高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》全集汇编及答案解析
【最新】高考数学《不等式》专题解析一、选择题1．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.2．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．3．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．4．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,3212,x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()223f x x =+D ．()42xxf x e e =+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2222333f x x x x ==+++233x +，故()33f x ≥，C 错误； D. ()422422xx f x e e =+-≥=，当4xx e e=，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．若,x y满足约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A．116B．18C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A-，(5,1)B，(3,3)C，因为1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，令z x y=-，当直线y x z=-经过A时，z取得最小值，所以z的最小值为min314z=--=-，则1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的最小值为41216-=.故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．7．已知点P，Q分别是抛物线28x y=和圆22(2)1x y+-=上的动点，点(0,4)A，则2||||PAPQ的最小值为( )A．10 B．4 C．232D．421【答案】B【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.8．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 B ．5CD 【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2323,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．233⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ D ．3,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=， 解得23t <或23t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.11．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3B ．4C ．92D ．112【答案】B 【解析】 【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥12．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】C 【解析】若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.13．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ）.A ．35+ B ．45+ C ．25+ D 【答案】B 【解析】 【分析】令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值. 【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13113(455n m m n ⎛⎫=⨯+++≥⨯+ ⎪⎝⎭45+=当且仅当3n mm n=，即m =，即22)x y x y -=+即x y ==. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.14．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y mx y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩………的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.16．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C ++的最小值为（ ） ABCD．【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求.【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =，∴tan 2tan C B =.又A B C π++=，∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B B B C B B +=-=-=---， ∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan 3A B C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.17．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.18．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】 由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.19．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】 解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==，∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则264422223n n S t t a t t+=+-≥⋅-=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．20．若，，则（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误，因为选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》专项训练解析附答案
【最新】数学《矩阵与变换》专题解析一、151．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解.【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】计算对应行列式为()111110121aD bb a b ==-≠，计算得到答案.【详解】4424ax y z x by z x by z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.3．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααααπααα-=⎧≤≤⎨+=⎩.【答案】见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+，22sin cos cos2y D ααα=-=-.0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22πα≠且322πα≠时，即当4πα≠且34πα≠时，11sin cos x y D x DD y D αα⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪+⎩； ②当4πα=时，方程组为2222x x =⎪⎪⎪=⎪⎩，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩；③当34πα=时，方程组为2222x x =-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．不等式21101x xba xa->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a x a -=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．5．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩244(2)(2)1m D m m m m==-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m mm+==+-=-22(2)(1)(2)1y m m D m m m m m+==-+=+-（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.6．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v； （2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v ；（2）()25216,0. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u ru u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OPu u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r .（2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.7．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦， 所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．8．解关于x 、y 、z 的三元一次方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】答案不唯一，见解析 【解析】【分析】根据题意，分别求出D 、x D 、y D 、z D 关于a 的表达式，再由三元一次方程组解的公式对a 的取值进行讨论，即可得到原方程组解的各种情况. 【详解】(1)(25)D a a =--+，(11)(1)x D a a =+-，22y D a =-，55z D a =-；① 当1a =，0x y z D D D D ====，方程组有无穷多解； ② 当52a =-，0D =，且x D 、y D 、z D 不为零，方程组无解； ③ 当1a ≠且52a ≠-时，方程组的解为1125a x a +=-+，225y a =+，525z a =-+. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式解法，解题关键是要分类讨论，属于常考题.9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 901lg 4m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，则2lg lg 90lg lg 24m n m n +⎛⎫<<=⎪⎝⎭，又由lg 919lg ln 9lg ln 144lg 4m m n m n n=-⨯=-，所以lg 901lg 4m n <. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.（1）求二价行列式1324a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩.【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x ty t⎧=-⎪⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且0q ≠时，方程组无解.【解析】 【分析】（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴1324a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解．当241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439x y +=， 解为439x t y t⎧=-⎪⎨⎪=⎩，当23q ≠且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．11．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求4A βu r .【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】 （1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=. 将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r. 