八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案
第四讲 分式的概念、性质及运算
分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．
从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．
分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有： 1．化整为零，分组通分； 2，步步为营，分步通分； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．裂项相消后通分等 例题求解
【例1】 要使分式
x
x -11
有意义，则x 的取值范围是 ．
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．
注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．
学习分式时，应注意：
(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；
(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形； （3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 【例2】 已知
1
22
432+-
-=
--+x B
x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ） A ．7 B ．9 C ．13 D ．5 (江苏省竞赛题)
思路点拨 对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值． 【例3】计算下列各式：
(1)4
43
224211b a a b a a b a b a ++
++++-； （2）
xy
z y x z xy z zx
y x z y zx y yz
x z y x yz x ---++
+++-+
--++)()()(2
22
22
2； ( “五羊杯”竞赛题)
（3）
1
)
1(21221
1221
2
22
3
32
3
3-+-
-+-++
+++-x x x x x x x x x x (江西省赣州市竞赛题)
（4）)
2)(2()
)(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+
-+-+--+-++--- (安徽省马鞍山市竞赛题)
思路点拨 因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，采用换元法简化式子． 【例4】 解下列分式方程(组)： (1)
8
21
261949819965--+
--=--+--x x x x x x x x ； (“五羊杯”竞赛题) (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+5
14131a c ca c b bc b a ab
(“希望杯”邀请赛题)
思路点拨 若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．
【例5】 (1)n 为自然数，若n+6|n 3
+1996，则称n 为1996的吉祥数，如4+6|43
+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和． (北京市竞赛题) (2)计算：
5000
9900999950001005000
200225000100112
2
2
2
2
2
2
2
+-+
+-+
++-+
+-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)
思路点拔 (1)由于n 3
+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．
学力训练
1．（1）要使分式a
a a 231142++
-没有意义，则a 的值为 ．
（2）若5-a 和2)4(+b 互为相反数，则)2()11()(422b ab a b a a
b b a b a ab
++÷⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+÷-+-的值为
． (岳阳市中考题)
2．已知x 为整数，且9
18
232322
-++-++x x x x 为整数，则所有符合条件的x 值的和为 ． 3．已知
2+x a 与2-x b
的和等于4
42-x x ，则a = ，b ＝ ． (山东省竞赛题)
4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买 枝． (江苏省镇江市中考题) 5．已知式子
1
)
1)(8(-+-x x x 的值为0，则x 的值为( )
A ．±1
B ．－l
C ．8
D ．－1或8
(江苏省竞赛题) 6．化简
)
5)(4(1
)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1+++
++++++++x x x x x x x x 的结果是( ) A ．
5
642
++x x B ．
5
632
++x x C ．
5
622
++x x D ．
5
612
++x x
(大连市“育英杯”竞赛题) 7．若x 取整数，则使分式
1
23
6-+x x 的值为整数的x 值有( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 (江苏省竞赛题)
8．若a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=8，则
c
b a 1
11++的值是( ) A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．正数或负数 (“希望杯”邀请赛试题) 9．计算下列各题： （1）
1
8
141211118
42+-+-+-+--x x x x x ； （2）11
134217932322-++-
-+--+++x x x x x x x x x ； （3）ab
bc ac c b
a ac a
b b
c b a c bc ac ab a c b +---++----+---2
22； 10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分 钟，若每分钟速度增加0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题)
(2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。
元和6 元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均 价格更低些?说明理由．
(福州市中考题) ll.若x+y+z=3a(a ≠O)，则2
22)()()()
)(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值为 ．
12．若关于x 的方程
12
2-=-+x a
x 的解为正数，则a 的取值范围是 ． (湖北省选拔赛试题) 13．方程4x 2
一2xy －12x+5y+11=O 有 组正整数解． ( “五羊杯”竞赛题) l4．已知
6
12602
-+a a 是正整数，则正整数a= ．
( “希望杯”邀请赛试题) 15．设a 、b 、c 均为正数,若
a
c b
c b a b a c +<
+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是( ) A ．c<a < b B ．b<c<a C ．a<b<c D ．c<b<a 16．已知0221≠+=+
b a b a ，则b
a
为( ) A ．－1 B ．1 C ． 2 D ．不能确定
(江苏省竞赛题) 17．分式
2
21012622++++x x x x 可取的最小值为（ ）
A ．4
B ．5
C ． 6
D ．不存在 18．设有理数a 、b 、c 都不为零，且a+b+c=0，则
2
222
222
22111c b a b a c a c b -++
-++
-+的值是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．零
D ．不能确定 19．解下列方程(组)：
（1）
x
x
x x x x x x 29211217219215217211213--+
--=--+-- （2）1
22
3111111++=
++
+
x x x
（太原市竞赛题） 20．(1)某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，求1
1
1111++
+++c b a 的值． (江苏省竞赛题) （2）已知A ＝
56789012344567890123，B=5678901236
4567890124，试比较A 与B 的大小．
(南京市竞赛题) 21．已知正整数n 大于30，且使得4n 一1整除2002n ，求n 的值．
(第14届“五羊杯”邀请赛试题)。
人教版 八年级数学上册 竞赛专题分式方程(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程： （1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+； （3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________． （2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解． 解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解． 解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（ ）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（ ） ． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=； （2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________． （2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（ ）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） ． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解． 例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=． 于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或 － 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册
