8 平面及直线与立体相交
空间几何体的相交与平行
空间几何体的相交与平行在几何学中，空间几何体的相交与平行是一个重要的概念，它关系着几何体之间的位置关系和相互作用。
本文将探讨空间几何体之间的相交与平行关系，并对其进行详细阐述。
一、平面与立体的相交平面与立体之间的相交是几何学中最基础的情况之一。
当一个平面与一个立体相交时，可能会出现以下几种情况：1. 平面与立体相交于一条线段：当一个平面与一个立体只有一个交点时，交点所在的线段称为平面与立体的交线段。
2. 平面与立体相交于一条线：当一个平面与一个立体有多个交点，并这些交点都在同一条直线上时，这条直线即为平面与立体的交线。
3. 平面与立体相交于点集：当一个平面与一个立体有多个交点，并且这些交点不在一条直线上时，这些交点组成的集合即为平面与立体的交点集。
二、平面与平面的相交平面与平面之间的相交有多种情况，下面列举了其中几种常见的情况：1. 平面与平面相交于一条直线：当两个平面相交于一条直线时，这条直线即为平面与平面的交线。
2. 平面与平面相交于一点：当两个平面相交于一个点时，这个点即为平面与平面的交点。
3. 平面与平面相交于一条线段：当两个平面相交于一条线段时，这条线段即为平面与平面的交线段。
三、立体与立体的相交立体与立体之间的相交情况相对复杂，下面列举了几种常见的情况：1. 立体与立体相交于一条线：当两个立体相交于一条线时，这条线即为立体与立体的交线。
2. 立体与立体相交于点集：当两个立体相交于多个点，并且这些点不在一条直线上时，这些点组成的集合即为立体与立体的交点集。
3. 立体与立体相互包含：当一个立体完全包含另一个立体时，这两个立体相互包含。
四、平行关系除了相交关系，空间几何体还存在着平行关系。
平行是指在同一平面或不同平面上的两条线或两个面之间的位置关系。
1. 平面与平面的平行：当两个平面之间的交线与它们本身都平行时，这两个平面就是平行的。
2. 直线与直线的平行：当两条直线在同一平面内，且它们的方向完全相同或者不存在交点时，这两条直线就是平行的。
平面与平面立体相交
何培英
平面与平面立体相交
概述 平面立体的截交线 作图举例
平面与平面立体相交
概述
当平面截切立体时，由截交线围成的平面图形——截断面 平面与立体表面相交产生的交线——截交线
截断面
截断面
截平面
截平面
截交线
截交线
平面与平面立体相交
平面立体的截交线
1.截交线的特点
平面多边形
平面与平面立体相交产生的截交 线是一个封闭的平面多边形。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。
由图可以看出，这是一 个正垂的三棱柱与一个铅垂 的六棱柱相交，三棱柱由前 穿入六棱柱，不再穿出。
两立体相交可以看成是 六棱柱被三个平面截切所得。
作图举例
平面与平面立体相交
例3：作出两平面立体交线的三面投影 。求水平面与六棱柱 面的交点
作图：
求水平面截切后的
1/
截交线
1//
求正垂面截切后的
2/
2//
截交线
（Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
2 1
平面与平面立体相交
作图举例 例2：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
作图：
求水平面截切后的 截交线
求正垂面截切后的 截交线 （Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ点）
1/
1//
2/
3/ (4/) 4//
2// 3//
Y4 Y3
4
2 1
多边形的顶点是截平面与立体棱 线或边线的交点。
截平面与立 体棱线交点 截平面与立
多边形的边是截平面与立体表面的交线。 体表面交线
平面立体的截交线
2.求截交线的方法
平面与平面立体相交
棱线法：求各棱线与截平面的交点。
制图-立体-平面、直线、立体与立体相交PPT课件
截平面与体的相对位置
截平面与投影面的相对位置
a)空间及投影分析
b)画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交线,并连接成多边形。
⒈ 求截交线的两种方法:
求各棱线与截平面的交点→线面交点法。
求各棱面与截平面的交线→面面交线法。
［例1］试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的投影。
截交线的基本性质:
4)求截交线的实质是求它们的共有点。
截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
2.1 平面与平面立体相交
求解平面与平面立体的截交线问题,可归结为:求平面与平面立体各表面的交线(面面相交)的集合,或归结为求平面与平面立体各棱线的交点(线面相交)的集合。
求截交线的实质是求两平面的交线。
[例题3] 求立体切割后的投影
2
3
5
4
1
1
1
6
6
5
4
3
2
6
Ⅰ
Ⅴ
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅵ
4
（5）
2
（3）
1≡8
8
例4:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
截交线的形状?
