2015年168中学自主招生考试数学试卷
k 的图象与边 AC 交于点 E.直线 EF x
21 ，则点 C 关于直线 EF 的对称点在 x 轴上； 8 8 ②若 k 4 ，则△PEF 的面积为 ； 3 ③满足题设的 k 的取值范围是 0 k 12 ； 25 ④若 DE EG ，则 k 1 . 12
其中正确的命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号）
14.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时 刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间 .过了 10 分钟，小轿车追上了货 ．．． 车；又过了 5 分钟，小轿车追上客车；再过 t 分钟，货车追上客车，则 t＝ . 15.如图，矩形 AOBC 的顶点坐标分别为 A(0,3) ， O (0, 0) ， B (4, 0) ， C (4,3) ，动点 F 在 边 BC 上（不与 B，C 重合） ，过点 F 的反比例函数 y 分别于 y 轴和 x 轴交于点 D 和 G.给出下列命题： ①若 k
2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分） 16.（11 分）已知 x 4 x 1 0 ，且
2
x 4 tx 2 1 2 ，求 t 的值. 2 x 3 tx 2 2 x
17.（12 分）计算 1
1 1 1 1 1 1 1 1 的值. 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 3 4 99 1002
3 2 3 3 2
） D. b a
x y 12 的解的个数为（ x y 6
B.2
） C.3 ） D.4
3.若实数 a, b 满足 ab 0 ，则下列不等式恒成立的是（ A. a b 2ab
2 2
B. a b 2 ab
C.
b a 2 a b
D.
图甲 图乙 （2）若点 E 落在矩形纸片 OABC 的内部，如图乙，设 OP ＝x，AD＝ y，当 x 为何值时，y 取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点 P、C、D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使△PDQ 是以 PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标.
4
.
.
11.如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 4 cm， 把它沿对角线 AC 方向平移 1cm 得到菱形 EFGH， 则图中阴影部分图象的面积与四边形 EMCN 的面积之比为 .
12.如图甲，在梯形中，AD∥BC， C 90 ，动点 P 从点 C 出发沿线段 CD 向点 D 运动，
到达点 D 即停止，若 E，F 分别是 AP，BP 的中点，设 CP x ，△PEF 的面积为 y ，则 y 与 x 的函数关系的图象如图乙所示，则梯形 ABCD 的面积为 .
21.（14 分）已知矩形纸片 OABC 中，OA＝4，AB＝3，以长 OA 所在的直线为 x 轴，O 为 坐标原点建立平面直角坐标系，点 P 是 OA 边上的动点（与点 O、A 不重合）.现将△POC 沿 PC 翻折得到△PEC，再在 AB 边上选取适当的点 D，将△PAD 沿 PD 翻折，得到△PFD， 使得直线 PE、PF 重合. （1）若点 E 落在 BC 边上，如图甲，求点 P、C、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数 关系式；
1
二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分） 9.若 x1 , x2 是方程 x x 2015 0 的两个实数根，则 3 x1 ( x2 1) 的值是 10.若 a b a 2a b b 12 ，则 a b
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 a b ab
4.已知△ABC 的三条边长分别为 3、4、6，在△ABC 所在平面内的一条直线，将△ABC 分 割成两个三角形，使其中一个是等腰三角形，则这样的直线有多少条（ ） A.8 条 B.4 条 C.6 条 D.7 条 5.若一次函数的图象经过不同的三点 A(m, n), B (n, m), C (m n, n m) ， 则该图象经过 （ A.第二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 ）
3
20.（14 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，E 为 AB 上一点，AE＝1，M 为射线 AD 上一动点，AM＝a（a 为大于 0 的常数）.直线 EM 与直线 CD 交于点 F，过点 M 作 MG ⊥EM，交直线 BC 于点 G. （1）若 M 为边 AD 的中点，求证：△EFG 为等腰三角形； （2）若点 G 与点 C 重合，求线段 MG 的长； （3）请用含 a 的代数式表示△EFG 的面积 S，并指出 S 的最小整数值.
6.已知实数 x, y 满足 2 x 3 y 4 ，并且 x 1, y 2 ，现有 k x y ，则 k 的取值范围为 A. k 3 B. 1 k 3 C. 1 k 3 D. k 3
7.如图，以 BC 为直径的半圆中，A 为弧 BC 上一点， AC 点， CAD 30 ，则 AD 的长为（
13.规定 x x0 时， 代数式
x2 (1) 2 1 x 1 的值记为 .例如： 时， f ( x ) f ( 1) ， 0 2 2 1 x 1 ( 1) 2 1 2 1 3 1 ) 的值等于 168
.
则 f (1) f (2) f (168) f ( ) f ( ) f (
18.（12 分）某校高三学生要坐汽车去体检，要求每辆汽车乘坐的人数相等.若每辆汽车乘 28 人，那么剩下 1 人未上车.如果减少一辆汽车，那么所有学生正好能平均分乘到其他各车 上.已知每辆汽车最多容纳 35 人，试问有多少学生和多少辆汽车？
19.（12 分）如图，已知 E 为圆内两弦 AB 和 CD 的交点，直线 EF∥CB 交 AD 的延长线于 F，FG 切圆于 G，求证：EF＝FG.
3 ， AB 4 ，D 为 BC 上一
） C.
A.
9 5
B.
8 5
7 5
D.