再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r.综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.12．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x ax +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-, 即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩, 解得6x ≥或83x ≤, 故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥; (2)由01xx>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥, 设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞;(3)21()1x g x a x +=--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.13．用行列式讨论下列关于x 、y 、z 的方程组121ax y z x y az x y z --=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩的解的情况，并求出相应的解.【答案】（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【解析】 【分析】首先由二元一次方程组得到矩阵：,,,x y z D D D D ，然后根据条件判断a 的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】方程组可转化为： 1 111 1 21 1 11a x a y z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦2 1 11 1 1(1)(1)1 1 1a D a a a a --=-=-=-+---,21 1 1 1 1 1 12 1 0, 1 2 32, 1 1 2331 1 11 1 11 1 1x y z a a D a D a a a D a ----=-==-=-+==-----Q（i ）当1a ≠±时有唯一解.∴方程组的解为：02131x a y a z a ⎧⎪=⎪-⎪=⎨+⎪⎪=-⎪+⎩；（ii ）当1a =-时，无解；(iii ) 当1a =时,有无穷多解.∴通解为：3212x t y z t ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.14．已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程． 【答案】x 2＋y 2＝2 【解析】试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2x y '-'，再代入已知曲线C 方程，得x 2＋y 2＝2．试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q(x′，y′)．则1210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'， 即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2x y '-'．代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′2x y '-'＋2(2x y '-')2＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程15．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 求AB;若曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y += 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ： 228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．16．矩阵与变换:变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M 变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换的作用下所得曲线的方程.【答案】22221x xy y -+= 【解析】 【分析】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出211110M M M -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得到00x y y y x =⎧⎨=-⎩，即得解. 【详解】旋转变换矩阵10110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦记21110111011010M M M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，面积00x x M y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，也就是000x x y y x =-⎧⎨=⎩，即00x y y y x =⎧⎨=-⎩，代入22001x y +=，得22()1y y x +-=，所以所求曲线的方程是22221x xy y -+= 【点睛】本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 【答案】5307275A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据()0f λ=，得2λ=或3λ=，得到特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故()55551212A A A A ααααα=+=+，计算得到答案.【详解】 因为212()5614f λλλλλ--==-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 设321211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩，所以()55551212A A A A ααααα=+=+ 5521307121311275⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.18．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦（2）1或6【解析】 【分析】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1924122324a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得233()(3)(24)676244f λλλλλλ-==---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.19．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1214a b c d =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()2121425614fλλλλλλλ--==--+=-+-，令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r .【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．20．已知数列{}n a 满足条件1(1)(1)(1)n n n a n a +-=+-，且26a = （1）计算134,,a a a ，请猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为n a ，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为n a【答案】（1）1341,15,28a a a ===，22n a n n =-；证明见解析 （2）2=1n n n a n，211101=001n n n a -，验证见解析 【解析】 【分析】（1）分别将1,2,3n =代回即可求得134,,a a a ,可猜测22n a n n =-,根据数学归纳法证明即可；（2）由（1）可构造二阶行列式为21n n n,根据要求可构造三阶行列式为211101001n n -,并展开求值进行验证即可 【详解】（1）当1n =时,()1021a =-,即11a =； 当2n =时,()()323136115a a =-=⨯-=； 当3n =时,()43241a a =-,则428a =；猜测22n a n n =-,证明：当1,2,3,4n =时,22n a n n =-成立； 假设当()5n k k =≥时,22k a k k =-成立,则()()()1111k k k a k a +-=+-,所以()()()()()2221112121123121111k k k a k k k k k k k k k k +++=--=+-=++=+-+--, 即当1n k =+时,等式也成立,综上,22n a n n =-成立（2）由（1）,因为2221n a n n n n n =-=⋅-⋅,则可构造二阶行列式为21n n n；因为要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零,可构造三阶行列式为211101001n n -,检验,()()()221110121110212001n n n n n n n n n a -=-⋅-⋅=-=-=,故该三阶行列式符合题意 【点睛】本题考查利用数学归纳法证明,考查行列式的应用,考查数列的通项公式,考查数列的项,考查运算能力,考查猜测推理的能力。
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲(含答案及解析)
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：20 不等式选讲1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a +1c≥3．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0<a+4c≤3，即可得到1a+4c ≥13，再根据权方和不等式即可得证.(1)证明：由柯西不等式有[a2+b2+(2c)2](12+12+12)≥(a+b+2c)2，所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c≤3；(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c ≥13，由权方和不等式知1a +1c=12a+224c≥(1+2)2a+4c=9a+4c≥3，当且仅当1a =24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a +1c≥3.2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc≤19；(2)ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．(1)证明：因为a >0，b >0，c >0，则a 32>0，b 32>0，c 32>0， 所以a 32+b 32+c 323≥√a 32⋅b 32⋅c 323，即(abc )12≤13，所以abc ≤19，当且仅当a 32=b 32=c 32，即a =b =c =√193时取等号．(2)证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b +c ≥2√bc ，a +c ≥2√ac ，a +b ≥2√ab ， 所以a b+c≤2√bc=a 322√abc，b a+c≤2√ac=b 322√abc，ca+b≤2√ab =322√abc a b +c +b a +c +ca +b ≤a 322√abc +b 322√abc c 322√abc=a 32+b 32+c 322√abc=12√abc当且仅当a =b =c 时取等号．3．【2021年甲卷文科】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 4．【2021年乙卷文科】已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法 当1a =时，()|1||3|f x x x =-++． 当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-； 当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解； 当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥． 综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞． （2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值 依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一. [方法三]：分类讨论+分段函数法 当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解． 