第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+ 无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。
分式习题精讲含详细解答答案
1.分式的定义及性质1-1.若分式mx x +-212不论x 取任何实数总有意义，则m 的取值范围为（ D ） A. 1≥m B. m ＞1 C. 1≤m D.m ≠1分析：分式有意义的条件是分母不为0.只要m x x +-22≠0，即可，而m x x +-22=()1122-++-m x x =()112-+-m x ，要使()112-+-m x ≠0，因为()012≥-x ，所以只需要m －1≠0,即m ≠1。
1-2.若()()30622----x x 有意义，那么x 的范围是（ D ）。
A. x ＞2B. x ＜3C. x ≠3或x ≠2D. x ≠3且x ≠2 1-3.已知分式的值为正或负，或1，-1，或0.求字母的取值。
① 当x 时，分式21+x 的值为正。
解：由题意得21+x ＞0，根据实数运算法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，可知x+2与1同号，所以x+2＞0，所以x ＞-2. ② 当x 时，分式112+-x x的值为负。
解：由题意得112+-x x ＜0，因为x 2+1＞0,根据实数运算法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，可知1-x 与x 2+1异号，所以1-x ＜0，所以x ＞1. ③ 当x 时，分式22-+x x 的值为－1。
解：由题意得22-+x x =－1，所以x+2与x －2互为相反数，所以x+2＋x －2=0，所以x =－x ，所以x ≤0总结：以上题型为：已知分式的值为正或负，或为1，－1等常数，求x 的值。
这种题型的解法是：运用转化的思想。
A.若分式的值为正或负，则转化成解分式不等式，解分式不等式的方法是运用实数运算法则将分式不等式转化成整式不等式，再解整式不等式。
B.或分式的值为1，－1等常数时，则转化成求解分式方程，解分式方程的方法是先转化成整式方程，再解整式方程。
最后记得要检验是否有增根。
附加练习：④ 当x ＞5 时，分式52-x 的值为正。
第20讲 分式的意义、性质及综合计算(解析版)
第20讲分式的意义、性质及综合计算一、分式的意义与基本性质：1、分式的概念：两个整式A、B相除，即A B÷时，可以表示为AB．如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点：（1）分式的分母中必然含有字母；（2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．例如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．二、分式的乘除：1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：A C ACB D BD ⋅=．2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即nn n A A B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭．3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为：A C A D ADB D BC BC÷=⋅=．4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．四、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．1.不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A 、10B 、9C 、45D 、90【答案】D【解析】找5，10，3，9的最小公倍数．【总结】本题主要考查分式的基本性质．2.分式1a b +、222a a b -、bb a-的最简公分母是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3A 、()()()22a b a b b a +-－B 、()()22a b b a +－C 、()()22a b b a -－D 、22a b -【答案】D【解析】考察最简公分母的定义．3.在下列各式中：①222mn a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭；②42528m n an a b bm -⋅；③2222m nb ab a ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222mn a ab m ÷．相等的两个式子是（）A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【答案】B【解析】①22224224mn m n a b a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；②4223524288m n an m n a b bm a b -⋅=-；③2222222224242244m nb m n b m n ab a a b a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222222232222mn a mn m m n ab m ab a a b÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的约分．4.已知2519970x x --=，则代数式()()222112x x x ---+-的值为（）A 、1999B 、2000C 、2001D 、－2【答案】D【解析】()()222112x x x ---+-22442112x x x x x -+-+-+=-242x x -+=-()222x x --=-2=-．【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x 的取值并无关系．5.若269a a -+与1b -互为相反数，则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】32．【解析】∵269a a -+与1b -互为相反数，∴26910a a b -++-=，即()0132=-+-b a ，∴3=a ，1=b ．∴()22123a b a b a b a b b a ab a b ab --⎛⎫-÷+=⋅== ⎪+⎝⎭．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念．6.当x _______时，分式1111x++有意义．【答案】1-≠x 且2-≠x ．【解析】∵01≠+x 且0111≠++x，∴1-≠x 且2-≠x ．7.当x _______时，分式211xx++的值为零．【答案】2-=x ．【解析】由题意，得：02=+x 且0≠x 且011≠+x，所以2-=x ．【总结】本题主要考查分式值为零的条件．8.已知：222222M xy y x yx y x y x y--=+--+，则M =_________．【答案】2x ．【解析】因为()()()22222222x y xy y x x y x y x y x y--+=-+--，所以2M x =．【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．9.已知对任意x 有324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+，则A =_______，B =______，C =______．【答案】1；-1；-1．【解析】因为222(3)()(1)1+3(1)(3)A Bx C A x x Bx C x x x x x x x +++++-+=-+-++3()()(3)23A B x A B C x A C x x ++-++-=+-，又324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+所以0134A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得111A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．10.计算：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-；（2）222221211()()22x x x x x x x x--+÷÷---+．【答案】（1）2；（2）xx -22．【解析】（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-()()()()223321(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=；（2）222221211()()22x x x x x x x x--+÷÷---+()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．11.计算：（1）22221244n m m n m n m mn n --+÷--+；（2）322114221x x x x x x ⎛⎫+--+⋅⎪-++⎝⎭．【答案】（1）nm n+3；（2）44223+-+x x x ．【解析】（1）原式()()()2122m n m n n m m n m n +--=+÷--()()()2212m n n mm n m n m n --=+⋅-+-21m n m n -=-+3nm n=+；（2）原式322214142121x x x x x x x x +---=⋅+⋅-+++()()()()()()()()2112211222121x x x x x x x x x x x x x +-++-+-+-=⋅+-+++()()()()21212x x x x x =-+++--32244x x x =+-+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．12.计算：（1）2222963441644x x x x x x x x -+-++÷⋅---；（2）22214(1)441a a a a a a --÷+⋅++-．【答案】（1）()()()()2423-++-x x x x ；（2）22+-a a ．【解析】（1）原式()()()()()()2232444322x x x x x x x x -+-=⋅⋅+--+-()()()()3242x x x x -+=+-；（2）原式()()()()()211221112a a a a a a a -++-=⋅⋅+-+2222a aa a --=-=++．13.已知21610x x --=，求331x x -的值．【答案】4144．【解析】∵21610x x --=，∴161=-xx ．