上海市十四校(原十三校)2017届高三12月联考数学试卷(扫描版)
(完整版)2017年上海市高考数学试卷
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 ．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= ．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 ．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ． 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ． 10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= {3，4} ． 【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A ∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= 3 ． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得P 63=6×5×4， ∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 （﹣∞，0） ．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x ＞1⇒1x ＜0⇒x ＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+3z=0，则|z|=√3．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+3z=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即{a2−b 2=−32ab=0，解得：{a=0b=±√3．∴z=±√3i．则|z|=√3．故答案为：√3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= 11 ．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 29﹣y 2b 2=1，其中a=√9=3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 （﹣4，3，2） ．【分析】由DB 1→的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴AC 1→=(−4，3，2)． 故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2=89，可得f ﹣1（x ）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 13．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{bn }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= 2 ．【分析】a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得b a n =a b n =(b n )2．于是b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16．即可得出．【解答】解：∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项， ∴b a n =a b n =(b n )2．∴b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2．∴lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k 1π，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π，即α2=−π4+k 2π，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π−3π4，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π+3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D=|1523|．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在【分析】根据极限的定义，求出lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n的值．【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu +3nv ）2， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1 =12×4×2×5=20． （2）连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM=12BC =12√16+4=√5，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，tan ∠A 1MA=AA 1AM =√5=√5，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12=cos2x +12，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x ≤2kπ，解得kπ﹣12π≤x ≤kπ，k ∈Z ，k=1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A +12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=2×√19×2＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【解答】解：（1）∵a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7 b 3=3+5=8b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立，当n ≥4时，有﹣10n +470≥n +5，解得n ≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n ≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为a 4+a 422×39+535﹣b 1+b 422×42=430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．【分析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35），由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0=34cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．【解答】解：（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|OP |=√2，∴联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2， 解得P （2√33，√63）．（2）设M （x 0，0），A （0，1）， P （85，35），若∠P=90°，则PA →•PM →，即（x 0﹣85，﹣35）•（﹣85，25）=0，∴（﹣85）x 0+6425﹣625=0，解得x 0=2920．如图，若∠M=90°，则MA →•MP →=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0，∴x 02−85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为2920，或1，或35．（3）设C （2cosα，sinα）， ∵AQ →=2AC →，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA |=|MP |，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得：x 0=34cosβ，∵PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），PM →=（﹣54cosβ，﹣sinβ），PQ →=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=23，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣1−sinα2cosα=√510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y=√510x +1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．第21页（共21页）。
2017年上海市高考数学试卷
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 ．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= ．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 ．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ． 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ． 10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= {3，4} ． 【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A ∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= 3 ． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得P 63=6×5×4， ∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 （﹣∞，0） ．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x ＞1⇒1x ＜0⇒x ＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 9π ． 【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得43πR 3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆， 可得面积为πR 2=9π． 故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= √3 ．【分析】设z=a +bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【解答】解：由z +3z=0，得z 2=﹣3，设z=a +bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a +bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3．∴z =±√3i ． 则|z |=√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= 11 ．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 29﹣y 2b 2=1，其中a=√9=3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 （﹣4，3，2） ．【分析】由DB 1→的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴AC 1→=(−4，3，2)． 故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2=89，可得f ﹣1（x ）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 13．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{bn }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= 2 ．【分析】a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得b a n =a b n =(b n )2．于是b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16．即可得出．【解答】解：∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项， ∴b a n =a b n =(b n )2．∴b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2．∴lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k 1π，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π，即α2=−π4+k 2π，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π−3π4，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π+3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D=|1523|．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在【分析】根据极限的定义，求出lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n的值．【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu +3nv ）2， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1 =12×4×2×5=20． （2）连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM=12BC =12√16+4=√5，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，tan ∠A 1MA=AA 1AM =√5=√5，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12=cos2x +12，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x ≤2kπ，解得kπ﹣12π≤x ≤kπ，k ∈Z ，k=1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A +12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=2×√19×2＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【解答】解：（1）∵a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7 b 3=3+5=8b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立，当n ≥4时，有﹣10n +470≥n +5，解得n ≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n ≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为a 4+a 422×39+535﹣b 1+b 422×42=430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．