几种特殊类型函数的积分
不定积分习题课64353
u vd xu vu vdx
udv u vvdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数；
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
(2)2 a 2 1x 2 d x 2 1 a ln a a x x C
(1)7 cx o d tls n xix n C
(2)3
1 d xarcx sC in
a2x2
a
( 1 )8 sx e c d ln x x (ts a x )e C n c
(24)
ddxf(x)dxf(x)
d[f(x)d]x f(x)dx
F (x)d x F (x)C d(F x)F (x)C
(3) 不定积分的性质
1 0 [f(x )g (x )d ] x f(x)d xg(x)dx 20 k(fx)dx k f(x)dx（ k是 常 数 ， k0)
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
2(l3 nln2)ln3x2x C.
例2 求ex1(1csoixsnx)dx.
例6 求 x arx c ln t 1 a x (2 )n d.x
解 xln1 ( x2)dx1ln1 (x2)d(1x2) 2
不定积分习题课
定理 1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx [ f (u)du]u( x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1. f ( xn1 )xndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
1
(3)2x 1
ln 3
dt t2 1
2
22
2
1 2 ln
3
(
t
1
1
t
1
)dt 1
1
ln t 1 C
2(ln 3 n
1 3
ln
2)
ln
3 3
x x
2x 2x
C.
例2. 求
da x a x lna dx
解:
原式
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x) 在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。
由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。
下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。
其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。
特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。
特殊类型函数积分
1）
Q（x）中如果含有因式
( x a)
k
则
要分解成称 k 个部分之和。且
A1 、 A2 、….
An 为常数，特别的
k=1 时，分解后得到：
A ( x a )
A3 Ak A1 A2 .... ( x a) k ( x a) k 1 ( x a) k 2 ( x a)
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 xห้องสมุดไป่ตู้m2 ...... bn
=
A3 A A1 A2 .... k k k 1 k 2 ( x a) ( x a) ( x a) ( x a)
2
x 2 x 2 x 2
2
cos x
2
三、 简单无理式的积分
这里只讨论 R ( x ,
n
ax b ) 及
R (x,
n
ax b ) cx e 这两类函数的积分
3） 最后求 A、 M、 N、 最后用待定系数法 带入特殊 x 值 特殊有理式分解：
1】 2】 3】
A B 1 x2 x3 x 2 5x 6 1 A B C x ( x 1) 2 x ( x 1) 2 x 1
1 A Bx c 2 2 (1 2 x )( x 1) (1 2 x ) 1 x2
特殊类型函数积分
一、 有理函数的积分 1）有理式的定义：
由两个多项式的商所表示的函数：
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 x m2 ...... bn
高数3.5几类可积函数的积分
一、 有理函数的积分
设
R( x) P( x) , Q( x)
求积分 R( x)dx 的步骤
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
设 R( x) P( x) 为真分式 Q( x)
1. 将Q(x)在实数范围内分解成一次式和二
次质因式的乘积. 2.将R( x) P( x)拆成若干个部分分式之和(分
一、 有理函数的积分
注记 如果注意到( x2 1) ( x 1)2 2x,
则有x
1 2
(
x2
1)
(
x
1)2
,因此
(x
x 1)2( x2
dx 1)
1 2
(
x2 (x
1) 1)2 (
(x x2
1)2 1)
dx
1 1
1
2
(
x
1)2
x2
1dx
1 1 arctan x C 2(1 x) 2
解
x ( x 1)2( x2 1)
A