6 5
8.如图，某班 13 个同学围成一圈做游戏，规则是从某一个同学开始按顺时针方向数数，数 到第 13，该同学离开，这样继续下去，直到最后剩下一个同学.小明是 1 号，要使最后剩下 的是小明自己，他应该建议从（ ）同学开始数起. A.8 号 B.2 号 C.13 号 D.7 号
合 肥 168 中 学 2015 年 面 向 全 省 自 主 招 生 考 试 《科学素养》测试数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.若 a b 0 ，化简 3 ( a b) ( a b) a b 的结果为（ A. 3a b 2.方程组 A.1 B. 3(b a) C. a b
安徽省合肥168中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3D．a=5或a=±32．函数的定义域为（）A．B．C．D．（，1）3．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）4．设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④7．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．9．设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B． C．D．10．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f （x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）11．已知函数，函数，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12．设向量，满足：||=3，||=4，=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．14．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为．15．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则= ．16．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本题共8小题）17．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．18．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．19．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．20．已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3D．a=5或a=±3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知得到2a﹣1=9或a2=9，求出a后分别验证得答案．【解答】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，∴2a﹣1=9或a2=9，当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；∴a=﹣3．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．2．函数的定义域为（）A．B．C．D．（，1）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，求解对数不等式得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，即4x﹣1＞1，得x．∴函数的定义域为．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f （1）＜0，解得答案．【解答】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．4．设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．【解答】解：∵a=0.5，b=0.8，∴0＜a＜b，∵c=log20.5＜0，∴c＜a＜b，故选B．【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．5．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x ﹣）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】分别判断每个角对应的象限，即可判断每个函数值的符号．【解答】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．7．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．已知，则tan2α=（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意结合sin 2α+cos 2α=1可解得sin α，和cos α，进而可得tan α，再代入二倍角的正切公式可得答案．【解答】解：∵，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．9．设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数y=，显然y在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），从而得出结论．【解答】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y轴对称，在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．10．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f （x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出2x2+x，（0，）的范围，再由条件f（x）＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f（x）单调区间．【解答】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．11．已知函数，函数，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．12．设向量，满足：||=3，||=4，=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线与圆相交的性质；向量的模；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，进而可得出答案．【解答】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是②（把所有正确的序号都填上）．【考点】三角函数线．【专题】综合题．【分析】作出角的三角函数线图象，由图象进行判断，即可得到OM，0，MP之间的大小关系．【解答】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．14．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为{0，1} ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；新定义；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】化简=[﹣]+[+]，从而分类讨论以确定函数的值，从而解得．【解答】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0， +=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．15．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则= （﹣，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是，根据三角形内角平分线定理，求出OC所在直线分有线向量AB所成的比．然后代入定比分点公式求出OC与AB的交点坐标，再根据向量的模求出答案．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD=1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．16．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】当x＞a时，g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g （x0）＜0同时成立，当x≤a时，则需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，只需f（x）在（﹣∞，a]上的最小值大于或等于零即可，利用二次函数的图象性质求最小值并解不等式即可得a 的取值范围【解答】解：①若x≤a，则g（x）≤0，此时若不存在x0∈（﹣∞，a]，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，即x2﹣ax+a+3≥0在（﹣∞，a]上恒成立，需或，即或解得：﹣3≤a≤6②若x＞a，则g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，此时a∈R综上所述，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，实数a的取值范围是故答案为【点评】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，分类讨论的思想方法和转化化归的思想方法三、解答题（本题共8小题）17．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简求出sinα，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值；（2）由α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，将sinβ变形为sin，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣；（2）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α+β∈（，），∵sin（α+β）=﹣＜0，∴α+β∈（π，），∴cos（α+β）=﹣=﹣，则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．18．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）依题意，可求得A，由T=6π可求ω，函数图象过（π，2）可求φ；（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g（x）的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴=6π得ω=，…∴f（x）=2sin（x+φ），∵函数图象过（π，2），∴sin（+φ）=1，∵﹣＜φ+＜，∴φ+=，得φ=…∴A=2，ω=，φ=，∴f（x）=2sin（x+）．…（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．19．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，得到与的坐标，由共线向量基本定理得答案；（2）假设存在M，设出M的坐标，由数量积运算求得M的坐标；（3）直接利用向量在向量方向上的投影结合图形得答案．