∴331x x -2211++1x x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211=+2+1x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2=1616+3⨯=4144．【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．14.已知：0a b c ++=，8abc =，求证：1110a b c++<．【答案】证明略，见解析．【解析】∵0=++c b a ，∴()()022222=+++++=++ac bc ab c b a c b a ．即2222220a b c ab ac bc +++++=．∴2221()2ab ac bc a b c ++=-++．∵8abc =，∴a 、b 、c 均不为零．∴2221111=()016bc ac ab a b c a b c abc ++++=-++<．【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．15.若111122229999199991A +=+，222233339999199991B +=+，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >．【解析】设11119999a =，则2+1=1a A a +，23+1=1a B a +．则B A -2322323+1+12=11(1)(1)a a a a a a a a a -+-=++++223(1)(1)(1)a a a a -=++．又111199991a =>，所以10a ->．所以0A B ->，所以A B >．【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大小．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！716.设10x y z a b c a b c x y z++=++=，，求222222x y z a b c ++的值．【答案】1．【解析】设m a x =，n b y =，t cz=．∵1x y za b c ++=，∴1=++t n m ．∵0=++zcy b x a ，∴0111=++tn m ，∴0=++mntmnmt nt ，∴0=++mn mt nt ．∴()()222222222222101x y z m n t m n t mn nt mt a b c++=++=++-++=-=．【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用．1.（2023年上海浦东新区模拟卷）2023年1月，中国迎来奥密克戎变异毒株的首波感染高峰．已知该病毒的直径长120纳米，1纳米＝910-米，则这种冠状病毒的半径用科学记数法表示为（）A ．71.210-⨯米B ．111.210-⨯米C ．8610-⨯米D ．70.610-⨯米【答案】C【分析】绝对值小于1的负数也可以用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，其中110,a ≤<根据题意，该病毒的直径长120纳米，即可求出这种冠状病毒的半径用科学记数法表示．【详解】解：()9812026010610--÷=⨯=⨯纳米米．故选：C.【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中110,a ≤<熟练掌握科学记数法是解此题的关键．2.（2023年上海民办华育期中真题）对于分式226xx --，下列说法错误的是（）A ．当2x =时，分式的值为0B ．当3x =时，分式无意义C ．当2x >时，分式的值为正数D ．当83x =时，分式的值为1【答案】C【分析】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可．【详解】解：A ．当2x =时，20x -=，2620x -=-≠，分式226xx --的值为0，故此项选项不符合题意；B ．当3x =时，260x -=，分式226xx --无意义，故此选项不符合题意；C 当2x >时，当3x =时，260x -=，分式226xx --无意义，故此选项符合题意；D ．当83x =时，822233182262633x x ---===-⨯--，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．3.（2022年上海新华中学期中真题）若2m n +=，则代数式2n m nm m m ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】先根据分式的混合运算化简，再整体代入即可作答．【详解】2n m nm m m ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22·n m mm m m n ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭22·n m m m m n-=-()()·n m n m m m m n+-=-()n m =-+n m =--，∵2m n +=，∴原式2n m =--=-，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．4.（2023年上海新华中学期中真题）下列运算正确的是（）A ．22m m ÷=B ．()222m n m n-=-C ．33322n n m m ⎛⎫=⎪⎝⎭D ．2yxy x x÷=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9【答案】D【分析】根据整式以及分式的运算法则逐项计算即可判断．【详解】A.221m m ÷=，即原计算错误，本项不符合题意；B.()2222m n m mn n -=-+，即原计算错误，本项不符合题意；C.33328n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即原计算错误，本项不符合题意；D.2y xy xy yx x x÷=⨯=，即原计算正确，本项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了整式以及分式的运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．5.计算321b a a⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的结果为（）A ．3b a-B ．3b a C ．35b a -D ．35b a【答案】A【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解．【详解】解：321b a a⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭3321b a a =-÷323b aa =-⋅3b a=-．故选：A ．【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键．6.小强上山和下山的路程都是S 千米，上山的速度为1v 千米时，下山的速度为2v 千米时，则小强上山和下山的平均速度为（）A ．122sv v +千米/时B ．122sv v +千垙时C ．12ss s v v +千时D ．12122v v v v +千米/时【答案】D【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解．【详解】解：依题意，上山所用时间为：1Sv ，下山所用时间为：2S v ，∴小强上山和下山的平均速度为()1212121212222v v SSS Sv v S v v v v v v ==+++，故选：D ．【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键．7.（2023年上海民办华育期中真题）下列分式从左到右变形错误的是（）A ．155c c =B ．3344b a a b +=+C ．11a b b a=---D ．2242442a a a a a --=+++【答案】B【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．【详解】解：A 、155c c =，故A 不符合题意；B 、3344b a a b+≠+，故B 符合题意；C 、11a b b a=---，故C 不符合题意；D 、2224(2)(2)244(2)2a a a a a a a a -+--==++++，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．8.对于任意的x 值都有()()272121x M Nx x x x +=++-+-，则M ，N 值为（）A ．1M =，3N =B ．1M =-，3N =C ．2M =，4N =D ．1M =，4N =【答案】B【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．【详解】解：∵()()()()()()()()()()12227212121M x N x M N x M N x x x x x x x -++++-++==+-+-+-，∴227M N M N +=⎧⎨-+=⎩，解得：13M N =-⎧⎨=⎩．故选：B ．【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！119.当x ________时，分式226xx -有意义．【答案】3≠【分析】根据分式有意义的条件：分母0≠，进行求解即可．【详解】解：依题意得：260x -≠．解得：3x ≠．故答案是：3≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0，是解题的关键．10.（2023年上海兰生复旦中学月考）约分：221827xyx y -=______．【答案】23xy-【分析】根据分式的约分解答即可．【详解】解：221829227393xy xyx y xy xy xy ⋅-=-=-⋅．故答案为：23xy -．【点睛】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．11.化简：2211a a a -+-÷()21a -＝_____．【答案】11a +【详解】解：()222111a a a a -+÷--()()()211111a a a a -=⨯-+-11a =+故答案为：11a +【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键．12.若分式222x x x ---的值为0，则x 的值为_______．【答案】2-【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．【详解】解：由分式的值为零的条件得：20x -=，且()()22210x x x x --+-=≠，解得2x =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．