【分析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35），由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0=34cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．【解答】解：（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|OP |=√2，∴联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2， 解得P （2√33，√63）．（2）设M （x 0，0），A （0，1）， P （85，35），若∠P=90°，则PA →•PM →，即（x 0﹣85，﹣35）•（﹣85，25）=0，∴（﹣85）x 0+6425﹣625=0，解得x 0=2920．如图，若∠M=90°，则MA →•MP →=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0，∴x 02−85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为2920，或1，或35．（3）设C （2cosα，sinα）， ∵AQ →=2AC →，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA |=|MP |，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得：x 0=34cosβ，∵PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），PM →=（﹣54cosβ，﹣sinβ），PQ →=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=23，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣1−sinα2cosα=√510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y=√510x +1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．第21页（共21页）。
(word完整版)2017上海高考数学试题(Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分)1.已知集合 A {1,2,3,4}，集合 B {3,4,5}，则 AI B ______________2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________x 13. 不等式1的解集为 ________x4. 已知球的体积为 36，则该球主视图的面积等于 _____________5. 已知复数z 满足z 30，则|z| ______z2 26. 设双曲线— 爲 1(b 0)的焦点为F 1、F 2，P 为该9 b双曲线上的一点，若| PR | 5，则| PF 2 | __________7. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________3x 1 x 08. 定义在(0,)上的函数y f(x)的反函数为y f lx)，若g(x) ' 为f(x), x 0奇函数，则f 1(x)2的解为 ________1 3 f9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事 x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________2 *10.已知数列｛a n ｝和｛b n ｝，其中a n n , n N , ｛0｝的项是互不相等的正整数，若对于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 P 、P 2、B 、F 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,巳，卩3,巳｝，点P ，过P 作直线I P ,使得不在I P 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D(l p )和D 2(I P )分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直 线I P 中有且只有一条满足 DdI p ) D 2(I P )，则 中 所有这样的P 为 ___________二.选择题(本大题共 4题，每题5分，共20分)2017.6任意n N *，｛b n ｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则Iggbqdbw)Ig(bb 2b 3b 4)11.设 a 1、a 2 R，且 2 sin 112 sin(2 2)2，则 |10 2|的最小值等于x 5v 013.关于x 、y 的二元一次方程组' 的系数行列式D 为(2x 3y 4A.0 5 B. 1 0C.1 5D.6 04 32 42 35 4uuu uuirOP OQ w ｝，贝U中元素个数为().解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分)17.如图，直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ABG 的体积; (2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小.2 218.已知函数 f (x) cos x sin x(1 )求f(x)的单调递增区间;A 所对边a 19，角B 所对边b 5，若f (A) 0，求△ ABC 的面积.A. a 0B. b 0C. cD. a 2b c0 16. 在平面直角坐标系 2 x xOy 中，已知椭圆C : 2y 21 和 C 2: X 2- 1 P 为C 1上的动36 4 9uuu urnr占 八Q 为C 2上的动点， w 是OP OQ 的最大值. 记{(P,Q)|P 在 C 1 上, Q 在C 2上，且)使得Moo k 、X 200 k 、X 300 k 成等差数列”的一个必要条件是14.在数列｛a n ｝中, a n，则 lim a n (nA.等于-2B.等于0C.等于-2D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项2X n anbn，则“存在A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个12，x (0,).(2)设厶ABC 为锐角三角形，角19. 根据预测，某地第n (n N )个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b (单位：辆), "亠5n 15, 1 n 3其中a n , b n n 5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的10n 470, n 4累计投放量与累计损失量的差•(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？x220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆: y 1，A为的上顶点，P为上异于4上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点.(1 )若P在第一象限，且|OP| 2，求P的坐标；(2)设P(8,3)，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；5 5umr uuir uuu uuun(3)若| MA | |MP |，直线AQ 与交于另一点C,且AQ 2AC，PQ 4 PM，求直线AQ的方程.21.设定义在R上的函数f (x)满足：对于任意的X1、X2 R，当x, X2时，都有f(X1) f(X2).(1 )若f (x) ax31，求a的取值范围；(2)若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.函数h(x) f(x)g(x).证明：“ h(x)是周期函数”的充要条件是“ f (x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分) 1. 已知集合 A ｛1,2,3,4｝，集合 B ｛3,4,5｝，则 AI B ________ 【解析】AI B ｛3,4｝2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________【解析】m 32 26.设双曲线工占 1(b9 b 2则 | PF 2 | ______ 【解析】2a 6| PF 2 | 117. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________UUUU 【解析】A(4,0,0)，C 1(0,3,2)，AC 1( 4,3,2)13x 1, x 0 込 8. 定义在(0,)上的函数y f (x)的反函数为y f (x)，若g(x)为f(x), x 01奇函数，则f (x) 2的解为 ________ 【解析】f (x)3x 1f(2)9 18 f 1(x)2 的解为 x 81 3 -9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________ 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，.••概率为2017.6x1【解析】1 -10 x 0 ,解集为(xx4.已知球的体积为 36 ,则该球主视图的面积等于4【解析】43r 3 36 r 3 S 95.已知复数 z 满足3 z -z 0，则 |z| 【解析】z 23 z |z| .3,0)0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若2 *10.已知数列｛a n｝和｛b n｝，其中a n n , n N , ｛b n｝的项是互不相等的正整数，若对于任意n N * , ｛0｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则lg(blb4b9bl6)©(b^b q )【解析】b a n a b n b n 2 b n 2 bAb g% (bfeb s b q )2即 sin 1sin （2 2 ）1，二 12k,2k , I10 1 2〔min2 4412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 R 、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,P 2,P 3,P 4｝，点P ，过P 作直线I p ，使得不在I p 上的“ ”的点 分布在I P 的两侧.用D 1（I P ）和D 2（I P ）分别表示I P 一侧 和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直线I p 中有且只有一条满足 D 1（I p ） D 2（I p ），则 中 所有这样的P 为__________ 【解析】P 、F 3A.0 5 B. 1 0C.1 5 D .6 04 32 42 35 4【解析】C【解析】k 、x 200 k 、x 300 k 成等差数列”的一个必要条件是©(bb q b g bj 2 IgglbAb q )11.设 a-i 、a 2，且2 sin i2，则 |102 sin(2 2)12|的最小值等于I解析】人［1,1］，口1冇［1,1］，1 1 1 ,2 si n t 2 sin(2 2)二.选择题（本5分，共 20分)13.关于x 、y 的二元一次方程组x 5y 2x 3y的系数行列式4 D 为（ ）14.在数列｛a n ｝中,(J ，，则 Iim a n (nA.等于B.等于0C. 1等于12D.不存在15.已知 b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项 2X n anbn c ，n N *，则“存在 k N *，使得X ,oo A. a 0 【解析】AB. b 0C. c 0D. a 2b c 02累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?2 2一 一 x y16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆G :盘 -1和C 2：x 2鲁1.P为C 1上的动uuu urnr点，Q 为C 2上的动点，w 是OP OQ uuu uuirOP OQ w}，贝U中元素个数为( 的最大值•记 {(P,Q)|P 在G 上，Q 在C 2上，且A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个【解析】D三.解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76 分)17.如图，直三棱柱 ABC AB1G 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ARG 的体积;(2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小•【解析】(1) V S h 20(2) tan5.5 ，线面角为arcta n ■. 518.已知函数 2f (x) cos x sinx 1 , x (0,).(1 )求f(x)的单调递增区间;(2)设厶ABC 为锐角三角形, A 所对边a ■ 19，角B 所对边b 5，若f (A)0，求△ ABC 的面积.【解析】(1) f(x)cos2xx (0,)，单调递增区间为［―,) 2(2) cos2A根据锐角三角形，cosB2A 25 c 191…ccosAc 2 或 c 3 ,2 5c 20，二 c 3 , S - bcsin A ^^432 4 19.根据预测，某地第n 4甘出5n 15, 1其中a n10n 470,(nN *)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n (单位：辆),3, b n n 5，第n 个月底的共享单车的保有量是前4n 个月的(1 )若P 在第一象限，且|OP| 耳，求P 的坐标;求直线AQ 的方程. 3 uuu uuur 3 1 3y 0.Q( -x 0, 3y 。
2017届上海市十二校高三下学期3月联考数学试题(解析版)
