2020北京门头沟高三一模试题及答案数学试题
A. 2
B. 3
C. 1
D. 6
6. 设非零向量 a, b, c ，满足 b 2, a 1 。且 b 与 a 的夹角为 ，则“ b a 3 ”
是“ ”的 3
1/7
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.
已知函数
f (x)
2x
ln x
2020 北京门头沟区高三一模
数学
2020．3
考 1．本试卷共 8 页。请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。
生 2．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须 3．请使用 2B 铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。
Байду номын сангаас知 4. 考试时间 150 分钟，试卷满分 150 分。
一、选择题（本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。）
100
①对任意1 i j 100, ai a j 201 ；② ai 12020 i 1
证明：( i )若 ai A ，则 201 ai A （集合 A 为集合 A 在集合 M 中的补集）
100
（ ii ） ai2 为一个定值（不必求出上此定值）； i 1
（Ⅲ）设 s, t T , s b1 b2q b3q2 bnqn1, t c1 c2q cnqn1 ， 其中 bi , ci M , i 1, 2,, n ，若 bn cn ，则 s t
（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60 岁以上的人次占了 80%，从去三甲医院门诊就诊 的人次中任选 2 人次，恰好 2 人次都是 60 岁以上人次的概率是多少？
（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次
用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分） X 的分布列与期望。
1.复数 2i(1 i) 的模为
A. 1 2
B. 1
C. 2
2.集合 A {x x 2 , x R}, B {x x2 2x 3 0} ，则 A B
D. 2 2
A. (3, )
B. (, 1) (3, )
C. (2, )
D. (2,3)
3.已知双曲线 C : x2 y2 1，则 C 的渐近线方程为 94
② a 的值可以为 2 ；
③ a 的值可以为 2 2 ；
本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得 5 分，不选或有选错得 0 分，其它得 3 分。
3/7
三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
16.（本小题满分为 13 分）已知函数 f (x) sin( x ) ( 0, ) 满足下列 3 个条件中的 2 个条件： 2
①函数 f (x) 的周期为 ；
② x 是函数 f (x) 的对称轴； 6
③ f ( ) 0 且在区间 ( , ) 上单调。
4
62
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数 f (x) 的解析式；
（Ⅱ）若 x [0, ] ，求函数 f (x) 的值域。 3
17.（本题满分 15 分）在四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 中， BC / / AD, CD AD ， PO 平面ABCD ， O 是 AD 的中点，且 PO AD 2BC 2CD 2 （Ⅰ）求证： AB / /平面POC ； （Ⅱ）求二面角 O PC D 的余弦值； （Ⅲ）线段 PC 上是否存在点 E ，使得 AB DE ， 若存在指出点 E 的位置，若不存在，请说明理由。
5/7
19.（本小题满分 15 分）
已知椭圆 G :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，上顶点为 B(0,1)，离心率为
2 2 ，直线 l : y kx 2 交 y 轴于C 点，交椭
圆于 P ,Q 两点,直线 BP ,BQ 分别交 x 轴于点 M , N 。
（Ⅰ）求椭圆 G 的方程；
（Ⅱ）求证： SBOM SBCN 为定值 。
①
。
②
。
14. 已知两点 A(1, 0), B(1, 0) ，若直线 x y a 0 上存在点 P(x, y) 满足 AP BP 0 则实数 a 满足的取值范围
是
。
15. 集合 A {(x, y) x y a, a 0}, B {(x, y) xy 1 x y } ，
若 A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 ① a 的值可以为 2；
20.（本小题满分 15 分）已知函数 f (x) sin x ln x 1 。
（Ⅰ）求 f (x) 在点（ ，f ( )) 处的切线方程； 22
（Ⅱ）求证： f (x) 在 (0, ) 上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数 f (x) 在 (0, 2 ) 上的零点个数。
6/7
21.（本小题满分 14 分）已知 q, n 均为给定的大于 1 的自然数， 设集合 M {1, 2, 3,, q}, T {x x x1 x2q xnqn1, xi M , i 1, 2, n} （Ⅰ）当 q 2, n 2 时，用列举法表示集合 T （Ⅱ）当 q 200 时， A {a1, a2,, a100} M ，且集合 A 满足下列条件：
。
3
13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎” 疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增 “新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：
2/7
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。
A． y 9 x 4
B． y 4 x 9
C． y 3 x 2
D． y 2 x 3
4. 若等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，且 S13 0 ， a3 a4 21 ，则 S7 的值为
A. 21
B. 63
C. 13
D. 84
5.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形，则该几何体中最长的 棱长为
增，则 a 的最大值为
A.
2
B.
3
C. 5 12
D. 7 12
9.
