5.3每日一题

高一版：
2012年 5月 3日 星期五
本期考察知识：统计-用样本估计总体
主要内容：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（2）平均数与方差
如果这n 个数据是n x x x ,,.........,21，那么∑
==n
i i x n x 1
1叫做这n 个数据平均数；
如果这n 个数据是n x x x ,,.........,21，那么)(11
2
∑=-=
n
i i
x x
n
S 叫做这n 个数据方差；同
时=s
)(11
∑=-n
i i
x x
n
叫做这n 个数据的标准差。

2．频率分布直方图、折线图与茎叶图
样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。

所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。

频率分布直方图： 具体做法如下：
（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）； （2）决定组距与组数； （3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图。

注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×
组距
频率=频率。

折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。

总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。

3．线性回归
回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。

回归直线方程：设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 个观测值的n 个点
大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y 对x 的回归函数的类型为直线型：bx a y
+=ˆ。

其中2
1
2
11
2
1
)
()
)((x
n x y
x n y x x x
y y x x
b n
i i n
i i i n
i i
n
i i i
--=
---=
∑
∑
∑∑====，x b y a -=。

我们称这个方程为y 对x 的
回归直线方程。

例题分析:
例．为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：
(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？ (2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均
杀伤半径．
解析： (1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是20。

(2)在20个数据中，10出现了6次，次数最多，所以众数是10（米）。

20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据是最中间的两个数，分别为9（米）和10（米），所以中位数是2
1（9+10）=9.5（米）。

样本平均数4.9)112311610495817(20
1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
x （米）
所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4米。

点评：(1)根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题．要注意：总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标，不能说成考察的对象是手榴弹，而应说是手榴弹的杀伤半径。

(2)读懂表格的意义，利用概念求众数、中位数，用样本平均数估计这批手榴弹的平均杀伤半径．另外在这里要会简便计算有多个重复数据的样本的平均数。

下期知识：变量间的相关关系
高三版：每日一考点
2012年 5月 3日 星期五
【易错点】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。

例：判断函数()
2
lg 1()22
x
f x x -=--的奇偶性。

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
()
()2
lg 1()22
x
f x f
x x --=
≠+-从而得出函数()f x 为非奇非偶函数的错误结论。

解析：由函数的解析式知x 满足2
10
22
x x ⎧->⎪⎨-≠±⎪⎩即函数的定义域为()()1,00,1- 定义域关于
原点对称，在定义域下()()
2
lg 1x
f x x
-=-易证()()f x f x -=-即函数为奇函数。

【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

（2）函数()f x 具有奇偶性，则()()f x f x =-或()()f x f x =--是对定义域内x 的恒等式。

常常利用这一点求解函数中字母参数的值。

【练】判断下列函数的奇偶性： ① ()2
2
44f x x
x =--()
()
111x f
x x x
+=
--③()1sin co s 1sin co s x x f x x x
++=
+-
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
下期易错点：易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。

从而导致解题过程繁锁。