【数学】上海2016-2017年高三下十二校联考试卷一、填空题1.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合{B y y ==，则A B =I __________．【答案】[)02，【解析】 【分析】根据对数的定义域与幂函数的值域求解,A B 再求交集即可.【详解】2020Ax x B y -><≥：，，：，∴[)02A B =I ， 故答案为：[)02，【点睛】本题主要考查了定义域与值域以及集合间的基本运算,属于基础题型.2.若不等式162x a<-的解集为()1,-+∞，则实数a =______.【答案】4- 【解析】 分析】由题意可知，不等式26ax +<的解集为()1,-+∞，可知1x =-是方程26ax +=的根，从而可解出实数a 的值.【详解】122x ax a=+-Q，由题意可知，关于x 的不等式26ax +<的解集为()1,-+∞，所以，关于x 的方程26ax +=的根为1x =-，则有26a -+=，解得4a =-. 故答案为：4-.【点睛】本题考查利用一次不等式的解集求参数，同时也考查了二阶行列式的计算，考查运算求解能力，属于基础题.3.函数()()22f x x x =<-的反函数是__________．【答案】())14f x x -=>【解析】 【分析】根据反函数的方法求解即可.【详解】由()()22f x x x =<-有()4f x >,故其反函数满足()21x f x -⎡⎤=⎣⎦,又()()22f x x x =<-,故())14f x x -=>.故答案为：())14f x x -=>【点睛】本题主要考查了反函数的求法,注意定义域与值域即可.属于基础题型. 4.若(1i)i 2i a b +=-,其中、,i 是虚数单位,则i a b +=_________．【答案】【解析】试题分析：由(1i)i 2i a b +=-得2a =-,1b =-,所以|i 1a b +=--=.考点：复数相等、复数的模.5.如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体体积为__________．【答案】2π+【解析】 【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式求解即可.【详解】由题圆锥的高h ==故圆锥体积211133V π=⨯=. 圆柱体积22122V ππ=⨯⨯=.故体积2V π=+.故答案为：23π+【点睛】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积公式,属于基础题型.6.若圆221x y +=与直线2x a ty t=+⎧⎨=⎩（参数t R ∈）相切，则实数a =__________．【答案】2±【解析】 【分析】先求出直线的直角坐标方程,再利用圆心到直线的距离为1计算即可. 【详解】易得22220y x a x y a =-⇒--=,根据点到直线距离等于1,1a =⇒=故答案为：2±【点睛】本题主要考查了参数方程化直角坐标方程的方法,同时也考查了直线与圆相切的问题,属于基础题型.7.变量x y 、满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22z x y =+的最大值是__________．【答案】8 【解析】 【分析】根据22z x y =+的几何意义为原点到(),x y 的距离的平方,故分析离原点最远的点位置即可.【详解】画出可行域,如图,可知在()22-，和()22--，处取到最大值,最大值为8故答案为：8【点睛】本题主要考查了线性规划中距离平方的几何意义,属于基础题型. 8.{}n a 是无穷数列，若{}n a 是二项式()()*12nx n N +∈展开式各项系数和，则12111lim +x n a a a →∞⎛⎫++= ⎪⎝⎭…_______________． 【答案】12【解析】 【分析】令1n =可得二项式()()*12nx n N +∈展开式各项系数和3n na=.再代入12111lim +x n a a a →∞⎛⎫++⎪⎝⎭…求解即可.【详解】令1n =可得二项式()()*12nx n N +∈展开式各项系数和3n na=,故12111113lim +1213x n a a a →∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭-…. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了二项式定理中系数之和与无穷等比数列的求和,属于基础题型.9.如图，圆O 与x 轴正半轴交点为A ，点B C 、在圆O 上，点C 在第一象限，且4355B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，AOC α∠=，1BC =，则cos 6α5π⎛⎫-=⎪⎝⎭_______________．【答案】35-【解析】 【分析】由题可得3πα-的三角函数值,再利用诱导公式求解5cos 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭即可. 【详解】由题得,B 对应的角为3πα-,则 3sin 35πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,∴5cos cos sin 6323sin 353πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故答案为：35-【点睛】本题主要考查了根据三角函数的定义求三角函数值的方法,同时也考查了诱导公式的运用,属于中等题型.10.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ． 【答案】472 【解析】 【分析】利用间接法，计算取3张卡片的总数，然后分别计算取3张同色，2张红色的方法数，最后做差，可得结果.【详解】由题可知：16张取3张卡片的所有结果为316C取到3张都是同色的结果数为344C 取到2张都是红色的结果数为14212C C ⋅2112331644C 4C C C 5601672472-=--=-⋅.故答案：472【点睛】本题考查组合的应用，巧用间接法，审清题意，细心计算，属基础题.11.如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O e ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON u u u u r u u u r⋅的取值范围为 ．【答案】⎡⎣【解析】试题分析：正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，点,M N 始终保持性质：2OM ON ==，OM ON ⊥，设cos ,)22N αα，则有(cos(),))2222M ππαα--即,cos )22M αα-， 22(cos ,sin )22ON αα=u u u r ，22(sin 2,cos )22PM αα=--u u u u r ，22cos (sin 2)22PM ON αα⋅=-u u u u r u u u r 2cos α=-[2,2]∈-.考点：向量的数量积，圆的参数方程（换元法）.12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为__________． 【答案】9 【解析】试题分析：由题可知，,即，解得,又因为在区间单调，所以,即，接下来，采用排除法，若，此时，此时在区间上单调递增，在上单调递减，不满足在区间单调，若，此时，满足在区间单调递减，所以的最大值为9.考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到,即，第二个条件是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到的最大值.二、选择题13.已知二元一次方程组的增广矩阵为421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若此方程组无实数解，则实数m 的值为（ ） A. 2m =± B. 2m = C. 2m =- D. 2m ≠±【答案】C 【解析】 分析】由题意得出401m m=且有201m m m+≠，从而可求出实数m 的值.【详解】由于增广矩阵421m m m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭所表示的二元一次方程组无实数解，则401201m m m m m ⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩， 即224020m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得2m =-.故选：C.【点睛】本题考查利用二元一次方程组解的个数来求参数的值，涉及增广矩阵的应用，解题时要注意对相应的行列式进行限制，同时也可以转化为两直线的位置关系来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14.一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【详解】由主视图和左视图可知该几何体可能是棱柱或圆柱， 若是圆柱的话俯视图为B ； 若是棱柱话，则主视图中对应的底边和底边上的高相等，所以俯视图可能是A ， C ，而D 中可得底面是矩形，两边长不相等，不符合，故选D 15.已知动点()P x y ，满足3411x y =+-，则点P 的轨迹是（ ）A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆【答案】A 【解析】【分析】34115x y+-=,再根据点到点的距离与点到直线的距离公式分析几何意义求解即可.34115x y+-=,表示点()x y，到()12，的距离等于到直线34110x y+-=的距离,因为()12，在直线34110x y+-=,故()x y，的轨迹为过()12，且与直线34110x y+-=垂直的直线上.故选：A【点睛】本题主要考查了根据距离公式分析轨迹问题的方法等,属于基础题型.16.已知两个不相等的非零向量av、bv，两组向量1234x x x xu v u u v u u v u u v、、、和1234y y y yu u v u u v u u v u u v、、、均由2个av和2个bv排列而成，记11223344S x y x y x y x y=⋅+⋅+⋅+⋅u v u u v u u v u u v u u v u u v u u v u u v，minS表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数是（）①S有3个不同的值；②若a b⊥v v，则minS与bu u v无关；③若a bv vP，则minS与bu u v无关；④若2b a=u u v u u v，2min4S a=u u v，则av与bv的夹角为3π；A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】根据题意逐个选项分析即可.【详解】对①,三个值为222222,24a b a b a b a b +++⋅⋅r r u r r r r r r,,故①正确.对②,因为三个值222222,24a b a b a b a b +++⋅⋅r r u r r r r r r,中()22222420a b a b a b+-⋅=-≥r r r r r r ,()222240a b a b a b a b++⋅-⋅=-≥r r r r r r r r .故min40S a b =⋅=r r,故②正确.对③,由②,当//a b r r时,min 44cos ,S a b a b a b =⋅=⋅⋅<>r r r r r r 与b u u r 有关,故③错误. 对④, 若2b a =u u r u u r ,2min 4S a =u u r 则224cos ,8cos ,4a b a b a a b a ⋅⋅<>=⋅<>=r r r r r r r r .故1cos ,2a b <>=r r ,故a r 与b r 的夹角为3π成立.故④正确.综上,①②④正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量以及不等式的综合运用,需要根据题意分析最值即可.属于中等题型.三、解答题17.长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12,1AA AB ==，是上的一点．⑴求异面直线AC 与1B D 所成的角； ⑵若1B D ⊥平面ACE ，求三棱锥的体积；【答案】(1)2π(2)112A CDE V -=【解析】【详解】试题分析：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 ⑴依题意，，，，，所以，所以， 所以异面直线所成角为⑵设，则因为平面， 平面，所以所以，所以，所以考点：异面直线所成的角，椎体的体积点评：解决的关键是能合理的建立空间直角坐标系，然后借助于法向量和直线的方向向量来表示求解，属于基础题．18.已知函数f 1()cos )cos (,0)2x x x x x R ωωωω=+-∈>.若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数(A)f 的取值范围.【答案】（1）42[4,4],33k k k Z ππππ-+∈；（2）1(,1)2【解析】试题分析：（1）化简()sin(2)6f x x πω=+,由周期公式,可得ω的值,再由正弦函数的单调性可得()f x 的单调递增区间；（2）由正弦定理及两和的正弦公式可得3B π=,由三角形的内角和公式可得A 的范围,最后可得函数(A)f 的取值范围.试题解析：（1）∵21()cos cos 2f x x x x ωωω=+-12cos 2sin(2)26x x x πωωω=+=+. ∵242T ππω==，∴14ω=，由，22,2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈， 得4244,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈. ∴()f x 的单调递增区间为.（2）由正弦定理得，(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+.∵sin()sin 0B C A +=>，∴1cos 2B =. 或：(2)cos cos a c B b C -=，2cos cos cos a B b C c B a =+-，∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=，∴203A π<<， ∴6262A πππ<+<，∴1()(,1)2f A ∈. 考点：二倍角公式；两角和的正弦公式；正弦函数的性质；正弦定理.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(2,0)F ，点(2,3P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，点M 在椭圆C 上，坐标原点O 恰为ABM V 的重心，求直线l 的方程．【答案】（1）22162x y +=；（2）)2y x =- 【解析】试题分析：（1）由题意可得2c =，3PF =，运用勾股定理可得1PF ，再由椭圆的定义可得2a ，由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到椭圆方程；（2）显然直线l 与x 轴不垂直，设():2l y k x =-，()11A x y ，，()22,B x y ，代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标公式可得M 的坐标，代入椭圆方程，解方程即可得到所求直线的方程试题解析：（1）由题意可得2c =，左焦点()12,0F -，PF =，所以1PF ==，即12a PF PF =+=26a =，2222b a c =-=，故椭圆C 的方程为22162x y +=；（2）显然直线l 与x 轴不垂直，设():2l y k x =-，()11A x y ，，()22,B x y ，将l 的方程代入C 得()222213121260k x k x k +-+-=，可得21221213k x x k +=+，所以AB 的中点N 22262,1313k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由坐标原点O 恰为ABM V 的重心，可得M 222124,1313k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由点M 在C 上，可得4215210k k +-=，解得215k =或13-（舍），即5k =±，故直线l 的方程为)2y x =-．20.已知函数()42x x f x =-，实数s t 、满足()()0222s t s tf s f t a b ++==+=，，；（1）当函数()f x 的定义域为[]11-，时，求()f x 的值域；（2）求函数关系式()b g a =，并求函数()g a 的定义域D ；（3）在（2）的结论中，对任意1x D ∈，都存在[]211x ∈-，，使得()()12g x f x m =+成立，求实数m的取值范围；【答案】(1) 124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，; (2) 22a ab -=, (]1,2D =;(3) 114m -≤≤ 【解析】 【分析】(1)换元令2x m =,再根据定义域为[]11-，求关于m 的二次函数的值域即可.(2)根据()()0222s t s tf s f t a b ++==+=，，,求得22,2s t s t ++的关系式,再代换为,a b 进行化简即可.(3)由题意知, ()g x 的值域包含于()f x m +的值域,分别球划出值域再列出关于区间端点的不等式即可.【详解】(1)由()42x xf x =-,因为定义域为[]11-，,故设12,22x m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,故()2()f x h m m m ==-,对称轴为12m =,故()2()f x h m m m ==-在1,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又21111()2224h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,2(2)222h =-=,故()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. (2)因为()()0f s f t +=,所以42420s s t t -+-=, 化简得()()22222220s ts t s t ++-⋅-+=,又222s t s t a b +=+=,.故220a b a --=,22a ab -=.又22s t a +≥⇒≥故2222(2)0a a a a a a ≥≥-⇒-≤,解得02a ≤≤.又2012a a b a -=>⇒>或0a <.故12a <≤.综上, 22a ab -=,(]1,2D = (3) 由题意知, ()g x 的值域包含于()f x m +的值域.又()(]21(),1,22g x x x x =-∈.故()(]0,1g x ∈. 由(1)有()f x 在[]11-，的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故()1,24m m f x m +⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦∈. 所以(]1,20,14m m ⎡⎤-++⎢⎣∈⎥⎦,故10114421m m m ⎧-+≤⎪⇒-≤≤⎨⎪+≥⎩. 【点睛】本题在考查了与指数函数有关的二次复合函数问题,一般换元根据定义域求复合函数的值域,再利用等量关系运算等.同时在判断函数值域的范围时注意列出区间端点满足的不等式求解即可.属于中等题型.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N *=-∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()1312231*********n n n n b b b b a +=-+-+-++++L ，求数列{}n b 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设2nn n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}()n c n N *∈是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】⑴2nn a =；⑵12832,3519λ-<<. 【解析】试题分析：（1）由递推关系式消去n S ，可得12,n n a a +=，数列{}n a 为等比数列，且首项为2，公比2q =，所以2n n a =．（2）由()()13122311,221212121n n n n b b b b n N +*=-+-+-∈++++L 递推得：()()31121231112.221212121nn n n b b b b n ---=-+-+-≥++++L 两式相减得：()()1112.2nn n b n ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭又当1n =时,1113,.212b a b ==+所以()()()3,12{111.2,2n n n n b n n N *==⎛⎫-+≥∈ ⎪⎝⎭（3） 因为2,nn n c b λ=+所以当3n ≥时,()()111111211,211.22nn nn n n n n c c λλ----⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭依据题意,有()1132120,2n n n n n c c λ--⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭即()121.322n nnλ-->-+分类讨论，n 为奇数或偶数，分离参数即可求出λ的取值范围是12832,3519λ-<< 试题解析：⑴ 由22,n n S a =-得1122n n S a ++=-．两式相减,得1122,n n a a a ++=- 所以12,n n a a +=由又1122,S a =-得11122,2,a a a =-=所以数列{}n a 为等比数列，且首项为2，公比2q =，所以2nn a =．⑵ 由 ⑴ 知()*112n n n N a =∈． 由()()1*3122311,221212121n n n n b b b b n N +=-+-+-∈++++L 得()()31121231112221212121nn n n b b b b n ---=-+-+-≥++++L ． 故()11111,2221n n n n nb +--=-+即()()11122n n n b n ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭． 当1n =时,1113,212b a b ==+．所以()()()*3,12{1112,2n n n n b n n N ==⎛⎫-+≥∈ ⎪⎝⎭．⑶ 因为2,nn n c b λ=+所以当3n ≥时,()()111111211,21122nn nn n n n n c c λλ----⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 依据题意,有()1132120,2n n n n n c c λ--⎛⎫-=+-+> ⎪⎝⎭即()121322n nnλ-->-+．①当n 为大于或等于4的偶数时,有12322n n λ->-+恒成立． 又1212213312222n n n n ---=-++随n 增大而增大,则当且仅当4n =时,1min2128,33522n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭故λ的取值范围为128;35λ>- ②当n 为大于或等于3的奇数时,有12322n n λ-<+恒成立,且仅当3n =时,1min232,31922n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭ 故λ的取值范围为32;19λ<又当2n =时由212153220,42n n c c c c λλ-⎛⎫⎛⎫-=-=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得8λ<．综上可得,所求λ的取值范围是12832,3519λ-<< 点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前n 项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析1,2n n =≥，在处理涉及(1)n -的数列问题，一般要考虑分n 为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．,。
2017年上海市高考数学试卷
8
的解为 ．
9
【分析】由奇函数的定义，当 x＞0 时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求 x＞0
的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
【解答】解：若 g（x） =
‒ 1， ≤ 0
为奇函数，
{3()
，＞0
可得当 x＞0 时，﹣x＜0，即有 g（﹣x）＝3﹣x﹣1，
6 = 6×5×4，则 m＝
‒1
＞1 的解集为
3．（4 分）（2017•上海）不等式
．
．
4．（4 分）（2017•上海）已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于
5．（4 分）（2017•上海）已知复数 z 满足 z +
6．（4 分）（2017•上海）设双曲线
3
= 0，则|z|＝
．
．
2 2
‒ = 1（b＞0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的
9 2
一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝
．
7．（5 分）（2017•上海）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的
→
→
三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若D1的坐标为（4，3，2），则A1
1．（4 分）（2017•上海）已知集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，则 A∩B＝
{3，4} ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，
∴A∩B＝{3，4}．
故答案为：{3，4}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运
2017年上海市高考数学试卷
2017上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 ．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= ．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 ．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ． 10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12 D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= {3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A ∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= 3 ． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得P 63=6×5×4， ∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 （﹣∞，0） ．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x ＞1⇒1x ＜0⇒x ＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+3z=0，则|z|=√3．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．【解答】解：由z+3z=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即{a2−b 2=−32ab=0，解得：{a=0b=±√3．∴z=±√3i．则|z|=√3．故答案为：√3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= 11 ．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 29﹣y 2b 2=1，其中a=√9=3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 （﹣4，3，2） ．【分析】由DB 1→的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴AC 1→=(−4，3，2)． 故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g（x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2=89，可得f ﹣1（x ）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为13． 【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= 2 ．【分析】a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得b a n =a b n =(b n )2．于是b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16．即可得出．【解答】解：∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，∴b a n =a b n =(b n )2．∴b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2．∴lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k 1π，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π，即α2=−π4+k 2π，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π−3π4，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π+3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ） A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523|D ．|6054|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D=|1523|．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在【分析】根据极限的定义，求出lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n的值．【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0． 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu +3nv ）2， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1 =12×4×2×5=20． （2）连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点，∴AA 1⊥底面ABC ，AM=12BC =12√16+4=√5，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，tan ∠A 1MA=AA 1AM =√5=√5，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12=cos2x +12，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x ≤2kπ，解得kπ﹣12π≤x ≤kπ，k ∈Z ，k=1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A +12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c=2或3，若c=2，则cosB=2×√19×2＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7b 3=3+5=8 b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立，当n ≥4时，有﹣10n +470≥n +5，解得n ≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n ≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为a 4+a 422×39+535﹣b 1+b 422×42=430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．【分析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35），由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0=34cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．【解答】解：（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|OP |=√2，∴联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，解得P （2√33，√63）．（2）设M （x 0，0），A （0，1）， P （85，35），若∠P=90°，则PA →•PM →，即（x 0﹣85，﹣35）•（﹣85，25）=0，∴（﹣85）x 0+6425﹣625=0，解得x 0=2920．如图，若∠M=90°，则MA →•MP →=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0，∴x 02−85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意． ∴点M 的横坐标为2920，或1，或35． （3）设C （2cosα，sinα）， ∵AQ →=2AC →，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA |=|MP |，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得：x 0=34cosβ， ∵PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），PM →=（﹣54cosβ，﹣sinβ），PQ →=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=23，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC 的斜率k AC =﹣1−sinα2cosα=√510（负值已舍去），如图． ∴直线AQ 为y=√510x +1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f （x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f （x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f （x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f （x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
上海市十三校高三数学上学期12月联考试卷(含解析)
2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= ．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= ．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= ；前2n项和S2n= ．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．417．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤418．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．2015-2016学年上海市十三校高三（上）12月联考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分.1．已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．2．函数f（x）=sinxcosx的最大值是．【考点】二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形，根据正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值．【解答】解：f（x）=sinxcosx=sin2x，∵﹣1≤sin2x≤1，∴﹣≤sin2x≤，则f（x）的最大值为．故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知函数f（x）=1+log a x，（a＞0，a≠1），若y=f﹣1（x）过点（3，4），则a= 2 ．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵y=f﹣1（x）过点（3，4），∴原函数f（x）经过点（4，3），∴3=1+log a4，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，求函数f（x）的定义域是（﹣3，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】由复合函数的定义域的求法知﹣3＜2x﹣1≤3，从而解得．【解答】解：∵函数f（2x﹣1）的定义域是（﹣1，2]，∴﹣1＜x≤2，∴﹣3＜2x﹣1≤3，∴函数f（x）的定义域是（﹣3，3]；故答案为：（﹣3，3]．【点评】本题考查了复合函数的定义域的求法，属于中档题．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30 吨．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】因每次购买的次数相同，所以货物总吨数除以每次购买的数量应为整数，用购买次数乘以每次的运费加上总存储费用即为一年的总运费与总存储费用之和，然后利用基本不等式求最小值．【解答】解：设公司一年的总运费与总存储费用之和为y万元．买货物600吨，每次都购买x吨，则需要购买的次数为次，因为每次的运费为3万元，则总运费为3×万元．所以y=（0＜x≤600）．则．当且仅当，即x=30时取得最小值．所以，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买30吨．故答案为30．【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了利用基本不等式求最值，解答此题注意两点：一是实际问题要有实际意义，二是利用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”．是中档题．7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则= ．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．8．已知圆C：（x+1）2+（y﹣3）2=9上的两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，那么m= ﹣1 ．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，把圆心坐标代入直线方程即可求得m的值．【解答】解：由题意可得，圆心（﹣1，3）在直线x+my+4=0上，∴﹣1+3m+4=0，解得 m=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．9．设F1、F2是双曲线x2﹣=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的周长24 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的周长．【解答】解：双曲线x2﹣=1的a=1，c==5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的定义知， x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，|F1F2|=10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=8+6+10=24．故答案为：24．【点评】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题．10．等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，则（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）= ﹣．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列的前3项，由等比数列的性质求出首项和公比，由此能求出（a1+a3+a5+…+a2n）．﹣1【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n=a+（）n，n∈N*，∴a1=S1=a+，a2=S2﹣S1=[a+（）2]﹣（a+）=﹣，a3=S3﹣S2=[a+（）3]﹣[a+（）2]=﹣，∴（﹣）2=（a+）（﹣），解得a=﹣1，，q==，∴=（﹣2）．∴（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）=（）==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的前2n项中奇数项和的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．11．已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则a5+a6= 7 ；前2n项和S2n=．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由数列递推式得到数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得a5+a6，用等差数列和等比数列前n项和公式求得前2n项和S2n．【解答】解：由a n+2=，可得，数列{a n}的所有偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n}的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a5=a1+2d=1+2×1=3，，∴a5+a6=7；前2n项和S2n=S奇+S偶==．故答案为：7；．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点（，），函数g（x）=f（x）f（x﹣）的单调递增区间[﹣， +]，k∈Z ．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值可得函数的解析式，再利用二倍角公式、诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为=π，∴ω=2．再根据图象过点（，），可得sin（2•+φ）=，∴2•+φ=，∴φ=，f（x）=sin （2x+）=cos2x．函数g（x）=f（x）f（x﹣）=cos2xcos2（x﹣）=sin2xcos2x=sin4x．令2kπ﹣≤4x≤2kπ+，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．故答案为：[﹣， +]，k∈Z．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．13．已知 f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出分段函数的图象，由图象得到函数f（x）的单调性，然后把不等式f（x+a）＞f（2a ﹣x）在[a，a+1]上恒成立转化为不等式a＞2（a+1）求解．【解答】解：作出分段函数f（x）=的图象如图，要使不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则x+a＜2a﹣x在x∈[a，a+1]上恒成立，即a＞2x在x∈[a，a+1]上恒成立，∴a＞2（a+1），解得：a＜﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了分段函数的应用，解答此题的关键是把恒成立问题转化为含a的不等式，是中档题．14．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是②④．【考点】函数的值域．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】题目给出了具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐近线”．当给定的正数m无限小的时候，函数f（x）的图象在函数h（x）=kx+b的图象的上方且无限靠近直线，函数g（x）的图象在函数h （x）=kx+b的图象的下方且无限靠近直线，说明f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于第一组函数，通过构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x）=，对该函数求导后说明函数F（x）在（1，+∞）上是增函数，不满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第二组函数，直接作差后可看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0；对于第三组函数，作差后得到差式为，结合函数y=x和y=lnx图象的上升的快慢，说明当x＞1时，为为负值且逐渐减小；第四组函数作差后，可直接看出满足x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．由以上分析可以得到正确答案．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时，令F（x）=f（x）﹣g（x）=由于，所以h（x）为增函数，不符合x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=f（x）﹣g（x）==，因为当x＞1且x→∞时，f（x）﹣g（x）→0，所以存在分渐近线；对于③f（x）=，g（x）=，f（x）﹣g（x）==当x＞1且x→∞时，与均单调递减，但的递减速度比快，所以当x→∞时f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→∞时，f（x）﹣g（x）===→0，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是②④．故答案为②④．【点评】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分.15．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．16．双曲线x2﹣my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）A．B．C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1化为，∴a2=1，，∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a=2×2b，化为a2=4b2，，解得m=4．故选D．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．