已知点 M (2, 0) ，点 P 在曲线
y2
4x 上运动，点 F
为抛物线的焦点，则
PM 2
的最小值为
PF 1
A. 3
B. 2（ 5 1)
C. 4 5
D. 4
10. 一辆邮车从 A 地往 B 地运送邮件，沿途共有 n 地，依次记为 A1, A2 , An （ A1为 A 地， An 为 B 地）。从 A1 地出发时，装上发往后面 n 1地的邮件各 1 件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发 往后面各地的邮件各 1 件，记该邮车到达 A1, A2 , An 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为 ak (k 1, 2, , n) 。则
7/7
(x 0) ，且关于 x 的方程 f (x) x a 0 有且只有一个实数根，则实数 a 的取值范围 (x 0)
A. [0, )
B. (1, )
C. (0, )
D. [,1)
8. 若函数 f (x) sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x) 的图象，若函数 g(x) 在区间[0, a] 上单调递 6
三甲医院
门诊报销比例
60%
40%
30%
20%
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表 2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
医院类别
村卫生室
镇卫生院
二甲医院
三甲医院
一个结算年度内各门诊就诊人
70%
次占李村总就诊人次的比例
10%
15%
5%
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为 50 元、100 元、200 元、500 元。若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为 2000 人次。
ak 的表达式为
A. k(n k 1) B. k(n k 1) C. n(n k )
D. k(n k)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分. ）
11. 在二项式 (x2 2)6 的展开式中， x8 的系数为
。
12. 在 ABC 中， AB 3, BC 1, C 2 ，则 AC
4/7
18.（本小题满分 13 分）十八大以来，党中央提出要在 2020 年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农 合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准。提高了各项报销的比例，其 中门诊报销比例如下：
表 1：新农合门诊报销比例
医院类别
村卫生室
镇卫生院
二甲医院
2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 复数，则( )A. B. C. 2 D. 33. 双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为( )A. B. C. D.4. 中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 若点M是圆C：上的任一点，直线l：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则的最小值为( )A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则( )A. 1B.C.D.7. 在声学中，音量被定义为：，其中是音量单位为，是基准声压为，p是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是( )A. 音量同为20dB的声音，的低频比的高频更容易被人们听到B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小C. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为D. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍8. 已知非零向量，则“与共线”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知函数，若存在使得恒成立，则的取值范围( )A. B. C. D.10. 已知数列满足，①数列每一项都满足②数列的前n项和；③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足其中，所有正确结论的序号是( )A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①②④11.在的展开式中，的系数为______ 用数字作答12. 在边长为4的正中，点P是边BC上的中点，则______ .13. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为、、，甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率______ .14. 设函数①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称，______ ；②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是______ .15. 在正方体中，棱长为1，已知点P，Q分别是线段，上的动点不含端点其中所有正确结论的序号是______ .①PQ与垂直；②直线PQ与直线CD不可能平行；③二面角不可能为定值；④则的最小值是16. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且是AB的中点，，求的大小；求a的值.17. 周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：父亲母亲弟弟比赛的次数506040李梦获胜的次数103032以上表中的频率作为概率，求解下列问题.如果按照第一场与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.求李梦连胜三场的概率；如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X，求X的分布列与期望；记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为p，此概率p与父亲、母亲、弟弟出场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序使概率p最大不必计算？如果无关，请给出简要说明.18. 如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点.证明：；再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离.①；②19. 