【解答】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），，由，可得与共线；（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），，由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，∴线段AB上存在点，使得与垂直；（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，则有最大值为4．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．20．已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用复合数的单调性证明函数的单调性，利用函数零点的判定定理求函数的零点；（2）化简关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；从而求解．【解答】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2+2x，=log2（1﹣）+2x；∵y=1﹣在（1，+∞）上是增函数，故y=log2（1﹣）在（1，+∞）上是增函数；又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0，h（2）=﹣log23+4＞0；故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，故函数h（x）有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；故a=；结合函数a=的图象可得，＜a＜0；即﹣1＜a＜0．【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！23．（2015秋合肥校级期末）（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（%）不超过1500元的部分 3超过1500元至4500元的部分10超过4500元至9000元的部分20某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用税款分段累计，即可得出结论．【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+（8660﹣4500）×20%=1177元【点评】正确理解题意是本题的一个难点，能根据题目条件判断利用哪一段来求自变量的值，进而解决实际问题．24．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．。
【优质文档】2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷与答案
----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．2．（5.00分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．23．（5.00分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f （x）=x﹣|x|C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．5．（5.00分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．6．（5.00分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．7．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．8．（5.00分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x9．（5.00分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④10．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4） D．（3，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=．12．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．13．（5.00分）已知向量，夹角为45°，且||=1，||=，则|2﹣|=．14．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．17．（12.00分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x•+y•．（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°时，求•的值．18．（12.00分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．20．（13.00分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．21．（14.00分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f （x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：cos（﹣1560°）=cos（1560°）=cos（360°×4+120°）=cos120°=cos （180°﹣60°）=﹣cos60°=﹣．故选：A．2．（5.00分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．3．（5.00分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f （x）=x﹣|x|C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x【解答】解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；故选：C．4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．【解答】解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故选：C．5．（5.00分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．【解答】解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选：A．6．（5.00分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：因为向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），所以，所以，因为，所以11+3λ=0，所以．故选：D．7．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．8．（5.00分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x【解答】解：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin，再向右平移个单位，得到y=sin=sinx故选：A．9．（5.00分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．10．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4） D．（3，5）【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2．由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，故有，求得＜a＜，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N={0，1，3，9} ．【解答】解：∵M={0，1，3}，∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，则M∪N={0，1，3，9，}．故答案为：{0，1，3，9}．12．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（﹣2，1] ．【解答】解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]13．（5.00分）已知向量，夹角为45°，且||=1，||=，则|2﹣|=．【解答】解：∵向量夹角为45°，且，∴=4﹣4•+=4×12﹣4×1×cos45°+=2，∴=；故答案为：．14．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【解答】解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f （0）=sin=，故答案为：．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1）．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为C，切点为A（2，0），连接CP过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ∵⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（1，1）∴∠ACP=1，可得θ=+1，可得cosθ=cos（﹣1）=﹣sin1，sinθ=sin（﹣1）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1），所以的坐标是（1﹣sin1，1﹣cos1），故答案为：（1﹣sin1，1﹣cos1）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1），∴；∴．（2）f（x）=（﹣）•=﹣==﹣2==﹣，令．所以f（x）的单调递增区间是．17．（12.00分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x•+y•．（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°时，求•的值．【解答】解：（1）∵，∴，即，∴，即，（2）∵，∴，即∴∴，==18．（12.00分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．19．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，由f（1）=0，得﹣1+2a﹣2a+b=0，解得：b=1．…（2分）又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；所以，．…（6分）（2）∵f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a．①当a≤0时，f max=f（0）=﹣2a+1=2，则；②当0＜a＜3时，，则，或（舍去）；③当a≥3时，f max=f（3）=4a﹣8=2，则（舍去）；综上：或．…（12分）20．（13.00分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是．故，k∈Z又0＜φ＜π，故．…（3分）所以，．即f（x）在区间上的最大值是1，最小值是．…（7分）（2）由已知得，，所以，=…（13分）21．（14.00分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f （x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷(三)及答案
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷（三）（时间：60分钟 满分：100分）一、填空题（每题3分，共30分）1. 据统计，我国汉族人口是十一亿三千七百三十九万人，写作______，省略“亿”位后面的尾数约是______。
2. 5时24分＝______时，38吨＝______千克。