17．如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1）．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2﹣x10，x2﹣1＞0．则，即f（x1）＜f（x2）．所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．故选C．【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．18．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．【解答】解：①∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1．∵a1＞1，∴q＞0．又∵，∴a99＞1，且a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确；②∵，∴0＜a99•a101 ＜1，即 a99•a101﹣1＜0，故②错误；③由于 T100=T99•a100，而 0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故③错误；④中T198=a1•a2…a198=（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）=（a99•a100）×99＞1，T199=a1•a2…a199=（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）•a100＜1，故④正确．∴正确的为①④，故答案为B．【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n=p+q则有a m•a n=a p•a q．其中根据已知条件得到aa99＞1，a100＜1，是解答本题的关键，属于基础题．三、解答题（本大题共5分，满分74分）19．已知命题，命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），且p是q的必要条件，求实数m 的范围．【考点】其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】解分式不等式求出命题p，二次不等式求出q，利用p是q的必要条件得到不等式组，求出m的范围即可．【解答】解：由命题，所以，不等式化为，解得p：﹣2≤x ＜10．命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＜0），解得1+m≤x≤1﹣m；因为p是q的必要条件，即任意x∈q⇒x∈p成立，所以，解得﹣3≤m＜0；实数m的范围是：﹣3≤m＜0．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．20．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、诱导公式化简已知的等式求得，可得A=60°．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理求得AB的值，再由，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴，…．∵sinA≠0，∴，∴，…．∵0°＜A＜180°，∴A=60°．…（Ⅱ）在△ABC中，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos60°，BC=7，AC=5，∴49=AB2+25﹣5AB，∴AB2﹣5AB﹣24=0，解得AB=8或AB=﹣3（舍），…．∴．…【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理的应用，属于中档题．21．（2013•北京）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W 的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|B0|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．22．已知函数．（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），求a与t的值；（3）对任意的x1，x2∈D，是否存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），若存在，求出x3；若不存在，请说明理由．【考点】函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；（2）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），首先应有（t，a）⊆（﹣1，1），且当x∈（t，a）时，∈（a，+∞），结合内层函数图象及单调性可得t=﹣1，且，从而求出a和t的值；（3）假设存在x3∈D，使得f（x1）+f（x2）=f（x3），代入对数式后把x3用x1，x2表示，只要能够证明x3在定义域内即可，证明可用作差法或分析法．【解答】解：（1）要使原函数有意义，则，解得﹣1＜x＜1，所以，函数f（x）的定义域D=（﹣1，1）f（x）是定义域内的奇函数．证明：对任意x∈D，有所以函数f（x）是奇函数．另证：对任意x∈D，所以函数f（x）是奇函数．（2）由知，函数在（﹣1，1）上单调递减，因为0＜a＜1，所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（﹣∞，1），所以（t，a）⊆（﹣1，1）且在（t，a）的值域是（a，+∞），故且t=﹣1（结合g（x）图象易得t=﹣1）由得：a2+a=1﹣a，解得或a=（舍去）．所以，t=﹣1（3）假设存在x3∈（﹣1，1）使得f（x1）+f（x2）=f（x3）即则，解得，下面证明．证明：法一、由．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，，∴，即，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．法二、要证明，即证，也即．∵x1，x2∈（﹣1，1），∴，∴，∴．所以存在，使得f（x1）+f（x2）=f（x3）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了复合函数的单调性，考查了复合函数的值域，体现了数学转化思想方法，训练了存在性问题的证明方法，该题综合考查了函数的有关性质，属有一定难度的题目．23．对于各项均为正数的无穷数列{a n}，记b n=（n∈N*），给出下列定义：①若存在实数M，使a n≤M成立，则称数列{a n}为“有上界数列”；②若数列{a n}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a=M成立，则称数列{a n}为“有最大值数列”；③若b n+1﹣b n＜0，则称数列{a n}为“比减小数列”．（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{}是何种数列？（Ⅱ）若数列{a n}中，a1=，a n+1=，求证：数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列；（Ⅲ）若数列{a n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【考点】数列与函数的综合；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由， =，得b n+1﹣b n＞0，a n=，由此得到数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．（Ⅱ）先用数学归纳法证明，再证明a n+1＞a n． =﹣（a n﹣2）（a n+1）．然后证明，由此得到数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．（Ⅲ）假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，由此推导出无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，从而得到对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知， =，b n+1﹣b n==＞0，a n=，且存在n=1，a1=1，所以数列{}既是有上界数列，又是有最大值数列．…（Ⅱ）数列{a n}中，a1=，a n+1=，下面用数学归纳法证明，①，命题；②假设n=k时命题成立，即，当n=k+1时，，，所以，当n=k+1时，命题成立，即．下面证明a n+1＞a n． ==﹣（a n﹣2）（a n+1）．因为，所以，即a n+1＞a n．由，，两式相除得： =，a n+1＞a n，所以，，（）2﹣=（）＞0，即（）2＞．下面证明，即需证明（2+a n+1）a n＜（2+a n）a n+1，即需证明2a n＜2a n+1，而2a n＜2a n+1已证明成立，所以=，即b n+1＜b n，b n+1﹣b n＜0，所以，数列{a n}既是比减少数列又是有上界数列．…（Ⅲ）用反证法，假设对于∀n∈N*，b n+1＞b n，即，因为无穷数列{a n}各项为正且单调递增，所以t＞1．＞t n﹣1，所以．当时，a n＞M，所以无穷数列{a n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列{a n}，∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0．…【点评】本题考查数列{}是何种数列的判断，考查数列{a n}既是有上界数列又是比减小数列的证明，考查∃n∈N*，b n+1﹣b n≤0的证明，解题时要注意数学归纳法和反证法的合理运用．。
2017上海高考数学真题
2017上海高考数学真题2017年的上海高考数学真题在考查学生对数学知识的掌握和运用能力上是非常具有挑战性的。
以下是该份数学真题的内容回顾和解析。
第一部分：选择题1. 设函数$y = x^2 - 2x + 3$，则其对称轴方程为（）A. $\left. x = 1 \right.$B. $\left. y = 2 \right.$C. $\left. x = 2\right.$ D. $\left. y = 1 \right.$2. 抛物线$y = x^2$与直线$2y = mx + 3$相交于两点$M$、$N$。
如果$\mathrm{MN} = 3$，则（）A. $m = 3$B. $m = 1$C. $m = 0$D. $m = -3$3. 已知函数$f(x) = a^2 - a\textsuperscript{x}$（ $a > 0$ ）的值域是$[1, \infty)$，则实数$a$的取值范围是（）A. $\left. 0 < a \leqslant 1 \right.$B. $\left. 0 < a < 1 \right.$C. $\left. a \geqslant 1 \right.$D. $\left. a > 1 \right.$4. 设集合$D = \{x | \frac{1}{2} < x < \pi\}$，集合$H = \{x | \sqrt{2} < \sin x \leqslant 1\}$，则集合$D \cap H$等于（）A. $\left. \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \pi \right] \right.$B. $\left.\left( \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right] \right.$ C. $\left. \left( 0,\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right.$ D. $\left. \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \right.$5. 已知集合$M = \{x | x^2 - 2x < 0\}$，集合$N = \{x | \left| x - 1 \right| + x < 2\}$，则集合$M \cap N$的元素个数为（）A. 2B. 1C. 0D. 3第二部分：解答题1. 点$A(4, 2)$关于直线$2x + y - 7 = 0$的对称点为$B$，求线段$AB$的中点坐标。
2017年上海市高考数学试卷及解析
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=、3、（4分）不等式＞1的解集为、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=016、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} 、题目分析：利用交集定义直接求解、试题解答：解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}、故答案为：{3，4}、点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=3、题目分析：利用排列数公式直接求解、试题解答：解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3、故答案为：m=3、点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用、3、（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）、题目分析：根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可、试题解答：解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）、点评：本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π、题目分析：由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积、试题解答：解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π、故答案为：9π、点评：本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、题目分析：设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案、试题解答：解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：、∴、则|z|=、故答案为：、点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11、题目分析：根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案、试题解答：解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11、点评：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）、题目分析：由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果、试题解答：解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴、故答案为：（﹣4，3，2）、点评：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、题目分析：由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值、试题解答：解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=、故答案为：、点评：本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、题目分析：从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