2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某 个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、 “逆用变换公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配 方与平方”等.
基础自测 1 1.下列各式的值为 的是( 4 π A．2cos 12－1
2
) B．1－2sin275° D．sin15° cos15°
2α＋β
∴cos(α＋β)＝2cos
49×5 239 2 －1＝2× 729 －1＝－729.
方法点睛
三角函数的给值求值，关键是把待求角用已
知角表示：①已知角为两个时，待求角表示为已知角的和或 差；②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关 系”或“互余互补”关系．
变式训练2 1 3，求cosβ的值．
α＋β β α ∴cos 2 ＝cosα－2－2－β β α β α ＝cosα－2cos2－β＋sinα－2sin2－β 1 ＝－9×
5 4 5 2 7 5 3 ＋ 9 ×3＝ 27 ，
π π 解析：∵0＜β＜α＜2，∴0＜α－β＜2. 13 1 π 又∵cos(α－β)＝14，cosα＝7，0＜β＜α＜2， 4 3 ∴sinα＝ 1－cos α＝ 7 ，
2
3 3 sin(α－β)＝ 1－cos α－β＝ 14 ，
2
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ × ＝ . 7 14 7 14 2 π π ∵0＜β＜ ，∴β＝ . 2 3
7 ＝－9.
答案：A
5．tan20° ＋tan40° 3tan20° ＋ tan40° ＝__________.
tan20° ＋tan40° 解析：∵tan60° ＝tan(20° ＋40° )＝ ， 1－tan20° tan40° ∴tan20° ＋tan40° ＝tan60° (1－tan20° tan40° ) ＝ 3－ 3tan20°tan40° · ， ∴原式＝ 3－ 3tan20° tan40° 3tan20° ＋ tan40° 3. ＝
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 7 (1)S2α：sin2α＝□________________； 8 9 (2)C2α：cos2α＝ □ ______________＝ □ ____________ 10 ＝□____________； 2tanα (3)T2α：tan2α＝ . 1－tan2α
2 □ cosαcosβ－sinαsinβ 5 □
sinαcosβ－cosαsinβ
tanα＋tanβ 1－tanαtanβ sin2α
tanα－tanβ 6 □ 1＋tanαtanβ
7 8 □ 2sinαcosα □ cos2α－
9 10 □2cos2α－1 □1－2sin2α
名 师 微 博 ●两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－
4 3 又∵sinα＝5，∴cosα＝5. ∴cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 3 3 10 4 10 ＝ × ＋ ×－ 5 10 5 10 10 ＝ . 10
考点三
三角函数的求角问题
[例3] β.
1 13 π 已知cosα＝ 7 ，cos(α－β)＝ 14 ，且0＜β＜α＜ 2 ，求
2tan22.5° C. 1－tan222.5°
π π 3 解析：2cos 12 －1＝cos 6 ＝ 2 ；1－2sin275° ＝cos150° ＝
2
3 2tan22.5° 1 1 －2； ＝tan45° ＝1；sin15° cos15° 2sin30° 4. ＝ ＝ 1－tan222.5°
答案：D
答案： 3
考点一
三角函数式的化简
[例1]
1 2cos x－2cos x＋2 化简 π π . 2tan4－xsin24＋x
4 2
1 －2sin xcos x＋2 解析：原式＝ π 2 π 2sin4－xcos 4－x π cos4－x
)
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1 4 1 ＝2× －1＝－ . 9 9
答案：B
π 1 4．设sin4＋θ＝3，则sin2θ＝(
)
7 A．－9 1 C.9
1 B．－9 7 D.9
π 1 2 π 解析：sin2θ＝－cos 2＋2θ ＝2sin 4＋θ －1＝2× 3 2－1
知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝□________________； 2 (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝□________________；
3 (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝□________________； 4 (4)S(α－β)：sin(α－β)＝□_________________； 5 (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝□________________； 6 (6)T(α－β)：tan(α－β)＝□________________.
§4.5
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[高考调研 明确考向] 考纲解读 •会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． •能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、 正切公式． •能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、 余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式，了解它们的内在联系.
考情分析 •利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角 函数式的化简、求值是高考常考的点． •公式逆用、变形应用是高考热点． •题型以选择题、解答题为主.
[例2]
2 ＝3，求cos(α＋β)的值．
π 解析：∵0＜β＜2＜α＜π， π α π π β ∴－4＜2－β＜2，4＜α－2＜π，
α ∴cos2－β＝ β sinα－2＝
1－sin 1－cos
2
2
α －β＝ 2
5 3，
β 4 5 α－ ＝ 2 9 ，
3．有关公式的逆用、变形等 (1)tanα± tanβ＝tan(α± β)(1∓tanαtanβ)； 1＋cos2α 1－cos2α 2 (2)cos α＝ ，sin α＝ ； 2 2
2
(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2； (4)sinα± cosα＝
方法点睛
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取
函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
π 0， 2
，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较
π π 好；若角的范围为－2，2，选正弦较好．
变式训练3
sin2α 2．若tanα＝3，则cos2α的值等于( A．2 C．4 B．3 D．6
)
sin2α 2sinαcosα 解析：cos2α＝ cos2α ＝2tanα＝2×3＝6，故选D.
答案：D
2 3．已知sinα＝3，则cos(π－2α)等于( 5 A．－ 3 1 C.9 1 B．－9 5 D. 3
已知α，β∈
π π － ， 2 2
，且tanα，tanβ是方程
x2＋3 3x＋4＝0的两个根，求α＋β的值．
解析：由根与系数的关系得：tanα＋tanβ＝－3 tanαtanβ＝4， ∴tanα＜0，tanβ＜0，－π＜α＋β＜0.
3
，
tanα＋tanβ －3 3 2π 又tan(α＋β)＝ ＝ ＝ 3，∴α＋β＝－ 3 . 1－tanαtanβ 1－4
＝
α cos cosα 2
＝
α 2α 2α cos －sin sin 2 2 2
α cos2cosα
α cosαsin 2 ＝ α cos2cosα α ＝tan2.
考点二
三角函数式的求值
α β π 1 已知0＜β＜2 ＜α＜π，且cos α－2 ＝－ 9 ，sin 2－β
方法点睛
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式
及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需 要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形 式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶 性、周期性、对称性等性质．
变式训练4
已知函数f(x)＝
[例4]
已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x.
π (1)求f3的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
π 2π π 3 1 ＝2cos ＋sin2 ＝－1＋ ＝－ . 解析：(1)f 3 3 3 4 4
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R. ∵cosx∈[－1,1]， ∴当cosx＝± 1时，f(x)取最大值2； 当cosx＝0时，f(x)取最小值－1.
思想方法(五) 三角函数求值、求角问题策略 面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹 莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的 难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式， 其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方 法．
(1)求f(x)的最小正周期；
π π (2)求f(x)在区间－6，2上的最大值和最小值．
解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x. 2π (1)f(x)的最小正周期T＝ ＝π. 2 π π π 3 (2)∵－ ≤x≤ ，∴－ ≤2x≤π，∴－ ≤sin2x≤1. 6 2 3 2 3 ∴f(x)的最大值为1，最小值为－ 2 .
π 2sinα± . 4
高三数学一轮复习 第3章第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精品课件
已知 α∈0，π2，tan α＝12，求 tan 2α 和 sin2α＋π3的值．
解析：
tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×21122＝43.
∵α∈0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，
∴2α∈0，2π，
∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，
∴sin2α＋π3＝sin 2α·cos
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
＝2csoisn
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2si0° 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
3 2 sin
10°＝
解析： (1)方法一：∵cosβ－π4＝cosπ4cos β＋sinπ4sin β
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β＝13，
∴cos β＋sin β＝ 32，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79.
方法二：sin 2β＝cosπ2－2β ＝2cos2β－π4－1＝－79. (2)∵0＜α＜2π＜β＜π， ∴π4＜β－4π＜34π，2π＜α＋β＜32π， ∴sinβ－π4＞0，cos(α＋β)＜0.
• tan(α±β)＝ • 其变形为： • tan α＋tan β＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β.
.
tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)
；
• tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)
；
• tan αtan β＝
1－tatnanα＋α＋taβnβ
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
— 9—
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
高考数学一轮复习第四章三角函数5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版2
sin110°sin20°
的值为( B )
cos2 155°-sin2 155°
1
1
√3
A.-2
B.2
C. 2
π
√14
2cos2 -1
(2)已知 θ∈ 0, ,且 sin θ-cos θ=- ,则 π =(
4
4
cos 4+
2
4
3
A.
B.
C.
3
3
4
例 2(1)
√3
D.- 2
D )
3
D.
2
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
) D
1
D.2
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
3.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( D )
A.cos 2α>0
B.cos 2α<0
C.sin 2α>0
D.sin 2α<0
解析:∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D.