3. 4:8＝15:______＝______%＝______折＝244. 在一个口袋里有2个红球和8个白球，从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性是______，摸出黄球的可能性是______。
5. 六（1）班举行跳绳比赛，第一组有8个人，成绩分别是88个，94个，88个，98个，107个，94个，116个，88个。
这组数据的中位数是______，众数是______。
6. 某商品现价18元，亏了25%，如果想盈利25%，应该按______元出售该商品。
7. 如右图所示，ABC △是等腰直角三角形，D 是半圆弧的中点；BC 是半圆直径。
已知10AB BC ==厘米，则阴影部分面积是______。
8. 通过放大镜看一个20︒的角，这个角______20︒。
？（大于、小于或等于）9. 一件工作，甲单独做2小时完成，乙单独做2.5小时完成，丙单独做3小时完成，那么甲、乙、丙三人的工作效率比是______。
10. 如下图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以把圆分成()22+块，3条直线最多可以把圆分成()223++块。
以此类推，4条直线最多可以把圆分成______块，n 条直线最多可以把圆分成______块。
二、选择题（每题2分，共10分）1.将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成8段需要（）分钟。
A.10B.12C.14D.162. 要反映小红六年级数学成绩的变化情况，应选择（）。
A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图D.直方图3. 左图由7个立方体叠加的几何体，从上面观察，可画出的平面图形是（）。
2015年合肥市168中学最后一卷
“合肥市168中学”2015年高三学生最后一卷理科数学一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数z 满足12i i z+=,则z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列结论正确的是A.已知向量,a b 为非零向量,则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<”B.对于命题p 和q ,“p 且q 为真命题”的必要而不充分条件是“p 或q 为真命题”C.命题“若21x =,则1x =或1x =-”的逆否命题为“若1x ≠或1x ≠-,则21x ≠”D.若命题2:,10p x R x x ∃∈-+<,则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>3.已知集合*{|5|23|}A x x N =--∈,则集合A 的非空真子集的个数为A.62B.14C.510D.512 4.设动点(,)x y 满足不等式组(1)(4)03x y x y x -++-≥⎧⎨≥⎩,则22x y +的最小值是C.172D.10 5.执行如图所示的程序框图(算法流程图),当输出的S 的值为10-时,0S 的值是 A.6 B.8C.12D.106.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 若2A B =,则c b的取值范围是 A.(1,3) B.(2,3) C.(0,3) D.(1,2)7.已知数列{}n a 满足:*1112,()1n n n a a a n N a ++==∈-,则122015a a a 的值是A.6-B.3C.2D.18.根据抛物线的光学原理,在焦点处的点光源发出的光经抛物面反射后,将平行于对称轴射出,如图,抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,设过抛物线C 上的点P 的切线为l ,现过原点作l 的平行线交直线PF 于M ,则||MF 等于A.pB.2p C.38pD.2p 9.如图,已知点(2,0)P ,正方形ABCD 内接于圆22:2,,O x y M N +=分别为边,AB BC 的中点,当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时,PM ON ⋅的取值范围是A.[1,1]-B.[C.[2,2]-D.[22- 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且(2)()f x f x +=-,若1()02f =,则方程()0f x =在区间(0,4)内解的个数的最小值是A.6B.5C.4D.3二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.11.在210(1)x x -+的展开式中,含3x 项的系数是 12.已知1xy =且102y <<,则22164x y x y+-的最小值是 13.在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中,E 是棱1BB 上的动点,F 是棱CD 的中点,则四面体11A D EF 体积的最大值是14.设函数2()|21|f x x x =--,若1a b >>且()()f a f b =,则ab a b --的取值范围是15.已知曲线22:1(,,Ax By Cxy A B C Ω++=为常数),有下列命题:①若A B =,则曲线Ω关于直线y x =对称; ②若0C ≠,则曲线Ω一定是一条封闭曲线;③若0C =,则存在,A B ,使过点(0,1)与曲线Ω有且只有一个交点的直线有4条;④若0C =,则直线0x y m ++=与曲线Ω相交弦的中点轨迹可能是直线.其中的正确命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分) 设函数1()cos cos()cos ,(0,)2f x x x θθθπ=--∈,已知当3x π=时,()f x 取得最大值. (Ⅰ)求θ的值;(Ⅱ)设3()2()2g x f x =求函数()g x 在[0,]3π上的最小值.17(本小题满分12分)某项选拔考试共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一,二,三轮问题的概率分别为432,,555,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的概率分布列与数学期望.18(本小题满分12分)已知函数()ln g x ax x =-,其中a R ∈.(Ⅰ)当1a =时,求()g x 在点(1,(1))g 处的切线方程,并判断切线与()g x 的图像的交点个数; (Ⅱ)若()g x 存在零点,求实数a 的取值范围.19(本小题满分13分)在等腰梯形ABCD 中,1//,,2AD BC AB AD BC a E ===是BC 的中点,将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆,使平面1B AE ⊥平面AECD .(Ⅰ)若F 为1B D 的中点,求证:1//B E 平面ACF ;(Ⅱ)求平面1ADB 与平面1ECB 所成二面角的正弦值.20(本小题满分13分)如图,已知椭圆22143x y +=上任意一点P (异于顶点)处的切线与该椭圆在长轴顶点,A B 处的切线分别交于点,M N ,该椭圆的左,右焦点分别是12,F F ,直线12,MF NF 的斜率分别是12,k k .(Ⅰ)求12k k ⋅的值;(Ⅱ)求证:12,,,F F M N 四点共圆.21(本小题满分12分) 已知函数31()ln(1),()f x x g x x=+=,数列{},{},{}n n n a b c 满足:1(),(),n n n n a g x dx b g n +==⎰ *()1(),,n n n c g n n N S T =+∈分别是数列{},{}n n a b 的前n 项和.(Ⅰ)求证:42()()n S f x x g x ⋅<⋅对任意0x >及任意*n N ∈成立;;(Ⅱ)若1n m T m+<对任意*n N ∈成立,求整数m 的最大值; (Ⅲ)若数列{}n c 的前n 项的积为n H ,求证:52n H <.(参考数据:62.71 2.72,1.19 1.2)e T <<<<。
安徽省合肥168中学1415学年度高二上学期期末——数学(理)数学(理)
安徽省合肥168中学2014—2015学年度上学期期末考试高二数学理试题考试时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题 满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线和互相垂直，则（ ）A ．B ．C ．或D ．或2．已知圆的一条斜率为的切线为，且与垂直的直线平分该圆，则直线的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下面说法正确的是（ ） A ．命题“01,2≥++∈∃x x R x 使得”的否定是“01,2≥++∈∀x x R x 使得”B ．实数是成立的充要条件C ．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题D ．命题“若，则”的为真命题5．若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线，且，；④存在两条异面直线．那么可以是的充分条件有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6．正三棱柱中，底面边长为，若异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧棱长为（ ）． A ．或 B ． C ． D ． 7．已知命题函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为，命题不等式对一切正实数均成立．如果，命题“”为真命题，命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）． A ． B ． C ． D ．无解 8．已知抛物线上的一定点和两个动点、，当时，点的横坐标的取值范围是（ ） A ． B ． C ．33(,3][1,)(,)22-∞-+∞ D ． 9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10．过椭圆上一点作圆的两条切线，为切点，过的直线与轴、轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积的最小值为( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若，则此球的表面积为 ．12．已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的上支上，则的最小值为 ．13．一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．14．已知平面上点22{(,)|(2cos )(2sin )16()}P x y x y R ααα∈-+-=∈，则满足条件的点在平面上所组成的图形的面积为 ．15．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作 ①若点，线段:30(35)l x y x --=≤≤，则； ②设是长为的定线段，则集合所表示的图形面积为；③若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合12{|(,)(,)}{(,)|0}D P d P l d P l x y x ====； ④若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合2212{|(,)(,)}{(,)|0}D P d P l d P l x y x y ===-=．其中正确的有 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷(二)及答案
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷（二）（时间：60分钟 满分100分）一、选择题（每题3分，共15分）1.一根蜡烛原长20㎝，点燃后每小时燃烧5㎝，则燃烧时剩下的高度h ㎝与燃烧时间t （小时）之间的关系用图表示为（ ）。
2.下列图形中，（ ）不是轴对称图形。
A.直角三角形B.五角星C.等腰三角形D.圆3.一个非零自然数A 除以一个假分数，商一定（ ）A 。
A.小于B.大于C.等于D.无法判断4.a ，b 是两个自然数，如果7a b ÷=，下列说法不正确的有（ ）。
A.a 是b 的倍数B.a 能被b 整除C.a 是b 的7倍D.a ，b 最大公约数是75.甲、乙两根同样长的绳子，甲剪去它的58，乙剪去58米，则剩下的绳子的长短关系是（ ）。
A.甲比乙长 B.甲比乙短 C.相等 D.无法比较二、填空题（每题3分，共30分）1.光明小学为学生统一编学号，设定尾数1为男生，0为女生，9913510表示“1999年入学的一年级三班的51号学生，该生为女生”，那么9731041，表示该生是（ ）年入学的，是（ ）年级（ ）班的，学号是（ ）号，该生是（ ）。
2.圆的直径由6厘米增加到10厘米，圆的面积增加了（ ）平方厘米。
3.一年级六班今天到校57人，有3人请假。
一年级六班今天出勤率是（ ）。
4.如果※表示一种运算符号，其意义2a b a b =-※，则()115.53=※※（ ）。
5.环形的内圆周长是31.4，环宽2，那么环形的面积为（ ）。
6.如图所示，将它折成一个正方体。
相交于同一顶点的三个面的点数之和最大的值是（ ）。
7.一所学校男学生与女学生的比是4∶5，女学生比男学生多（ ）%。
8.一个运输队包运输1998套玻璃茶具，运输合同规定：每套茶具运费1.6元，每损坏一套茶具，不仅不得运费，还要从总费中扣除赔偿费18元。
结果这个运输队实际得到运费3059.6元，那么，在运输过程中一共损坏了（ ）套茶具。
安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学(文)试卷 Word版含解析
安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．设x∈R，“复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b 3．已知x与y之间的几组数据如下表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则与b，与a的大小为（） A．＞b，＞a B．＞b，＜a C．＜b，＞a D．＜b，＜a 4．△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定 5．动圆M经过双曲线x2﹣=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（） A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x 6．设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（） A．B．C．D． 7．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（） A．0 B． 6 C．7 D．8 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 9．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（9）+f（10）=（） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 1 10．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数： ①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．命题“对?x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是． 12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为． 14．已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是． 15．下列说法中 ①若=，则点O是△ABC的重心 ②若点O满足：，则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的内心． ④若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的外心． 其中正确的是． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1． （Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小； （Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长． 17．安徽省文科2015届高考数学试题考生一致认为比较简单，从而好成绩的取得不仅与知识掌握程度有关更与细节的把握程度有关（非知识错误）！学校就数学学科考试上是否有失误从本届文科毕业生中随机调查了100人，其中男生36人，有失误的学生中男生14人，女生16人． （1）问：你有多大的把握认为细节的把握程度与性别有关？ （2）为了进一步调查考试中易犯哪些非知识错误，现用分层抽样的方法从100人中抽取样本容量为10的样本，求从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 附：（1）临界值表： p（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 10.828 （2）K2=． 18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由． 19．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围． 20．数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2）． （1）求a2的值； （2）求数列{Sn}的通项公式； （3）设f（n）=，若存在正数k，使f（n）≥k对一切n∈N*都成立，求k的最大值． 21．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（0，1），Q（0，2），椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T 在椭圆C上． 安徽省合肥168中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．设x∈R，“复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数”是“lg|x|=0”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据充分必要条件的对于进行判断即可． 解答：解：若复数z=（1﹣x2）+（1+x）i为纯虚数， 则，解得：x=1， ∴lg|x|=lg1=0，是充分条件， 若lg|x|=0，则：x=±1， x=1时，复数z是纯虚数， x=﹣1时，z=0，不满足条件，不是必要条件， 故选：A． 点评：本题考查了充分必要条件，考查复数的定义，是一道基础题． 2．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b 考点：对数值大小的比较． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 解答：解：∵a=20.5＞1，0＜b=logπ3＜1，c=log2sin＜0， ∴a＞b＞c． 故选：C． 点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题． 3．已知x与y之间的几组数据如下表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则与b，与a的大小为（） A．＞b，＞a B．＞b，＜a C．＜b，＞a D．＜b，＜a 考点：线性回归方程． 专题：概率与统计． 分析：利用数据求出回归直线方程的系数，利用数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程y=bx+a，比较可得结论． 解答：解：由题意可知n=4，===4.5，===3.5， 则==，==3.5﹣0.7×4.5=0.35， 过（4，3）和（5，4）的直线方程为：， 即y=x﹣1，则b=1，a=﹣1， 则＜b，＞a， 故选：C． 点评：本题考查线性回归方程的求解，以及由两点求直线方程的应用，比较基础． 4．△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定 考点：三角形的形状判断． 专题：解三角形． 分析：由正余弦定理结合已知条件可得角C为锐角，但A、B两角不确定，无法判断三角形的形状． 解答：解：∵sin2A+sin2B＞sin2C， ∴由正弦定理可得a2+b2＞c2， ∴cosC=＞0， ∴角C为锐角， 但A、B两角不确定，故无法判断三角形的形状， 故选：D 点评：本题考查三角形形状的判断，属基础题． 5．动圆M经过双曲线x2﹣=1的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（） A．y2=8x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=﹣4x 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出双曲线的左焦点（﹣2，0），设M（x，y），动圆的半径为r，运用直线和圆相切的条件d=r，以及圆的半径的定义，列出方程，化简即可得到M的轨迹方程． 解答：解：双曲线x2﹣=1的左焦点为（﹣2，0）， 设M（x，y），动圆的半径为r， 由动圆M与直线x=2相切，可得|x﹣2|=r， 又动圆M经过双曲线的左焦点， 则=r， 即有=|x﹣2|， 两边平方，化简可得y2=﹣8x． 故选B． 点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查轨迹方程的求法：直接法，运用直线和圆相切的条件和圆的定义是解题的关键，考查化简的运算能力，属于基础题． 6．设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（） A．B．C．D． 考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质． 分析：先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5． 解答：解：由a2a4=a32=1，得a3=1， 所以S3==7， 又q＞0，解得=2，即q=． 所以a1==4， 所以=． 故选B． 点评：本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式． 7．已知实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m等于（） A．0 B． 6 C．7 D．8 考点：简单线性规划的应用． 专题：计算题． 分析：由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值． 解答：解：画出x，y满足的可行域如下图： 可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值， 故， 解得， 代入x﹣y=﹣2得 故选：D 点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值． 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考点：循环结构． 专题：算法和程序框图． 分析：框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值． 解答：解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5． 此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足， 即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B． 点评：本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题． 9．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（9）+f（10）=（） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D． 