图形的轴对称、平移与旋转

图形的轴对称、平移与旋转主讲：黄冈中学优秀数学教师　余燕考点回顾：考点一：轴对称与轴对称图形1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点．2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴．3、轴对称与轴对称图形的区别与联系 （1）轴对称是指两个特定图形之间的位置关系，轴对称图形是描述一个图形的形状特征； （2）轴对称只有一条对称轴，而轴对称图形不一定只有一条对称轴．4、轴对称两点在平面直角坐标系中的坐标关系 （1）关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． （3）点A（a，b）关于直线y＝x对称的点的坐标为（b，a），点A（a，b）关于直线y＝－x对称的点的坐标为（－b，－a）．考点二：轴对称和轴对称图形的性质1、关于某条直线成轴对称的两个图形是全等的，对应线段相等，对应角相等．2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．3、两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．4、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．考点三：中心对称与中心对称图形1、中心对称：把一个图形绕着某一定点旋转180°，如果它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个定点成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．2、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某一定点旋转180°，能够和原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心．3、中心对称与中心对称图形的区别与联系 （1）中心对称是指两个特定图形之间的位置关系，中心对称图形是描述一个图形的形状特征； （2）将成中心对称的两个图形看做一个整体时，这个整体图形就是中心对称图形．考点四：中心对称的性质1、对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分；2、对应线段相等、平行或共线；3、对应角相等；4、点A（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）；5、点A（a，b）关于点（m，n）对称的点的坐标为（2m－a，2n－b）．考点五：图形的平移 将某一基本的图形沿着一定的方向移动一定的距离，这种图形的平行运动称为图形的平移，简称平移．平移由移动的方向和距离所决定．考点六：图形平移的性质1、平移后的图形与原来图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等．2、平移后的图形与原来图形的对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向一致．3、平移后的图形与原来的图形的对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等．4、平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．考点七：图形的旋转1、旋转的概念 在平面中，将一个图形绕一个定点沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．2、旋转对称图形 （1）概念：如果一个图形绕着某一定点旋转一定角度后能与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，其中的定点叫做旋转对称图形的旋转中心． （2）旋转对称图形的识别 判断一个图形是不是旋转对称图形的方法是根据旋转对称图形的定义，判断图形能否绕一定点旋转一定的角度后与自身完全重合．考点八：图形旋转的性质1、图形旋转时，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角的度数都等于旋转角的度数；3、对应点到旋转中心的距离相等；4、对应线段相等，对应角相等；5、图形的形状与大小都没有发生变化．考点精讲精练：例1、如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个？解析：C　由轴对称的性质可知，C项正确．变式练习1、将一个矩形纸片依次按图1、图2的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，最后将图4的纸再展开铺平，所得到的图案是（　）答案：A例2、在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（－2，1）与点Q（2，－1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在的图象上．前面的四种描述正确的是（　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④答案：D变式练习2、如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）．将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标是__________；若△ABC与△A2B2C2关于原点O对称，则点A的对应点A2的坐标是__________．答案：（3，1）；（1，－4）例3、如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有__________种．答案：5变式练习3、如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为____________________．答案：（－1，1），（－2，－2），（0，2），（－2，－3）例4、如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF＝（ ） A．110° B．115° C．120° D．130°答案：B解析：由折叠，可知∠BFE＝∠B′FE＝65°，由AE∥BF，知∠AEF＝115°．变式练习4、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm．解析：C△ABE＝AB＋BE＋AE＝ AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝3＋4＝7cm．答案：7例5、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40°解析： 由题意知∠AOA′＝∠BOB′＝45°，所以∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝45°－15°＝30°．故选B．答案：B变式练习5、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处．若将△ACB 绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ） A． B． C． D．解析：由题意，得∠B′＝∠B，所以．答案：B例6、如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为__________．解析： 由旋转的性质可知，△ABD≌△ACE，所以BD＝CE．在等边三角形ABC中，AB＝6，则BC＝6，由BC＝3BD，可知BD＝2，所以CE＝2．答案：2变式练习6、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于__________．解析： △AEE′为等腰直角三角形，．答案：例7、如图，边长为a的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°得到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（　）A． B．C． D．解析：阴影部分面积＝正方形面积－两个正方形重叠的面积答案：C变式练习7、如图（左），点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB ＝8，PC＝10，求∠APB的度数．解析： 将△APC绕点A逆时针旋转60°后，得到△AFB，连接FP（如图（右）），则FB＝PC＝10，FA＝PA＝6，∠FAP＝60°，∴△FAP是正三角形，∴FP＝PA＝6．在△PBF中，PB2＋PF2＝82＋62＝102＝BF2，∴∠BPF＝90°，∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝60°＋90°＝150°．- 返回 -备考模拟一、选择题1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　）A．等边三角形 B．平行四边形C．等腰梯形 D．菱形2、下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　）3、如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点Ｏ按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD．则旋转的角度是（　）A．150° B．120°C．90° D．60°4、在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（4，－1）、B（1，1）．将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为（－2，2），则点B′的坐标为（　）A．（－5，4） B．（4，3）C．（－1，2） D．（－2，－1）5、在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的□ABCD，点A 的坐标是（0，2）．现将这张胶片平移，使点A落在点A′（5，－1）处，则此平移可以是（　）A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位二、填空题6、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为__________；（2）点A1的坐标为__________．7、如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于__________cm2．8、如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________．隐藏答案答案： 6、（1）（－3，－2）；（2）（－2，3） 7、 8、（0，1）三、综合题9、如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应） （2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．隐藏答案 解析：（1）如下图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形． （2）由上图可知四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1＝4，CC1＝2，高是4，10、如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（－1，3），B（－3，－1），C（－3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是__________，旋转角是__________度； （2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形； （3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．隐藏答案 解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90°． （2）画出的图形如图所示： （3）由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．-END-。