-6知识梳理
1
定义可得 sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+ sin
αsin β=-
2√2
3
2
+
1 2 7
=-9.
3
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
.
3
(1)A (2)-7
9
关闭
答案
-13-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)cos αsin
������ + π
6
+sin αsin
������-
π 3
=cos αsin ������ + π -sin αcos ������- π + π
6
32
=sin
������ + π
6
cos α-cos
������ + π
或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
-6-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意的. ( )
(3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos
60°=12. (
C.12
D.-12
思考三角函数公式除了直接应用外,还能怎样应用?
关闭
答案
-18-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos
[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin
(2)原式=
2sin
50°+sin
10°·cos10
°+√3sin10 cos10 °
°
·√2sin 80°
两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义 高三数学一轮专题复习
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝ ；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝ ；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝ ；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝ ；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝ ；(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝ .2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝ ，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.( )(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( )教材改编题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12 2．若将sin x －3cos x 写成2sin(x －φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为 ．题型一 两角和与差的三角函数公式例1 (1)计算：cos 55°＋sin 25°cos 60°cos 25°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12(2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m ，tan β＝m ，且α＋β＝π4，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0或－3 D ．0或1听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1 (1)(2023·茂名模拟)已知0<α<π2，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝26，则sin α1＋tan α的值为( ) A.41451 B.21413 C.41751 D.21713(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则( ) A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－1题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式 例2 (1)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝ ，cos 2β＝ .听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2 (1)(2022·咸阳模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝33，则sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3等于( ) A ．1 B ．－1 C.233D.3 (2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．题型三 角的变换问题例3 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22(2)已知α，β为锐角，sin α＝31010，cos(α＋β)＝－55.则sin(2α＋β)的值为 ． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． 跟踪训练3 (1)(2023·青岛质检)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. (2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .。
高考数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式
11 4 3 3 ．已知 cos(2α － β) ＝－ ， sin(α － 2β) ＝ ， 14 7 π π 0<β< <α< .则 cos(α＋β)的值为________． 4 2
11 π 解析：∵cos(2α－β)＝－ 且 <2α－β<π， 14 4 5 3 ∴sin(2α－β)＝ . 14 ∵sin(α－2β)＝ 4 3 π π 且－ <α－2β< ， 7 4 2
1 ∴cos(α－2β)＝ ， 7 ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) 11 1 5 3 4 3 1 ＝－ × ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2 1 答案： 2
考点一
三角函数公式的基本应用 基础送分型考点——自主练透
7 答案：－ 9
2． 在△ABC 中， 若 tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则 cos C 的值为________．
解析： 由 tan Atan B＝ tan A＋ tan B＋ 1， tan A＋ tan B 可得 ＝－ 1， 1－ tan Atan B 即 tan(A＋ B)＝－ 1，又 A＋ B∈ (0， π)， 3π 所以 A＋ B＝ ， 4 π 2 则 C＝ ， cos C＝ . 4 2 2 答案： 2
4． 已知
π 2 π 3 tanα－ ＝ ， tan ＋β＝ ， 则 6 7 6 5
tan(α＋ β)＝ ________.
π π 解析： tan(α＋ β)＝tanα－ ＋ ＋ β 6 6 π π 3 2 tan α－ ＋ tan ＋ β ＋ 6 6 7 5 ＝ ＝ ＝ 1. 3 2 π π 1－ tan α－ · tan ＋ β 1－7×5 6 6
高考数学(理)总复习课件：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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3．已知 tan α＝2，所以 tanα－π4＝
1
1
A.4
B.3
C.12
D．－3
解析：∵tan α＝2，∴tanα－π4＝t1a＋n tαa－n α1＝13.
(B )
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4．已知
cos
x＝34，则
cos
1 2x＝___8_____.
解析：∵cos x＝34，∴cos 2x＝2cos2x－1＝18.
∴ sin 2α＋1π2 ＝ sin 2α＋π3－π4 ＝ sin 2β－π4 ＝ sin
π 2βcos 4
－
cos 2βsinπ4＝－49 2× 22－－79× 22＝7
2－8 18 .
考法(二) 三角函数式的变化
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[例 2]
1＋sin (1)化简：
5．若
tan
α＝13，tan(α＋β)＝12，则
tan
1 β＝____7____.
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα
＝1＋12－12×13 13＝17.
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
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考点一 公式的直接应用[基础自学过关]
2xcosπ3－sin
2xsinπ3＝－275×12＋2245×
3 2
＝24
3－7 50 .