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
1
5
4
3
2
8
7
6
截交线的投影特性?
2≡3≡6≡7
4≡5
求截交线
1
5
4
7
6
3
2
分析棱线的投影
检查截交线的投影
例3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
截交线的空间形状?
截交线的投影特性?
★找特殊点
中考知识点立体几何中的相交直线与平面
中考知识点立体几何中的相交直线与平面中考知识点：立体几何中的相交直线与平面立体几何是数学中的一个重要分支，它研究空间中的图形、物体以及它们之间的关系。
在立体几何中，相交直线与平面是一个基本的概念和理论。
本文将着重讨论相交直线与平面的性质、相互关系以及相关的解题方法。
一、相交直线与平面的性质1. 首先，我们明确相交直线与平面的定义。
相交指的是两条线或两个物体在空间中有交点，而平面则是一个无限大的、由无数个点组成的二维平面。
相交直线与平面的交点可以是一个，也可以是多个。
2. 相交直线与平面有三种可能的关系：相交于一点、平行或相交于一条直线。
3. 当相交直线与平面相交于一点时，这条直线被称为平面上的直线。
这个交点确定了直线在平面上的位置。
4. 如果一条直线与平面平行，则这条直线在平面上没有交点。
5. 如果一条直线与平面相交于一条直线，我们称这条直线与平面平行。
这种情况下，这条直线与平面有无数个交点。
二、相交直线与平面的相互关系1. 相交直线与平面的相互关系可以通过以下几种情况来描述：2. 首先，如果两条直线相交于平面上的一点，并且这两条直线位于平面的同一侧，那么这两条直线是相交的。
3. 其次，如果一条直线与平面平行，则平面上与这条直线相交的其他直线也与该平面平行。
4. 如果两条直线都与平面平行，那么这两条直线互相平行。
5. 最后，如果两条直线互相垂直，并且其中一条直线与平面相交于一点，那么另一条直线也与该平面垂直。
三、解题方法与实例分析在中考中，相交直线与平面常常出现在几何证明、计算问题和空间图形的分析中。
对于解题方法，我们可以根据具体情况采取不同的策略。
1. 基于相交直线与平面交点的性质，我们可以运用点、线、面的关系进行推导和证明。
例如，当两条相交直线在平面上的交点被用来证明两个角相等或两个线段相等时，我们可以通过点、线、面的几何关系来进行证明。
2. 在计算问题中，我们可以利用相似三角形、比例关系、等腰三角形等几何性质，来计算相交直线与平面的长度、角度等。
截交线的画法
§8—1 截交线
截交线的概念和画法
• 截平面 用以截切立体的平面
• 截交线 截平面与立体表面的交线
• 截断面
因截平面的截切，在 立体上形成的平面。
截交线是截平面与立体表面共有点的集合
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
截交的形式 截平面与平面立体相交 截平面与回转体相交
e
b
空作间交及线投的影正分面析投影
★找截特平殊面点P：是A正、平B、面C，点 截★交补线充为一双般曲点线：。D交、线E点 的★侧光面滑投连影接积各聚点成一直 线★，分正析面轮投廓影线反的映投实影形。
b
A D C E
B
例1: 求作平行于圆锥轴线的平面与圆锥面的交线
的正面投影。
a
a
d
d
c c
e
e
b
b
A D C
截交线的侧面投
影是什么形状？
c
★ ★找 找特 一殊 般D点点C
F
★光滑连接各点
★分析A 轮E廓B素线的投影
例1：求左视图
★找特殊点 ★找一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
什么情况下
截投平影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
例2：求截口圆柱的投影
PH
QH
例2：已知一建筑物球壳屋顶的H投影，求 该球壳屋顶的V投影和W投影。
㈣ 组合体表面的截交线
首先进行形体分析，弄清组合体由哪些基本 回转体组成，找出相邻回转体之间的分界线。
然后分别求出各个截平面与这些基本回转体的 截交线，并依次将其连接。
直线与平面立体相交(贯穿点
f
d
b
1m n 3 f
a
2
e
例2：求直线AB与三棱柱的贯穿 点，并判别AB可见性。
利用三棱柱各棱柱面 积聚性求贯穿点
(2) 1
2 1
例3：求直线AB与四棱柱的贯穿 点，并判别AB可见性。
利用棱柱面、上底面
r′ 3 2
b
的积聚性
1
(q′)
a
p′
b q2 3
