2014高考数学必考热点大调查热点9二项式定理(学生版)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编七、排列组合和二项式定理(逐题详解)
2
A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种
【答案】C
【解析】根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15 种选法， 再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5 种选法， 则不同的选法共有 15×5=75 种；故选 C
(2x 7.【2014 年湖北卷（理 02）】若二项式
而红球篮球是无区别，黑球是有区别的， 根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）， 第二步取蓝球，有（1+b5）， 第三步取黑球，有（1+c）5， 所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，
4.【2014
D.210 =20．f（3，0）=20；
含 x2y1 的系数是
=60，f（2，1）=60；
含 x1y2 的系数是
=36，f（1，2）=36；
含 x0y3 的系数是
=4，f（0，3）=4；
∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C
11.【2014 年浙江卷（理 14）】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.
不同的摆法有_______种.
【答案】36 【解析】根据题意，分 3 步进行分析： ①、产品 A 与产品 B 相邻，将 AB 看成一个整体，考虑 AB 之间的顺序，有 A22=2 种情况， ②、将 AB 与剩余的 2 件产品全排列，有 A33=6 种情况， ③、产品 A 与产品 C 不相邻，C 有 3 个空位可选，即有 3 种情况， 故不同的摆法有 12×3=36 种
专题44 二项式定理(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
专题44二项式定理【题型归纳目录】题型一：求二项展开式中的参数题型二：求二项展开式中的常数项题型三：求二项展开式中的有理项题型四：求二项展开式中的特定项系数题型五：求三项展开式中的指定项题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数题型七：求二项式系数最值题型八：求项的系数最值题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和题型十：求奇数项或偶数项系数和题型十一：整数和余数问题题型十二：近似计算问题题型十三：证明组合恒等式题型十四：二项式定理与数列求和题型十五：杨辉三角【考点预测】知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理一般地，对于任意正整数n ，都有：011()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式．式中的r n r rnC a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=，其中的系数rn C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数，（2）二项式()n a b +的展开式的特点：①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；④项的系数：二项式系数依次是012r nn n n n nC C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）．（3）两个常用的二项展开式：高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅ （*N n ∈）②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++ （4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1r n r rr nT C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是rn C ；②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ．注意：①二项式()n a b +的二项展开式的第r +1项r n r rnC a b -和()n b a +的二项展开式的第r +1项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．②通项是针对在()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b-+=-（只需把b -看成b 代入二项式定理）．2、二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0n n n C C =；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11m m mn n n C C C -+=+．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn m nn C C -=．③二项式系数和令1a b ==，则二项式系数的和为0122r nn nn n n n C C C C C ++++++= ，变形式1221rn n n n n n C C C C +++++=- ．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11a b ==-，，则0123(1)(11)0n n n nn n n n C C C C C -+-++-=-= ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅= ．⑤最大值：如果二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项12n T +的二项式系数2n nC 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，则中间两项12n T +，112n T ++的二项式系数12n nC-，12n nC+相等且最大．（2）系数的最大项求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121n A A A +⋅⋅⋅，，，，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来．知识点3、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设()011222nn n n r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++ ，二项式定理是一个恒等式，即对a ，b 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a ，b 的值．①令1a b ==，可得：012n nn n nC C C =+++ ②令11a b ==，，可得：()012301nnn n n n n C C C C C =-+-+- ，即：02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++ （假设n 为偶数），再结合①可得：0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++= ．（2）若121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++++ ，则①常数项：令0x =，得0(0)a f =．②各项系数和：令1x =，得0121(1)n n f a a a a a -=+++++ ．③奇数项的系数和与偶数项的系数和（i ）当n 为偶数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．（可简记为：n 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）（ii ）当n 为奇数时，奇数项的系数和为024(1)(1)2f f a a a --+++= ；偶数项的系数和为135(1)(1)2f f a a a +-+++=．（可简记为：n 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若1210121()n n n n f x a a x a x a x a x --=+++++ ，同理可得．注意：常见的赋值为令0x =，1x =或1x =-，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【典例例题】题型一：求二项展开式中的参数例1．（2022·湖南·模拟预测）已知6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则实数=a （）A ．2B ．-2C ．8D ．-8例2．（2022·全国·高三专题练习）62ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为－160，则a ＝（）A ．－1B ．1C ．±1D ．2例3．（2022·全国·高三专题练习）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （）A ．2B ．-2C ．2或-2D ．4例4．（2022·湖北·高三阶段练习）若(21)n x ＋的展开式中3x 项的系数为160，则正整数n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7例5．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））()5m x -展开式中3x 的系数为20-，则2m =（）A ．2B ．1C ．3D 【方法技巧与总结】在形如()m n N ax bx +的展开式中求t x 的系数，关键是利用通项求r ，则Nm tr m n-=-．题型二：求二项展开式中的常数项例6．（2022·全国·高三阶段练习（理））612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）A ．160B ．120C ．90D ．60例7．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）62x⎛⎝的展开式中的常数项为（）A ．60-B ．60C ．64D ．120例8．（2022·全国·高三专题练习（理））二项式()5*nx n ⎛∈ ⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5例9．（2022·全国·模拟预测）二项式10的展开式中的常数项为（）A ．210B ．－210C ．252D ．－252【方法技巧与总结】写出通项，令指数为零，确定r ，代入．题型三：求二项展开式中的有理项例10．（2022·全国·高三专题练习）在二项式)11x的展开式中，系数为有理数的项的个数是_____.例11．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知)nx 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．例12．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知)()*,112nn N n ∈≤≤的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n 的值______．例13．（2022·全国·高三专题练习）100+的展开式中系数为有理数项的共有_______项.例14．（2022·上海·格致中学高三阶段练习）在50的展开式中有__项为有理数．【方法技巧与总结】先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．题型四：求二项展开式中的特定项系数例15．（2022·北京海淀·一模）在4)x 的展开式中，2x 的系数为（）A ．1-B ．1C ．4-D ．4例16．（2022·云南·高三阶段练习（理））在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A ．20B ．20-C ．15D ．15-例17．（2022·全国·高三专题练习）若()2nx y -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则n =（）．A ．9B ．10C ．11D ．12例18．（2022·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（）A ．10-B ．5-C ．5D ．10【方法技巧与总结】写出通项，确定r ，代入．题型五：求三项展开式中的指定项例19．（2022·广东·高三阶段练习）()102321x x ++的展开式中，2x 项的系数为___________．例20．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______.例21．（2022·山西大附中高三阶段练习（理））5212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.例22．（2022·广东·广州市庆丰实验学校一模）622(21)x x+-的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）例23．（2022·全国·高三专题练习）151234()x x x x +++的展开式合并前的项数为（）A ．415C B ．415A C ．44154A A ⋅D ．154例24．（2022·河北邢台·高三期末（理））411()x y x y+--的展开式的常数项为A ．36B ．36-C ．48D ．48-例25．（2022·四川绵阳·三模（理））在521x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（）A ．50-B ．30-C ．30D ．50例26．（2022·全国·高三专题练习）()52x y z +-的展开式中，22xy z 的系数是（）A ．120B ．-120C ．60D ．30【方法技巧与总结】三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++ ()rq n r q q r nn r C C a b c ---=++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式：()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数．题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数例27．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）()61y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为（）A ．6B ．9-C ．6-D ．9例28．（2022·四川·高三开学考试（理））()632112x x x ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．240B ．240-C ．400D ．80例29．（2022·云南师大附中高三阶段练习）6211(2)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（）A ．160B ．160-C ．148D ．148-例30．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为-40，则m =（）A ．3-B ．3C ．13D ．13-例31．（2022·江苏南京·三模）（1＋x ）4（1＋2y ）a （a ∈N*）的展开式中，记xmyn 项的系数为f （m ，n ）．若f （0，1）＋f （1，0）＝8，则a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3例32．（2022·全国·高三专题练习）在5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中，含32x y 的项的系数是（）A ．10B ．12C ．15D ．20【方法技巧与总结】分配系数法题型七：求二项式系数最值例33．（2022·全国·高三专题练习）在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 的值不可能是（）A ．7B ．8C ．9D ．10例34．（2022·全国·高三专题练习）7(12)x +展开式中二项式系数最大的项是（）A ．3280x B ．4560x C ．3280x 和4560x D ．5672x 和4560x例35．（2022·湖南·高三阶段练习）设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8例36．（2022·全国·高三专题练习）5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2-例37．（2022·安徽·高三阶段练习（理））在1)2nx -的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（）A ．454B ．358-C ．358D ．7【方法技巧与总结】利用二项式系数性质中的最大值求解即可．题型八：求项的系数最值例38．（2022·全国·高三专题练习）已知(13)n x -的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．例39．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）()91-x 的展开式中系数最小项为第______项．例40．（2022·全国·高三专题练习）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．例41．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）()2*nn N ∈展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.例42．（2022·上海·高三开学考试）假如1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数是84-，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中系数最小的项是__________.【方法技巧与总结】有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：11r r r r T T T T +-≥⎧⎨≥⎩，注意：系数比较大小．题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和例43．（2022·全国·高三专题练习）若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，则1237a a a a ++++= _________.（用数字作答）例44．（2022·广东·高三阶段练习）已知2012(2)+=++++ n n n x a a x a x a x ，若01281n a a a a ++++= ，则自然数n 等于_____．例45．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习（理））若35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为___________.例46．（2022·全国·高三专题练习）设()20202202001220201ax a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，若12320202320202020a a a a a +++⋅⋅⋅+=则非零实数a 的值为（）A ．2B ．0C ．1D ．-1例47．（2022·全国·高三专题练习）已知202123202101232021(1)x a a x a x a x a x +=+++++ ，则20202019201820171023420202021a a a a a a ++++++= （）A ．202120212⨯B ．202020212⨯C ．202120202⨯D ．202020202⨯例48．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若()()()220222022012022111x x x a a x a x ++++++=+++ ，则（）A ．02022a =B ．322023a C =C ．20221(1)1ii i a =-=-∑D ．202211(1)1i i i ia -=-=∑例49．（2022·全国·高三专题练习）设2002200012200(21)x a a x a x a x -=++++ ，求(1)展开式中各二项式系数的和；(2)12200a a a +++ 的值．例50．（2022·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知2012(21)n nn x a a x a x a x -=+++（n ∈N*），___________(1)求122222n na a a +++ 的值：(2)求12323n a a a na +++ 的值.例51．（2022·全国·高三专题练习）()()202222022012202212R x a a x a x a x x -=++++∈ .求：(1)0122022a a a a ++++ ；(2)1352021a a a a +++ ；(3)0122022a a a a ++++ ；(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？(6)1232022232022a a a a ++++ .例52．（2022·全国·高三专题练习）已知8280128(13)x a a x a x a x-=++++ (1)求128a a a +++ ；(2)求2468a a a a +++.【方法技巧与总结】二项展开式二项式系数和：2n ；奇数项与偶数项二项式系数和相等：12n -．系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++（01...n a a a ，，，是系数），令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+．题型十：求奇数项或偶数项系数和例53．（2022·浙江·模拟预测）已知多项式()4228012832-+=++++ x x a a x a x a x ，则1357a a a a +++=_______，1a =________．例54．（2022·全国·模拟预测）若()()9911x ax x +-+的展开式中，所有x 的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a 的值为______．例55．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知2220122(2)1+)1+)...1+)nnn x a a x a x a x +=++++（（（，若15246222...21n n a a a a a -+++++=-，则n =_____________.例56．（2022·湖北武汉·模拟预测）在5()(1)a x x ++展开式中，x 的所有奇数次幂项的系数之和为20，则=a _____________．例57．（2022·全国·高三专题练习）若9290129(2)(1)(1)(1)++=+++++⋅⋅⋅++x m a a x a x a x ，且()()22028139++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+a a a a a a 93=，则实数m 的值可以为（）A ．1或3-B ．1-C ．1-或3D ．3-例58．（2022·江苏南通·高三开学考试）在61⎛ ⎝的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）A ．365-B ．364-C ．364D ．365例59．（2022·全国·高三专题练习）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【方法技巧与总结】2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．题型十一：整数和余数问题例60．（2022·全国·高三专题练习）已知3029292828130303022C 2C 2C S =+++⋅⋅⋅+，则S 除以10所得的余数是（）A ．2B ．3C ．6D ．8例61．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知202274a +能够被15整除，则a 的一个可能取值是（）A ．1B ．2C ．0D ．1-例62．（2022·陕西·西安中学一模（理））设a Z ∈，且013a ≤<，若202251a +能被13整除，则=a （）A ．0B ．1C ．11D ．12例63．（2022·全国·高三专题练习）1223310101010101010180808080(1)8080k k k C C C C -+-++-++ 除以78的余数是（）A ．1-B ．1C ．87-D ．87例64．（2022·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，()0m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020C C 2C 2=+⋅+⋅++ a 202020C 2⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019题型十二：近似计算问题例65．（2022·山西·应县一中高三开学考试（理））6(1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是_________．例66．（2022·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.例67．（2022·全国·高三专题练习）71.95的计算结果精确到个位的近似值为A ．106B ．107C ．108D ．109题型十三：证明组合恒等式例68．（2022·江苏·高三专题练习）（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：考查恒等式523(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2x 的系数．因为右边2301220312232223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++，所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以011223232323C C C C C C ++＝25C ．（2）求证：22212220(1)()(1)nr n nn n n r r C n C n C --=+-=+∑．例69．（多选题）（2022·江苏·海安市曲塘中学高三期末）下列关系式成立的是（）A ．0n C ＋21n C ＋222n C ＋233n C ＋…＋2n nn C ＝3nB ．202nC ＋12n C ＋222n C ＋32n C ＋…＋212n n C -＋222n n C ＝3·22n-1C ．1n C ·12＋2n C ·22＋3n C ·32＋…＋nn C n 2＝n ·2n -1D ．(0n C )2＋(1n C )2＋(2n C )2＋…＋(nn C )2＝2nnC 例70．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）设*N n ∈，下列恒等式正确的为（）A ．1212n n n n n C C C -+++= B ．121122n n n n n C C nC n -+++=⋅ C ．()2122221212n n n n n C C n C n n -+++=+ D ．()31323112432n n n n n C C n C n -+++=- 题型十四：二项式定理与数列求和例71．（2022·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当*n ∈N 时，sin x x =222222222111149x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又根据泰勒展开式可以得到35sin 3!5!x x x x =-+++()()121121!n n x n ---+- ，根据以上两式可求得22221111123n +++++= （）A ．26πB ．23πC ．28πD ．24π例72．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等比数列，11a =，公比q 是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项（按x 的降幂排列）．(1)求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；(2)若1212C C C nn n n n n A S S S =++⋅⋅⋅+，求n A ．例73．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足1a a =，*1(46)410()21n n n a n a n N n ++++=∈+．(1)试判断数列2{}21n a n ++是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项n a ．(2)如果1a =时，数列{}n a 的前n 项和为n S ．试求出n S ，并证明341111(3)10nn S S S ++⋯+< ．题型十五：杨辉三角例74．（2022·山东·高三开学考试）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．123456…35791113…81216202428…………………该数表的第一行是数列{}n ，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n 项和n S =______．例75．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第()N ,2n n n *∈≥行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．例76．（2022·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式()()1,2,3,na b n +=⋅⋅⋅展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第()*,k k n k ≤∈N 个数组成的数列称为第k 斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k 斜列与第1k +斜列各项之和最大时，k 的值为（）A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012例77．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为n a ，如：{}12112,1214,,n a a a =+==++=⋯的前n 项和记为n S ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为n b ，{}n b 的前n 项和记为n T ，则下列说法正确的有（）A ．91022S =B ．14n n n a S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为1111n a +--C ．5666b =D ．564084T =【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）()()8x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（）A ．28B ．28-C ．56D ．56-2．（2022·福建师大附中高三阶段练习）在()522x x +-的展开式中，含4x 的项的系数为（）A ．-120B ．-40C ．-30D ．2003．（2022·福建泉州·模拟预测）101x ⎛⎫⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数等于（）A ．45-B ．10-C ．10D ．454．（2022·湖南益阳·模拟预测）若()526012612(12)x x a a x a x a x +-=++++ ，x ∈R ，则2a 的值为（）A ．20-B ．20C ．40D ．605．（2022·湖南·高三开学考试）已知()522x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3-，则该展开式中x 的系数为（）A ．0B ．120-C ．120D ．160-6．（2022·北京房山·高三开学考试）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则2a =（）A ．6B ．24C ．6-D ．24-7．（2022·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++- ，则（）A ．001132n nn n b a b a b a -+-++-=- B ．0101012()nn nb bb a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++ D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++ 8．（2022·河北·高三阶段练习）关于二项式()281(1)ax x x ++-，若展开式中含2x 的项的系数为21，则=a （）A ．3B ．2C ．1D ．-19．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则3a =（）A ．280B ．35C ．35-D ．280-二、多选题10．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知660(2)ii i x a x =+=∑，则（）A ．123456666a a a a a a +++++=B ．320a =C ．135246a a a a a a ++>++D ．1034562234a a a a a a +=+++11．（2022·浙江·高三开学考试）在二项式6⎛⎝的展开式中，正确的说法是（）A ．常数项是第3项B ．各项的系数和是1C ．偶数项的二项式系数和为32D ．第4项的二项式系数最大12．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知函数()6260126()(12),0,1,2,3,,6i f x x a a x a x a x a i =-=+++⋅⋅⋅+∈=⋅⋅⋅R 的定义域为R ．（）A ．01261a a a a +++⋅⋅⋅+=-B ．135364a a a ++=-C ．123623612a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．(5)f 被8整除余数为713．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ ，下列结论正确的是（）A ．0123n n a a a a +++=+ B．当5,==n x()(12),*+=+∈n x a a b N ，则a b=C ．当12n =时，012,,,,n a a a a 中最大的是7a D ．当12n =时，3124111223411121222222-+-++-= a a a a a a 14．（2022·全国·高三阶段练习）已知()610ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中含2x -的系数为60，则下列说法正确的是（）A ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为1B ．61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项为2240x C ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-D ．61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式的系数和为32三、填空题15．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）()()()357222x y y z z x ---的展开式中不含z 的各项系数之和______.16．（2022·广东广东·高三阶段练习）6(23)x y z ++的展开式中，32xy z 的系数为___________.17．（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则03a a +的值为___________.18．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知51m x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为20，则m =___________.19．（2022·浙江·高三开学考试）多项式()287801781(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++ ，则3a =___________.20．（2022·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）将（1＋x ）n （n ∈N *）的展开式中x 2的系数记为n a ，则232022111a a a +++= ________．。
2014高考数学(理)名师指导提能专训3 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理
提能专训(三)不等式与线性规划、计数原理与二项式定理A组一、选择题1．(2013·广东佛山质检）不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!,则a＋b的值是( ）A．10 B．－10 C．14 D．－14D 命题立意：本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，难度中等．解题思路:由题意知ax2＋bx＋2＝0的两个根为－错误!，错误!，所以－错误!＋错误!＝－错误!，－错误!×错误!＝错误!,∴a＝－12,b＝－2，∴a ＋b＝－14.2．（2013·山西附中期中考试)函数y＝a x＋3－2(a＞0,a≠1）的图象恒过定点A,若点A在直线错误!＋错误!＝－1上，且m＞0，n＞0，则3m＋n的最小值为（)A．13 B．16C．11＋6错误!D．28B 解题思路：函数y＝a x＋3－2的图象恒过A(－3，－1)，由点A在直线xm＋yn＝－1上可得，错误!＋错误!＝－1,即错误!＋错误!＝1,故3m＋n＝(3m＋n）×错误!＝10＋3错误!，因为m＞0，n＞0,所以错误!＋错误!≥2错误!＝2错误!,故3m＋n＝10＋3错误!≥10＋3×2＝16，故选B.3．已知变量x，y满足约束条件错误!则z＝错误!的取值范围为( ) A．[1，2] B.错误!C。
错误! D.错误!B 命题立意：本题是线性规划问题，首先准确作出可行域,然后明确目标函数的几何意义是可行域内的点与点(－1,－1）连线的斜率，最后通过计算求出z的取值范围．解题思路：由已知约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，其中A（1，1)，B（1,2)，目标函数z＝错误!的几何意义为可行域内的点与点P(－1，－1)连线的斜率,k PA＝1,k PB＝错误!,故选B.4．（2013·湖南衡阳八中第六次质检)设x，y满足约束条件错误!若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则错误!＋错误!的最小值为( ）A。
2014数学高考题型历炼(Word解析版)：1-3 不等式与线性规划、计数原理与二项式定理
1．(交汇新)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)为f(x)的导函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x 2－6)＞1的解集为________．2．(背景新)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D|x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．3．(交汇新)已知f (x )＝(ax ＋2)6，f ′(x )是f (x )的导数，若f ′(x )的展开式中x 的系数大于f (x )的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是________．[历 炼]1．解析：由导函数图象知当x ＜0时，f ′(x)＞0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x ＞0时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x 2－6)＞1等价于f(x 2－6)＞f(－2)或f(x 2－6)＞f(3)，即－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．答案：(－3，－2)∪(2,3)解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．答案：63．解析：f (x )的展开式中x 的系数是C 5625a 6－5＝192a ，f ′(x )＝6(ax＋2)5(ax ＋2)′＝6a (ax ＋2)5，f ′(x )的展开式中x 的系数是6a C 4524a5－4＝480a 2，依题意得480a 2＞192a ⇒a ＞25或a ＜0.所以a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞. 答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞。
高中数学二项式定理问题的三大热点、五大方法素材新人教版
二项式定理问题的三大热门、五大方法学 二 式定理， 二 式定理 的三大 点、 五大方法倍加关注， 其详细内容是：一．三大 点 1．通 运用型 2．系数和差型 3． 合 用型 二．五大方法 1．常 通 剖析法例 1．假如在（ x + 1）n 的睁开式中，前三 系数成等差数列，求睁开式中的有理24 x.解：睁开式中前三 的系数分1， n ，n(n 1)，由 意得 2× n=1+n(n 1)，得28 2 8n=8.116 3 rr· ·x4， r 是 4 的倍数，因此 r =0，4， 8.第 r +1 有理 ， T r 1 =C 82r有理 T 1=x 4， T 5=35 x ， T 9= 1 .8256x 2述：求睁开式中某一特定的 的 常用通 公式，用待定系数法确立r. 通 公式rn-r r+，⋯， n ）中含有 a,b,n,r, T r+1 五个元素，只需知道此中的四个元 T r+1 = C n a b (n ∈ N ,r=0,1,2,2 素，就能够求出第五个元素．在有关二 式定理的 中， 经常碰到已知 五个元素中的若干个， 求此外几个元素的 （如判断和 算二 睁开式中的特别 ） ， 一般是正确使用通 公式， 要清楚此中的有关字母的意 ， 利用等价 化的思想方法把 解方程（ ）．2．系数和差型 法例 2．已知（ x － a）8 睁开式中常数 1120，此中 数 a 是常数， 睁开式中各 系 x数的和是A.28B.38C.1 或 38D.1 或 28分析： T r 1 =C r 8 · x 8－ r ·（－ ax － 1） r =（－ a ） r C r 8 · x 8－2r .令 8－2r =0，∴ r =4.∴（－ a ） 4C 84 =1120.∴a=± 2.当 a=2 ，令 x=1， （ 1－ 2） 8=1.当 a=－2 ，令 x=－ 1， （－ 1－ 2） 8=38. 答案： C例 3．若（ 1+x ） 6（ 1－ 2x ） 5=a 0+a 1x+a 2x 2+⋯ +a 11x 11. 求：（ 1） a 1+a 2+a 3+⋯ +a 11；（2） a 0+a 2+a 4+⋯ +a 10.652116，解：（ 1）（ 1+x）（ 1－ 2x） =a0+a1x+a2x +⋯ +a11x.令 x=1，得 a0+a1+a2+⋯+a11=－ 2①又 a0=1，因此 a1+a2+⋯ +a11=－ 26－ 1=－ 65.（2）再令 x=－ 1，得 a0－ a1+a2－ a3+⋯－ a11=0. ②①+②得 a0+a2+⋯ +a10= 1（－ 26+0 ） =－ 32. 2述：在解决此奇数系数的和、偶数系数的和的中常用法，令此中的字母等于 1 或 -1.3．近似截法例 4．求 (2.999)10的近似（精准到 0.001）解： (2.999)10= （ 3-0.001 ）10=3 10-10 × 39× 0.001+45 × 38× 0.001 2-120 × 37× 0.001 3+210×36× 0.001 4- ⋯=59049-196.83+0.295245-0.00026244+⋯≈58852.465述：用二睁开式作近似算，注意底数的形，以及考精准度有影响的某些。
2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)11-3二项式定理
课时作业(五十八)一、选择题1．(2011年陕西高考)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：T r ＋1＝C r 6(4x )r·(－2－x )6－r ＝C r 6·(－1)6－r ·2(3r －6)x 由3r －6＝0，得r ＝2，常数项为 T 3＝C 26·(－1)4＝15. 答案：C2．(2013年山东滨州联考)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．－28C ．7D ．28解析：依题意，n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8， 易得常数项为C 68⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝7. 答案：C3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和为( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：∵T k ＋1＝C k 8x8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x k ＝C k 8(－a )k x 8－2k 为常数项， ∴k ＝4且C 48(－a )4＝1 120，∴a 4＝16，∴a ＝±2，当a ＝2时，令x ＝1，得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－218＝1；当a ＝－2时，令x ＝1，得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋218＝38.答案：C4．(2012年北京石景山一模)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36解析：二项展开式的二项式系数和为2n ＝512，所以n ＝9，二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(x 2)9－k (－x －1)k ＝C k 9x 18－2k (－1)k x －k ＝C k 9x 18－3k(－1)k ，令18－3k ＝0，得k ＝6，所以常数项为T 7＝C 69(－1)6＝84，选B.答案：B5．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，15) B ．[45，＋∞) C ．(－∞，－45]D ．(1，＋∞)解析：二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r . 依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2x ＋y ＝1xy <0，由此得⎩⎨⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0x (1－x )<0，由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．答案：D 6．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：观察所求数列和的特点，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－a 0， 再令x ＝0可得a 0＝1，因此a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1. 答案：C 二、填空题7．(2012年陕西)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．解析：因为(a ＋x )5＝C 05a 5＋C 15a 4x ＋C 25a 3x 2＋C 35a 2x 3＋C 45ax 4＋C 55x 5， 所以C 25a 3＝10a 3＝10.所以a 3＝1，a ＝1.答案：18．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ，则二项式(a x －1x)6展开式中含x 2项的系数是________． 解析：a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )dx ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2sin(x －π4)|π0＝2，二项式(2x －1x )6展开式中含x 2项为：C 16(2x )5·(－1x)＝－192x 2， 所以x 2的系数为：－192. 答案：－1929．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案：－5 三、解答题10．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0， 求(1)a 7＋a 6＋…＋a 1； (2)a 7＋a 5＋a 3＋a 1； (3)a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，①∴a 7＋a 6＋…＋a 1＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.11．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． 解：(1)通项公式为T r ＋1＝C r n xn －r 3⎝⎛⎭⎪⎫－12r x －r 3＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x n －2r3，∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z0≤r ≤10，r ∈Z ，令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎪⎫－128x －2. 12．(2012年厦门质检)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．解：(1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1n(2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1(3)设C r －1n ∶C r n ∶C r ＋1n ＝3∶4∶5由C r －1nC r n＝34，得r n －r ＋1＝34即3n －7r ＋3＝0① 由C r nC r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45 即4n －9r －5＝0②解①②联立方程组得n ＝62，r ＝27即C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.[热点预测]13．(1)若a ＝∫π0(sin t ＋cos t )d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为________． (2)(2012年陕西西工大附中适应性训练)若将(x －a )(x －b )逐项展开得x 2－ax －bx ＋ab ，则x 2出现的概率为14，x 出现的概率为12，如果将(x －a )(x －b )(x －c )(x －d )(x －e )逐项展开，那么x 3出现的概率为________．解析：(1)a ＝(－cos t ＋sin t )|π0＝2 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝12r C r 6·x 12－3r 令12－3r ＝0，得r ＝4.(2)基本事件总数为C12C12C12C12C12＝32，其中x3有C35个，所以概率为C3532＝516.答案：(1)1516(2)516。
高中(文科数学)全程复习训练2014分类汇编考点40 二项式定理
考点40 二项式定理 一、选择题 1.(2016·四川高考理科·T2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4
C.-20ix4 D.20ix4
【解题指南】利用二项式定理展开,复数的运算. 【解析】选A.二项式6xi展开的通项Tr+1=r6Cx6-rir,则其展开式中含x4的项是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为26Cx4i2=-15x4. 二填空题 2.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T14)(2x+x)5的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案) 【解析】设展开式的第k+1项为Tk+1,k∈{0,1,2,3,4,5},
所以5521555x(2)2kkkkkkkTCCxx
当5-2k=3时,k=4,即T5=5445425Cx2=10x3. 答案:10 3.(2016·山东高考理科·T12)若521axx的展开式中x5的系数是-80,则实数a= . 【解题指南】写出二项式的通项Tr+1=1nr212n2rrr2rr2nnCax()Cxnrax,利用x5的系数求出实数a的值. 【解析】写出二项式的通项Tr+1=1nr212n2rrr2rr2nnCax()Cxnrax, 这里n=5,令10-52r=5,则r=2,所以25Ca3=-80,所以a=-2. 答案:-2
4.(2016·天津高考理科·T10)821xx的展开式中x7的系数为 .(用数字作答) 【解题指南】写出通项公式Tr+1,找到含有x7的项,计算系数. 【解析】821xx的展开式的通项Tr+1=r8rr2r163881CxC1x()rrx,令16-3r=7,则r=3.当r=3
时,353281Cxx =-56x7,所以x7的系数为-56. 答案:-56 5.(2016·北京高考理科·T10)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答) 【解题指南】利用二项展开式的通项Tr+1=rnCan-rbr求解. 【解析】(1-2x)6的展开式的通项为Tr+1=rC6(-2x)r, 所以T3=26C(-2x)2=60x2. 所以,x2的系数为60. 答案:60 关闭Word文档返回原板块
高考数学备考30分钟课堂集训系列专题9 排列组合二项式定理(学生版)
高考数学备考30分钟课堂集训专题系列专题9 排列组合二项式定理一、选择题1．(山东省济宁市2011年3月高三第一次模拟)将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是（ ）A ．4444242628A A C C CB ．44242628A A A AC ．44242628A C C CD ．242628C C C2．(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试)若5⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中3x 的系数为10，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．1-D ．123.在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( )A ．10- B ．10C ．5-D ．54.若4(1,a a b =+为有理数），则（ ）A ．33B ． 29C ．23D ．195.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A ．8B ．24C ．48D ．120 6.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）（A ）6种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）30种7.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ） A ．14 B ．16 C ．20 D ．48 8. (广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研)8名学生和2位教师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为( )A 、8289P P ⋅B 、8289P C ⋅C 、8287P P ⋅D 、8287P C ⋅9．（2010年高考山东卷）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种10.(2010年高考数学湖北卷）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是( )A ． 152 B. 126 C. 90 D. 5411．（2010年高考陕西卷）5()ax x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）（A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 2二、填空题12. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研) 二项式3521()x x -的展开式中的常数项为 .13. (北京市西城区2011年1月高三试题)在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为 . 14.（辽宁省锦州市2011年1月高三考试）从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球（0,,m n m n N <≤∈），共有1m n C +种取法，在这1mn C +种取法中，可以分为两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出的m 个球中有1个黑球，共有01101111m m m n n n C C C C C C -+⋅+⋅=⋅种取法，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立.试根据上述思想化简下列式子：1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅=__________________. 15. (2010年高考安徽卷)6⎛⎫展开式中，3x 的系数等于________。
高考数学 备考30分钟课堂集训系列专题9 排列组合二项式定理(学生版)
高考数学 备考30分钟课堂集训系列专题9 排列组合二项式定理（学生版）一、选择题1. (山东省济南市2012年3月高三高考模拟)如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（ ）A. 11种B. 20种C. 21种D. 12种2.(广东省梅州市2012年5月高三复习质检)将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A 、28B 、24C 、30D 、363．(浙江省镇海中学2012届高三测试卷)若(1-3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|等于（ ） (A) 1024 (B) 243 (C) 32 (D) 244．(河北省邯郸市2012年高三第一次模拟)在二项式8(2x )-的展开式中不含．．4x 的所有项的系数和为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．27．(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是4,3,2,1中的任何一个，允许重复，若填人A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有（ ）A ．192种B ．128种C ．96种D ． 12种8．（安徽省皖南八校2012届高三第二次联考）25(2)(1)x x +-中7x 的系数与常数项之差的绝对值为（ ）A 、5B 、3C 、2D 、012.(2011年高考重庆卷)()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（ ）（A ）6 (B)7(C) 8 (D)9二、填空题13．(河北省石家庄市2012届高三教学质量检测二）学校要安排4名学生在周六、周日参加社会实践活动，每天至少1人，则学生甲被安排在周六的不同排法的种数 为 (用数学作答)．14. (陕西省西工大附中2012届高三第三次适应性训练)在21n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ．15. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查） 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有 个.A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____.（用数字作答）三、解答题20． (江苏省南京市2012年3月高三第二次模拟)记(1＋x 2)(1＋x 22)…(1＋x2n )的展开式中，x 的系数为a n ，x 2的系数为b n ，其中 n ∈N *．（1) 求a n ；（2）是否存在常数p ，q (p ＜q ) ，使b n ＝13(1＋p 2n )(1＋q 2n ) 对n ∈N *，n ≥2恒成立？证明你的结论．。