率、试题解答：解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）、事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==、故答案为：、点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2、题目分析：a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得==、于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、即可得出、试题解答：解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==、∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、∴b1b4b9b16=、∴=2、故答案为：2、点评：本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、题目分析：由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值试题解答：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、则：，k1∈Z、，即，k2∈Z、那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z、∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为、故答案为：、点评：本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4、题目分析：根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论、试题解答：解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4、故答案为：P1、P3、P4、点评：本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、题目分析：利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解、试题解答：解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=、故选：C、点评：本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在题目分析：根据极限的定义，求出a n=的值、试题解答：解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0、故选：B、点评：本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题、15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=0，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化题目分析：由x100+k简即可得出、、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）试题解答：解：存在k∈N*，使得x100+k2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0、，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0、∴使得x100+k故选：A、点评：本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题、16、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个题目分析：设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数、试题解答：解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对、另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确、故选：D、点评：本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题、三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、题目分析：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果、（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小、试题解答：解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20、（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan、点评：本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、题目分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值、试题解答：解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=、点评：本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？题目分析：（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论、试题解答：解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935、（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大、当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782、S42=﹣4×16+8800=8736、∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量、点评：本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题、20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、题目分析：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、由此能求出点M的横坐标、（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ、试题解答：解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=、如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、∴点M的横坐标为，或1，或、（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图、∴直线AQ为y=x+1、点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、题目分析：（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明、类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明试题解答：（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0、故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）、又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h、若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）、又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾、综上，f（x）＞0恒成立、由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=Rh（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0、因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数21/ 21。
2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析
2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分) 1.(4分)已知集合A ＝{1,2,3,4},集合B ＝{3,4,5},则A ∩B ＝ . 2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m ＝ .3.(4分)不等式＞1的解集为 .4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .5.(4分)已知复数z 满足z ＋＝0,则|z|＝ .6.(4分)设双曲线－＝1(b ＞0)的焦点为F 1、F 2,P 为该双曲线上的一点,若|PF 1|＝5,则|PF 2|＝ .7.(5分)如图,以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是 .8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f －1(x),若g(x)＝为奇函数,则f －1(x)＝2的解为 .9.(5分)已知四个函数：①y ＝－x,②y ＝－,③y ＝x 3,④y ＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .10.(5分)已知数列{a n }和{b n },其中a n ＝n 2,n ∈N *,{b n }的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N *,{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项,则＝ .11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于 .12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 .二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝016.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)1.(4分)已知集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},则A∩B＝{3,4} .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},∴A∩B＝{3,4}.故答案为：{3,4}.【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m＝ 3 .【分析】利用排列数公式直接求解.【解答】解：∵排列数＝6×5×4,∴由排列数公式得,∴m＝3.故答案为：m＝3.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.3.(4分)不等式＞1的解集为(－∞,0) .【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可.【解答】解：由＞1得：,故不等式的解集为：(－∞,0),故答案为：(－∞,0).【点评】本题考查了解分式不等式,考查转化思想,是一道基础题.4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于9π.【分析】由球的体积公式,可得半径R＝3,再由主视图为圆,可得面积.【解答】解：球的体积为36π,设球的半径为R,可得πR3＝36π,可得R＝3,该球主视图为半径为3的圆,可得面积为πR2＝9π.故答案为：9π.【点评】本题考查球的体积公式,以及主视图的形状和面积求法,考查运算能力,属于基础题.5.(4分)已知复数z满足z＋＝0,则|z|＝.【分析】设z＝a＋bi(a,b∈R),代入z2＝－3,由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案.【解答】解：由z＋＝0,得z2＝－3,设z＝a＋bi(a,b∈R),由z2＝－3,得(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝－3,即,解得：.∴.则|z|＝.故答案为：.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模的求法,是基础题.6.(4分)设双曲线－＝1(b＞0)的焦点为F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|＝5,则|PF2|＝11 .【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a的值,结合双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝6,解可得|PF2|的值,即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：－＝1, 其中a＝＝3,则有||PF1|－|PF2||＝6,又由|PF1|＝5,解可得|PF2|＝11或－1(舍)故|PF2|＝11,故答案为：11.【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的定义.7.(5分)如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是(－4,3,2) .【分析】由的坐标为(4,3,2),分别求出A和C1的坐标,由此能求出结果.【解答】解：如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,∵的坐标为(4,3,2),∴A(4,0,0),C1(0,3,2),∴.故答案为：(－4,3,2).【点评】本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),若g(x)＝为奇函数,则f－1(x)＝2的解为.【分析】由奇函数的定义,当x＞0时,－x＜0,代入已知解析式,即可得到所求x＞0的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得到所求值.【解答】解：若g(x)＝为奇函数,可得当x＞0时,－x＜0,即有g(－x)＝3－x－1,由g(x)为奇函数,可得g(－x)＝－g(x),则g(x)＝f(x)＝1－3－x,x＞0,由定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),且f－1(x)＝2,可由f(2)＝1－3－2＝,可得f－1(x)＝2的解为x＝.故答案为：.【点评】本题考查函数的奇偶性和运用,考查互为反函数的自变量和函数值的关系,考查运算能力,属于基础题.9.(5分)已知四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.【分析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数,由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【解答】解：给出四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,③④有两个公共点(0,0),(1,1).