1
a
p
B
N
Ⅲ
ⅠM
Ⅱ
A
N
ⅢM截交线Ⅱ3. 投影变换法A
可见性： 贯穿点与贯穿点之间不画线， 或画细实线、或点划线。
一般情况下，直线与立 体相交，有两个贯穿点，但在 特殊情况下也可能有一个贯穿 点……
B
N
Ⅲ
ⅠM
Ⅱ
A
例1：求直线AB与三棱锥的贯穿 点，并判别AB可见性。 （辅助平面法）
PV b
m
1
a
3
n
2
d e
第六章 平 面 立 体
§6-1 平面立体的投影 §6-2 平面立体的表面展开（未讲） §6-3 工程形体 §6-4 平面与平面立体相交（截交线） §6-5 直线与平面立体相交（贯穿点） §6-6 两平面立体相交（相贯线）
§6-5 直线与平面立体相交（贯穿点）
直线与立体相交，视为直线贯穿立体，故直线与立体表面 的交点，称为贯穿点。
求贯穿点的实质：即求直线与平面的交点问题。
贯穿点求法：
1. 积聚投影法
利用直线或立体表面的积聚投影求交点，即特殊
位置直线或特殊位置立体表面；
2. 辅助平面法
B
即一般直线与一般立体表面求交点的方法：
平面与立体相交PPT课件
垂直相交
总结词
当平面与立体垂直且相交时，称为垂直相交。
详细描述
垂直相交是指平面与立体在空间中垂直且有一个公共点。这个公共点是平面与立 体的交点，也是平面与立体边界线的起点和终点。垂直相交通常发生在平面与立 体的棱线或顶点相交时。
斜交
总结词
当平面与立体不平行也不垂直，且有一个公共点时，称为斜 交。
平面与立体相交ppt 课件
目 录
• 平面与立体的基本概念 • 平面与立体的相交类型 • 平面与立体相交的特性 • 平面与立体相交的应用 • 平面与立体相交的实例分析
01
CATALOGUE
平面与立体的基本概念
平面的定义与性质
定义
平面是指在空间中无限延展、没 有厚度的二维图形。
性质
平面具有无限延展性、无厚度、 可无限分割等特性。
当一个平面与一个立体垂 直时，它们在某个方向上 相互垂直，形成垂直线。
02
CATALOGUE
平面与立体的相交类型
平行相交
总结词
当平面与立体平行且不重合时，称为平行相交。
详细描述
平行相交是指平面与立体在空间中平行且不与立体接触，即平面与立体的边界 线平行且不相交。在这种情况下，平面与立体之间没有公共点。
详细描述
斜交是指平面与立体在空间中不平行也不垂直，有一个公共 点。这个公共点是平面与立体的交点，也是平面与立体边界 线的起点和终点。斜交通常发生在平面与立体在空间中形成 一定的角度时。
03
CATALOGUE
平面与立体相交的特性
相交线的性质
相交线是平面与立体接触的部 分，具有确定的长度和方向。
相交线的位置和数量取决于平 面和立体的形状、大小和相对 位置。
机械制图 8 直线与立体表面的交点、相贯线
30/71
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
5
8-3 两回转体相贯
★ 相贯线在一般情况下为光滑封闭的空间曲线，特殊情况下 可能是平面曲线或直线。它是两回转体表面的共有线。
★ 作图方法
积聚性法 表面取点法 辅助平面法 辅助球面法
空间曲线
平面曲线
★ 作图过程
确定交线 的范围
1
例 求直线AB与三棱锥的贯穿点。 空间分析：
s'
a'
c'
d'
c
d a
b'
e' e
b
s
Chapter 8 Solid Plane Intersection
7/71
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
例 求直线AB与三棱锥的贯穿点。 空间分析：
s'
a'
c'
d'
c
d a
QH
Chapter 8 Solid Plane Intersection
投影分析：
L
点L两投影及 点K的H 投影 已知，点K的V 投影待求。
作图步骤：
锥面上取辅助线 （直素线、纬圆）
如何利用纬圆法 求解？
18/71
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
3
例 求直线AB与圆球表面的贯穿点。 空间分析：
a
Chapter 8 Solid Plane Intersection
28/71
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
工程制图B ! 第八章--平面与基本体相交
一、平面与平面立体相交（掌握）二、平面与曲面立体相交（掌握）基本概念截平面——假想用来截割立体的平面截交线——截平面与立体表面的交线截断面——截交线所围成的平面截断面截交线截平面9-1 平面与平面立体相交平面立体的截交线◆截交线的性质截交线由若干段直线组成，围成封闭的平面图形。