当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-．综上，a 的取值范围为32a >-．[方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法． 方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况， 方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.5．【2020年新课标1卷理科】已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．6．【2020年新课标2卷理科】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）， ()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 7．【2020年新课标3卷理科】设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c=-+-≥34,a ≥a【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<． ［方法二］：消元法由0a b c ++=得()b a c =-+，则()ab bc ca b a c ca ++=++()2a c ac =-++()22a ac c =-++223024c a c ⎛⎫=-+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当0a b c ===时取等号，又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法三］：放缩法方式1：由题意知0,a ≠0,a b c ++=(),a c b =-+()222224a c b c b cb bc =+=++≥，又()ab bc ca a b c bc ++=++2a bc =-+224a a ≤-+2304a =-<，故结论得证．方式2：因为0a b c ++=，所以()22220222a b c a b c ab bc ca =++=+++++ ()()()22222212222a b b c c a ab bc ca ⎡⎤=++++++++⎣⎦()()122222232ab bc ca ab bc ca ab bc ca ≥+++++=++． 即0ab bc ca ++≤，当且仅当0a b c ===时取等号， 又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法四］：因为0,1a b c abc ++==，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设0,a b c ≤<<则(),a b c =-+()20ab bc ca bc a c b bc a ∴++=++=-<.［方法五］：利用函数的性质方式1：()6b a c =-+，令()22f c ab bc ca c ac a =++=---，二次函数对应的图像开口向下，又1abc =，所以0a ≠， 判别式222Δ430a a a =-=-<，无根， 所以()0f c <，即0ab bc ca ++<．方式2：设()()()()()31f x x a x b x c x ab bc ca x =---=+++-，则()f x 有a ，b ，c 三个零点，若0ab bc ca ++≥，则()f x 为R 上的增函数，不可能有三个零点， 所以0ab bc ca ++<．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c =-+-≥则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法二］：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0a >，且,1,b c a bc a +=-⎧⎪⎨=⎪⎩则关于x 的方程210x ax a++=有两根，其判别式24Δ0a a =-≥，即a故原不等式成立． ［方法三］：不妨设{}max ,,a b c a =，则0,a >(),b a c =-+1,abc =()1,a c ac -+=2210ac a c ++=，关于c 的方程有解，判别式()22Δ40a a =-≥，则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法四］：反证法假设{}max ,,a b c0a b ≤<<1ab c =>a b c --=1132a b ---≥=={}max ,,a b c ≥证． 【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编含答案解析
【最新】《不等式》专题一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．若,x y满足约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A．116B．18C．1 D．2【答案】A【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A-，(5,1)B，(3,3)C，因为1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭，令z x y=-，当直线y x z=-经过A时，z取得最小值，所以z的最小值为min314z=--=-，则1222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的最小值为41216-=.故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．4．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）A．[； B．(,-∞C．)+∞D．(,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得11322a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】Q 数列{}n a 为等差数列，∴1515455102a d d S a ⨯=+=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得11322a d a =--， 当10a >时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭1a 时等号成立； 当10a <时，11322a d a =--≥=1a =立；∴实数d的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.5．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.6．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B．|||b a < C ．ln ln a b b a -<- D．|||b a ->【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数32()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即2()320f x x bx '=+>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为32()1f x x bx x =+++，所以2()32f x x bx '=++()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 2a c b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.8．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．若直线过点，则的最小值等于（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】C 【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．10．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】 【分析】 由223sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin 23a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】 由题意，232cos 112A A -=-，即3cos 1A A =-，可化为 333A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin 23a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.13．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14-B ．1C ．3-D 31【答案】D 【解析】 【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当3m =时，等号成立. 故选：D 【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.14．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.15．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．169πB ．89π C ．1627πD ．827π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可． 【详解】解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r r π=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r r πππ++-=-=g g g g …．当且仅当33342r r =-，即43r =时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π， 故选：A ．【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．16．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.17．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95【答案】D【解析】【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；【详解】当2m n +=时， Q 131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n +的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3 【答案】D【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=. Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225*********n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n∴+的最小值为3. 故选：D .【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.19．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b +的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】【分析】 把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】 ∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ） ＝13(366b a a b +++12) ≥13=9 等号成立的条件为66b a a b =，即a=b=1时取等 所以36a b+的最小值为9． 故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题20．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B【解析】【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2x y =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编及答案
取 ，则 ，可排除B项；
因为满足 条件的排除法，可得A、B、D是错误的.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．对于函数 ，若 满足 ，则称 为函数 的一对“线性对称点”．若实数 与 和 与 为函数 的两对“线性对称点”，则 的最大值为（）
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于 ；④方程 表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式得 ，可判断②； 和 联立解得 可判断①③；由图可判断④.