13.（2023年上海兰生复旦中学月考）分式261812a a a -+，24(1)b a -，23(2)c a -的最简公分母是__.【答案】()()221212a a ﹣﹣/()()221221a a ﹣﹣【分析】根据最简公分母的定义解决此题.【详解】解：()()()2261812632612a a a a a a ++﹣＝﹣＝﹣﹣ ，根据最简公分母的定义，这三个分式的最简公分母为()()221212aa ﹣﹣，故答案为：()()221212a a ﹣﹣．【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的找法是解决本题的关键.14.如图，一个长、宽、高分别为a ，b ，2r 的长方体纸盒装满了一层半径为r 的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为______（结果保留π，球体积公式343V r π=）．【答案】6π【分析】由题意可知：小球的直径为2r ，每个小球的体积为343V r π=，计算小球的总数，就可以算出小球的总体积，算出长方体纸盒的体积为；根据纸盒空间利用率为小球总体积与纸箱容积的比即可解答；【详解】由题意可知：小球的直径为2r ，每个小球的体积为：343V r π=沿长边摆放了2a r 个小球，沿宽摆放了2b r个小球；所以小球的总数为：2·224a b ab r r r =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13所以小球的总体积为：324·343ab rab r r ππ=长方体纸盒的体积为：22ab r abr⨯=所以纸盒空间利用率为：326abr abr ππ=故答案为：6π．【点睛】本题考查了圆，两圆相切的性质，如果两圆相切，那么连心线必经过切点，也考查了分式的运算．15.计算：2a b b a b++=-______．【答案】2-a a b【分析】根据分式的运算求解即可．【详解】解：原式2()()a b a b b a b a b-+=+--222a b b a b-+=-2a a b=-．故答案为：2-a a b．【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则．16.（2023年上海兰生复旦中学月考）先化简，再求值：222112111x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭，其中x 是满足条件11x -≤≤的整数．【答案】1x，1-【分析】先对分式进行化简，然后根据11x -≤≤及分式有意义的条件可进行代值求解．【详解】解：222112111x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪-+--⎝⎭()()()22111111x x x x xx ⎡⎤+-=-⨯⎢⎥-⎥⎣⎦--⎢211111x xx x x -⎛⎫=-⨯ ⎪-⎭+-⎝211x x x x-=⨯-1x=；∵x 是满足条件11x -≤≤的整数，且0x ≠且1x ≠，∴=1x -，∴原式1=-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．17.约分：(1)262ab b-；(2)22348a b a b--；(3)22222a ab a b ab ++；(4)22222a a b ab b -++．【答案】(1)3ab-(2)2b a (3)1b (4)a ba b-+【分析】（1）分子分母约去2b 即可；（2）分子分母约去24a b 即可；（3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式()2a a b +即可；（4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式()a b +即可．【详解】（1）262ab b-3ab =-；（2）22348a b a b--2b a=；（3）22222a ab a b ab ++()()22a a b ab a b +=+1b =；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15（4）22222a a b ab b -++()()()2a b a b a b +-=+a b a b -=+．【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．18.当x为何整数时，(1)分式421x +的值为正整数；(2)分式21x x +-的值是整数．【答案】(1)0(2)2或0或4或2-【分析】（1）若使该式的值为正整数，则()21x +能够被4整除，所以21x +可以为1，2，4；即0x =，0.5，1.5；由x 为整数得，0x =即可；（2）分式21x x +-进行变形，化为311x +-，若要使21x x +-值为整数，则31x -的值一定是整数，则1x -一定是3的约数，从而求得x 的值．【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则()21x +能够被4整除，21x ∴+可以为1，2，4，x ∴=，0.5，1.5，x 为整数，0x ∴=；（2）解：21331111x x x x x +-+==+---，21x x +- 的值为整数，且x 为整数；1x ∴-为3的约数，1x ∴-的值为1或1-或3或3-；x ∴的值为2或0或4或2-．【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．1.下列各式中，是分式的是（）A ．132x +B ．3m n+-C ．33x +D ．1x -【答案】C【分析】根据分式的定义即可判断．【详解】解：A 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；B 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；C 、选项中3和3x +都为整式，且分母中含有字母，故此项符合题意；D 、选项中分母中不含有字母，故此项不符合题意；【点睛】本题考查了分式的概念及相关的基础问题，熟练掌握分式的定义：一般地，如果A 、B （B 不等于零）表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B就叫做分式，是解此题的关键．2.如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（）结论I ：若n 的值为5，则y 的值为1；结论Ⅱ：x y +的值为定值；结论Ⅲ：若31m n x -=，则y 的值为4或1．A ．I ，Ⅲ均对B ．Ⅱ对，Ⅲ错C ．Ⅱ错，Ⅲ对D ．I ，Ⅱ均错【答案】B【分析】先由题意得到232x y m x y n +=⎧⎨+=⎩①②，8m n +=，然后解方程组得到234n m x m n y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，当5n =时，3m =，则此时33514y ⨯-==，即可判断I ；+①②得448x y +=，即可判断②；根据1的任何次方为1，1-的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ．【详解】解：由题意得，232x y m x y n +=⎧⎨+=⎩①②，8m n +=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17-②①得2x n m =-，解得2n m x -=，把2n m x -=代入①得22n m y m -+=，解得34m n y -=，∴方程组的解为234n m x m n y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵8m n +=，∴当5n =时，3m =，则此时33514y ⨯-==，故结论I 正确；+①②得448x y +=，∴2x y +=，故结论Ⅱ正确；当1x =时，1y =，此时满足31m n x -=；当30m n -=时，则3m n =，此时62m n ==，，∴2x =-，4y =，此时满足31m n x -=；当=1x -时，则3y =，此时123513233m n =-+⨯=⎧⎨=-⨯+⨯=⎩，∴35334m n -=-⨯=-，此时满足31m n x -=，综上所述，若31m n x -=，则y 的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，故选B ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键．3.已知13,x x -=则221x x+=___．【答案】11【分析】由13,x x -=两边平方可得22129,x x-+=移项即可的结果．【详解】解：13,x x -= 22129,x x ∴-+=22111,x x ∴+=故答案为：11.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形推导是解此题的关键．4.已知122b a -=，则234436a ab b ab a b+--+的值为______．【答案】72-【分析】根据已知条件得出22a b ab -=，代入分式进行计算即可求解．【详解】解：∵122b a-=，∴22a b ab-=即22a b ab -=，∴()()223234437436432462a b ab a ab b ab ab ab a b ab a b ab ab -++-+===--+---，故答案为：72-．【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出22a b ab -=是解题的关键．5.计算1x a +•212a x-的结果是_____．【答案】12a -【分析】先将原式进行因式分解，再进行分式的乘法运算，化简求值就可．【详解】解：原式＝()()+1112a a x a x -⋅+＝12a -，故答案为：12a -．【点睛】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算，本题属于基础题型．6.计算（1）2222452343a b c d abc cd ab d⋅÷；（2）22819369269a a a a a a a --+÷⋅++++；（3）22233x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）222255a a a b b b ⎛⎫-⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）252b ；（2）2-；（3）424x y z；（4）54ab 【分析】（1）按照分式乘除混合运算法则进行计算即可．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19（2）按照分式乘除运算法则进行计算即可．（3）分式的分子分母分别平方即可．