事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③,①④共2个,∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P(A)＝＝.故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.10.(5分)已知数列{an }和{bn},其中an＝n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N*,{bn }的第an项等于{an}的第bn项,则＝ 2 .【分析】an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,可得＝＝.于是b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.即可得出.【解答】解：∵an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,∴＝＝.∴b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.∴b1b4b9b16＝.∴＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于.【分析】由题意,要使＋＝2,可得sinα1＝－1,sin2α2＝－1.求出α1和α2,即可求出|10π－α1－α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质,可知sinα1,sin2α2的范围在[－1,1],要使＋＝2,∴sinα1＝－1,sin2α2＝－1.则：,k 1∈Z.,即,k 2∈Z. 那么：α1＋α2＝(2k 1＋k 2)π,k 1、k 2∈Z.∴|10π－α1－α2|＝|10π－(2k 1＋k 2)π|的最小值为.故答案为：.【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用,属于基本知识的考查.12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 P 1、P 3、P 4 .【分析】根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点, 过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧,则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论.【解答】解：设记为“▲”的四个点是A,B,C,D, 线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2,则符合条件的直线lP 一定经过点P2,且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条,过点P3和P2的直线有且仅有1条,过点P4和P2的直线有且仅有1条,所以符合条件的点是P1、P3、P4.故答案为：P1、P3、P4.【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题,也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D＝.故选：C.【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在【分析】根据极限的定义,求出an＝的值.【解答】解：数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an＝＝0.故选：B.【点评】本题考查了极限的定义与应用问题,是基础题.15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝0【分析】由x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列,可得：2x200＋k＝x100＋kx300＋k,代入化简即可得出.【解答】解：存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列,可得：2[a(200＋k)2＋b(200＋k)＋c]＝a(100＋k)2＋b(100＋k)＋c＋a(300＋k)2＋b(300＋k)＋c,化为：a＝0.∴使得x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列的必要条件是a≥0.故选：A.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个【分析】设出P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域,可得最大值及取得的条件,即可判断所求元素的个数.【解答】解：椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,可设P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,则＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β),当α－β＝2kπ,k∈Z时,w取得最大值6,则Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w}中的元素有无穷多对.另解：令P(m,n),Q(u,v),则m2＋9n2＝36,9u2＋v2＝9,由柯西不等式(m2＋9n2)(9u2＋v2)＝324≥(3mu＋3nv)2,当且仅当mv＝nu,即O、P、Q共线时,取得最大值6,显然,满足条件的P、Q有无穷多对,D项正确.故选：D.【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用,以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域,考查集合的几何意义,属于中档题.三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.【分析】(1)三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×AA1＝,由此能求出结果.(2)连结AM,∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小.【解答】解：(1)∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积：V＝S△ABC ×AA1＝＝＝20.(2)连结AM,∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点,∴AA1⊥底面ABC,AM＝＝,∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,tan∠A1MA＝＝＝,∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan.【点评】本题考查三棱柱的体积的求法,考查线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.【分析】(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间,解不等式可得所求增区间；(2)由f(A)＝0,解得A,再由余弦定理解方程可得c,再由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)函数f(x)＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋,x∈(0,π),由2kπ－π≤2x≤2kπ,解得kπ－π≤x≤kπ,k∈Z,k＝1时,π≤x≤π,可得f(x)的增区间为[,π)；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,即有cos2A＋＝0,解得2A＝π,即A＝π,由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA,化为c2－5c＋6＝0,解得c＝2或3,若c＝2,则cosB＝＜0,即有B为钝角,c＝2不成立,则c＝3,△ABC的面积为S＝bcsinA＝×5×3×＝.【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】(1)计算出{an }和{bn}的前4项和的差即可得出答案；(2)令an ≥bn得出n≤42,再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论.【解答】解：(1)∵an ＝,bn＝n＋5∴a1＝5×14＋15＝20a2＝5×24＋15＝95a3＝5×34＋15＝420a4＝－10×4＋470＝430b1＝1＋5＝6b2＝2＋5＝7b3＝3＋5＝8b4＝4＋5＝9∴前4个月共投放单车为a1＋a2＋a3＋a4＝20＋95＋420＋430＝965,前4个月共损失单车为b1＋b2＋b3＋b4＝6＋7＋8＋9＝30,∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965－30＝935.(2)令an ≥bn,显然n≤3时恒成立,当n≥4时,有－10n＋470≥n＋5,解得n≤, ∴第42个月底,保有量达到最大.当n≥4,{an }为公差为－10等差数列,而{bn}为等差为1的等差数列,∴到第42个月底,单车保有量为×39＋535－×42＝×39＋535－×42＝8782.S42＝－4×16＋8800＝8736.∵8782＞8736,∴第42个月底单车保有量超过了容纳量.【点评】本题考查了数列模型的应用,等差数列的求和公式,属于中档题.20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.【分析】(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),联立,能求出P点坐标.(2)设M(x0,0),A(0,1),P(),由∠P＝90°,求出x＝；由∠M＝90°,求出x＝1或x＝；由∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.由此能求出点M的横坐标.(3)设C(2cosα,sinα),推导出Q(4cosα,2sinα－1),设P(2cosβ,sinβ),M(x,0)推导出x＝cosβ,从而4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),由此能求出直线AQ.【解答】解：(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),∵椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,P在第一象限,且|OP|＝,∴联立,解得P(,).(2)设M(x,0),A(0,1),P(),若∠P＝90°,则•,即(x－,－)•(－,)＝0,∴(－)x0＋－＝0,解得x＝.如图,若∠M＝90°,则•＝0,即(－x0,1)•(－x,)＝0,∴＝0,解得x0＝1或x＝,若∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.∴点M的横坐标为,或1,或.(3)设C(2cosα,sinα),∵,A(0,1),∴Q(4cosα,2sinα－1),又设P(2cosβ,sinβ),M(x,0),∵|MA|＝|MP|,∴x02＋1＝(2cosβ－x)2＋(sinβ)2,整理得：x＝cosβ,∵＝(4cosα－2cosβ,2sinα－sinβ－1),＝(－cosβ,－sinβ),,∴4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,∴cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),以上两式平方相加,整理得3(sinα)2＋sinα－2＝0,∴sinα＝,或sinα＝－1(舍去),此时,直线AC的斜率kAC＝－＝ (负值已舍去),如图.∴直线AQ为y＝x＋1.【点评】本题考查点的坐标的求法,考查直线方程的求法,考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方思想,是中档题.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h (x)是周期函数”的充要条件是“f (x)是常值函数”. 【分析】(1)直接由f(x 1)－f(x 2)≤0求得a 的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有f(x 0)＝f(x 0＋T k ),证明对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ),可得f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,再由…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,可得对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)分充分性及必要性证明.类似(2)证明充分性；再证必要性,然后分类证明. 【解答】(1)解：由f(x 1)≤f(x 2),得f(x 1)－f(x 2)＝a(x 13－x 23)≤0, ∵x 1＜x 2,∴x 13－x 23＜0,得a ≥0. 故a 的范围是[0,＋∞)；(2)证明：若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有 f(x 0)＝f(x 0＋T k ),由题意,对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ), ∴f(x 0)＝f(x)＝f(x 0＋T k ).又∵f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,并且…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)证明：充分性：若f(x)是常值函数,记f(x)＝c 1,设g(x)的一个周期为T g ,则 h(x)＝c 1•g(x),则对任意x 0∈R,h(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0)＝h(x 0),故h(x)是周期函数；必要性：若h(x)是周期函数,记其一个周期为T h .若存在x 1,x 2,使得f(x 1)＞0,且f(x 2)＜0,则由题意可知, x 1＞x 2,那么必然存在正整数N 1,使得x 2＋N 1T k ＞x 1, ∴f(x 2＋N 1T k )＞f(x 1)＞0,且h(x 2＋N 1T k )＝h(x 2). 又h(x 2)＝g(x 2)f(x 2)＜0,而h(x 2＋N 1T k )＝g(x 2＋N 1T k )f(x 2＋N 1T k )＞0≠h(x 2),矛盾. 综上,f(x)＞0恒成立. 由f(x)＞0恒成立,任取x 0∈A,则必存在N 2∈N,使得x 0－N 2T h ≤x 0－T g , 即[x 0－T g ,x 0]⊆[x 0－N 2T h ,x 0],∵…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴…∪[x 0－2N 2T h ,x 0－N 2T h ]∪[x 0－N 2T h ,x 0]∪[x 0,x 0＋N 2T h ]∪[x 0＋N 2T h ,x 0＋2N 2T h ]∪…＝R. h(x 0)＝g(x 0)•f(x 0)＝h(x 0－N 2T h )＝g(x 0－N 2T h )•f(x 0－N 2T h ),∵g(x 0)＝M ≥g(x 0－N 2T h )＞0,f(x 0)≥f(x 0－N 2T h )＞0.因此若h(x 0)＝h(x 0－N 2T h ),必有g(x 0)＝M ＝g(x 0－N 2T h ),且f(x 0)＝f(x 0－N 2T h )＝c. 而由(2)证明可知,对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数. 综上,必要性得证. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法,题目设置难度过大.。