高中数学 第二章 平面向量 2-3-4平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4
合集下载
人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件
a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
第三十三页，共59页。
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底 吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作 基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是 相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向 量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代 数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件 是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、 重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对 转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、 天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)， 若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
平面向量的概念【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件
6平.面1 向平量面的向概量念的【概新念教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（必2 0修19第）二高 册中优数秀学 必pp修t课第件二册课 件(共 29张PP T)
3．关注两个“特殊”向量 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确 定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无 数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
5．已知A，B，C是不共线的三点，向量m
与向量
―→ AB
是平行
向量，与―B→C 是共线向量，则m ＝________.
解析：因为A，B，C三点不共线，所以
―→ AB
与
―→ BC
不共
线，又因为m ∥―A→B 且m ∥―B→C ，所以m ＝0.
答案：0
6平.面1 向平量面的向概量念的【概新念教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（必2 0修19第）二高 册中优数秀学 必pp修t课第件二册课 件(共 29张PP T)
，
―→ CO
是模相等的向
量．故选C.
答案：C
6 . 1 平 面向 量的概 念-【 新教材 】人教 A版（2 019）高 中数学 必修第 二册课 件(共 29张PP T)
6平.面1 向平量面的向概量念的【概新念教-【材 新 】人教教材 】A版人高教中A数版学（必2 0修19第）二高 册中优数秀学 必pp修t课第件二册课 件(共 29张PP T)
2.在向量的表示法中，字母表示向量要注意书写规 范，等长且同向的有向线段表示同一个向量．
3.注意向量共线与线段共线的不同.
[思考发现]
1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度； ⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的个数是
()
A．1
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
高中数学第二章平面向量的基本定理及坐标表示2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版
§2.3.4平面向量共线的坐标表示一、 温故互查共线向量的条件 二、设问导读思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？解：设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠0）注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b≠，∴x 2, y 2中至少有一个不为0.2︒充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式： 三、自学检测1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．变式训练1：已知平面向量)2,1(=a，),2(m b -= ，且//，则32+等于_________.2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________. 3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). （1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.四、巩固训练：1、已知AB =a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b），则（ ）A. A 、B 、D 三点共线B. A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2、若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为________.3、已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 等于（ ）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)4、已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若AB 和CD 是相反向量,则D 点的坐标是（ ） A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2)5、若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使AB =λBC 的实数λ的值为（ ） A.1 B.-2 C.0 D.2五、拓展延伸1、已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ） A. -2 B. 9 C. -9 D. 132、若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且=2,则x=_______,y=________.3、已知ABCD 中,=(3,7), =(-2,1),则CO 的坐标(O 为对角线的交点)为_________.4、向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?。
人教A版高中数学 必修4 .2平面向量的正交分解及坐标表示 教学课件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
解析：
设D（x, y），
BC (4, 3), AD ( x, y 2),由BC 2AD
得x=2,y=
（填写正确的序号）．
①
14 3
，3
；②
7，9 2
； ③
-
134，- 3
；④
(-7，9)
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
5.如图，在直角坐标系中， 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设OA = i,OB = j ，填空：
A. 3 C. 4
B. 2 3 D.12
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
解析： 本题考查向量的求模运算和数量积运算。因
为a=(2,0)， b 1，
产生理论联系实际的价值取向和理论来 源于实践、服务于实践的认识观念.
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
教学重难点
重点： 向量的坐标表示.
难点： 坐标表示.
人 教 A 版 高中 数学 必 修 4 . 2 平面 向量的 正交分 解及坐 标表示 教 学课 件
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.3.4平面向量共线的坐标表示
2x1＋x2 2y1＋y2 ＝ ， ； 3 3
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
→ 2 → → → → → 2 → ②当P1P＝ P1P2时，OP＝OP1＋P1P＝OP1＋ P1P2 3 3
→ 2 → → 本 ＝OP1＋ (OP2－OP1) 3
课 时 栏 1→ 2→ 目 ＝ OP1＋ OP2 3 3 开 关
2.3.4
2.3.4
【学习要求】
平面向量共线的坐标表示
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
本 课 3．掌握三点共线的判断方法． 时 【学法指导】 栏 目 1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点 开 在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且 关
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
本 课 时 栏 目 开 关
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0. ∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
x1＝λx2， 即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴ y1＝λy2，
x1 ∵x2≠0.∴λ＝x . 2 x1 x1y2 将 λ＝x 代入 y1＝λy2 得 y1＝ x ，即 x1y2－x2y1＝0. 2 2
x1 x1 ∴(x1，y1)＝x1，x y2＝x (x2，y2) 2 2
x1 令 λ＝x ，则 a＝λb.所以 a∥b. 2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
探究点二
共线向量与中点坐标公式
问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段 P1P2 的中点 P 的坐标．
∵G 为△ABC 的重心， ∴D 为 BC 的中点，
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
→ 2 → → → → → 2 → ②当P1P＝ P1P2时，OP＝OP1＋P1P＝OP1＋ P1P2 3 3
→ 2 → → 本 ＝OP1＋ (OP2－OP1) 3
课 时 栏 1→ 2→ 目 ＝ OP1＋ OP2 3 3 开 关
2.3.4
2.3.4
【学习要求】
平面向量共线的坐标表示
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
本 课 3．掌握三点共线的判断方法． 时 【学法指导】 栏 目 1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点 开 在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且 关
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
本 课 时 栏 目 开 关
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0. ∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
x1＝λx2， 即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴ y1＝λy2，
x1 ∵x2≠0.∴λ＝x . 2 x1 x1y2 将 λ＝x 代入 y1＝λy2 得 y1＝ x ，即 x1y2－x2y1＝0. 2 2
x1 x1 ∴(x1，y1)＝x1，x y2＝x (x2，y2) 2 2
x1 令 λ＝x ，则 a＝λb.所以 a∥b. 2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
探究点二
共线向量与中点坐标公式
问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段 P1P2 的中点 P 的坐标．
∵G 为△ABC 的重心， ∴D 为 BC 的中点，