（4）按照分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）2222222222223222452453605==343342242a b c d abc a b c d da bc d cd ab d cd ab abc a b cd b ⋅÷=⋅⋅（2）222(9)(9)2(3)81933=26926999(3)aa a a a a a a a a a a a a +---++÷⋅⋅⋅=-++++-+++（3）2224243=3x y z x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）22222242255==55454a a a a b a b b b b a b ab⎛⎫-⎛⎫÷⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．7.（1）化简：()()()22222a b a b a b +--+；（2）先化简222313(9369x xx x x x --÷---+，然后x 从-3、0、1、3中选择一个合适的数代入求值．【答案】（1）2510b ab +；（2）13x -+；14-.【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案；（2）先化简分式，然后将x=1代入求值，即可得到答案.【详解】解：（1）()()()2222a b a b a b +--+=4a 2+b 2+4ab-2（2a 2-2b 2-3ab ）=4a 2+b 2+4ab-4a 2+4b 2+6ab=5b 2+10ab ；（2）222313()9369x xx x x x --÷---+=22233(3)()99(3)x x x x x x +--÷---=3(3)(3)x xx x x--⨯+-=13x -+；∵x 2-9≠0，x-3≠0，x 2-3x≠0，∴3x ≠±，0x ≠，当x=1时，原式=11134-=-+；【点睛】本题考查了整式的化简与分式的化简求值，熟练运用完全平方公式与分解因式是解题的关键．。
人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程：8、分式的概念、分式的基本性质
8、分式的概念、分式的基本性质【知识精读】分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0。
分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。
在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。
【分类解析】例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00，B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。
例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。
解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。
∴当x =5时，分式55||+-x x 的值为零。
例3. 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4 分析：Θ113113a b b a-=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。
例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y2222323-++-的值。
分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。
分式的概念和性质+答案
分式的概念和性质(基础)+答案(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式哪些是分式2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．【思路点拨】3x ，5π，23-虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中5π的分母中π表示一个常数，因此这三个式子都不是分式． 【答案与解析】解：整式：3x ，23-，5π，23x +，分式：2a ，1m m+，2a a ．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，m 取何值时，分式有意义 （1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239mm --． 【答案与解析】解：（1）由20m +=得2m =-，故当2m ≠-时分式2mm +有意义． （2）由||20m -=得2m =±，故当2m ≠±时分式1||2m -有意义． （3）由229(9)0m m --=-+<，即无论m 取何值时29m --均不为零，故当m 为任意实数时分式239mm --都有意义． 【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法． 举一反三：【变式1】在什么情况下，下列分式没有意义（1）3(7)x x x +；（2）21x x +；（3）222x x ++．【答案】解：分式没有意义的条件是分式的分母等于0．（1）由(7)0x x +=，得0x =或7x =-，∴ 当0x =或7x =-时，原分式没有意义．（2）由20x =，得0x =，∴ 当0x =时，原分式没有意义． （3）由2x ≥0得，220x +>，即220x +≠，∴ 当x 取一切实数，原分式都有意义，即没有x 值能使分式没有意义． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．【答案】解：（1）由210x +=得12x =-，当12x =-时，1323()202x -=⨯--≠，∴ 当12x =-时，分式2132x x +-的值为0．（2）由20x x +=得0x =或1x =-， 当0x =时，21010x -=-≠， 当1x =-时，221(1)10x -=--=，∴ 当0x =时，分式221x xx +-的值为0．（3）由20x +=得2x =-，当2x =-时，224(2)40x -=--=， ∴ 在分式有意义的前提下，分式224x x +-的值永不为0． 类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y+-； （2）11341123x yx y +-． 【思路点拨】将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可．【答案与解析】 解：（1）0.20.020.5x yx y +-(0.2)501050(0.020.5)5025x y x y x y x y +⨯+==-⨯-．（2）11341123x y x y +-1112433411641223x y x y x y x y ⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭==-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 举一反三：【变式1】如果把分式yx x232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍【答案】B ；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----．【答案】2()x y -；1；解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为x y +，而等式的右边分式的分子为22x y -，由于22()()x y x y x y +-=-，即将等式左边分式的分子乘以x y -，因而分母也要乘以x y -，所以在处应填上2()x y -．（2）先观察分母，等式左边的分母为()()()a c a b b c ---，等式右边的分母为a c -，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以()()a b b c --，因为()()[()()]1b a c b a b b c --÷--=，所以在处填上1．4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． （1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23bc--．【答案与解析】 解：（1）22a a b b -=- （2）4455x x y y -=- （3）33m m n n =-- （4）2233b bc c-=-． 【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面．类型四、分式的约分、通分5、 将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y +-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-． 【答案与解析】解：（1）22324412433ax x a ax x x x==． （2）243223315355331n n n n x y x y x y x y x y x y +--==-．（3）21111(1)(1)1a a a a a a --==--++． （4）32216(4)(4)420(5)(4)5m m m m m m mm m m m m --+-+==-+-+-+．【总结升华】当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式即是分子、分母的字母系数的最大公约数与分子、分母的相同因式最低次幂的乘积． 举一反三：【高清课堂403986 分式的概念和性质 例6（2）】【变式】通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -． （3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．【答案】解：（1）最简公分母为24ab c ，2322444b b b b ac ab c ab c ==，222222244a a a a b c ab c ab c==． （2）222(1)x x x x =++，2111(1)(1)x x x =-+-， 最简公分母为2(1)(1)x x +-，2(1)222(1)(1)2(1)(1)x x x x x x x x x x --==++-+-． 2112212(1)(1)2(1)(1)x x x x x ⨯==-+-+-． （3）最简公分母是222a b c ．2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c---==． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-，21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，224444x xx x =--，222(2)242(2)(2)4x x x x x x ++==--+-． 