已知当时，求函数在处的切线方程；求证：；若在恒成立，求a的取值范围.20. 已知椭圆C：的离心率为，长轴的左端点为求C的方程；过椭圆c的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.21. 已知集合…，若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有好数的最小值记作当，即集合写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；证明：；证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，或，则故选：根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则故选：先化简，再计算模长即可．本题主要考查复数模长的计算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知双曲线的离心率为2，则，即，即，则其渐近线方程为故选：由双曲线的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解即可．本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属基础题．4.【答案】B【解析】解：设每日织布尺数构成的数列为，则是公比为2的等比数列，由题知，解得，该女子第二天织布数为故选：由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和能求出第二天织布数．本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意可知，若最小，则AM应为圆C的切线，，，如图所示，可得，的最小值为故选：由题意可知，AM为圆C的切线时，最小，求解即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．6.【答案】C【解析】解：角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，则，，，故选：根据已知条件，结合余弦函数的二倍角公式，即可求解．本题主要考查余弦函数的二倍角公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：对于A，的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为，令，此时，故C错误；对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．故选：对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断．本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：若与共线，取为方向相反的单位向量，则，，，充分性不成立；若，则，整理得到，若或，不等式成立，且与共线，若且，设a，夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性成立．综上所述，“与共线”是“”的必要不充分条件．故选：取，为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得到必要性，从而可得答案．本题主要考查充分必要条件的判断，向量共线的条件，考查逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设，易知函数在R上单调递增，又，则，即，则，于是，设，，则，易知当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为，又，则最大值为故选：设，则由的单调性结合题意可得，则，设，，利用导数即可得到的的最值，进而得解．本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：数列满足，，可得，故①正确；由，，，可得，故②错误；由，可得即又，两边同除以，可得，，，，累加可得，即有，当时，，故③正确；由，，，满足；由，且时，，可得，则，故④正确．故选：由不等式的性质可得，可判断①；求出，，，可判断②；推得运用累加法和不等式的性质可判断③；由，结合不等式的性质和二项式定理可判断④．本题考查数列的递推式和数列的累加法、数列不等式的证明，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：的展开式的通项为，令得，故展开式中项的系数是：故答案为：利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为2，求出展开式中项的系数即可．本题考查二项展开式的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】12【解析】解：如图，，，是边BC上的中点，，则故答案为：把用、表示，再由平面向量数量积的运算求解．本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则，且，，两两互斥，甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，则，，，则，，，故故答案为：设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得答案．本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件的定义和性质，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：①由题意知，，因为的图像关于原点对称，所以，，则，，不妨取，则②由知，，因为在区间上有且仅有两个零点，所以，解得，即的取值范围是故答案为：①答案不唯一；②①根据函数图象的平移法则，可得，再由正弦函数的中心对称性，即可得解；②由知，，再根据正弦函数的零点问题，得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的对称性，零点问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】①④【解析】解：对于①：在正方体中，可得，，，平面，平面，，故①正确；对于②：平面，可得过CD的平面与平面相交，与直线，相交于P，Q，则直线，故②不正确；对于③：二面角是平面与平面所成的二面角，故③错误；对于④：把平现与平面展开在同一平面上，设，，，则，线段，，，的最小值是，故④正确．故答案为：①④．利用正方体的性质，逐项计算判断即可得结论．本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，考查转化思想，属中档题．16.【答案】解：因为，由正弦定理得：，因为，所以，得，因为，所以；在中，由余弦定理得：，即，解得：负值舍去，则，在中，由余弦定理得：，所以，所以【解析】利用正弦定理得，进而求得A；在和中分别使用余弦定理，计算a的值．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．17.