，∴CG⊥平面ABE，∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，则∠CEG＝45°，又CE＝22＋22＝6，∴CG＝EG＝3. 又BC＝2，∴∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∴AH＝3.

又由△HCP∽△DEP得HP＝33，

∴tan∠APH＝AHHP＝3. 8．(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD

＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD．

[解析] (1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．

又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD． (2)连接BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，