【巩固练习】一.选择题1．在代数式22221323252,,,,,,33423x x xy x x x x π+-+中，分式共有( )． 个个 个 个2．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5D ．x ≠－53. 下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠时，分式231-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b -有意义C ．当21-=x 时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x y y x--有意义4．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．21x x+B ．211x x -- C ．11x x -+ D ．211x x -+ 5．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．是原来的32D ．不变6．下列各式中，正确的是（ ） A ．a m ab m b+=+ B ．0a ba b+=+ C ．1111ab b ac c +-=-- D ．221x y x y x y-=-+二.填空题7．当x ＝______时，分式632-x x无意义． 8.若分式67x--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()x xx --=- （2）.y x xy x22353)(= 10．（1）22)(1y x y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x 11.分式2214a b 与36xab c的最简公分母是_________. 12. 化简分式：（1）3()x yy x -=-_____；（2）22996x x x-=-+_____． 三.解答题13.当x 为何值时，下列分式有意义（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---．14．已知分式,y ay b-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）22x x y --（2）2ba a--（3）2211x x x x---+（4）2231m m m ---【答案与解析】一.选择题 1. 【答案】B ；【解析】21325,,42x x x x++是分式.2. 【答案】A ；【解析】050x x =+≠且.3. 【答案】B ；【解析】a b ≠±，22ab a b -有意义. 4. 【答案】D ；【解析】无论x 为何值，21x +都大于零.5. 【答案】D ；【解析】102010(2)2101010()x y x y x y x y x y x y+++==+++. 6. 【答案】D ；【解析】利用分式的基本性质来判断.二.填空题7. 【答案】2；【解析】由题意，360,2x x -==.8. 【答案】7x >；【解析】由题意70,7x x -<>∴.9. 【答案】（1）2x -；（2）5y ；10.【答案】（1）x y -；（2）22xy x y +--；【解析】221(1)(2)22244x x y xy x y y y y --++--==---. 11.【答案】2312a b c ；【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积.12.【答案】（1）()21x y --；（2）33x x +-. 【解析】()()()222339963x x x x x x +--==-+-33x x +-. 三.解答题13.【解析】解：（1）由分母20x -≠，得2x ≠．∴ 当2x ≠时，原分式有意义．（2）由分母410x +≠，得14x ≠-．∴ 当14x ≠-时，原分式有意义． （3）∵ 不论x 取什么实数，都有210x +>．∴ x 取一切实数，原分式都有意义．（4）∵ 20x ≥，∴ 211x +≥，∴ 2(1)1x -+≤-即211x --≤-∴ x 取一切实数，分式2211x x ---都有意义． 14.【解析】解：由题意：30b -+=，解得3b = 2023a -=+，解得2a = 所以分式为23y y -+，当y ＝－7时，2729937344y y ----===+-+-.。
第7讲.分式的概念及性质答案版
分式or 分柿漫画释义满分晋级7分式的概念及性质代数式8级 分式的概念 及性质代数式9级 二次根式的 概念及运算 代数式10级 因式分解的 常用方法及应用暑期班 第七讲暑期班 第九讲秋季班 第五讲知识互联网模块一 分式的基本概念知识导航【例1】 ⑴下列式子：2124233a x y a x xx a b x+---π，，，，，1x x y +其中是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（人大附期中）⑵当x 时，分式2x x +有意义；当x 时，分式211x +有意义； （四中月考）⑶当x 为何值时，下列分式的值为0？① 213x x -+ ②6(6)(1)x x x --+ ③ 216(4)(1)x x x -+- ④ 288xx + ⑤ 2225(5)x x --【解析】 ⑴D ； ⑵2x -≠， x 为任意实数;⑶①12x =， ②6x =- ， ③ 4x =， ④0x = ， ⑤5x =- .【教师备选】当x 为何值时，下列分式的值为零：⑴4|1|5+--x x ⑵225(1)(5)x x x ---【解析】 ⑴6x =； ⑵5x =-； 易错点：忽略分母不为零的条件【例2】 ⑴当x 时，分式233x x --的值为1；如果分式121x x -+的值为1-，则x 的值是_____. ⑵当x 时，分式48x-的值为正数；当x 时，分式48xx --的值为负数；当x 时，分式61x +的值为正整数.⑶当3x =-时，分式x b x a --无意义，当5x =时，分式x bx a--的值为0，则a b +=_____.【解析】⑴2x =， 0； 2313x x -=- ，即233x x -=-，解得2x =；1121x x -=-+，即()121x x -=-+，解得0x =；能力提升夯实基础⑵8x <，48x <<，=0、1、2或5.408x>-，即80x ->，解得8x <； 408xx -<-，即4080x x -<⎧⎨->⎩ ，解得48x <<；或4080x x ->⎧⎨-<⎩，不等式组无解. ⑶3a =-，5b =，2a b +=【例3】 ⑴下列式子中，正确的是（ ）A.a b a b c c ---=- B. a b a b c c --+=-- C. a b a b c c ---=- D. a b a bc c --+=-⑵若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？①x y x y +- ②xy x y- ③22x y x y -+④22x y x y --⑶不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化成整数：1223________1134x yx y -=+ 0.030.2_______0.080.5a b a b -=+30.4511410a b a b +=- ． 【解析】 ⑴ D ； 夯实基础知识导航模块二 分式的基本性质⑵①333()333()x y x y x yx y x y x y +++==---，不发生变化；②3393333()x y xy xyx y x y x y ⋅==⋅---，是原来的3倍；③222222333()1(3)(3)9()3x y x y x y x y x y x y ---==⋅+++，是原来的13倍；④()()()()2222229333333x y x y x y x y x y x y---==⋅---，是原来的3倍； ⑶6843x y x y -+；320850a b a b -+；81252a b a b+- .【例4】 ⑴ 约分：3______3mnm = 2332510x y x y z -=- 233______26a a a -=- 22121x x x -=-+ ⑵ 求下列各组分式的最简公分母：①2214a b 与36xab c ；②231x -，()221x x -与21x x- ⑶通分：①22235c b aab a c b c --，，； ②1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+； ③1()()a b a c --，1()()b c b a --，1()()c a c b --⑷ 下列分式为最简分式的是（ ）A ．3315ba B ．22ab b a--C ．23x xD ．22x y x y++【解析】 ⑴ 23n m ，2y xz ， 22312(3)2a a a a -=⋅-，11x x+-；⑵ ①2312a b c ；②()()211x x x -+ ⑶①22215230c abc ab a b c =--，322210330b b a c a b c =，32226530a a b ca b c =-- ②先分解因式，而后找公分母为2(1)(1)x x x +-221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=-+-，222(1)1(1)(1)x x x x x x x -=-+-，2222(1)21(1)(1)x x x x x x x +=-++-； ③1()()()()()c b a b a c a b b c c a -=-----，1()()()()()a cb c b a a b b c c a -=-----.能力提升1()()()()()b ac a c b a b b c c a -=-----易错点：在通分的时候，分子的位置忘了同时乘.⑷ D .1. 分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. ⑴先把除法变为乘法；⑵接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；⑶再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； ⑷最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．．．．． 2. 分式的加减⑴同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
北师大版八年级数学上册竞赛讲义-分式方程(组)及其应用
分式方程（组）及其应用竞赛热点１.分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程称为分式方程。
２.解分式方程的方法：解分式方程的基本思想是转化思想,即把分式方程转化为整式方程来解；转化的基本方法是；去分母,换元法等。
分式方程在转化过程中会产生增根或漏根,因此解分式方程必须验根。
３.分式方程应用题：列分式方程应用题与列整式方程应用题的思路相同,首先要注意审题,弄清未知数与已知数之间的关系,并把它们表示出来,从而转化成数学模型,要善于运用列表,画图等辅助手段帮助分析问题；但与解整式方程应用题不同的是：对所求的结果既要验根又要检验方程的根是否符合实际意义,二者缺一不可。
解题示范例１.解方程9182716x x x x x x x x -+-+=+----。
思考题１.解下列方程： ⑴13217219211211215217292x x x xx x x x ----+=+----；⑵1321121111x x x++=+++。
例２.解方程组1034331522x y x y x y x y -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪-=-⎪+⎩。
思考题２. .解方程组 ⑴4955210x y y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ； ⑵345xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩。
例３.一只虫子从Ａ处爬到Ｂ处,如果它的速度每分钟增加１米,可提前１０分钟到达；如果它的速度每分钟再增加２米,则可又提前１０分钟到达,求Ａ,Ｂ之间的路程。
思考题３.甲、乙两人做一项工程,合做４小时后,甲另有任务被调走,余下部分由乙单独做,又用了６小时才完成这项工程。
已知甲独做６小时的工作量,由乙单独做要７小时３０分钟,问甲、乙单独完成这项工程各需多少小时？例４.如图,在矩形ＡＢＣＤ中,甲、乙二人分别从Ａ、Ｂ两点同时出发,甲、乙速度分别为６５米/分,７４米/分,沿矩形Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｂ→……顺序前进,乙至少跑第几圈时才可能第一次追上甲？又乙至少在跑第几圈时一定又追上甲？请说明理由。
八年级数学 分式章节知识点总结及典型例题解析
八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。
例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。
2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。
例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。
3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。
注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。
例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。
4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。
例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。
没有明显问题的段落，无需删除或改写。
1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。
3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。
初二数学分式的概念及运算
分式的概念及运算中考要求重难点1.分式概念，能确定分式有意义或值为零的条件；2.利用分式的基本性质进行约分和通分；3.会进行简单的分式化简及加减乘除混合 运算.课前预习趣味小故事：《诗中存在的错误》 有个数学家读了英国诗人捷尼逊的一首诗中的一段“每分钟都有个人死亡，每分钟都有一个人诞生……”时，去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢您的诗，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。
据您的算法，世界人数是永恒不变的。
可世界人数是不停增长的，每分钟相应的有1.16749人诞生，这与您在诗中提供的数据出入甚多，为了符合实际，我建议您使用7/6这个分数，即改为：每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又六分之一的人在诞生…….”例题精讲模块一 分式的基本概念☞分式定义【例1】 下列各式：（1）2x y ，（2）223x y ，（3）38a +,（4） 4x y -,（5）214y x -，（6）3231()a a b b a-+，（7）44x x --中，整式有 ，分式有 .【难度】2星【解析】根据分式的概念可知，分式的分母中必然含有字母，由此可知2x y 、38a +、214y x -、3231()a a b b a -+、44x x --为分式；223x y 、4x y -为整式．注意：分式的概念是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式.【答案】分式：2x y 、38a +、214y x -、3231()a a b b a-+、44x x --整式：223x y 、4x y-．【巩固】下面的说法中正确的是（ ）A .有除法运算的式子就是分式B .有分母的式子就是分式C .若A 、B 为整式，式子A B 叫分式D .若A 、B 为整式且B 中含有字母，式子AB叫分式【难度】2星【解析】分母中含有字母的式子是分式，由定义可得选D 【答案】D【巩固】下面的说法正确的是（ ）A .35是分式 B .22513x x -+是分式 C . 2125x x -+是分式 D. 2132x +是分式 【难度】2星【解析】分母中含有字母的式子是分式，由定义可得选C 【答案】C☞分式有无意义 【例2】 使分式1(1)(1)x x +-有意义的x 的值是【难度】1星【解析】分式有意义的条件是分母不为零，即(1)(1)0x x +-≠，即1x ≠±. 【答案】1x ≠±【巩固】当x = ，分式26(1)(3)x x x x ----无意义.【难度】2星【解析】分式无意义的条件是分母为零，即(1)(3)0x x --=，即13x x ==或. 【答案】1或3【巩固】当x 取什么值时，分式234x x --有意义？【难度】2星【解析】分式有意义的条件是分母不为零，即240x -≠，即2x ≠±. 【答案】2x ≠±.【巩固】当x 取什么值时，分式332312x x +--有意义？【难度】4星【解析】分式有意义的条件是分母不为零，本题分母较多，故应所有分母都应满足不为零.即3320,10,203212x x x -≠-≠+≠---，即162,5,5x x x ≠≠≠.【答案】当162,5,5x x x ≠≠≠时，分式有意义.☞分式值为零【例3】 （08丰台二模，4题）若分式2362x xx --的值为0,则x 的值为【难度】2星【解析】分式的值为0的条件：分子为0,分母不为0. 2363(2)22x x x x x x --=--，0x ∴=. 【答案】0【巩固】当x = ，分式363x x--的值为零.【难度】2星【解析】分式有意义的条件是分母不为零，即3600,2x x -=≠=且3-x 即. 【答案】2.【巩固】当x ，分式41x xx ++的值为零.【难度】3星【解析】分式有意义的条件是分母不为零，即0,410x x x +=+≠，由题意可知10,4x x ≤≠-.【答案】104x x ≤≠-且.模块二 分式的基本性质☞扩大与缩小【例4】 （09东城二模，4题）如果把分式2xx y+中的x 和y 都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ） A .扩大为原来的3倍 B .缩小为原来的3倍C .缩小为原来的6倍D .不变【难度】2星【解析】x 和y 都扩大3倍后，原式变为6233x xx y x y=++，与原分式相同，故分式值不变． 【答案】D【巩固】若分式22(a ba b a b ++、为正数）中，字母a b 、的值分别扩大原来的2倍，则分式值（ ） A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的12C .缩小为原来的14D .不变【难度】2星【解析】a b 、的值分别扩大原来的2倍后，原式变为2222224422a b a b a b a b ++=++，易知缩小为原来的12. 【答案】B☞系数化整与变号【例5】 不改变分式的值，是下列分式的分子、分母均不含“-”号，且系数为整数.（1）23b a --- （2）2(2)x y - （3）11314a b - （4）0.60.70.20.3x y x y -+【难度】2星【解析】（1）2233b ba a --=--（2）22(2)4x xy y -=-（3）114123134a ab b --= （4）0.60.7670.20.323x y x y x y x y--=++ 【答案】见解析.【巩固】不改变分式的值，是下列分式的分子、分母均不含“-”号，且系数为整数.（1）35m n -- （2）237(2)m n ---- （3）0.213m n （4）0.20.30.010.1a ba b +-【难度】2星【解析】（1）3355m mn n -=- （2）223377(2)8m m n n --=--（3）0.23153m mn n = （4）0.20.320300.010.110a b a b a b a b++=-- 【答案】见解析.模块三 分式计算☞分式乘除运算【例6】 计算：22222)x xy y x yxy x xy x-+--÷⋅（【难度】2星【解析】2222222)()()x xy y x y xy x y xy x x y x y xy x x y x-+---÷⋅=-⋅⋅=--（ 【答案】见解析.【巩固】计算：22225434668a a a a a a a a +++-÷+--+. 【难度】2星【解析】22225434(1)(4)(2)(4)(1)(4)668(3)(2)(4)(1)(3)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++-++--+-÷=⋅=+--++-+-+-． 【答案】见解析.【巩固】计算：222222322442221()2a x a ax x a x x a a ax x ⎛⎫-++⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭【难度】3星 【解析】()()()()()()()()()222233222222233442244222222()211()2xa x a x a a x a x a x a x a x a ax x a x x a a ax x a x a x a x ax ++-+-+-⎛⎫-++⎛⎫÷⋅=⋅⋅=⎪ ⎪+--++⎝⎭+-⎝⎭+【答案】见解析☞分式加减运算【例7】 （09，大兴二模，13题）化简：311(1)(2)x x x x ----+，并指出x 的取值范围. 【难度】2星【解析】3(2)3(1)(2)1111(1)(2)(1)(2)(1)(2)2x x x x x x x x x x x x x x +---+---===--+-+-++，12x x ≠≠-且. 