截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点为截平面与立体表面的共有点。
◆求截交线的方法交线法——平面体各棱面与截平面的交线 交点法——平面体各棱线与截平面的交点多边形的边数取决于与平面相交的棱面和底面的个数！a'b'c'ab ca''b''c''截平面的正面投影截平面的水面投影分析：截平面的正面投影积聚成一条直线，其与三个侧棱面均相交，故截平面应为封闭的三边形。
例1：已知立体主、俯视图，求作左视图。
124例2：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚为直线，其与四个侧棱面均相交，故截平面应为封闭的四边形。
1'1"2"2'(4')3'3"4"3——平面与平面立体相交（1）根据已知投影，对照各类平面立体的投影特性，想象出切割之前基本体的原型。
（2）分析截平面的特性（如：投影面垂直面）以及与基本体的相对位置关系。
（3）确定特殊点，并可结合拉伸法等，逐步勾勒出空间形体，完整确定出截交线的投影。
◆截交线形状封闭的平面多边形或曲线由平面曲线和直线组成的封闭线框9-2 平面与曲面立体相交截平面截断面截断面截交线◆求截交线的方法找出足够多的共有点，依次连接即可。
一般先找特殊点，然后补充一般点。
（一）平面与圆柱面的交线（3种情况）投影图轴测图位置形状平行于轴线垂直于轴线倾斜于轴线矩形圆椭圆例1：已知截头圆柱的主、俯视图，求作左视图。
1'5'(6')3'(4')7'(8')2'216"3465782"8"7"3"4"1"5"分析：（1）截平面倾斜于轴线，截交线为椭圆；（2）先找特殊点，再作一般位置点。
高中数学中的立体几何与平面交线
高中数学中的立体几何与平面交线立体几何是高中数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和物体。
而平面交线是立体几何中的一个常见问题，它涉及到平面与立体图形的交点和交线。
本文将从不同的角度探讨高中数学中的立体几何与平面交线的相关知识。
首先，我们来讨论平面与立体图形的交点。
在平面几何中，我们知道一条直线与一个平面最多只有一个交点。
而在立体几何中，平面与立体图形的交点可以有多个。
例如，当一个平面与一个立方体相交时，交点可以是一个边、一个顶点或者一个面。
这取决于平面与立方体的相对位置和角度。
通过研究平面与不同形状的立体图形相交的情况，我们可以深入理解立体几何的性质和特点。
其次，我们来探讨平面与立体图形的交线。
平面与立体图形的交线可以是一条直线，也可以是一条曲线。
这取决于平面与立体图形的相对位置和角度。
例如，当一个平面与一个圆柱相交时，交线可以是一个圆或者一个椭圆。
当一个平面与一个圆锥相交时，交线可以是一个直线或者一个抛物线。
通过研究平面与不同形状的立体图形相交的情况，我们可以进一步了解平面与立体图形的几何关系和交线的性质。
在解决立体几何与平面交线的问题时，我们常常使用投影的方法。
投影是一种将三维物体映射到二维平面上的方法。
通过投影，我们可以将立体图形的形状和位置转化为平面图形，从而更方便地研究和计算。
在立体几何中，我们常常使用正交投影和斜投影两种方法。
正交投影是指将物体投影到一个与物体垂直的平面上，而斜投影是指将物体投影到一个与物体倾斜的平面上。
通过选择合适的投影方法，我们可以更好地研究和解决立体几何与平面交线的问题。
除了投影方法，我们还可以使用向量方法来解决立体几何与平面交线的问题。
在向量几何中，我们可以用向量表示平面和直线，从而更方便地计算它们的交点和交线。
通过使用向量方法，我们可以简化计算过程，提高解题效率。
同时，向量方法还可以帮助我们更深入地理解立体几何与平面交线的几何关系和性质。
总之，立体几何与平面交线是高中数学中的重要内容。
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IV
(4′ (4′) 3′
1′ 2′
4″
●
●
1″
●
2″
III II
I
●
3″ ★ 空间分析 ★ 做完整三视图
4 3
●
●
●
1
★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
●
2
6
例2：求正八棱柱被平面P截切后的俯视图。 求正八棱柱被平面P截切后的俯视图。 P′
4 ′≡ 5 ′ 7″ 5″ 6″ 3″ 4″ 2″ Ⅷ 8″ 5 6 1″ Ⅶ