1 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论． 解答：解：∵f（x+2）为奇函数， ∴f（﹣x+2）=﹣f（x﹣2）， ∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣x+2）=f（x﹣2）=﹣f（x﹣2）， 即f（x+4）=﹣f（x）， f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x）， 则f（9）=f（1）=1， f（10）=f（2）， 当x=0时，由f（﹣x+2）=﹣f（x﹣2）， 得f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（2）， 即2f（2）=0， 则f（2）=0， ∴f（9）+f（10）=0+1=1， 故选：D． 点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键． 10．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数： ①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点：函数的概念及其构成要素． 分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f （x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f （x2）+x2f（x1）恒成立， ∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立， 即函数f（x）是定义在R上的增函数． ①y=﹣x3﹣x2+x﹣2；y'=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，则函数在定义域上单调递增． ②y=2x﹣（sinx+cosx）；y'=2﹣（cosx﹣sinx）=2+sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件． ③y=ex+1为增函数，满足条件． ④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件． 故选C． 点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键． 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．命题“对?x≥0，都有x2+x﹣1＞0”的否定是?x≥0，都有x2+x﹣1≤0． 考点：命题的否定． 专题：简易逻辑． 分析：根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 解答：解：命题为全称命题， 则命题的否定为：?x≥0，都有x2+x﹣1≤0， 故答案为：?x≥0，都有x2+x﹣1≤0 点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为8﹣π． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由三视图知几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个个圆柱，根据三视图的数据求出正方体的棱长、圆柱的高和底面上的半径，代入体积公式计算即可． 解答：解：由三视图可知，该几何体为正方体在相对的两个顶点处分别挖去两个个圆柱， 由三视图中的数据可得：正方体的棱长为2，圆柱的高为2，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==8﹣π， 故答案为：8﹣π． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 13．已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为2． 考点：基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：利用基本不等式的性质即可得出． 解答：解：∵x2+y2﹣xy=1， ∴（x+y）2=1+3xy， 化为（x+y）2≤4， ∴x+y≤2， ∴x+y的最大值为2． 故答案为：2． 点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 14．已知正数a，b，对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立，则实数x的取值范围是x≤﹣1或x≥2． 考点：函数恒成立问题． 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：法一：通过因式分解，原不等式可化简为x2﹣x﹣（a+b）＞0，问题可化为x2﹣x＞（a+b）max；法二：构造函数h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t，由题意可知h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t在（0，1）单调递增，借助二次函数的性质可得关于x的不等式． 解答：解法一：化简ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2， 得（a﹣b）x2﹣（a﹣b）x﹣（a2﹣b2）＞0， ∵a＞b，∴x2﹣x﹣（a+b）＞0， 又a，b∈（0，1），∴x2﹣x≥2，解得x≤﹣1或x≥2． 故答案为：x≤﹣1或x≥2． 法二：ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2可化为a（x2﹣x）﹣a2＞b（x2﹣x）﹣b2， 令h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t， ∵对任意a＞b且a，b∈（0，1）不等式ax2﹣ax﹣a2＞bx2﹣bx﹣b2恒成立， ∴h（t）=﹣t2+（x2﹣x）t在（0，1）单调递增， ∴对称轴t=，解得x≤﹣1或x≥2， 故答案为：x≤﹣1或x≥2． 点评：本题考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，法一转化为了函数最值解决，而法二则通过构造函数转化为函数的单调性处理，细心观察式子的特点并能合理转化是解题关键． 15．下列说法中 ①若=，则点O是△ABC的重心 ②若点O满足：，则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的内心． ④若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，点P的轨迹一定过△ABC的外心． 其中正确的是①②③④． 考点：向量的线性运算性质及几何意义． 专题：平面向量及应用． 分析：①若=，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，由于=，即可判断出正误； ②设，，，则=，=，=．由已知可得：+=+=，化为==，利用向量垂直与数量积的关系即可判断出正误． ③由已知化为=λ，可知点P一定在∠BAC的平分线上，即可判断出正误． ④由已知可得：=λ，设D为边BC的中点，根据正弦定理：，因此与共线，而与共线，即可判断出正误． ⑤由已知可得：=λ，?=+=0，可得，即可判断出正误． 解答：解：①若=，取BC中点D，连接并延长OD至E，使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形，∴=，∴A，O，D三点共线，且||OA=2|OD|，∴点O是三角形ABC的重心，正确； ②设，，，则=，=，=．∵点O满足：，∴+=+=，化为==，∴，，，则点O是△ABC的垂心，正确．则点O是△ABC的垂心． ③若动点P满足，∴=λ，因此点P一定在∠BAC的平分线上，∴点P的轨迹一定过△ABC 的内心，正确． ④若动点P满足，∴=λ，设D为边BC的中点，根据正弦定理：，即=，∴与共线，而与共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心． ⑤若动点P满足，∴=λ，∵?=+=0， ∴，因此点P的轨迹一定过△ABC的垂心，故不正确． 故答案为：①②③④． 点评：本题综合考查了向量的运算性质、数量积运算性质、三角形的重心垂心内心外心等判定定理与性质定理、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1． （Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小； （Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长． 考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A； （Ⅱ）由于△BCD面积为，得到 ?BC?BD?sin=，得到BD，再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos ，再由DA=DC，即可得到边AB的长． 解答：解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=， 由正弦定理得到：， 解得sin∠BDC==， 则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=． 又由DA=DC，则∠A=． （Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为， 则?BC?BD?sin=，解得BD=． 再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos=1+﹣2××=， 故CD=， 又由AB=AD+BD=CD+BD=， 故边AB的长为：． 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于中档题． 17．安徽省文科2015届高考数学试题考生一致认为比较简单，从而好成绩的取得不仅与知识掌握程度有关更与细节的把握程度有关（非知识错误）！学校就数学学科考试上是否有失误从本届文科毕业生中随机调查了100人，其中男生36人，有失误的学生中男生14人，女生16人． （1）问：你有多大的把握认为细节的把握程度与性别有关？ （2）为了进一步调查考试中易犯哪些非知识错误，现用分层抽样的方法从100人中抽取样本容量为10的样本，求从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 附：（1）临界值表： p（k2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 10.828 （2）K2=． 考点：独立性检验的应用． 专题：应用题；概率与统计． 分析：（1）列出2×2列联表，计算k2，与临界值比较，即可得出结论； （2）确定基本事件的个数，即可求出从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率． 解答：解：（1）2×2列联表为 有失误没有失误合计 男生14 22 36 女生16 48 64 合计30 70 100 k2=≈2.12＞2.072， 故有85%的把握认为细节的把握程度与性别有关； （2）从这10人中任取两人，基本事件45，从这10人中任取两人，非知识错误3人，满足要求21个， 故从这10人中任取两人，恰有一人犯有非知识错误的概率为． 点评：本题考查独立性检验知识，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由． 考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）充分利用正三棱柱的性质得到CC1⊥底面ABC，得到CC1⊥BD，只要再证明BD垂直于AC即可； （Ⅱ）连接B1C交BC1于O，连接OD，D为AC 中点，得到AB1∥OD，利用线面平行的判定定理可得； （Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；只要利用线面垂直的判定定理和性质定理证明． 