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[名师微点]
三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的 结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公 式求值．
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考点二 三角函数公式的逆用与变形用[师生共研过关]
高三数学一轮复习 第3章第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文
2．计算 1－2sin2 22.5°的结果等于( )
1
2
3
A.2 B. 2 C. 2 D. 2
【解析】
1－2sin222.5°＝cos
45°＝
2 2.
【答案】 B
3．(2011·辽宁高考)设 sin(π4＋θ)＝13，则 sin 2θ＝(
)
A．－79
B．－19
1 C.9
7 D.9
【解析】
∵sin(π4＋θ)＝
α＝2 5 5，cos
α＝
5 5.
那么 cos 2α＝cos2α－sin2α＝－35，且 sin 2α＝45，
故 sin(2α＋π4)＝sin 2α·cos
π4＋cos 2αsin
π 4
＝45×
22－35×
22＝
2 10 .,
已知 0＜α＜π2＜β＜π，tan
α2＝12，cos(β－α)＝
2 10 .
∴cos 2α＝－ 1－sin22α＝－35，
sin(2α＋π4)＝sin 2α·cos
π4＋cos 2α·sin
π4＝
2 10 .
法二 由 tan α＋tan1 α＝52，得 tan α＝2 或 tan α＝12.
由已知 α∈(π4，π2)，舍去 tan α＝12，得 tan α＝2.
因此，sin
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ ； cos(α±β)＝ cosαcosβ∓sinαsinβ ；
tan(α±β)＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋θ，) 其中 cos θ＝ a2a＋b2，sin θ＝
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》理 新人教B版
[第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45 D.24253．[2013²河南师大附中检测] 已知π<θ<32π，则12＋1212＋12cos θ＝________．4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．能力提升5．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211 D.2116．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 37．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.538．[2013²北京石景山区一模] 已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－35，则tan2α的值为( )A.45 B ．－237C ．－247D ．－839．若sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( ) A.15 B ．－15 C.75 D ．±1510．[2013²河南重点高中调研] 函数f (x )＝sin 2x ＋12 010sin 2x cos 2x ＋12 010cos 2x的最小值是________．11．已知tan2θ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，则2cos 2θ2＋sin θ－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为________．12．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．.13．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为________． 14．(10分)[2013²广东卷] 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．15．(13分)[2013²安阳模拟] 设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝45，35.(1)求tan α；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin α＋π4.难点突破16．(12分)[2013²福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．课时作业(二十一)【基础热身】1．D [解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C＝150°－A ，∴sin A ＝3sin (150°－A)＝32cos A ＋32sin A ，∴tan A ＝－3，∴A＝120°.2．A [解析] 由题意可知cos θ＝－35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，故选择A .3．sin θ4 [解析] ∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.12＋1212＋12cos θ＝12＋12cos 2θ2＝12－12cos θ2＝sin θ4. 4．1－ 2 [解析] y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1≥1－ 2. 【能力提升】5．A [解析] 根据已知cos 2α＝－45，tan 2α＝－34，tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝tan 2α－tan （α－β）1＋tan 2αtan （α－β）＝－34－121＋－34³12＝－2.6．D [解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14，又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，∴tan α＝ 3.7．B [解析] ∵C＝120°，∴A＋B ＝60°，∴tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.8．C [解析] 由sin (π＋α)＝－35，得sin α＝35，又α是第二象限角，故cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝－34，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 9．C [解析] ∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin α＋cos α， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1＋2425＝4925.∵0<α<π2，∴－π2<－α<0，－π4<π4－α<π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α>0，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝75.10.11 005( 2 011－1) [解析] f(x)＝（2 010sin 4x ＋1）（2 010cos 4x ＋1）2 0102sin 2x cos 2x＝2 0102sin 4x cos 4x ＋2 010（sin 4x ＋cos 4x ）＋12 0102sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋ 2 0112 0102sin 2x cos 2x －22 010≥11 005( 2 011－1)． 11．－12 [解析] ∵tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34， ∴tan θ＝－3或tan θ＝13，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan θ＝－3， ∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12.12.103 [解析] 由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103. 13．1或110[解析] tan (α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg （10a ）＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－lg （10a ）²lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.14．解：(1)由2πω＝10π得ω＝15.(2)∵－65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α， 1617＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝2cos β， ∴sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517. ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45³817－35³1517＝－1385.15．解：(1)a ＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β)， sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35， ∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4＝cos α－3sin αcos α＋sin α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.【难点突破】 16．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.课时作业(二十二)。