【答案】解：李梦与爸爸比赛获胜概率为；与妈妈比赛获胜概率为；与弟弟比赛获胜概率为；则李梦连胜三场的概率为；的可能取值为0，1，2，3，则，，，，故分布列为X 0 1 2 3P若出场顺序为爸爸妈妈弟弟：；若出场顺序为爸爸弟弟妈妈：；若出场顺序为妈妈爸爸弟弟：；若出场顺序为妈妈弟弟爸爸：；若出场顺序为弟弟妈妈爸爸：；若出场顺序为弟弟爸爸妈妈：；故与出场的顺序有关，出场顺序为妈妈弟弟爸爸或爸爸弟弟妈妈概率p最大．【解析】李梦获胜的概率分别为，计算即可；的可能取值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案．出场顺序共有6种，分别计算概率，比较大小即可．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望以及概率在实际问题中的应用，属于中档题．18.【答案】证明：连接PO，BO，，，O为AC的中点，，，又，平面POB，而平面POB，；解：若选择条件①，在中，，，，即，，在底面ABC上的射影为底面三角形的外心，即P的射影为O，可得平面ABC，又，、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，平面PAC的一个法向量为，，，，设平面PBC的一个法向量为，由，取，可得，，由图可知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为；点A到平面BPC的距离若选择条件②，由知，，又，且，平面ABC，，，即O为的外心，而O为AC的中点，可知，在中，，可得，又，、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，平面PAC的一个法向量为，，，，设平面PBC的一个法向量为，由，取，可得，，由图可知，二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为；点A到平面BPC的距离【解析】连接PO，BO，由已知可得平面POB，进一步得到；若选择条件①，证明，再证明OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离；若选择条件②，证明平面ABC，可得O为的外心，求出，说明OB、OC、OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值及点A到平面BPC的距离．本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角与点到平面的距离，是中档题．19.【答案】解：当时，，，则在处的切线方程为；证明：设，，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，，所以，则，即；解：当时，由得，当时，，设，，则在上单调递增，，得，则在上，，在上单调递减，，在不恒成立，不合题意．综上，当时，在恒成立．【解析】求导，将切点横坐标代入导数为切线斜率，利用点斜式可得切线方程；构造函数，证明其最小值为0即可；利用中所得结论，分类讨论即可．本题考查切线，考查不等式恒成立，属于中档题．20.【答案】解：因为椭圆C：的离心率为，长轴的左端点为，所以，得，所以椭圆C的方程：；证明：椭圆右焦点坐标为，由题直线斜率不为零，设直线l方程为，设，，由题，联立方程组，消去x得，所以，直线，得，同理，直线，得，设x轴上一点，则，同理得：，所以，因为，所以，解得：，即或，所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为，【解析】由离心率及顶点坐标得a，b，c的值，从而求得椭圆的方程；设，，将直线方程与椭圆方程联立，求得，由垂直关系利用数量积等于零，求得圆与x轴的交点．本题考查了椭圆的标准方程以及椭圆中的定点问题，属于中档题．21.【答案】解：取集合M的一个子集，则B中的4个元素的和为；取M的一个5元子集，且C中任意4个元素的和大于，即，，，，；证明：若，，，从小到大取a个元素，…，，，或…，1，，…，，；则A中任意4个元素之和大于或等于，假设不成立，所以；证明：当时，把集合M的元素按和为分组，得：…，，所以A中至少有2个二元子集满足，，若把集合M的元素按和为0分组，得：…，，所以A中至少有3个二元子集满足，，，因为集合，，两两互不相交，与、、中每一个至多有一个公共元素，所以，，中必有一个与没有公共元素，不妨设，则的4个元素就是A的4个互异元素，而这4个元素的和为，又因为，所以【解析】取集合M的一个子集B，且使B中的4个元素的和为即可；取M的一个5元子集C，且使C中任意4个元素的和大于即可；假设，，，从小到大取a个元素得A，得出A中任意4个元素之和大于或等于0，假设不成立；时，把集合M的元素按和为分组，得集合M的子集，把集合M的元素按和为0分组，得集合M的子集；由此判断子集满足的条件，从而证明结论成立．本题考查了集合的新定义应用问题，也考查了推理与证明能力，是难题．。
【精选3份合集】北京市门头沟区2019-2020学年高考数学统考试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设ln3a =，则lg3b=，则（）A．a b a b ab+>-> B．a b ab a b+>>- C．a b a b ab->+> D．a b ab a b->>+2．已知复数z满足()11z i i+=-（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．i-B．i C．1 D．1-3．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方()*3,n n≥∈N”是由前2n个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．454．在ABC中，角、、A B C的对边分别为,,a b c，若tan2sin()a Bb B C=+．则角B的大小为() A．π3B．π6C．π2D．π45．已知等比数列{}n a满足13a=，13521a a a++=，则357a a a++=（）A．21B．42C．63D．846．已知函数()()2sin1f x xωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x=图象的一条对称轴是直线6xπ=-，则当ω取得最小值时，函数()f x的单调递增区间是（）A．3,336k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）B．53,336k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）C．22,236k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）D．2,236k kππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k∈Z）7．点(,)P x y为不等式组+4x yy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-yx的取值范围是（）A．()(),21,-∞-⋃+∞B．(][),11,-∞-+∞C．()2,1-D．[]2,1-8．已知数列{}n a满足()*331log1logn na a n N++=∈,且2469a a a++=,则()13573log a a a++的值是( )A ．5B ．3-C ．4D ．9919．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A．B．C．D．210．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin3）＜f （cos3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）AB ．32C ．53D12．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京市门头沟区高考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市门头沟区高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 复数i(1+2i)的模是( ) A. √33 B. √55 C. √3 D. √52. 已知集合A =[−4,1)，B ={0,2}，则A ∩B 为( )A. {0}B. {2}C. {0,3}D. {x|−4<x <1} 3. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 23=1的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A. y =±√33x B. y =±13x C. y =±√3x D. y =±3x4. 等差数列{a n }中，前10项和S 10=120，那么a 2+a 9的值是( )A. 12B. 16C. 24D. 485. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )A. 2√5B. 24C. 2√6D. 3√26. 设a ⃗ 、b ⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，使a ⃗ |a ⃗ |=b ⃗ |b⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ =−b ⃗B. a ⃗ //b ⃗ 且方向相同C. a ⃗ =2b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ 且|a ⃗ |=|b ⃗ |7. 已知函数f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，且函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1] 8. 将函数，φ∈(0,π)的图象沿x 轴向右平移π6个单位长度，得到奇函数g(x)的图象，则φ的值为( )A. 2π3B. π3C. π6D. 5π69.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，若点N(4,1)，P为抛物线C上的点，则|NP|+|PF|的最小值为()A. 9B. 8C. 7D. 610.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8、13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有()层．A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．12.若钝角△ABC的面积是1，AB=1，BC=√2，则AC=________。
2024北京高三一模数学题目(含答案)利用导数研究函数的性质
一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。
2020北京门头沟区高三一模数学理科
2020北京门头沟区高三一模数学理科数学〔理工类〕 本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷l 至2页，第二卷3至5页，共150分。
考试时刻120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试终止后，将本试卷和答题卡一并回交。
第一卷 (选择题 40分)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U R =，集合2{|230}A x x x =--<,{|1}B x x =>，那么集合A C U B 等于 〔A 〕{|11}x x -<<〔B 〕{|11}x x -<≤ 〔C 〕{|12}x x -<<〔D 〕}1|{≤x x 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，假设243=k a ，那么k 等于 〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕 423．设向量(1,1)a x =-，(3,1)b x =+，那么〝 2x =〞是〝a b ⊥〞的〔A 〕 充分但不必要条件〔B 〕 必要但不充分条件 〔C 〕 充要条件 〔D 〕 既不充分也不必要条件4．一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的的体积为〔A〕2π〔B 〕83π 〔C〕2π 〔D〕4π+ 2018.3 2 22 侧〔左〕视图 22 2 正〔主〕视图 俯视图5．执行如以下图所示的程序框图，输出地结果S 等于〔A 〕3〔B 〕7〔C 〕11〔D 〕136．给定以下四个命题：①0x Z ∃∈，使0510x +=成立；②命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为:x R ∃∈，使20x <； ③假设两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面平行；④假设两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行.其中真命题个数是〔A 〕0 〔B 〕1〔C 〕2 〔D 〕3 7．假设[0,3],[0,2]a b ∈∈，函数22()2f x x ax b =-+有零点的概率为〔A 〕12 〔B 〕34 〔C 〕13〔D 〕23 8．设F 为抛物线 24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，假设FC FB FA ++=0，那么FA FB FC ++的值为(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 9第二卷 (非选择题110分)二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．复数1a i i+-为纯虚数，那么a = ． 10．圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为 ，该圆的面积为 ．11．函数(1)()()x x b f x x++=的图象关于原点对称，那么b =________________． 12．如右图:PA 切O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，那么O 的半径为 ．13．函数⎩⎨⎧<≥=)0()0(2)(2x xx x f x，假设1)(0=x f ，那么=0x ． 14．用)(n g 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,(9)9g =，10的因数有1,2,5,10,(10)5g =,那么(1)(2)g g +(3)(15)g g +++= ；(1)(2)(3)(21)n g g g g ++++-= .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解承诺写出文字讲明，演算步骤或证明过程．15．〔本小题总分值13分〕如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43(,)55-，AOC α∠=．〔Ⅰ〕求圆O 的半径及C 点的坐标；〔Ⅱ〕假设1BC =2sin cos 222ααα-的值．B C A D E P 16．〔本小题总分值14分〕如图：PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AB //CD ，90ADC ∠=，222PD CD AD AB ====，,PE EC 2=．(Ⅰ) 求证：PA //平面BDE ；〔Ⅱ) 求证：平面BDP ⊥平面PBC ；(Ⅲ) 求二面角B PC D --的余弦值．17．〔本小题总分值14分〕 从参加高三年级期中考试的学生中随机抽出40名学生，将其数学成绩〔均为整数〕分成六组[40，50)，[50，60)，…[90，100]后得到如下频率分布直方图.(Ⅰ)同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估量本次考试的平均分；〔Ⅱ〕从上述40名学生中随机抽取2人，求这2人成绩都在[70，80)的概率；〔Ⅲ〕从上述40名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60)，记为0分，在[60，100]，记为1分．用X 表示抽取终止后的总记分，求X 的分布列和数学期望．第17题18．(本小题总分值13分〕]1,0[∈x ，函数)21ln()(2+-=x x x f ，a x a x x g 43)(23--=． 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间和值域；〔Ⅱ〕设,1-≤a 假设]1,0[1∈∀x ，总存在]1,0[0∈x ，使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范畴．19．〔本小题总分值13分〕12(1,0),(1,0)F F -是椭圆C 的两个焦点，A 、B 为过1F 的直线与椭圆的交点，且2F AB ∆的周长为34．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕判定1111F A F B +是否为定值，假设是求出那个值，假设不是讲明理由.20．〔本小题总分值13分〕假设数列{}n a ()*N n ∈ 满足：〔1〕0≥n a ；〔2〕0221≥+-++n n n a a a ；〔3〕121n a a a +++≤，那么称数列{}n a 为〝和谐〞数列．〔Ⅰ〕验证数列{}{}n n b a ,，其中)1(1+=n n a n ，nb n 21=是否为〝和谐〞数列； 〔Ⅱ〕假设数列{}n a 为〝和谐〞数列，证明：2120n a a n n <-≤+．门头沟区2018年高三年级抽样测试数学试卷〔理工类〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，两个空的第一空２分，第二空３分，共30分．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤.15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕半径1)53()54(22=-+==OB r ， ……………………………2分点C 的坐标为(cos ,sin )αα； ……………………………5分 〔Ⅱ〕由〔1〕可知1OB OC BC ===，3BOC π∴∠= (6)分2sin cos 222ααα--cos 113()sin 222αα+-- (8)分1cos sin 22αα=- sin()3πα=- ……………………………10分3sin 5BOA =∠=……………………………13分16．〔本小题总分值14分〕 解：法一：证明：建立如下图的坐标系，〔Ⅰ〕(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)A B C , (0,0,0),(0,0,2)D P ……………………………1分24(0,,)33E14(1,,)33BE =--，(1,1,0)DB =，(1,0,2)PA =-设PA xBE yDB =+，可得3122PA BE DB =--因为PA ⊄平面BDE ， 因此PA //平面BDE ． ……………………………3分〔Ⅱ〕因为(1,1,0),(1,1,0)BC DB =-=因此0BC DB =B C A D EPＧ O MBD BC ⊥因为PD ⊥平面ABCD ，因此PD BC ⊥因此 BC ⊥平面PBD ，因此 平面BDP ⊥平面PBC ． …………………8分〔Ⅲ〕因为,AD DC AD PD ⊥⊥因此DA 是平面PDC 的法向量，(1,0,0)DA =，设平面PBC 的法向量为)1,,(y x n =→， 由0,0=⋅=⋅→→→→PC n BC n 得：)1,1,1(=→n ，设二面角BPC D --为θ， 那么cos DA n DA n θ→→⋅===• 因此二面角B PC D --余弦值为3……………………………14分法二： 〔Ⅰ〕连结AC 交BD 于G ，连结EG AB //CD ……………………1分 12AG AB GC CD ∴==，由21=EC PE , 得ECPE GC AG =，//PA EG ∴， EG DEG ⊂平面，EG DEG ∉平面//PA DEG ∴平面． …………………………3分〔Ⅱ〕由可得，2=BD ，取CD 的中点O ，连结BO ，ABOD 为正方形，2,1===BC OC OB ，因此222BD BC CD += 由勾股定理的逆定理知BD BC ⊥，因为PD BC ⊥，因此 ⊥BC 平面BDP ，因此 平面BDP ⊥平面PBC ． (8)分〔Ⅲ〕PD BO CD BO ⊥⊥,，因此⊥BO 平面PDC ，⊥BO PC在平面PDC 内作PC OM ⊥交PC 于点M ，因此PC ⊥平面BOM连结BM ，PC BM ⊥，BMO ∠是二面角B PC D --的平面角。
北京市门头沟区2020届高三年级3月综合练习数学(无答案)
一、选择题（本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。）
1.复数 2i(1+ i) 的模为
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2 2
2
2.集合 A = {x x 2, x R}, B = {x x2 − 2x − 3 0} ，则 A B =
若 A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
则下列说法正确的为
.
① a 的值可以为 2；
② a 的值可以为 2 ；
y
O
x
③ a 的值可以为 2 + 2 ；
本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得 5 分，不选或有选错得 0 分，其它得 3 分。
三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
22 （Ⅱ）求证： f (x) 在 (0, ) 上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数 f (x) 在 (0, 2 ) 上的零点个数。
高三年级综合练习 数学试卷 第7 页 （共8 页）
21.（本小题满分 14 分）已知 q, n 均为给定的大于 1 的自然数，
设集合 M = {1, 2,3, , q}, T = {x x = x1 + x2q + + xnqn−1, xi M ,i = 1, 2 , n} （Ⅰ）当 q = 2, n = 2 时，用列举法表示集合T
定的空白处。
①
。
②
。
14. 已知两点 A(−1, 0), B(1, 0) ，若直线 x − y + a = 0 上存在点 P(x, y) 满足 AP BP = 0
则实数 a 满足的取值范围是
2020年北京市门头沟区高考数学一模试卷(带答案)
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写 在答案纸指定的空白处． ①______． ②______．
14. 已知两点 A（-1，0），B（1，0），若直线 x-y+a=0 上存在点 P（x，y）满足 • =0，
则实数 a 满足的取值范围是______． 15. 集合 A={（x，y）||x|+|y|=a，a＞0}，B={（x，y）||xy|+1=|x|+|y|}，
19. 已知椭圆 G： + =1（a＞b＞0），上顶点为 B（0，1），离心率为 ，直线 l：y=kx-2 交 y 轴于 C 点，交椭圆于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N． （Ⅰ）求椭圆 G 的方程； （Ⅱ）求证：S△BOM•S△BCN 为定值．
①函数 f（x）的周期为 π；
第 2 页，共 13 页
②x= 是函数 f（x）的对称轴； ③f（ ）=0 且在区间（ ， ）上单调． （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）若 x∈[0， ]，求函数 f（x）的值域．
17. 在四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 中，BC∥AD，CD⊥AD， PO⊥平面 ABCD，O 是 AD 的中点，且 PO=AD=2BC=2CD=2． （Ⅰ）求证：AB∥平面 POC； （Ⅱ）求二面角 O-PC-D 的余弦值； （Ⅲ）线段 PC 上是否存在点 E，使得 AB⊥DE，若存 在指出点 E 的位置，若不存在，请说明理由．
C. （2，+∞）
D. （2，3）
3. 已知双曲线 C： - =1， C 的渐近线方程为（ ）
A. y=± x
B. y=± x
C. y=± x
D. y=± x
北京市门头沟2020年高三综合练习 数学试题及答案
D A B C P 北京市门头沟区2020年高三综合练习数 学 2020.4一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 设全集U = {}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，则U ()C A B U =A ．｛0，4｝B ．｛1，5｝C ．｛2，0，4｝D ．｛2，0，5｝2. 复数z 满足23z i i=-，复数z 对应的点在复平面的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D. 第四象限3.对于函数()sin (,,)f x a x bx c a b R c Z =++∈∈,计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2 4. 抛物线28y x =焦点F 到双曲线22:13y C x -=的一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D 35. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为A. 48里B. 24里C. 12里D. 6里6.在直角梯形ABCD 中，0//,90AB CD DAB ∠=，且222,AB CD AD P ===是BC 的中点，则PD PA ⋅u u u r u u u r 为A ．94B ．3C ．2D ．527. 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示，则“2m ≥”是“函数()f x m ≤对[0,8]x ∈恒成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。
门头沟区2023届高三一模数学试题答案
门头沟区2023年高三年级综合练习（一）数学答案及评分参考2023．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） （1）解：A ；易得A（2）解：B；3i z z =-+⇒12z i i =-++（3）解：C；由题意得：2223c a b a y x y a b =⇒=⇒=±⇒= （4）解：B ；设第一天织布为1a 尺，公比为q ，则2q =，511(1)55131a q a q-=⇒=-21031a =（5）解：A ；由题意可知，4CAB π∠=，若MAB ∠最小，则AM 应是圆C 的切线，4,26AC MC CAM π==⇒∠=所以最小值为min ()412MAB CAB CAM πππ∠=∠-∠=-=（6）解：C；由题意得：πsin βαβ=+⇒=cos cos αβ=⇒=或cos cos αβ=⇒=，1cos()cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=（7）解答：D ；音量为20dB ，30100Hz 的低频下限阈值比100010000Hz 的高频下限阈值要大，所以更不容易被人们听到，故A 错误；B 显然错误；根据音量公式，计算得p 240Hz =2×10−4Pa ，故C 错误；计算得p 1000Hz =2×10−5Pa ，前者为后者的10倍，D 正确.（8） 解：B ；a 与b 共线但反向，显然“a b a b -≤-”不成立；“a b a b -≤-”成立，则a 与b 方向相同，可推出它们共线。
也可利用数量积推理22a b a b a b a b a b a b -≤-⇔-⋅≤-⇔⋅≥⇒a 与b 方向相同（9）解：设()()e ()x h x f x x x h x =+=+⇒，则递增，由题意()0000()()()f t t f x x h t h x t x +=+⇒=⇒=，则00()b f x x =-，设/()e[1,2]()e 100xx m x x x m x x =-∈-⇒=-=⇒=，()m x 在[1,0]-递减，在[0,2]上递增，min ()(0)1m x m ==，2max ()e 2m x =-，D 正确（10）解：C ；①11211211(1),01(1)0122n n n a a a a a a a a +=-<≤⇒=-⇒<<，由递推得01n a <≤，①正确；②123441331311,,,(1)2288288a a a a S ====-⨯>⇒>，所以②不正确③1112111111(2)222n n n n n n n n a a a a a a a a ++==+⇒-=>---，叠加得：*111112221(2,)2221n n n n n n a a n n N a a n n ++++>+⇒>⇒<⇒<≥∈++，③正确；④2111111222n n n n n na a a a a a ++=-⇒=-≥，叠乘：1111()()22n n n n a a -+≥⇒≥，④正确；正确结论C第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．） （11）解：12-6122162(1)12225r rr r r T C x r r --+=-⇒-=⇒= （123412AB AP ⋅=⨯=（13）解:设甲工厂产品数为2n 乙工厂产品数为3n 丙工厂产品数为5n 则共有产品数为女生为10n 设从中任取一件此产品为正品这一事件为A 则0.9520.930.85()0.8610n n n P A n⨯+⨯+⨯==（14）解：2ω=；πππ263k k ωω-+=⇒=-；58]33（，；58582333333ππωππω<+≤⇒<≤⇒（，]（15）解:①：1111111B C BC B C AB B C ABC D AB BC⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⎩平面111PQ ABC D PQ B C ⊂⇒⊥.①正确；②：11//CD ABC D ，可得：过CD 的平面与平面11ABC D 相交，与直线11,AD AC 相交于,P Q ，则直线//PQ CD ，②错③：二面角P AC Q --就是1ACD 平面与平面1ACC 所成的二面角11D AC C --，所以③错④：把平面1ACC 与平面11AC D 在同一平面上；设1sin 4CAC πααα∠=⇒=<⇒<则1142,sin 2sin 2233D AC P AD CP AC πααα∠=<⇒∈=⇒=⨯=线段三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．） （16）解：（Ⅰ）由cos sin 0A a B -=得：cos sin sin 0sin 0B A A B A A +=⇒-=πtan 3A A = （Ⅱ）由余弦定理得：2212422cos2803AD AD AD AD π=+-⨯⇒--=解得：4AD =，则8AB =，由余弦定理得：2464228cos523BC BC π=+-⨯⨯=⇒=（17）解：（Ⅰ）设李梦连胜三场这一事件为A ，则()0.20.50.80.08P A =⨯⨯= （Ⅱ）X 可取0，1，2，3，则：(0)0.80.50.20.08P X ==⨯⨯=(1)(10.2)(10.5)0.8(10.2)0.5(10.8)0.2(10.5)(10.8)0.42P X ==-⨯-⨯+-⨯⨯-+⨯-⨯-= (2)(10.2)0.50.80.2(10.5)0.80.20.5(10.8)0.42P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= (3)0.20.50.80.08P X ==⨯⨯=期望：00.0810.4220.4230.08 1.5EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）有关；李梦第二场与弟弟比赛的概率p 最大 。
2020门头沟一模数学
23门头沟区 2020 年高三综合练习评分标准数 学2 0 2 0 . 3一、选择题（本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.复数 2i (1+ i ) 的模为 （ ）1 A.B. 1C. 2D . 2 22.集合 A = {x x > 2 , x ∈ R }, B = {x x 2- 2x - 3 > 0} ，则 A B = （ ）A . (3, +∞)B. (-∞, -1) (3, +∞)C.(2, +∞) D. (2,3)3. 已知双曲线C : x y 2- = 1，则C 的渐近线方程为（ ）A ． y = ± 949 4 xB ． y = ± 4 x 9 C. y = ± 3 x 2D. y = ± 2 x34. 若等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 13 = 0 ， a 3 + a 4 = 21 ，则 S 7 的值为A. 21 B . 63 C. 13 D. 845. 某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形， 则该几何体中最长的棱长为A.B .C. 1D.解：由题意可知，此几何体如图所示，底面为一个直角三角形，高为 1，最长的棱为正方体的主对角 线，长为 26323 PMPF - 1 3 6. 设向量a , b 满足的b = 2, a= 1 ，且b 与 a 的夹角为θ。
则“ b - a = π”是“θ= ” 3A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件C .充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解： b - a = ⇔ 4 +1- 2a ⋅ b = 3 ⇔ a ⋅ b = 1 ⇔ θ= π选 C 【利用向量几何运算更易】3⎧ 2x 7.已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩ln x 数根，则实数 a 的取值范围 (x ≤ 0) (x > 0)，且关于 x 的方程 f (x ) + x - a = 0 有且只有一个实A. [0, +∞)B .(1, +∞)C.(0, +∞) D. [-∞,1)解： f (x ) + x - a = 0 ⇔ f (x ) = a - x 作图可得：Bπ8. 若函数 f (x ) = sin 2x 的图象向右平移个单位长度得到函数 g (x ) 的图象，若函数6g (x ) 在区间[0, a ] 上单调递增，则a 的最大值为ππ5π A.B.C .2312π 7π D.12π π5π解： g (x ) = sin(2x - ) ，g (a ) 为最大值， a 的最大值 2a - = ⇒ a = ，选 C33 2 129. 已知点 M (2, 0) ，点 P 在曲线 y2= 4x 上运动，点 F 为抛物线的焦点，2则 的最小值为A.B. 2（ -1)C.4D. 4解：设 P (x , y ) 是抛物线上任一点，(x - 2)2 + y 2x 2 + 4 4抛物线的焦点为 F (1, 0) ，= == x + ≥ 4xxx3 5 5PM 2PF -16 610. 一辆邮车从 A 地往 B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为 A 1 , A 2 , A n （ A 1 为 A 地，A n 为B 地）。