关于高中数学圆锥曲线教学的研究
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关于高中数学圆锥曲线教学的研究
作者：杜强
来源：《南北桥·人文社会科学学刊》2014年第09期
【摘 要】圆锥曲线是高中数学中的教学重难点，充分体现了高中解析几何的基本思想和
相关知识。新课标对高中圆锥曲线相关内容作出了明确要求，这在很大程度上加大了教师“教”
和学生“学”的难度。与此同时，高中数学圆锥曲线教学现实情况存在一些不足，我们要针对性
的分析，找到完善的策略进行优化。
【关键词】高中数学 圆锥曲线 数学教学 教师 学生
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.09.160
新课改之后，高中数学新课标对圆锥曲线教学提出了新的要求，其考查的分值和难度都有
所提高。根据相关调查可知，数学教师和学生在高中数学圆锥曲线教学中都存在一些问题，
如：高中教师的教学方法受到传统教学的束缚；数学教师的思维方式不能很好地适应新课改和
学生的需要；由于圆锥曲线难度大，教师教学过程中让课堂枯燥、乏味，缺乏趣味性，让学生
无兴趣和没有信心学习圆锥曲线知识；有的高中生害怕不能学好圆锥曲线，就不听课；有的学
生受教师的特质的影响，不喜欢上圆锥曲线课等。这些问题的存在很大程度影响了圆锥曲线教
学，如果我们要想将高中圆锥曲线教学水平提高，不仅需要数学教师做出完善，而且还需要高
中生进行自我反思，进而提高高中数学圆锥曲线教学效果。本文将从研究高中圆锥曲线教学的
意义、高中数学圆锥曲线教学的调查分析和优化高中数学圆锥曲线教学的策略等这三个方面进
行分析。
一、研究高中圆锥曲线教学的意义
首先，圆锥曲线体现了高中解析结合的基本思想和方法。圆锥曲线的发现源于古希腊，古
希腊的人将几何学与圆曲线密切结合起来，进而将几何性质推广。17世纪，笛卡尔发明了坐
标系，这为代数法研究圆锥曲线奠定了条件。高中数学圆锥曲线教学内容是解析几何的重点，
体现了解析几何的思想和方法。通过坐标系知识、曲线和方程来对圆锥曲线的代数方程和几何
性质进行研究，这体现了数学中的“数性结合”的重要性。
其次，新课标的高中数学对圆锥曲线教学提出了明确的要求，对其教学有着推动作用。高
中数学新课标对圆锥曲线有明确的教学内容，如：需要了解圆锥曲线的实际背景；根据圆锥曲
线的相关过程，掌握其定义、标准方程和几何性质等；通过坐标法解决圆锥曲线的一些几何问
题和实际问题；通过圆锥曲线的知识掌握数形结合的相关思想等。
再者，高考数学明确了圆锥曲线的教学要求。圆锥曲线在高考中所占的比例很大，是每年
高考的重点题型。如：综合全国各省市的高考数学题可知，圆锥曲线考查的分值不低，考查的
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题型是选择题、填空题和解答题，解答题所占分值最高，这在高中数学教学中起着很重要的作
用。
最后，探究圆锥曲线的教学策略，有利于提高高中数学教学效率。圆锥曲线教学是高中数
学教学的核心部分，数学教师如何把握圆锥曲线的内容定位，如何设计和组织教学，提高学生
的兴趣，将教学方法进行完善，教学方式多元化，将数学知识用丰富有趣的方式展现出来，这
能够很好地促进学生对圆锥曲线的学习产生很大的积极性和主动性，进而优化高中圆锥曲线教
学。
二、高中数学圆锥曲线教学的调查分析
首先，高中数学圆锥曲线教学中教师的调查分析。第一，高中数学教师对圆锥曲线内容的
认识和态度分析。根据调查可知，大部分教师深刻认识到圆锥曲线内容教学的重要性，无论是
从数学思维培养方面，还是从高考要求来看，数学教师对圆锥曲线的地位认识很充分，从而更
有利于高中数学圆锥曲线教学的研究。然而，有的高中数学教师对圆锥曲线的学习思维方式有
明确的思路，但是其对高中生数学知识的理解没有给予肯定的支持，对学生学习圆锥曲线缺乏
信心。第二，高中数学教师对圆锥曲线教学的课堂要求和目标认定情况。根据调查可知，只有
少部分数学教师认真读过课标对圆锥曲线内容的要求，大部分数学教师很少阅读过相关要求；
少部分教师专研过教材中圆锥曲线的内容和相关例题，大部分教师都没有阅读过内容和例题
等。高中数学教师用自己已有的知识经验对学生进行教学，缺乏对新课标和教材变化的认识，
跟不上新版圆锥曲线内容的教学，不利于高中数学圆锥曲线教学水平的提高。第三，高中数学
教师对圆锥曲线的教学方法和课堂策略不一致。根据相关调查可知，大部分教师采用传统的教
学方法在讲授数学知识；很少有数学教师运用多媒体结合书本知识教学，不能有效地提高数学
教学趣味性，不能很好地调动学生学习积极性和主动性；大部分教师很少学习与数学课程有关
的“探究与发现”、“阅读和思考”、“信息技术应用”等方面的知识，不能有效地引导学生进行自