B Cx D
x 1 ( x 1)2 ( x2 1)
通分得
x
( x 1)2 ( x2 1)
A( x 1)( x2 1) B( x2 1) (Cx D)( x 1)2
( x 1)2 ( x2 1)
这是一个恒等式，即对一切实数x都成立.因此 在上式中分别令x 0, x 1, x 1, x 2,可得
一、 有理函数的积分
解法2
令1 x
t
, 则dx
1 t2
dt , 从而
x(
1 x8
dx 1)
t7
t8
dt 1
1 d(1 t8 )
= 8 t8 1
空间解析几何基础知识总结
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
积分重要知识点总结
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
(1 2x ) dx
d [ ln(x 1 x2 ) 5]
2 1 x2
x 1 x2
dx 1 x2
例5. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2 cos2 x
2 dx
2
x
d
tan
x 2
tan
1 2
ln
(1
e2
x
)
C
例7. 求
解: 取
x3 x 2 3x2 1
e2x
1 2
e2x
6x
1 4
e2x
60
1 8
e2x
1 16
e2x
原式
e2x
1 2
(
x3
x 2)
1 4
(3x
2
1)
1 8
6
x
1 16
6
C
1 8
e2
x
(4x3
6
x2
2x
7)
C
例8. 求
解: 设 F(x) x 1 x 1, x 1
1 x , x 1
则
1 2
x
2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
八种类型积分的特征与异同
八种类型积分的特征与异同八种类型积分是指对不同的函数进行积分时所得到的不同类型的结果。
这些类型包括了常数积分、幂函数积分、指数函数积分、对数函数积分、三角函数积分、反三角函数积分、分式积分以及特殊函数积分。
每一种类型的积分都有其独特的特征与异同。
首先，常数积分是最简单的一种积分类型，其特征是对常数函数求积分时所得到的结果是该常数与积分变量的乘积。
常数积分的计算非常直观，只需要将常数移到积分符号外即可。
幂函数积分是指对幂函数进行积分时所得到的结果。
幂函数积分的特征是对幂函数求积分时，指数部分加一后再除以新的指数，再乘以一个常数。
例如，对x^n进行积分时，积分结果为x^(n+1)/(n+1)。
指数函数积分是指对指数函数进行积分时所得到的结果。
指数函数积分的特征是对指数函数求积分时，结果仍然是指数函数，只是指数部分除以一个常数。
例如，对e^x进行积分时，积分结果为e^x。
对数函数积分是指对对数函数进行积分时所得到的结果。
对数函数积分的特征是对对数函数求积分时，结果是对数函数的积分函数。
例如，对ln(x)进行积分时，积分结果为xln(x) - x。
三角函数积分是指对三角函数进行积分时所得到的结果。
三角函数积分的特征是对不同的三角函数求积分时，结果是其他三角函数的积分函数。
例如，对sin(x)进行积分时，积分结果为-cos(x)。
反三角函数积分是指对反三角函数进行积分时所得到的结果。
反三角函数积分的特征是对不同的反三角函数求积分时，结果是其他反三角函数的积分函数或者常数乘反三角函数的积分函数。
例如，对arcsin(x)进行积分时，积分结果为xarcsin(x) + sqrt(1-x^2)。
分式积分是指对分式函数进行积分时所得到的结果。
分式积分的特征是对分式函数进行部分分式分解后，对每一项进行积分。
分式积分通常需要运用部分分式分解的技巧，并结合其他类型的积分来求解。
例如，对1/(x(x-1))进行积分时，需要首先进行部分分式分解，然后对每一项进行积分。
高等数学期末复习：4xf 不定积分习题课
C.
t
xx
x2 1
解法二：
1
原式
1 t2
1 t (1)2
( 1
1 t2
)dt
t
令x 1 , t
1 t dt 1 dt d(1 t 2 )
1 t2
1 t2
2 1 t2
arcsin t 1 t 2 C
x2 1
1
arcsin C.
x
x
思考与练习
1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?
例1. 解法1
解法2
求
1
dx e
x
.
(1 e x ) e x 1 ex
dx
dx
d(1 e x ) 1 ex
x ln(1 e x ) C
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
例2. 求
x3
(
x2
a2
)3 2
dx
.
解:
1 原式 = 2
x2 dx2
tan
xdx 2
x tan x C. 2
例8
求
e
x (1 sin x 1 cos x
)
dx.
解
e x (1 2 sin x cos x)
原式
2 2 dx 2 cos2 x
2
(e x 1 e x tan x)dx
2 cos2 x
2
2
[(e xd(tan x) tan x de x ]
(令 t 1) x
(1 )1
(代回原变量)
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
4、第一类换元公式（凑微分法） 常用的几种配元形式: