人工变量法和两阶段法
x1 , x2 0
1 1 A 5 2
2 6
90 b 490
240
C 6 8
它的对偶问题是：
这里Y y1, y2, y3
minW Y 90 490 240T
minW 90 y1 490 y2 240 y3
在单纯形迭代过程中，要求人工变量逐步从基 变量被替换出，变为非基变量，最后，基变量中不 含有人工变量。
为使人工变量被替换出成为非基变量，有 1.大M法 2.两阶段法
1.大M法：在目标函数求最大值的线性规划问题中， 设人工变量在目标函数中的系数为-M，M为任意大 的正数。只要人工变量不为零，目标函数最大值就 是一个任意小的数。
s.t .
y1 4 y2
2
2 y1
4 y3 3
y1 , y2 , y3 0
4.2.2 一般形式的线性规划模型与对偶模型之间的关系 对于非对称形式的线性规划模型如何写出其对
偶模型？ 其思路是首先将非对称形式转换为对称形式，然
后再按照对应关系写出其对偶模型。
原问题求极小------ min Z maxZ
x1 x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0, x2 0, x3无约束
（4 9）
原问题约束方程有“=”，如何转化？
（1）将约束条件2的等式约束转化为两个不等式约束
a21 x1
a22 x2
a23 x3
b2
a210，x3
0，x3
0
对称 形式 线性 规划 模型 的对
max Z CX
两阶段法
第一阶段：希望人工变量等于0，为此，构造只 含人工变量的目标函数，并要求实现最小化。
用单纯形法求解上述模型，若得到W=0,则必有 x6=x7=0。说明原问题存在基可行解，可以进行第二 阶段计算，否则原问题无可行解，应停止计算。
第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，去掉 人工变量，将目标函数换为原问题的目标函数，作为 第二阶段计算的初始表，继续单纯形法 ，直至求得 最优解。
无可行解在大M法中判断:检验数全部小于等于零且 有人工变量为基变量，则此线性规划模型无可行解。
无可行解在两阶段法中判断:如果第一阶段求解结果 最优解的目标函数值不为0，也即最优解的基变量中 含有非零的人工变量，表明原LP问题无可行解。
第4章 对偶模型
4.1 对偶模型的提出 4.2 原模型与对偶模型的线性规划模型之
（3）非负变量约束变换为x2 x2；x3 x3 x3， 其中x2 0，x3 0，x3 0。
原数学模型转换为对称形式的数学模型：
max Z c1 x1 c2 x2 c3 x3 c3 x3
a11
x1
a12 x2
a13 x3
1 1
Y
5 2
2 6
6
8
Y 0
y1 5 y2 2 y3 6
y1
2
y2
6
y3
8
yi
0,
i 1, 2, 3
例如：(P)
max z 60 x 1 50 x 2 2 x 1 4 x 2 80 y 1 3 x 1 2x 2 60 y 2 x1 ,x2 0
原问题约束方程有“≥”------两边同乘（-1），“≤” 原问题约束方程有“=”------对偶问题？
【例4-3】写出下列线性回归模型的对偶模型
max Z c1 x1 c2 x2 c3 x3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
st
.
a21 a31
min 80y1 60y2
s.t .
2y1 3y2 60
4y1 2y2 50
y1 ,y2 0
max z 2x1 3x2
x1 2 x2 8 y1
4 x1
16 y2
4x2 12 y3
x1 , x2 0
min 8 y1 16 y2 12 y3
a21
x1
a22 x2 a22 x2
a23 x3 a23 x3
b2 b2
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a21
x1
a22 x2
a23 x3
b2
（2）将约束条件3两端同乘-1，得 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
max z CX (P) AX b
X 0
Prime problem
min Yb
(D) YA C Y 0
Dual problem
max Z 6 x1 8 x2 原问题中各系数矩阵为
x1 x2 90
5 2
x1 x1
2 6
x2 x2
490 240
a13 x3
b1
st
.
a21 x1 a21 x1
a22 x2 a22 x2
a23 x3 a23 x3
a23 x3 a23 x3
b2 b2
a31 x1
a32 x2
a33 x3
a33 x3
b3
x1
上周内容回顾
人工变量法和两阶段法
对于一般的线性规划问题，在用单纯形法求解 之前，总是先化为标准型。如果在系数矩阵中有一 个单位阵，则可以作为初始可行基。
如果约束条件的系数矩阵中不存在单位矩阵， 则可以通过添加人工变量的方法，在标准型的约束 方程的系数矩阵中人为地构造一个单位阵，从而获 得初始可行基，再作进一步迭代。
间的关系 4.3 对偶模型的基本性质 4.4 对偶模型的经济意义——影子价格 4.5 对偶模型最优解和影子价格 4.6 对偶单纯形法
4.2 原模型与对偶模型的线性规划模型 之间的关系
4.2.1 对称形式线性规划模型的对偶模型
定义1 具有下列特点的线性规划模型称为对称形式的 线性规划模型，变量均具有非负约束，其约束条件为 当目标函数求最大时取“≤”、目标函数求最小时取 “≥”。
管理运筹学两阶段法和大M法
两阶段法和大M法
阶段Ⅱ 求解原问题 以阶段Ⅰ的最优基B作为原问题的初始可行基，求解 原问题，得到原问题的最优基和最优解。 例1 求解以下线性规划问题。
两阶段法和大M法
引进松弛变量x3，x4，x50，得到
增加人工变量x6，x7≥0，构造辅助问题，并进入第一阶段求解。
两阶段法和大M法
标准化并写出辅助问题的系数矩阵表：
x2 3 D 2 C B 1 A O 0 1 2
x1
基迭代路线
两阶段法和大M法
大M法的基本步骤如下：
（1）引进松弛变量，使约束条件成为等式；
（2）如果约束条件的系数矩阵中不存在一个单位矩 阵，则引进人工变量；
（3）在原目标函数中，加上人工变量，每个人工变量
的系数为一个充分大的正数M； （4）用单纯形表求解以上问题，如果这个问题的最优 解中有人工变量是基变量，则原问题无可行解。如果最优 解中所有人工变量都离基，则得到原问题的最优解。
第二节 单纯形法 总结
• • • • •
LP的标准形式 LP的解的各种概念与形式 单纯形法的原理 单纯形法求解LP问题的步骤 最终解的判别
将LP问题转化为标准形式 单纯形表格法求解LP问题
下周见！
引进变量X4,X5
基中不包含单位矩阵，因此无法直接获得初始可行基。
• 人工变量法有两种方法：两阶段法和大M法。
两阶段法和大M法
引进人工变量 Xa=(xn+1,xn+2,…, xn+m)T
X=(x1,x2,…,xn)T
基础可行解 X=0,Xa=b
两阶段法和大M法
基本思想：
人造解 X0 不是原LP问题的基本可行解。 但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟 的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即 人工变量xn+1 = xn+2 = … = xn+m = 0），则X0的 前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
第3章09-人工变量法之两阶段法
第3章09人工变量法之两阶段法同学们大家好，今天我们继续来学习，人工变量法这一小节。
现在我们再来看第二个方法——两阶段法。
大M 法和两阶段法实际上各有优缺点，大M 法的原理很清晰，但是在用计算机求解时，对M 只能输入一个很大字长的数字，而模型的参数与M 有可能比较接近，从而可能会在计算过程中发生一些错误。
而两阶段法不需要设定大M ，不会发生这个问题，所以，计算机程序中一般都采用两阶段法。
两阶段法，顾名思义，就是把求解过程分成两个阶段进行。
第一个阶段，在原模型中，引入人工变量，使约束矩阵中有一个单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值。
求解完之后，如果人工变量不取零，那么能证明原模型一定无可行解，反之，如果人工变量是都取零的，那么这个时候实际上也找到了原模型的一个可行基，然后再进一步求出原模型的解。
下面我们通过例3-7进行介绍。
例3-7用两阶段法求解线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+≥-+-≤+++-=3,2,1,093124st.3max 3232132131i x x x x x x x x x x x z i 对于这个问题，首先把它化成下面的标准型131234123523max 3421st.390,1,2,,5i z x x x x x x x x x x x x x i =-++++=⎧⎪-+--=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩ 它的约束矩阵中显然没有单位阵，所以，我们下面用两阶段法进行求解。
第一阶段，引入人工变量x 6和x 7，使得约束矩阵中有单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值，也就是，先求解下面的线性规划模型。
67123412356237max 421st.390,1,2,,7j x x x x x x x x x x x x x x x j ω=--+++=⎧⎪-+--+=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩ 用单纯形表法对上面的模型进行求解，先写出A ，b ，C ，111100021101100310001A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭，419b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()0000011C =--选取初始基B=（P 4，P 6，P 7）=E ，基变量为X B =（x 4，x 6，x 7）T ，C B =（0，-1，-1），467B =P P P =E （，，），TB 467X =x x x （，，），BC =0-1-1（，，）而B -1A ，B -1b ，C-C B B -1A ，-C B B -1b 也都可以求出1B A A -=，1B b b -=，()()111110000000011(0,1,1)21101100310001 2400100B C C B A -⎛⎫ ⎪-=-------- ⎪⎪⎝⎭=--14(0,1,1)1109B C B b -⎛⎫ ⎪-=---= ⎪ ⎪⎝⎭这时就得到了下面的初始单纯形表。