III I II
Ⅴ
1 5 2 ≡6
Ⅵ
12
二．平面与圆锥体相交
截切平面与轴线的相互位置关系、及截断面的形状： 截切平面与轴线的相互位置关系、及截断面的形状：
13
b′ e′≡ f′ c′≡ c′ d′ m′≡ n′ a′ e″ c″ m″
b″ f″ d″ n″
例: 求圆锥 被正垂面截 切后的俯视 图和左视图。 图和左视图。
a″
B C
c m a b e
D A
n
d
f
14
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 求半球体截切后的俯视图和左视图。
a’ f ’ ≡g’ b’ ≡c’ g" a" f" b"
c"
c
G C
A
B F
b
15
8.３直线与 8.３直线与立体相交
16
直线与立体相交，即求直线和立体的交点。 直线与立体相交，即求直线和立体的交点。
8 平面、直线与立体相交 平面、
8.1 平面与平面体相交 8.2 平面与回转体相交 8.3 直线与立体相交
1
工程中常会遇到平面与立体相交的情况。 工程中常会遇到平面与立体相交的情况。 与立体相交的平面称为截平面， 与立体相交的平面称为截平面， 截平面 截平面与立体相交产生的交线称 为截交线。立体被截平面截得的 截交线。 平面称为截断面。 平面称为截断面。 截断面 本章学习重点： 本章学习重点：如何画截交线
Ⅴ Ⅳ Ⅵ Ⅲ
2 ′≡ 3 ′≡ 6 ′≡ 7 ′ 1 ′≡ 8 ′ 8
P
Ⅰ
Ⅱ
7
★ 空间及投影分析 ★ 做完整俯视图 ★ 求截交线 ★ 分析棱线的投影 ★ 检查
3 1 2
4
7
8.２ 面与回转 回转体相交 8.２ 平面与回转体相交
8
平面与回转体截交线的性质： 平面与回转体截交线的性质： 截交线的性质
一、直线与平面体相交
1、直线与某投影面垂直，或者立体上与直线相交的平面 、直线与某投影面垂直， 垂直于某投影面 例：直线AB与三棱柱 直线 与三棱柱 相交，求交点。 相交，求交点。
n' m' a' b'
a
m
n
b
17
2、直线及立体上与直线相交的平面均处于空间一般位置 、 例：求直线与三棱锥的交点。 求直线与三棱锥的交点。
b” ●
● ● ● ● ●
B D c” A
●
c’ ≡d’
●
d” ● a”
C
a’
d
● ●
★找特殊点 ★补充中间点
b
a
★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
●
●
c
11
例2：试作出圆柱体左端开槽后的俯视图。 试作出圆柱体左端开槽后的俯视图。
2’ ≡4’ 1’ ≡3’ 5’ 6’ ≡7’ 3 4 ≡7 7” 3”≡4” 1”≡2” 5” 6”
S
s' n' 3' c'
1 e m
2'
f'
PV
e'
N M E F
1'
m'
a' a
b' b s
n 3 2 f
A
C
B
c
18
二、直线与回转体相交
s’
S II A I N M C D
B
1’ a’ m’
k’
l’
2’
b’
n’
s k a m 1 c l d 2
b n
19
本节要点
一．平面与平面相交的截交线的性质 用面形法求截交线 二．平面与回转体相交的截交线的性质 截交线的投影 三．直线与立体相交，交点的求法 直线与立体相交，
9
一．平面与圆柱相交
截平面与轴线的相互位置关系、及截断面的形状： 截平面与轴线的相互位置关系、及截断面的形状：
位置 关系 P⊥轴线 P与轴线倾斜 P∥轴线 P∥轴线
图例
P
P P
断面 形状 交线 类型ຫໍສະໝຸດ 圆椭圆直线
10
例1：圆柱体被正垂面截切，试作出左视图。 圆柱体被正垂面截切，试作出左视图。
b’
●
●
2
8.１ 面与平 8.１平面与平面体相交
3
平面与平面体的截交线的性质： 平面与平面体的截交线的性质： 截交线的性质
• 是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点都是截平 是截平面与立体表面的共有线，
面与立体表面上的共有点 • 形成一封闭的平面多边形 • 多边形的边数 = 切到立体的面数（棱数）= 与立体各棱 切到立体的面数（棱数） 线的交点数
20
4
求截交线的投影
作图步骤： 作图步骤：
• 想清形体的形状 • 确定形体是如何截切的 • 判断截交线的边数及形状 • 利用面形法画图（截平面与各棱线的交点） 利用面形法画图（截平面与各棱线的交点） • 补全视图，判断可见性 补全视图，
5
例1：求正四棱锥被正垂面截切后的三视图。 求正四棱锥被正垂面截切后的三视图。