⑤已知 的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则 为定值.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.
【详解】
①，命题“ ，使得 ”的否定是“ ，均有 ”，故①错误.
4．设 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 的展开式中 项的系数为( )
A．60B．80C．90D．120
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到 ，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即 ，故 表示直线与 截距的 倍，
根据图像知：当 时， 的最大值为 ，故 .
备战2021年高考数学一轮复习易错题08不等式含解析
易错点08 不等式-备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知a >0，b 〉0，且a +b =1，则（ ） A 。
2212a b +≥B 。
122a b ->C 。
22log log 2a b +≥-D.≤【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A,()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确;对于B,211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立,故C 不正确；对于D,因为2112a b =+++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养。
【易错警示】易错点1．随意消项致误 【例1】解不等式；22(1025)(43)0x x x x -+-+≥．【错解】原不等式可化为:2(5)(1)(3)0x x x ---≥，因为2(5)x -≥，所以(1)(3)0x x --≥，所以31x x ≥≤或，故原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或． 【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(5)0x -=时，原不等式亦成立．【正解】原不等式可化为：50(1)(3)0x x x -≠⎧⎨--≥⎩或50x -=，解得3x ≥或1x ≤或5x =．所以原不等式的解集为：{}315x x x ≥≤=x|或或易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误 【例2】解不等式；102x x -≤+． 【错解】原不等式可化为：(1)(2)0x x -+≤，解得21x -≤≤，所以原不等式的解集为[2,1]-．【错因】没有考虑分母不能为0【正解】原不等式可化为：(1)(2)02x x x -+≤⎧⎨≠-⎩,解得21x -<≤, 所以原不等式的解集为(2,1]-．易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误 【例3】解不等式；122x x -≤+． 【错解】不等式两边同乘以2x +得：12(2)x x -≤+，解得5x ≥-， 所以原不等式的解集为[5,)-+∞． 【错因】两边同乘以2x +，导致错误【正解】原不等式可化为:1520022x x x x -+-≤⇒≥++，解得5x ≤-或2x >-，所以原不等式的解集为(,5](2,)-∞--+∞．易错点4．漏端点致误 【例4】集合{}{}2|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，且A B φ=，则实数的取值范围是______ 【错解】{}{}2|20|12A x xx x x =--≤=-≤≤ ，若使AB φ=，需满足231a a >+<-或．解得24a a ><-或,所以实数a 的取值范围是24a a ><-或．【错因】忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<,满足A B φ=;当31a +=-时,即4a =-时也满足AB φ=．【正解】{}{}2|20|12A x xx x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a ≥+≤-或,解得24a a ≥≤-或,所以实数a 的取值范围是24a a ≥≤-或． 易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数” 【例5】求函数1y x x=+的值域．【错解】因为12y x x=+≥=，所以函数 1y x x=+的值域为[2,)+∞． 【错因】没有考虑为负数的情形．【正解】由题意，函数1y x x=+的定义域为{|0}x x ≠．当0x >时，12y x x=+≥=，当1x =时取得等号；当0x <时，11()2y x x x x=+=--+≤-=--，当1x =-时取得等号． 综上，求函数1y x x=+的值域是(,2][2,)-∞-+∞． 易错点6．忽视基本不等式取等的条件 【例6】求函数2y =的最小值．【错解】函数222y ===≥,所以函数的最小值为2．【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即a b a b+≥=才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的． 【正解】22y ===令2t ≥,1y t t =+在2t ≥时是单调递增的，115222y t t ∴=+≥+=． 故函数的最小值是52．易错点7．多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立【例7】已知两个正实数,x y ,满足4x y +=,求14x y+的最小值．【错解】由已知得44x y xy =+≥≤，142x y +≥=≥,所以14x y +最小值是2．【错因】两次使用基本不等式,其中4xy ≤等号成立必须满足x y =，而14x y+≥的等号成立时,必须有4x y =，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的． 【正解】141444()()()59x y x y x y x y y x +=++=++≥,当且仅当14x y=且4x y +=，即48,33x y ==时取等号，1494x y ∴+≥，即14x y +最小值为94．【变式练习】一、单选题1．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b <B ．11a b <C ．22ab < D ．2ab b<【答案】C 【解析】试题分析:取a =-2,b =—1，代入到各个选项中得到正确答案为C ．2．（2020·河北省高二开学考试）若正数a ，b 满足31a b +=，则13a b+的最小值为（ ） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】因为31a b +=，所以()131333310b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭,因为a ,b 为正数，所以33b a a b +≥，当且仅当33b a a b =，即14a b ==时取等号， 故13a b +的最小值为16，故选：C 。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》真题汇编含答案
数学《不等式》复习资料一、选择题1．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a的取值范围是5a ≤， 故选：A.【点睛】本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.2．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．已知关于x 的不等式()()222240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()(),26,-∞+∞UC ．(](),26,-∞⋃+∞D ．[)2,6【答案】D 【解析】 【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；当20m -≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5B 45C 5D 25【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．6．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.7．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值.【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.8．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A B ．1)C ．D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4x x =，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.12．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．13．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．15【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值．14．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.15．已知正数x ，y 满足144x y+=，则x y +的最小值是（ ） A ．9 B ．6C ．94D ．52【答案】C 【解析】 【分析】 先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】Q 正数x ，y 满足144x y+=， 11414149()14524444y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x yx y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号.故选：C 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.16．设集合{}20,201x M xN x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ）A ．{}01x x ≤< B ．{}01x x <<C ．{}02x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}20{01},20{|02}1x M xx x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以{}01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.17．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．92D ．112【答案】B 【解析】 【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥18．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题二不等式2.1不等式及其解法试题含解析