我探索和自主学习，不利于激发学生学习圆锥曲线知识的兴趣，忽视了培养高中生数学专业素
养的重要性。第四，高中数学教师在圆锥曲线教学中遇到的困难和疑惑。根据调查可知，大部
分教师认为数学课时不够用、教学难度很难把握、没有进行定期的教学培训和指导等，这不利
于高中数学教学；一般数学教师遇到教学困难时通过同时间的交流、自己想办法等，向上级请
教的很少，这是一种不好的教学现象。经过分析可知，大部分高中生对解析几何圆锥曲线的认
识不到位，不能将相关性质联系起来，不能做到量间的转换等。
其次，学生对高中数学圆锥曲线的态度和认识。培养学生正确的数学观是数学教育改革的
目标之一。数学观念是学生进行学习的重要组成部分，其涉及到学生学习数学知识、性质和学
习过程等方面的认识。根据相关调查可知，大部分学生对解析几何中圆锥曲线的方法没有归纳
和总结，不知道如何总结这章节的数学思想；少数学生对圆锥曲线进行了预习，大部分学生对
圆锥曲线的知识了解不多；大部分学生对圆锥曲线知识的学习排斥感很强烈，兴趣不高；大部
分学生对高中圆锥曲线知识的学习情绪比较消极等。
三、优化高中数学圆锥曲线教学的策略
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高中数学圆锥曲线教学是高中教师和学生面对的一个重要知识点，其不仅需要教师进行完
善，而且还需要学生进行自我反思，进而优化高中数学教学效果。
首先，完善高中数学教师的相关不足。第一，数学教师应精心设置教学情境，激发学生学
习数学的兴趣。第二，教师需引导学生主动探究知识，提高学生的数学思维品质。第三，数学
教师积极让学生参与教学过程，提高其实践动手能力。第四，关注学生的思想动态，加强数学
思想方法的渗透。第五，数学教师应注重丰富教学内容，强化学生的感官认知，吸引学生的上
课注意力。
其次，加强学生对圆锥曲线知识的认识。如：让学生明确了解到高考考试的重难点；学生
要学会自我调节，相信自己，增加学习解析几何的自信心等。
要想提高高中数学圆锥曲线教学水平，不仅需要我们了解其意义和调查情况，而且还要找
到对应的策略进行优化。
圆锥曲线在高考数学中的应用
圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。
在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。
一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。
以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。
二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。
在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。
例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。
则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。
2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。
其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。
例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。
上海地区高中数学教学论文：关于有心圆锥曲线的“垂径定理”
上海地区教学论文：关于有心圆锥曲线的“垂径定理”；定义：.圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：定理：“已知直线l 与曲线C ：221x y m n+=交于,A B 两点，AB 的中点为M ，若直线AB 和OM (O 为坐标原点)的斜率都存在，则AB OM n k k m ⋅=-”，这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.