解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形， ∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC， ∵BD?底面ABC，∴CC1⊥BD， 又底面为等边三角形，D为线段AC的中点． ∴BD⊥AC， 又AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图 则O为B1C的中点， ∵D是AC的中点，∴AB1∥OD， 又OD?平面BC1D，OD?平面BC1D ∴直线AB1∥平面BC1D； （Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上； 证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E， 由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1， 而CE?平面ACC1A1，所以BD⊥CE， 由CE⊥C1D，BD∩C1D=D， 所以CE⊥平面BC1D， DM?平面BC1D， 所以CE⊥DM． 点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用证明线线垂直，熟练运用定理是关键． 19．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0． （Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若?x∈[，1]，使得对?t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的定义域及其求法；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域； （Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论． 解答：解：（Ⅰ）由可得， 由条件可得， 把x=﹣1代入x+y=2可得，y=1， ∴，∴m=2，， ∴，（0，+∞）； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减， ∴f（x）在上的最小值为f（1）=1， 故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立， 令m（t）=， 易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增， 而，， ∴2a≥m（t）max=g（2） ∴，即a的取值范围为． 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 20．数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=（n≥2）． （1）求a2的值； （2）求数列{Sn}的通项公式； （3）设f（n）=，若存在正数k，使f（n）≥k对一切n∈N*都成立，求k的最大值． 考点：数列递推式；数列的求和． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（1）通过an=（n≥2）直接代入计算即可； （2）利用an=Sn﹣Sn﹣1代入an=（n≥2），整理得数列{}是以=1为首项、以2为公差的等差数列，进而计算即得结论； （3）通过化简可知=＞1，问题转化为fmin（n）≥k，进而计算可得结论． 解答：解：（1）∵a1=1，an=（n≥2）， ∴a2=， 解得； （2）∵当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1， ∴Sn﹣Sn﹣1=， ∴（Sn﹣Sn﹣1）（2Sn﹣1）=2， ∴Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1， ∴﹣=2， 即数列{}是以=1为首项、以2为公差的等差数列， ∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1， ∴Sn=； （3）∵Sn=，f（n）=， ∴=====＞1， ∴f（n）在n∈N*上递增， 要使f（n）≥k恒成立，只需fmin（n）≥k， ∵fmin（n）=f（1）=， ∴0＜k≤， ∴kmax=． 点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（0，1），Q（0，2），椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T在椭圆C上． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）利用椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离可知b=，利用e2==可知a=2，进而可得结论； （Ⅱ）通过设点M（x0，y0）、N（﹣x0，y0）、T（x，y），联立直线PM、QN的方程得x0=、y0=，通过将点M、N坐标代入椭圆C方程、化简即得结论． 解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离， ∴b==， 又∵e2===， ∴a=2， ∴椭圆C的方程为：； （Ⅱ）证明：依题意可设点M（x0，y0）、N（﹣x0，y0）、T（x，y）， 则直线PM的方程为：y=x+1， 直线QN的方程为：y=﹣x+2， 联立直线PM、QN的方程，得：x0=，y0=， ∵点M、N均在椭圆C上， ∴， ∴， 整理得：+=（2y﹣3）2， ∴+﹣12y+8=4y2﹣12y+9， 即， ∴点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷(一)及答案
（时间：60分钟满分100分）
一、选择题（每题
1．学校建校舍计划投资45万元，实际投资40万元。实际投资节约了（）。
A．ll.1％B．12.1％C．12.5％D．12.0％
2．大桥乡修一条长2100米的水渠，已修了5天，平均每天修240米。余下的任务要在3天内完成，平均每天应修（）米。
A．300B．350C．250D．200
3．第四季度比第二季度增长______％。
三、计算题（每题
1．
2．
3．6.11＋9.22＋8.33＋7.44＋5.55＋4.56＋3.67＋2.78＋1.89
4． …
5．
四、解答题（每题
1．一只木箱子长9分米，宽6分米，高4分米，做这样的木箱10只（有盖），至少需用木板多少平方米？
2．甲、乙两车同时从相距520千米的两地相向而行，5小时相遇，已知甲车每小时比乙车每小时多行6千米。甲乙两车每小时各行多少千米？
≈5.83（万元）
1998年平均每朋的产值是5.83万元；
3.（25－10）÷10
＝15÷10
＝1.5
＝150%
第四季度比第二季度增长150%。
故答案为：1.一，二2.5.83 3.150。
三、1.
＝8－2
＝6
2.
3.6.11＋9.22＋8.33＋7.44＋5.55＋4.56＋3.67＋2.78＋1.89
A．提高了B．降低了C．没变D．没答案
8．装订一批同样的练习本，原计划每本装16页，可以装订250本，如果要装订成200本，每本应装（）页。
A．18B．19C．20D．21
9．一个圆柱形水桶，底面直径和高都是6分米，这个水桶可盛水（）立方分米。
A．169.56B．1695.6C．16.956D．16956
安徽省合肥市第一六八中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题
A． B． C． D．
5.为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
6.给出下列各函数值：① ；② ；③ ；④ .其中符号为负的是( )
A．①B．②C．③ D．④
7.设 为 所在平面内一点 ，则（ ）
合肥一六八中学2015-2016学年第一学期高一期末试卷
数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. ， 且 ,则 的值是( )
A. B. C. D.
2.函数 的定义域为( )
A. B. C． D.
3.若方程 的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是( )
A. B. C． D.
A． B. C. D.
12.设向量 ， 满足： ， ， ．以 ， ， 的模 为边长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为().
A． B． ． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设 和 分别是角 的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
① ；② ； ③ ；④ ，
其中正确的是______________________。
（1）试求 的解析式；
（2）将 图象上所有点 的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），然后再将新的图象向 轴正方向平移 个单位，得到函数 的图象．写出函数 的解析式.
19.(本题12分) 如图在长方形 中， 是 的中点， 是线段 上的点， .
（1）若 是 的中点，求证： 与 共线；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 与 垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出 点的位置；
2015-2016年安徽省合肥168中高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项）.1．（5分）设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程3．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③B．②④C．③④D．①②③5．（5分）以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（）A．y2=4x B．C．D．6．（5分）在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）若双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线和圆x2+y2﹣6y+8=0相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．3D．8．（5分）过抛物线：y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC 和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π10．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．211．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3C．D．12．（5分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是定直线a上定点，且AP与a所成角为θ（θ为锐角），点A到平面α距离为d，则动点P的轨迹方程为（）A．tan2θx2+y2=d2B．tan2θx2﹣y2=d2C．D．二、填空题（共20分，每题5分）13．（5分）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）14．（5分）直线y=x+m与圆x2+y2=4交于不同的两点M、N，且，其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为．16．（5分）已知正四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转，CD∥平面α．若AB=2，VA=，则正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．（10分）设命题p：“若a≥0，则x2+x﹣a=0有实根”．（Ⅰ）试写出命题p的逆否命题；（Ⅱ）判断命题p的逆否命题的真假，并写出判断过程．18．（10分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F，G分别为B1D，AE的中点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣ACB1的体积；（Ⅱ）证明：B1E∥平面ACF；（Ⅲ）证明：平面B1GD⊥平面B1DC．