专题二不等式【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系，会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
1.考查内容:从近几年高考的情况看,本专题内容考查的重点是不等式的性质与解法,基本不等式及不等式的综合应用。
常与导数、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.不等式是常考的内容，在选择题、填空题中，常考查不等式的性质、解法及应用基本不等式求最值；在解1。
不等式的性质及不等式的解法难度较小，对于含有参数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论（特别是二次项系数、判别式符号均不确定的问题)。
2.对于利用基本不等式求最值的问题，要学会配凑方法,将之表示成“和定"或“积定"的形式,对于多次使用基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时取到.3。
对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法（比如分离参数法等）上，而是将较难的、生疏的问题经过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题，积累具体分析、转化的经验.二、基本不等式与不等式的综合了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小）应用值问题。
答题中,常与导数结合研究与函数相关的大小关系.【真题探秘】§2.1不等式及其解法基础篇固本夯基【基础集训】考点一不等式的性质1。
若a〉b>0,c〈d〈0，则一定有（)A.ac >bdB。
ac〈bdC.ad>bcD。
ad〈bc答案D2.已知实数a=ln22，b=ln33,c=ln55，则a ，b,c 的大小关系是( )A 。
a<b<c B.c 〈a<b C.c<b 〈a D 。
b<a<c 答案 B3。
若a 〈0,b<0，则p=b 2a+a 2b与q=a+b 的大小关系为 .答案 p≤q考点二 不等式的解法4.不等式x 2+2x —3≥0的解集为（ ）A.{x ｜x≤—3或x≥1} B 。
不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
考向22 不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则 A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】构造函数21()1cos 2h x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin g x h x x x '==-+，()1cos 0g x x '=-+所以()(0)0g x g =，因此，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以1()(0)04h a b h =-<=，即a b <． 另一方面，114sintan 4411cos 44c b ==，显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >， 所以114sintan 44111cos 44c b ==>，即b c <．因此c b a >>． 2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则 ( )A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >> 【答案】A【解析】由910m =，可得9log 10(11.5)m =∈ ,．根据a ，b 的形式构造函数()1m f x x x =-- (1x >)， 则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110mx m -=，由9log 10(11.5)m =∈ ,知0(0)x ∈ 1,． ()f x 在(1) +∞,上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>，答案选A ．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1e =a ，19b =，ln0.9c =-，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】C【解析】令e =x a x ，1xb x=-，ln(1)c x =--， ① ln ln ln [ln ln(1)]-=+---a b x x x x ， ln(1),(0.0.1]y x x x =+-∈；1'1011x y x x-=-=<--， 所以0y ，所以ln ln 0-a b ，所以b a > ②e ln(1),(0,0.1]-=+-∈x a c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ， 所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1x y x y xy +-=，则A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【解析】由221x y xy +-=得2212y x y ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令cos sin cos 23sin ??23y x x y y θθθθθ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎪⎩⎩故[]cos 2sin 2,26x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，故A 错，B 对；2222cos sin 33x y θθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()14242 2cos 2sin 2,2,333333θθθϕ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦(其中tan 3ϕ=)， 故C 对，D 错.5. （2022年北京卷第11题）函数1()f x x =+_________．【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃6.（2022年乙卷理科第14题）已知1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，若21x x <，则a 的取值范围是___________ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【解析】()()ex a a x f x-=ln 2'至少要有两个零点1x x =和2x x =，我们对其求导，()()e a a x f x 2ln 22''-=，（1）若1>a ，则()x f''在R 上单调递增，此时若()00''=x f ，则()x f '在()0,x ∞-上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，则21x x >，不符合题意。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》难题汇编附答案
新高考数学《不等式》练习题一、选择题1．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ）A ．14-B ．1 C．D1【答案】D【解析】【分析】2()sin (2)sin 2m f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m =-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当m =. 故选：D【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.2．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -， 所以目标函数的最小值为min 314z =--=-.故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．若33log (2)1loga b ab +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6B ．83C ．163D ．173 【答案】C【解析】【分析】 由33log (2)1log a b ab +=+213b a+=，且0,0a b >>，又由12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为33log (2)1log a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得213b a+=，且0,0a b >>，所以12118211642(42)()(8)(83333a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C.