例1：证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；证明 设11220012(,),(,),(,)()A x y B x y M x y x x ≠2211222211x y m n x y mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得 12121212()()()()0x x x x y y y y m n +-+-+=注意到 1201202,2x x x y y y +=+=有 00121222()0()x y y y m n x x -+=-012012y y y n x x x m -∴=--即AB OM n k k m ⋅=-例2：利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：① 过点(1,1)P 作直线l 与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，求AB 的中点M 的轨迹W 的方程；② 过点P (1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1(0)C kx y k '+=≠交于E 、F 两点，是否存在这样的直线l '使点P 为线段EF 的中点？若存在，求直线l '的方程；若不存在，说明理由. 解：①设1(,),,1AB OM y y M x y k k x x -==-则 由垂径定理，12AB OM k k ⋅=-即 1112y y x x -=-- 化简得 22220x y x y +--=当AB 与x y 或轴平行时，M 的坐标也满足方程.故所求AB 的中点M 的轨迹W 的方程为22220x y x y +--=；② 假设过点P(1,1)作直线l '与有心圆锥曲线22:1C kx y '+=交于E 、F 两点，且P为EF 的中点，则EF OP k k k⋅=- 由于1,OP k = EF k k ∴=-直线:(1)1l y k x '=--+，即1y kx k =-++，代入曲线C '的方程得22(1)1kx kx k +-++=即 2(1)2(1)(2)0k k x k k x k k +-+++=由 2224(1)4(1)(2)0k k k k k ∆=+-++> 得1k <-. 故当1k <-时，存在这样的直线，其直线方程为1y kx k =-++；当1,0k k ≥-≠且时，这样的直线不存在.上海大屯一中zhangtaishu。
高中生在圆锥曲线学习中出现的典型错误及其成因分析
高中生在圆锥曲线学习中出现的典型错误及其成因分析高中生在圆锥曲线学习中出现的典型错误及其成因分析圆锥曲线作为高中数学课程的一部分，是较为复杂且抽象的内容之一。
在学习圆锥曲线的过程中，高中生常常会出现一些典型的错误。
这些错误可能来自于不同的成因，包括学习方法不正确、概念理解不清晰以及数学思维能力欠缺等。
在本文中，我们将对高中生在圆锥曲线学习中常见的典型错误进行分析，并探讨其成因。
典型错误一：混淆焦点与顶点的概念在圆锥曲线的学习中，焦点与顶点是两个重要概念。
然而，许多高中生常常将焦点与顶点混淆，无法正确区分二者的概念与作用。
焦点是指在圆锥曲线上的一个特殊点，而顶点则是圆锥曲线的最高或最低点。
混淆这两个概念的原因可能是对定义的理解不够清晰，或者在实际操作中没有正确使用这两个概念。
典型错误二：误以为所有圆锥曲线的焦点在x轴上另一个常见的错误是，许多高中生错误地认为所有的圆锥曲线的焦点都在x轴上，而忽略了其他可能的位置。
实际上，焦点的位置取决于圆锥曲线的方程，可在x轴上、y轴上或者和两轴都不重合的位置上。
这种错误可能源于对焦点概念的模糊理解，以及对圆锥曲线的不同类型和方程的不熟悉。
典型错误三：困惑于椭圆与双曲线椭圆和双曲线是两种常见的圆锥曲线。
然而，许多高中生会在这两者之间产生困惑，无法准确区分和辨别。
椭圆是一个封闭的曲线，而双曲线则是一个分离的曲线。
困惑的原因可能是对椭圆和双曲线的定义和性质不了解，以及在绘制图形时没有正确使用相关的方程和技巧。
典型错误四：缺乏具体例题的实践训练圆锥曲线的学习需要进行大量的实践训练和例题演练。
然而，许多高中生在实践中犯错。
这可能是因为他们缺乏足够的实践经验，没有掌握解题的方法和技巧。
只有在多次的练习中，通过反复的实践才能逐渐掌握正确的方法和技巧。
典型错误五：数学思维能力不足最后一个常见错误是高中生的数学思维能力不足。
圆锥曲线的学习需要灵活的思维和逻辑能力，而许多高中生在这方面存在困难。
圆锥曲线教学反思17篇
圆锥曲线教学反思17篇课题名称《圆锥曲线与方程》单元教学设计设计者姓名郭晓泉设计者单位华亭县第二中学《圆锥曲线与方程》单元教学设计（郭晓泉甘肃省华亭县第二中学138某某某某某某某某）一、教学内容分析1、实际背景分析该单元选自人教版数学选修2-1.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活关系密切，早在16、17世纪之交，开普勒就发现了行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆；探照灯反射镜是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面；发电厂冷却塔的外形线是双曲线，……现代航空航天领域内圆锥曲线也有重要的应用。