【答案】12x +，12x x ≠≠-且【巩固】计算：221144424x x x x x -+-+-+. 【难度】2星【解析】222222112(2)2(2)(2)(4)(2)4444242(2)(2)2(2)(2)2(2)x x x x x x x xx x x x x x x x x +--+---+--+===-+-++-+--．【答案】见解析【巩固】计算：222299369x x x x x x x +-++++.【难度】2星【解析】2222299(9)(3)(3)932369(3)(3)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x +-++-++-+=+==++++++【答案】见解析☞分式混合运算【例8】 （08朝阳二模，14题）化简：221111a a a a a a -÷---- 【难度】2星【解析】221(1)(1)1111111(1)111a a a a a a a aa a a a a a a a a -+-+-÷-=⋅-==-------- 【答案】见解析【巩固】（2010红河州）计算：22453262a a a a a --÷-+++. 【难度】2星【解析】224522(3)5332623(2)(2)22a a a a a a a a a a a a ---+÷-=⋅-=-+++++-++ 【答案】见解析【巩固】已知：2x =，求22211(1)22x x x x x-÷++-+的值.【难度】3星【解析】222211(1)(1)(2)(1)22(2)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+-+÷+=⋅=+-++-++，将22x x ==-、代入1x x +中得223、 【答案】当2x =时，原分式的值为23或2.【例9】 计算：22214)244x x x x x x x x+---÷--+（． 【难度】2星【解析】22222222142141)[]244(2)(2)4(2)4(2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+---+-÷=-⋅=⋅=--+------（ 【答案】见解析【巩固】计算：44()()xy xyx y x y x y x y-++--+.【难度】3星【解析】2244()()()()()()xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y+--++-=⋅=+--+-+ 【答案】见解析【巩固】计算：(1)(1)n m n mm m n m m n+-÷---+.【难度】3星【解析】2222()()()()(1)(1)()()()()n m n m m m n n m n m m m n n m m n m n m m n m m n m m n m m n n m n m m m n n m n -+--+-+++-÷--=⋅=⋅=-+-+-+----【答案】见解析☞分式化简求值【例10】 （08，东城二模，14题）先化简，然后请你选择一个合适的x 值代入求值：24433x x xx x --÷++ 【难度】2星【解析】化简：244(4)33334x x x x x x x x x x x---+÷=⋅=-+++-，求值：只要34x x ≠-≠、的任何值均可.【答案】当1x =时，1x -=-.【巩固】先化简，再求值：22222()a ab b a b a ba b a b a b++-+-÷-+-，其中1,2a b =-=. 【难度】2星【解析】化简：22222244()()()()()a ab b a b a b a b a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++-++----÷=-⋅=⋅=-+--++-+++， 当1,2a b =-=时，2488()1ab a b -==-+【答案】-8【巩固】化简求值：3222222232a b a b a abab a ab b a b +--÷++-，其中1,1a b ==. 【难度】3星【解析】化简：3222222222()()()33322()()a b a b a ab a b a b a b a b ab ab ab ab ab a ab b a b a b a a b +-++--÷=-⋅=-=++-+-，当1,1a b =时，21)8ab ==【答案】8【例11】 （09，石景山二模，16题）已知2244(0)a b ab ab +=≠，求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值. 【难度】2星【解析】化简得：222225(3)523693()()a b a b b a b a b b a ba b a ab b a b a b a b a b a b a b---+-÷-=⋅-=++++++-++，由已知可得： 2(2)0a b -=，即2a b =，将2a b =代入2a b a b -+中得：313aa-=-【答案】-1【巩固】已知：11553,x xy yx y x xy y+--=---则的值为 .【难度】3星【解析】由已知可得：3x y xy -=，则555()1583x xy y x y xy xy xyx xy y x y xy xy xy+--++===-----【答案】8【巩固】已知x y 、是方程245x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解，求332232212x x y x xy y x x y xy x y -⋅+-+++-的值. 【难度】4星【解析】本题难点是考察学生是否了解立方差公式.化简3322223222221()()122()()x x y x x y x xy y x xy y x x y xy x y x y x x xy y x y x y--++⋅+=⋅+=-+++--++--， 由已知可得：23x y =-⎧⎨=⎩，代入222235x y ==----【答案】25-【例12】 （08，顺义一模，13题）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并将得到的分式化简，再求当4,2x y ==-时分式的值.2222,,x y xy y y xy --+ 【难度】3星【解析】本题比较灵活，学生可任意组合.本题给出一种答案：构造分式222x y xy y --化简：222()()()x y x y x y x y xy y y x y y -+-+==--，将4,2x y ==-代入得：4212x y y +-==-- 【答案】-1（答案不唯一）【巩固】（2010，河南）已知212,,242xA B C x x x ===--+，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值.其中3x =【难度】3【解析】本题给出第一种答案：2122221()()242(2)(2)2x x x A B C x x x x x x x +-+-÷=-÷=⋅=--+-+-， 把3x =代入111232x ==--【答案】1【例13】 （2010，凉山州）已知：2441x x y -+-与互为相反数，则式子()()x yx y y x-÷+的值等于 .【难度】3星【解析】化简()()1()()x y x y x y x yx y y x xy x y xy+---÷+=⋅=+：由已知可得：24410x x y -+-=+，即2,1x y ==，代入21122x y xy --== 【答案】12【巩固】（2010，襄樊）已知222[()()2()]41x y x y y x y y +--+-÷=，求224142x x y x y--+的值. 【难度】4星【解析】化简：22414142142(2)(2)2(2)(2)2x x x x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-=-==-++-++--，由已知可得： 22222(222)41x y x xy y xy y y +-+-+-÷=，2(42)41xy y y -÷=，22x y -=，代入12x y -得12.【答案】12课堂检测【练习1】使分式121x x -+无意义的条件是 【难度】1星【解析】210x +=【答案】12-【练习2】（2010，延庆一模，14题）计算：21211x x --- 【难度】2星【解析】212121111(1)(1)(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x +--=-==--+-+-+-+ 【答案】见解析【练习3】（2010，黄冈）1,2ab a b =-+=，则式子b aa b+= .【难度】2星【解析】22b a a b a b ab ++=,由已知可得：222()2426a b a b ab +=+-=+=，则22661a b ab +==--【答案】-6【练习4】计算：23211(1)(1)211x x x x x ++-÷+--+-【难度】2星【解析】22321132132(1)(2)4(1)(1)211(2)(1)1(2)(1)(2)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++--++-÷+=+⋅==--+--++-+-+【答案】见解析【练习5】化简求值：2223352x xy x xy y -+-，其中21,32x y =-=. 【难度】3星【解析】化简：()()2223(3)352232x xy x x y x x xy y x y x y x y --==+-+-+，将21,32x y =-=代入上式得：232212232xx y -==-+-+⨯ 【答案】-2【练习6】（2010，东城二模，15题）已知：2220,()2x y xyx y y x x xy y -=-⋅-+求的值.【难度】3星【解析】化简得：222()()()2()x y xy x y x y xy x yy x x xy y xy x y x y+-+-⋅=⋅=-+--，由已知得：2x y =代入上式，得 33x y yx y y+==- 【答案】3课后作业1.（2010，淄博）下列运算正确的是（ ）.1a b A a b b a -=-- .m n m n B a b a b --=- 11.b b C a a a +-= 2221.a b D a b a b a b+-=--- 【难度】2星【解析】.a b a b A a b b a a b +-=--- .m n bm an B a b ab --= 11.b b C a a a +-=-2222()1.()()()()a b a b a b D a b a b a b a b a b a b a b+++-=-=---+-+- 【答案】D2.（09，平谷二模，15题）化简：22142a a a+--. 【难度】2星【解析】22122142(2)(2)(2)(2)2a a a a a a a a a a ++=-=--+-+-+ 【答案】见解析3.（08中考，17题）已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y +⋅--+的值。