【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.4．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ）A ．()1f x x x =+B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()42x x f x e e =+- 【答案】D【解析】【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案.【详解】A. ()1f x x x =+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误；C. ()2f x ==，故()f x ≥，C 错误；D. ()4222x x f x e e =+-≥=，当4x xe e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D .【点睛】 本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( )A ．10B ．4C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值.【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥， 因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+. 又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ， 要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+. 所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++ ()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4. 故选：B.【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ） A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<< 【答案】C【解析】【分析】 解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð.【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤. {}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．已知函数()2f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】【分析】 根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组所表示的平面区域，又()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．【详解】由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -，目标函数()242z f a b ==+，可化为122b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C.【点睛】本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为122b a z =-+进行平移，找到截距的最大值． 8．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ）. A ．3235+ B ．4235+ C ．2435+ D ．3435+ 【答案】B【解析】【分析】 令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值.【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=， 223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131313(42)55n m n m m n m n⎛⎫=⨯+++≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭ 423+= 当且仅当3n m m n =，即3m n =，即23(2)x y x y -=+ 即97333,x y +-==时取等号. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -， 由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n +的最小值为（） A ．16B ．24C ．50D ．25【答案】D【解析】【分析】 由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1），∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++ 4n 4m m n ⋅=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号， 故则41m n+的最小值为25， 故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．12．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( )A ．14πB ．12π C ．π D ．32π 【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图：可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．13．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =.故选：A .【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.14．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A【解析】【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118SPS⨯⨯===⨯阴影正方形.故选：A.【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.15．已知点()2,1A，O是坐标原点，点(),P x y的坐标满足：20230x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA=⋅u u u r u u u r，则z的最大值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.【详解】解：由不等式组20230x yx yy-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q()2,1A，(),P x y∴2z OP OA x y=⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B时，z取最大值，即24z x y=+=.故选：C.【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.16．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．94D ．4 【答案】C【解析】【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，所以有()4E X np ==， ()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14q p +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号． 故选C ．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．17．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案.【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ 所以03C π-=，即3C π=，又a b =， 所以ABC ∆是等边三角形，故选D 项.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b +的最小值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．9【答案】D【解析】【分析】 把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】 ∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ） ＝13(366b a a b+++12) ≥13=9 等号成立的条件为66b a a b =，即a=b=1时取等 所以36a b+的最小值为9． 故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题20．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2sin 2A A =.则ABC V 周长的取值范围为（ ）A ．B ．(4,C ．4+D ．(4+ 【答案】C【解析】【分析】由2sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案.【详解】由题意，22cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=，即23A π=，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以 2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为4+.故选：C【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.。