圆锥曲线在实际生产生活中有着巨大的作用，主要来自于它们的几何特征及其特性。
2、数学视角分析3、课程标准视角分析（1）学生学习方式的转变问题。
在本部分内容中，延续了《必修2》中研究直线与圆的方程的思想，所以应该引导学生通过积极主动的探索来完成圆锥曲线的学习，教师通过圆锥曲线背景的介绍，激发学生的学习兴趣，在研究了椭圆方程及性质的基础上，用类比的方法来研究双曲线和抛物线的方程及性质，经历直观感知，定义、建立方程、研究性质的基本过程，感受坐标法的作用，体会数形结合法的思想。
（2）学生思维能力培养的问题。
“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。
”这是课标对学生思维培养的要求，在圆锥曲线这部分知识的学习中，牵涉到数和形的结合问题，这里有直观感知，观察发现，归纳类比、抽象概括，符号（方程）表示，运算求解，数学建模等，通过这些方法在学生学习中的运用，来提高学生的数学思维能力。
（3）发展学生的应用意识。
圆锥曲线几何性质在现实中有很多重要的应用，让学生通过学习去解决一些实际问题，如求某航天器的运行轨迹方程问题，确定生源的问题，等等。
另外，在解决圆锥曲线有关问题时，对运算求解能力，分析问题、解决问题的能力要求都比较高，这需要学生综合利用前面所学的基本知识来解决问题，在教学中应根据实际情况来采用适当的方法发展学生的应用意识。
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
高中数学：圆锥曲线中的定点定值问题
定点定值方法归纳
一、研究定点、定值问题的基本思路
解析几何中的定点、定值及探索性问题主要以解答题形式考查，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大.解决问题时注意代数方程是解决定点定值问题的桥梁。
二、定点问题基本有一下两种思考方式
（1）引进参数法：引进动点坐标或者动线中的系数作为参数，表示变化量，再通过条件，构造变化量对应的方程，研究变化量方程的关系（特别是变化量任意改变对应方程恒成立问题），找到定点。
（2）探索法：根据动点或动线的一些特殊情况，先探索出定点，再证明该定点与变量无关。
三、解决定值问题也有如下类似的思考方式
（1）引进参数法：引进参数作为变化量，最后利用代数式说明所求定值的代数式与参数无关。
（2）探索法：用特殊情况探索出定值，最后再利用代数式证明定值。
高考真题
例题精选
参考答案
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优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略
㊀㊀㊀㊀㊀优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略Һ焦学刚㊀（江苏省扬州市邗江区蒋王中学，江苏㊀扬州㊀２２５０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ由于圆锥曲线的相关问题在高考当中占据非常重要的比重，而且知识点又有深奥㊁复杂的特点，所以学生在理解圆锥曲线的相关基础概念时，教师必须要对深层次的知识加以更加深刻的研究，科学的解题方法尤为重要．学生高中阶段学习的圆锥曲线主要包括抛物线㊁双曲线㊁椭圆等内容，本文主要对圆锥曲线的相关教学策略的优化展开探究．ʌ关键词ɔ圆锥曲线；高中数学；教学现状；优化策略一㊁高中数学圆锥曲线知识部分的教学现状圆锥曲线的相关知识非常深奥，其作为高中数学教学中非常重要的一部分，需要学生通过合适的方式方法深刻地理解与掌握．圆锥曲线覆盖的知识面比较广，而且在相关题目的考查中也会和其他部分的知识有非常密切的关联，所以同学们在最开始接触圆锥曲线的时候，肯定会有一定的学习难度．教师必须要有针对性地对学生的图形思维能力以及逻辑思维能力加以培养，要让同学们先掌握基本的知识概念，在此基础之上进行技巧与能力的训练．然而，这也是当前课堂教学中比较缺乏的部分，师生之间没有合理的沟通，也缺少课堂上必要的互动，甚至在高考带来的压力之下，教师在课堂上只是照本宣科地给同学们进行知识点的讲解，忽略了学生个人实际学习情况的发展，进而使得圆锥曲线的教学效率较低．这种教学模式只是引导同学们去尝试着解决在高考当中经常出现的压轴题，但是题目的类型过于灵活，同学们要想得心应手地解决这些问题，必定要投入非常多的精力．