单纯形法-人工变量法
max z=3x1+4x2 x1 +x2 40
2x1+x260 x1-x2 =0 x1 ,x2 0
cj →
CB XB b 0 x3 40 0 x4 60 -M x5 0
cj- zj
0 x3 40 0 x4 60 3 x1 0
cj- zj 4 x2 20 0 x4 0 3 x1 20
3 40
x1 x2 x3 1 11 2 10 [1] -1 0
例 max z=3x1+5x2 3x1 +5x2 15 2x1 + x2 5 2x1+2x2 11 x1 ,x2 0
CB XB b
0 x3 15 0 x4 5
0 x5 11
cj-zj
5 x2 3 0 x4 2 0 x5 5
cj-zj
3 50 00 x1 x2 x3 x4 x5 3 [5 ] 1 0 0 2 1010 2 2001 3 5000 3/5 1 1/5 0 0 7/5 0 -1/5 1 0 4/5 0 -2/5 0 1
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1 , , x7 0
这时，初始基和初始基可行解很明显。X(0)=(0，0，0， 11，0，3，1)T不满足原来的约束条件。如何使得可从 X(0)开始，经迭代逐步得到x6=0，x7=0 的基可行解， 从而求得问题的最优解，有两种方法：
• 两种方法
– 大M法 – 二阶段法
约束方程为“>=”或“=”的情形（加人工变量）
标准型：
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
大M法和两阶段法
1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
-1
3 2 5M-3 0 1 0 -2 0 1 0 -2
2
-7 -1 -8M+5 -1/3 -7/3 (11/3) 11/3M+7/3 0 0 1 0
-1
（3） 2 5M-1 0 1 0 0 0 (1) 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0 0 0 1 0 → 2/3 5/2 →
→
两阶段法
第一阶段：引入辅助问题
max S x5 x6 x7 s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3 x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2, ,7
Cj 段 ↓ -1 1
→ 基 x5
0 b 2
0 P1 （1）
0 P2 -1
0 P3 2
0 P4 -1
-1 P5 1
-1 P6 0
-1 Qi P7 0 2 → 注
-1
-1 Cj-Zj 0
x6
x7 → x1 x6 x7 → x1 x4
6
7 15 2 2 5 7 8/3 2/3
2
1 4 1 0 0 0 1 0
大M法
引入人工变量x5，x6，x7，将原问题化为
max F 2 x1 x 2 x3 x 4 M ( x5 x6 x7 ) s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2,,7
Cj-Zj 0
运筹学5人工变量及其处理方法
min w = x6 + x7
max w' = − x6 − x7
= 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 s.t. + x3 + x7 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L7)
计算机计算时，必须对 给出一个具体数值 给出一个具体数值， 计算机计算时，必须对M给出一个具体数值，通常 计算时 取比原问题中最大数据高 最大数据高1~2个数量级的数值。并视 个数量级的数值 取比原问题中最大数据高 个数量级的数值。 求解情况对M作适当调节 作适当调节。 求解情况对 作适当调节。
例：用大M法求解LP 求解LP
两阶段法的第一阶段求解的目的： 两阶段法的第一阶段求解的目的： 目的
1.判断原LP有无可行解。 判断原 有无可行解 有无可行解。 判断 2.若有，则可得原LP的一个初始基本可行解，再 若有，则可得原 的一个初始基本可行解， 的一个初始基本可行解 若有 对原LP进行第二阶段的计算 进行第二阶段的计算。 对原 进行第二阶段的计算。
初始可 行基
B
(0)
= ( p4
p6
p7 ) = I 3
初始基本 可行解
(0
0 0 11 0 3 1)
T
初始单纯形表
[ ]
11 3 2 1
[ ]
/ 1 /
0
人工变量x 已从基变量中换出。 人工变量 6,x7已从基变量中换出。
第二阶段： 第二阶段：
x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 1 2 3 s.t. + x3 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L5)
初始可行基的求法——人工变量法
2x1 x2 4 3x1 x2 1 x1, x2 0
max z1 2x1 3x2 M (x5 x6 )
2x1 x2 x3 x5 4
3x1 x2
x4 x6 1
x1,, x6 0
cj
CB XB
-M x5 -M x6
σj
-M x5
3
退化解出现的原因是模型中存在多余的 约束，使多个基可行解对应同一顶点。当出 现退化解时，有可能出现迭代计算的循环， 但可能性极其微小，为避免循环，可取下标 较小的变量换出。
8（4）先用大M法，再用两阶段法 求解LP问题：
min z x1 3x2 4x3 3x4
3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x1, x2 , x3 , x4 0