19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，点P坐标为（2，﹣1），过点P 作圆C的切线，切点为A、B．（1）求直线PA，PB的方程；（2）求切线长|PA|的值；（3）求直线AB的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．21．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．22．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年安徽省合肥168中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共60题，每题5分．每题仅有一个正确选项）.1．（5分）设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，若“xsinx＜1”，则“xsin2x＜1”若“xsin2x＜1”，则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件．故选B．2．（5分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．故选：C．3．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“￢p∨q”是假命题③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“p∨￢q”是假命题；其中正确的是（）A．②③B．②④C．③④D．①②③【解答】解：∵＞1，结合正弦函数的性质，易得命题p为假命题，又∵x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，∴q为真命题，故￢p是真命题，￢q是假命题；所以①p∧q是假命题，①错误；p∧￢q是假命题，②正确，③错误；命题“p∨￢q”是假命题，④正确；故答案为：②④故选：B．5．（5分）以双曲线的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（）A．y2=4x B．C．D．【解答】解：根据双曲线的方程知，该双曲线的中心为原点，右焦点为（，0）；∴抛物线方程可设为y2=2px；∴；∴；∴抛物线方程为．故选：B．6．（5分）在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，∴DB=．∴O（0，0，0），A（0，0，），B（0，，0），M（0，，），C（，0，0）．∴=（﹣，，）．取平面ABD的法向量=（1，0，0），∴CM与平面ABD所成角的正弦值===．故选：D．7．（5分）若双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线和圆x2+y2﹣6y+8=0相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．2C．3D．【解答】解：双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0又∵渐近线与圆x2+（y﹣3）2=1相切，∴点（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于半径1，即=1，解之得c=3a，可得双曲线离心率为e==3，故选：C．8．（5分）过抛物线：y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设A（x0，y0），则|AF|=2（），又|AF|=，∴，解得，，∵A（）在双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，∴，解得：，由a2+b2=c2，得，即，∴．故选：A．9．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC 和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB=3，AC=，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（﹣h）2，∴h=1，R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：C．10．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2B．4C．2D．2【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．11．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3C．D．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为，故选：D．12．（5分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是定直线a上定点，且AP与a所成角为θ（θ为锐角），点A到平面α距离为d，则动点P的轨迹方程为（）A．tan2θx2+y2=d2B．tan2θx2﹣y2=d2C．D．【解答】解：过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，作PB⊥y轴，连接AB，设P点坐标为：（x，y），由题意可得：∠APB=θ，AB=xtanθ，OB=y，AO=d．所以，由勾股定理可得：（xtanθ）2=d2+y2，整理可得动点P的轨迹方程为：tan2θx2﹣y2=d2，故选：B．二、填空题（共20分，每题5分）13．（5分）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：∵A是三角形内角，∴0＜A＜π首先“A＞”≠⇒“sinA＞”，如A=＞，而sinA=sin（π﹣）=sin＜sin=其次由“sinA＞”⇒＜A＜，故，“A＞”是“sinA＞”的必要不充分条件故答案为：必要不充分．14．（5分）直线y=x+m与圆x2+y2=4交于不同的两点M、N，且，其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是．【解答】解：设MN的中点为A，则OA⊥MN，并且2=+，∵||≥|+|，∴||≥2||，即为2≥2||，解得||≤1，∴O到直线MN的距离≤1，解得﹣≤m．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆+=1上，点P满足=（λ﹣1）（λ∈R），且•=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．【解答】解：∵=（λ﹣1），∴=λ，则O，P，A三点共线，∵•=72，∴||||=72，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y），B为点A在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为||cosθ==72×=72×≤72×=15．当且仅当|x|=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．故答案为：15．16．（5分）已知正四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转，CD∥平面α．若AB=2，VA=，则正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是[，4）．【解答】解：由题意，侧面上的高为=2，∴侧面的面积为=2，又由于底面的面积为2×2=4，当正四棱锥的高平行于面时面积最小是，∴正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是[，4），故答案为：[，4）．三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17．（10分）设命题p：“若a≥0，则x2+x﹣a=0有实根”．（Ⅰ）试写出命题p的逆否命题；（Ⅱ）判断命题p的逆否命题的真假，并写出判断过程．【解答】解：（I）命题的逆否命题是：若x2+x﹣a=0无实根，则a＜0；（II）∵x2+x﹣a=0无实根∴△=1+4a＜0，∴a＜﹣＜0，∴命题p的逆否命题是真命题．18．（10分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F，G分别为B1D，AE的中点．（Ⅰ）求三棱锥E﹣ACB1的体积；（Ⅱ）证明：B1E∥平面ACF；（Ⅲ）证明：平面B1GD⊥平面B1DC．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，AD∥EC且AD=EC，所以四边形ADCE为平行四边形，∴AE=DC=a，∴△ABE为等边三角形，∴∠AEC=120°，∴…（1分）连结B1G，则B1G⊥AE，又平面B1AE⊥平面AECD交线AE，∴B1G⊥平面AECD且…（2分）∴…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，∵AEDC为菱形，且F为B1D的中点，∴FO∥B1E，…（6分）又B1E⊄面ACF，FO⊂平面ACF，∴B1E∥平面AC F …（8分）（Ⅲ）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B1G⊥AE，B1G∩GD=G，∴AE⊥平面B1GD．…（10分）又AE∥DC，∴DC⊥平面B1GD，又DC⊂平面B1DC∴平面B1GD⊥平面B1DC．…（12分）19．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，点P坐标为（2，﹣1），过点P 作圆C的切线，切点为A、B．（1）求直线PA，PB的方程；（2）求切线长|PA|的值；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）易知切线斜率存在，设过P点圆的切线方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0．∵圆心（1，2）到直线的距离为，∴=，解得k=7，或k=﹣1，故所求的切线方程为7x﹣y﹣15=0，或x+y﹣1=0（2）在Rt△PCA中，∵|PC|==，|CA|=，∴|PA|2=|PC|2﹣|CA|2=8．∴过点P的圆的切线长为2.（3）容易求出k PC=﹣3，所以k AB=，如图，由CA2=CD•PC，可求出CD==，设直线AB的方程为y=x+b，即x﹣3y+3b=0由=，解得b=1或b=（舍）所以直线AB的方程为x﹣3y+3=0．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．【解答】证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．∵AD⊥面PAB，∴AD⊥PB．又∵AD∩AN=N∴PB⊥平面ADMN．（4分）解：（2）连结DN，∵PB⊥平面ADMN，∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．在Rt△BDN中，，∴BD与平面ADMN所成的角是．（8分）（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF∴∠AFE就是二面角A﹣CD﹣E的平面角若∠AFE=45°，则AE=AF由AF•CD=AB•AD，可解得∴当时，二面角A﹣CD﹣E的平面角为45°．（12分）21．（13分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…（5分）联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，．…（9分）所以四边形OACB的面积等于2S△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）22．（13分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A （，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意第21页（共21页）。