教师能够传授给学生的思路是非常有限的，而且学习的方法也是过于单一的，学生无法实现思维的拓展，自然而然地对这些知识也没有办法灵活运用．学生面对的学习压力，不仅仅来源于数学，其他学科的学习难度也是非常大的，久而久之，如果圆锥曲线部分需要同学们长期在相关的问题中投入大量的精力，那么同学们就会丧失对圆锥曲线问题的探究兴趣．二㊁优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略在新课改的背景下，开展高中数学课堂教学方法的改革需要更好地强调学生在课堂上的参与程度，并且要在教师的努力下，帮助同学们营造一种良好的氛围，把枯燥的教学环境变得更加生动㊁更加简单，这对学生课堂学习兴趣的激发有比较重要的帮助，而且能让同学们对相关的知识点有更加深刻的了解，这样的教学才是相对成功的．课堂的优化可以从以下几个方面入手．１．充分做好课前教学准备充分的准备能够让教师在课堂上有的放矢地进行知识的传授．教师要想开展更加有效的教学，首先就是应认真备课，这也是在以往教学中比较欠缺的环节，有的教师只是照着课本上给出的知识概念和习题进行讲解，并没有做精心的教案准备，所以课堂效果也很难得到保证．有些知识掌握得比较扎实的同学在课堂上会学得好一些，但如果同学们的理解能力相对较弱，他们在课堂上就很难跟上教师的教学节奏．所以教师一定要充分地结合同学们的实际学习情况，要尽可能地选择符合学生认知规律及当前水平的内容，并且要为不同的学生制定不同的学习目标．教师对于知识概念也要精心选择题目来加以佐证，关注教学环节的设计，必须要注重难易适中以及层层递进，让同学们按照循序渐进的过程来完成思考．２．将复杂的知识以更加简单的形式呈现出来教师带领同学们研究圆锥曲线的相关知识点，不仅要围绕着基本的公式和概念展开思考与探究，在面对相关习题时，也应该力求用最简单的方式方法，让同学们解决相对复杂的问题，从简单的角度进行思考，避免做题的盲目性，让同学们能够从一些基本的技巧出发，解决相对复杂的问题，从而培养学生更加开阔的解题思路．例如：如果在平面直角坐标系中存在两点Ｍ㊁Ｎ，且过点Ｍ㊁Ｎ存在椭圆４ｘ２＋９ｙ２＝３６，用Ａ表示椭圆的中心点，那么连接两点Ｍ㊁Ｎ后的弦与椭圆的中心点Ａ之间的距离是多少？在以往的教学中，解答此类题目，教师必须要让同学们首先明确两点Ｍ㊁Ｎ的坐标，但是在这道题目中给出的已知条件非常少，强行让同学们确立两个点的坐标是不现实的．所以我们就可以引导同学们尝试着从其他的角度入手进行问题的分析，探索其他的解题方法．教师可以让同学们尝试着将椭圆的方程和直线ＡＭ㊁ＡＮ的方程联系在一起，求解两个点Ｍ㊁Ｎ的坐标．这就是一种解题的简化，特别是在最开始教师引导同学们对相关的解题技巧进行探索的过程当中，能够对同学们个人思维的发展起到促进的作用．３．有效运用教学模型，重点完成理论知识的表述教学模型在课堂上发挥的重要作用是不言而喻的，特别是在当前的高中学习阶段，正是因为同学们的学习时间㊀㊀㊀㊀㊀㊀都是相对有限的，而且需要探索的知识内容又有较强的复杂性，大部分学生只是关注在考试中能够取得怎样的成绩，而教师带领同学们进行练习，也只是把目光聚焦在怎样才能把题目解答出来上．过分追求答案对同学们个人能力的发展并没有任何的帮助，甚至还会让同学们对数学相关概念知识的理解出现偏差和误区．所以教师通过重点关注教学模型来帮助同学们摆脱只注重解题结果的练习模式，才可以让同学们更加扎实地把握基本的知识概念，通过熟能生巧的教学训练在未来的练习中更加得心应手地应用相关技巧解决问题，也让同学们能够具备更加清晰的思路．例如，在带领同学们研究椭圆的基本定义时，教师为了让同学们对焦点Ｆ１㊁Ｆ２有更加深刻的理解，并且让同学们知道椭圆的焦点位置是不能随意变动的，了解并能熟练地运用｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ解决问题，教师对２ａ需要进行重点的讲解．教师在教学中运用板书讲解，取一根绳子，通过这根绳子的长度来定义２ａ，然后在坐标系中确定焦点Ｆ１㊁Ｆ２的位置，固定绳子的两端，用粉笔支撑起这根绳子，在任意位置画图，将粉笔与黑板接触的点记录下来并标为点Ｐ，连接这些点形成一段半圆形的弧线，上下两端汇集在一起就可以形成一个椭圆，如图所示．这种绘图的方法能够更加生动直观地把课本内容展现出来，也可以让同学们更加直观地观察或者是亲自体验来加深对知识的印象．４．从根本上实现教学方法的创新正确的教学方法对课堂效率的提升有非常重要的作用，而且能让同学们找到数学问题研究的兴趣所在．以学生为本的教学理念下，开展圆锥曲线的教学必须要做到以学生为中心，过去的教学方法无法适应学生当前的学习需求，所以教师必须要能够围绕圆锥曲线的相关理论以及正确的思路和个人思想提升的目标来进行知识的筹备与讲解．比如在课堂上，教学方法的创新可以围绕着分层教学来展开，也可以采用合作讨论的模式，实现学生学习方法的根本转变．因为课堂时间是有限的，所以我们可以对课堂的时间进行划分．以每节课４５分钟为例，课堂的前２０分钟教师可以重点进行知识和概念的讲解，接下来的２０分钟教师应该让同学们结合刚才所学的知识进行针对性的练习，而课堂的最后５分钟要由教师做出针对性的总结，要让同学们发现自己在学习中存在的主要问题．课堂教学环节的划分对同学们的知识内化有非常重要的帮助，而且有助于同学们快速地提出自己在学习过程中遇到的问题，教师帮助学生答疑解惑．５．高效结合圆锥曲线的几何性质与平面性质解决圆锥曲线的问题，首先需要同学们清晰地把握不同类型的圆锥曲线，以及在解题过程中需要正确掌握哪些性质．同学们学习的圆锥曲线主要包括椭圆㊁双曲线和抛物线这三种类型，而每一种圆锥曲线的类型都有需要同学们重点区分的性质内容．作为平面几何的知识，从平面和几何这两个角度进行性质的分析，更能让同学们自身的逻辑思维得到加强．通过这些综合分析，同学们进行问题的探索，从而更加扎实地掌握不同圆锥曲线的差异性知识，达到自身能力的提升．在进行问题的讲解时，各位教师需要找到相应的例题让同学们辅助训练，题目的考查也应该分别从几何性质和平面性质这两个角度来完成，这样才可以达到让学生学以致用的教育目的．６．奠定扎实的基础再完成方式方法的总结教学的目的并不仅仅是让同学们能够在考试中取得优异的成绩，圆锥曲线的相关问题与同学们的日常生活有着非常紧密的联系，所以在教学中各位教师必须注重对学生思维能力的训练．正确的方式方法对于同学们来讲是非常重要的，灵活使用不同方法解决问题需要同学们扎实掌握相关知识的基础，这是进行学习和问题探究的核心．通过对近几年来圆锥曲线问题的考查的总结，我们发现在大部分情况下，简单题目的考查都是从一些标准方程和定义的角度出发的，每一道题目都涵盖了很多基本的知识点，所以这些基础知识对同学们来讲是最应该掌握的内容．圆锥曲线对于最值问题㊁运动轨迹问题以及对称性的问题的考查会在综合题目中经常出现，如果无法达到对基础知识的融会贯通，同学们的学习一定是存在漏洞的，学生在解题的过程中也难免会出现不必要的丢分，不利于学生学习信心的建立，也无法帮助同学们总结正确的方式方法．越简单的东西越应该引起教师和同学们足够的重视，这样教师才能通过这些简单知识进行突破，帮助同学们实现扎实稳步的提升．７．改变学生的课堂参与形式，开展合作学习由于课堂时间是相对有限的，各位教师要想在课堂上实现更高效率的教学，要从根本上改变学生在课堂上的参与形式．一方面，传统的课堂教学大部分情况下都是教师在讲台上自顾自地讲解，同学们在讲台下的听课效率很难得到保证，而且教师在向同学们提出问题的时候，最多也就是找到一两个同学来回答问题，并没有好的办法保证每一个学生都参与到课堂当中．所以，如果同学们在课堂上的参与形式能够发生有效的转变，我们则可以通过其他力量的监督来保证每一个学生的学习效率．比如说，开展合作学习的模式，将同学们按照个人能力的等级划分为不同的小组，保证每一个小组的学习水平是相对均等的，之后让同学们围㊀㊀㊀㊀㊀绕着教师提出的问题展开有针对性的讨论，每一个同学在小组讨论中都能发挥出自己的作用，能力相对较差的学生也可以听小组其他成员的讲解而有所收获．这样的教学形式能够让每一个同学的课堂参与度得到保证，也能通过形式的改变实现课堂时间利用率的提高．值得注意的是，教师在给同学们划分学习小组的时候可以考虑同学们提出的分组意见，但是要避免同学们在分组过程中以与其他某位同学关系好㊁有共同语言作为分组的依据，否则很容易出现教师在课堂上给出合作讨论的时间，学生讨论的内容却并非课堂学习问题的情况．教师还要保证每一个小组的能力是比较协调的，组内尽可能要有学习能力强的学生，带动着学习能力相对较弱的学生．８．创设情境激发学生学习兴趣在高中数学的教学实践中，兴趣对于学生学习的引导有着非常重要的作用，激发学生学习兴趣是一种推动学生主动学习㊁自主学习的重要方式．所以教师在高中数学教学实践中要能够有效地激发学生的学习兴趣，令其主动地去思考数学中的问题，能够在对数学知识的分析和探究过程中在脑海中形成一个 为什么会是这样？ 的疑问．这样才能够推动学生融入教学实践中，帮助学生更好地解决在数学认识与学习上的冲突，让学生对数学知识的理解有一个更加全面的认知，更好地在脑海中构架一个良好的数学知识的框架．以椭圆知识的教学为例，教师能够通过以下的方法来为学生创设相应的教学情境：在教学的开始，教师先为学生带来一些材料：一块纸板㊁两个图钉㊁一根细绳，向学生展示了这些材料之后，教师再向学生提出一组问题来引导学生进行思考和探究：（１）如果运用这些纸板㊁图钉和细绳去画一个椭圆，你们认为条件是什么呢？要怎样画才能够得到一个标准的椭圆呢？（２）如果在不改变细绳长度的前提之下，改变图钉之间的距离，那么画出来的图形有什么不一样吗？为什么会出现这样的变化呢？如果两个图钉之间的距离变成０，也就是两个图钉重合为一个，那么又会画出什么样的图形呢？（３）通过以上的实践探究活动，你们能够了解到椭圆是一个以什么运动轨迹形成的图形吗？你们在实践中又能够获得什么样的总结呢？教师通过以上的数学实践以及教师在操作中向学生提出的问题引导，能够有效地帮助学生创设一个更加具体的数学学习情境，让学生在情境的引导之下更有积极性和主动性，有效激发学生的思维，让学生进行思考和探究，同时借助数学的实践以及问题的引导，让学生在数学课程的学习中有更好的学习体验以及知识学习的收获，让学生在情景氛围之中获取感性的认知，这对高中数学圆锥曲线的教学可以起到良好的促进作用．９．引导学生尝试探究与协作交流在高中数学教学实践中，实践的探究以及学生之间的协作交流能够让学生对于知识的学习更加深入，能够让学生对于某一个知识点有一个更加深入的学习，有效地提高学生对知识的学习和吸收．在高中数学圆锥曲线的教学实践中，教师要能够让学生在不同的形式引导之下去进行探究，通过探究强化学生对圆锥曲线知识的学习㊁理解和拓展．首先，教师要引导学生在构建主义中进行探究．在探究的过程中，教师要引导学生善于利用多种多样的数学思维方法去进行探究，来构建一个更加全面的数学思维体系．在高中数学的学习中，学生最为主要的数学思想有等价转化㊁方程思想㊁数形结合思想以及类比思想等等，学生要能够灵活地运用这些思想去进行数学知识的探究．例如对于圆锥曲线知识的学习，学生通过类比的思维方法去进行学习，实现对数学知识的举一反三与触类旁通．长期在这样的思维引导之下，学生在高中数学学习的过程中能够更加轻松，同时能够更好地对圆锥曲线等比较复杂㊁难度大的知识进行理解和吸收．学生在学习完椭圆的知识之后，要能够运用同样的学习方法对双曲线的知识进行学习和探究．其次，教师要引导学生在反思中进行探究．反思是学生在数学知识学习过程中的一种核心的思维活动，能够让学生在对新知识的学习过程中有意识地从多维度㊁多角度和多层面去进行知识的学习㊁分析和思考，从而对新知识的本质以及规律有一个全面的掌握和学习．例如在教学 椭圆第二定义 的知识过程中，教师将知识作为一种例题的形式让学生去进行探究和分析，通过引导学生多角度思考和解决例题，来让学生在无形中加深对椭圆第二定义知识的学习和理解，从而更好地提高学生在圆锥曲线知识中学习的效率，同时能够帮助教师有效地突破传统教学中的重难点，促进高中数学圆锥曲线教学模块教学效率的提升．总而言之，课堂上的教学需要教师结合同学们的实际情况．教师通过更加简单直观的方式让同学们加深对基本概念的认知与运用，重视教材中基础知识的呈现，并且有针对性地花费更多的时间让同学们打好基础，令其通过扎实的训练，实现个人知识体系的完善，只有学生熟练地掌握基本内容后才可以锻炼解题的技巧，以此为学生的综合发展奠定基础．ʌ参考文献ɔ［１］宋德银．借助构造法㊀打破圆锥曲线 藩篱 ［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（３４）：１１－１２．［２］王素荣．论高中数学圆锥曲线解题技巧［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（３４）：３５－３６．［３］姜蕾．高中数学圆锥曲线题的易错点分析［Ｊ］．课程教育研究，２０２０（４８）：７３－７４．。
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
高中数学教学课例《圆锥曲线的中点弦问题——点差法的应用》课程思政核心素养教学设计及总结反思
次的安索帕杉树班，平常课堂氛围不是很活跃，因此在
设计导入新课时，多从激发学生的课堂积极性入手。
知识层面：本节课是学生在已经掌握了椭圆中中点
弦所在直线斜率的推导步骤，并且能够“复述”通过类
比推理，将推导方法应用到双曲线中，并用此方法解决
中点弦问题的两种题型。
本节课是在学习椭圆中点弦所在直线斜率公式推
教学策略选 导后的进一步学习，通过类比提出问题，激发学生的学
4、课堂的组织语言上，仍然显得不是那么自然，
在 PPT 与板演方面，没有得到很好的衔接。
5、在课堂改革的潮流下，对课堂“复述”小组合
作没有体现得淋漓精致，对学生活动后没有进行评价打
分，给予鼓励。
反思：
“学最好的别人，做最好的自己”，工作第二年，
自己在课堂讲课方面有一定的进步，但仍然认为自己可
以更好。对教学设计上，在问题引入方面应该多下功夫
择与设计 习兴趣，引导学生类比推理，并以小组合作探究的方式，
对双曲线进行探究。从而得出结论。
探究二：点差法的应用——以定点为中点的弦所在
直线方程
例 1、过椭圆内一点引一条弦，使得弦被点平分，
求这条弦所在直线方程。 教学过程
设计意图：通过例题让学生对知识学以致用，并从”