11
4x1 2x1
x2
2x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1,, x7 0
cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
1
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
1
x7
1
-2
0 [1] 0
0
0
1
σj
6
-1
-3
0
1
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0
线性规划大M法或两阶段法
两阶段法
阶段Ⅰ 求解人造极大问题（先将线性规划问题化标准型，并 将其约束条件中加入人工变量，得第一阶段的数学模型）
max w = -xn+1 -xn+2 - … -xn+m 或者 min w = xn+1 +xn+2 + … +xn+m
s.t. ( 2.1 )
人工变量的系数 均为1或-1
因为人工变量
0
0
0
-M
0
0
8/3 ——
2
x2
3/5 －6/5
1
0
x5
31/5 3/5
0
-1
x3
11/5 －2/5
0
j
5↑
0
2
x2
13
0
1
0
－1/5
0
0
3/5
1
1
－2/5
0
0
0
0
0
1
2
——
→
31/3 ——
3
x1
31/3
1
0
0
1
5/3
-1
x3 j
19/3
0 0
0 0
1
0
2/3
0
-5
-25/3
一、大M法
例 用大M法求解下述LP问题
x1， x2， x3 ， x4， x5 ≥ 0
一、大M法
cj 基 解
-M -M
xx45
6 4
3 -1
x1
x2
-2
x3
-M
x4
-M
x5
比值
3 2 -3 1 0 2 min
两阶段法(线性规划)
两阶段法孙敏 枣庄学院考虑线性规划问题0 s.t.min ≥==x bAx cx Z（1）符号说明与教材一致，唯一的不同之处是不要求假设矩阵A 是行满秩的。
在初始基本可行解未知的情况下，可以采用两阶段法。
这种方法的基本思想是：第一阶段在约束中增加人工变量a x ，修改目标函数为极小化人工变量的和，即下面的问题（2），然后用普通单纯形法消去人工变量（如果可能的话），即把人工变量都变换成非基变量，求出问题（1）的一个基本可行解。
第二阶段就从得到的基本可行解出发，用普通单纯法求解问题（1）。
0,0s.t.min ≥≥=+=a a a T x x bx Ax x e W （2）这样，在极小化目标函数的过程中，由于大M 的存在，将迫使人工变量离基。
由于b x x a ==,0是线性规划（2）一个基本可行解，目标函数在可行域上有下界0，因此问题（2）一定存在最优基本可行解。
用单纯形法求解线性规划（2），设得到的最优基本可行解是⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x ，此时必有下列三种情形之一。
（a ）0*≠a x 。
这时问题（1）无可行解。
因为如果问题（1）有可行解xˆ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0ˆxx x a是线性规划（2）的可行解。
在此点处，问题（2）的目标函数值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=<==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡***000ˆa a T T x x W x e e x W这与⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x 是问题（2）的最优解矛盾。
（b ）0*=a x 且*a x 的分量都是非基变量。
这时，m 个基变量都是问题（1）的变量，又知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0***x x x a 是问题（2）的基本可行解，因此*x 是问题（1）的一个基本可行解。
转第二阶段。
（c ）0*=a x 且*a x 的某些分量是基变量。
这时，可用主元素消去法，把原来变量中的某些非基变量引进基，替换基变量中的人工变量，再开始第二阶段。
人工变量单纯形法之两阶段单纯形法
人工变量单纯形法之两阶段单纯形法 两阶段单纯形法也是一种人工变量法，它的 算法可分为两个阶段：第一阶段，引入人工 变量，构造一个具有标准基的新线性规划， 求解这个新线性规划，其结果有两种可能： 或者将原问题的约束方程组化成具有标准基 的形式，或者提供信息，表明原问题没有可 行解。第二阶段，利用第一阶段所得的标准 基，对原问题求解。
1．人工变量的引入 设原问题为
( LP)1 :
max Z CX s.t. AX b X 0
引入人工变量y1,y2, …,ym ，构造新线性规划
( LP)2 :
max W - y1 - y 2 - … - y m s.t. IY+AX b Y 0, X 0
易知，新线性规划（LP）2 ，具有以下3个 特点： 1、 （LP）2存在可行解，Y=b， X=0 2、 （LP）2 必有最优解。 3、 （LP）2 存在一个标准基。
例子：
max Z=x1+2x2+5x3-3x4 s.t. x1+x2 =3 2x1-2x2-x3 =6 2x1+x2+x3+x4=11 X>=0 这个例子用以前的方法难以求解，没有标 准基，我们可以试想添加变量，将其变成 标准形式。
max W=-y1-y2 s.t. y1+x1+x2 =3 y2+2x1-2x2-x3 =6 2x1+x2+x3+x4=11 X>=0 Y>=0 添加了人工变量，原线性规划与新线性规 划的关系是什么呢？大家可以思考一下。
（2）第二阶段：用第一阶段所得的含标准基的约束 方程组取代原问题的约束方程组，再用单纯形法求解。
The
End!
用表1-14表示新线性规划求解过程
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2