一题多解“引导学生，一方面让学生感受点差法的简便，
吸引学生。在题组设计方面，不能贪心，应尽量挑选典
型例题，最好结合高考题进行分析。在时间考虑方面，
应尽量让当堂检测时间充裕，给学生考虑消化的时间。
学习一直在路上，课赛遇到很多高手，自己收获很
多，希望再接再厉。
求弦中点的轨迹方程。
情感态度价值观：在整个学生过程中培养学生的合
作能力与坚强的意志品质。
浅析新课程下高中数学中圆锥曲线教学
３ 从 教 学 要 求 变 化 中把 握 圆锥 曲线 的 教 学 从教学要求 变化 中把握 圆锥 线的教学 可以得到 以下 几个 方 面。 ３１ 对 概 念 的要 求 ．
旧教材《 教学大纲》 没有 明确地对圆锥 曲线定 义的学习程度 提 出要求 ， 而要求学生掌 握标准方程 和几何 性质 。不言而 喻 ， 标 准方程是 由椭 圆 、 双曲线 、 抛物线 的定义推导 出来的 ， 习定义的 学 目的在于推导标 准方程 。旧教 材《 教学 大纲》 对标 准方程的学习 提 出了明确 的要求 ， 要求 学生掌握 。可 见 ， 旧教材这 一要求没有 考 虑 学生 对 知 识 的具 体 构 建 过 程 ， 视 了 学生 学 的过 程 。而 新 教 忽
用 。但 是 ， 教材 内容来看 ， 从 新教 材 比旧教材增加 了一 些关于圆 锥 曲线实际应用的例题 。新课程标准》 出使学生 了解 圆锥 曲线 《 提 的一些实际应用 ， 感受 圆锥 曲线在刻 画现实世界和解决问题 中的 作用 ， 更加强调圆锥曲线与现实社会 的联 系。 ３３ 对 画 图 的 要 求 ． 旧教材《 教学大纲 》 要求学生会根据所给条件画圆锥曲线 ， 课 堂练 习中还安排 了尺规作图 的习题 。新教材《 教学大纲》 求学 要 生能够利 用工具画 圆锥 曲线 的图形 ， 而课本 中只有描点画 图形 ， 这里 “ 工具 ” 的是 什么？ 指 不得 而知 。 新课程标 准》 《 中对于画圆锥
１ 引言
பைடு நூலகம்
圆 锥 曲线 的 有 关 内容 是 中学 平 面 几 何 的重 要 基 础 知 识 。 从 高 中课 本圆锥曲线的内容看 ， 主要是 系统 讨论 曲线 和方程 、 、 圆 椭 圆 、 曲线 、 双 抛物 线 的 定义 及其 标 准 方程 ， 过 方 程 讨 论 圆锥 曲线 通 的 几何 性 质 、 法 。这 些 内容 是 中学 平 面 解 析 几 何 最 重 要 的 基础 画 知识 ， 也是平面解析几何的核心 。学好 圆锥 曲线这部分 内容对 于 掌 握 解 析 几 何 的 基 础 知 识 具 有 重 要 作 用 。 此 外 ， 好 这 部 分 内 学 容， 对于学生今后学习《 空间解 析几何》 数学分析》 和《 等高等 数学 打 下 了 良好 的基 础” 另 一 方 面 ， 讨 论 圆 锥 曲线 的 有 关 问 题 的 。 在 过 程 中需 要 运 用 直 线 方 程 的有 关 知识 ， 要 综 合 运 用 过 去 学 过 的 需
【课件】圆锥曲线光学性质的数学原理及应用(说课)课件 高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
动时，点的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？ 实验探究
点Q的轨迹为椭圆.
证明过程：由于点在线段的垂直平分线
上，由图可知， + = + =
= , 且 > ||,根据椭圆的定义，点
的延长线会经过1 .
探究活动3 如图，为一定点，为不经过点的定直线，在直线上任
取一点，过点作的垂线，连接，设线段的垂直平分线交的垂线
于点, 点的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？ 实验探究
的轨迹为抛物线
发现的垂直平分线是双曲线的切线，
切点为 , 且切线平分∠.
为过点且与双曲线相切的直线，
则平分∠1 1 .
你能否利用这个性质解释说明双曲线的光学性质？
如图，当光线从2 射入经双曲线
上的点反射时，过点作双曲线的切
线,过点作切线的垂线，则该垂线就
是光线反射的法线，根据性质2，该切
线平分∠1 2 ，故根据光的反射原理，
光线从2 射入经点反射后的反射光线
设计意图
通过这三个探究活
动，借助于信息技
术，构造几何图形，
让学生逐步自主探
究圆锥曲线光学性
质的数学原理,提升
学生自主探究和分
析问题、解决问题
的能力，培养学生
的直观想像和逻辑
推理素焦点发出的光
线，经双曲线反射后，反
射光线的的延长线会交于
双曲线的另一个焦点.
从抛物线焦点发出的
光线，经抛物线反射
后，反射光线会平行
于抛物线的对称轴.
我们把上述性质称为圆锥曲线的光学性质，你能否从数学角度来
解释圆锥曲线的光学性质呢？