2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题12 排列、组合、二项式定理
1．已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f的个数为（）A．C47A33B．C47C．77D．C74732．8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________（用数字作答）3．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_________种（用数字作答）。
4．将标号为1、2，… 10的10个数放入标号为1，2，…10的10个盒子内，每一个盒内放一个球茎，恰在此时好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．7205．已知集合A有4个元素，集合B有3个元素，集合A到B的映射中，满足集合B的元素都有原象的有多少个？6．4名男同学排好有A44种方法，再在5个空档处将4名女生插进去，有A45种方法。
∴不同的排法数为A44·A45=2880。
7．在（1-x）5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含x3的项的系数是（）A．74 B．121 C．-74 D．-1218．（2x-x 1）9的展开式中，常数项为____________（用数字作答）9．设n ∈N*,则C 1n +C 2n 6+C 3n ·62+…+C n n 6n-1=____________.3． 【错误解答】 因为每一步都有两种可能，所以共有25=32种方法，又由于这32种方法中质点落在【正确解答】先将4名男同学排好有A44种方法，再将女生插进去，有2A44种方法，所以不同的排法种数为A44·2A44=1152种。
易错起源1、正确运用两个基本原理例1．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有__________个（用数字作答）。
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【最新考纲解读】二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【回归课本整合】1.二项式定理的展开式011()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项.注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。
如在()nax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第ｒ＋１项的系数为r n r r n C a b -；而1()n x x+的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例：1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ 2.二项式定理的通项二项展开式中第r +l 项1(0,1,2,r n r rr n T C a b r -+==,)n 称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.注意：()1通项公式是表示第1r +项，而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数rnC 与第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n . 3.项的系数和二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n mn nC C -=）． (2)增减性与最大值： 当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当12n r +≥时,C r n 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。
当n 为偶数时，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数2nn C 取得最大值。
当n 为奇数时，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数1122n n n n C C -+=相等并同时取最大值.(3)各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n rnn n n n nC C C C C =++++++ ，0213n n n n C C C C ++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅12n -=(4)用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当α很小时，有()()211112nn n n ααα±≈±+-. 【方法技巧提炼】1. 如何把握转化类似二项式结构二项式定理作为一个重要的知识点，几乎每年高考都要涉及一道.其中对于二项式结构的延伸和扩展是一个重点,丰富多彩的结构犹如“乱花”，迷住了不少同学的“眼”,如何把握？（1）二项式展开式结构：根据给出的结构特征，通过拼凑使其满足二项式定理展开式的特点，然后合并，从而达到化简作用.(2)()()nma b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、的通项公式，综合考虑. （3）()na b c ++结构:①()(())nna b c a b c ++=++,即把其中两项看作一项，然后展开求解；②()()nma b c p q ++=+即利用公式把三项变成二项.(4)()()nma b c d ++++⋅⋅⋅结构:观察各项是否组成等比数列，若是可利用求和公式合并然后求解；若不能，就分别求解.（5）n a 结构：(())n n a a b b =-+，然后展开分析求解.2.赋值法的应用由于二项式定理是一个恒等式，对于a b 、的一切取值均成立，因此可将a b 、设定为一些特殊的值.使用赋值法时，令a b 、取多少，应视情况而定，常见常见的赋值有0，1，-1.应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为(1)f 、“奇数 (偶次)项”系数和为)]1()1([21--f f ，以及“偶数 (奇次)项”系数和为)]1()1([21-+f f 。
3. 系数最大项的求法对于()na b +的系数最大项，设第r 项的系数r A 最大，由不等式组11r r rr A A A A -+≥⎧⎨≥⎩确定r .若给出的是()n a b -的结构，因各项之间正负相间，因此先转换为()na b +的最大项，然后分析哪一项满足条件.4. 应用()()n na b a b +-和的关系解题由01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈01()11()n n nr r n r rn n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*-=-++-++-∈（）（）得到关系:两个展开式的奇数项的系数一样，偶数项的系数互为相反数；()()n n a b a b +-=+02222222()n n r n r rn n n C a C a b C a b n N --*++++∈（）【考场经验分享】1．区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念． 3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项． 4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1． 5．在化简求值时，注意二项式定理的逆用．要用整体思想看待a 、b .6.本热点，一般位置在填空题的前两道或选择题的中间位置，试题难度中低档，故为得全分的题目，试题的解法比较固定，抓住通项公式是关键，仔细运算是根本,灵活赋值是保证.在整理通项公式的时候，务必认真仔细，尤其是-1的次幂，不要想当然，一般可采用将演算过程清楚的呈现，然后再检查一遍是否忽略.【新题预测演练】1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若n 的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若223*11()n n n C C C n N --=+∈，则n 的常数项为（ ）A ．6-B ．12C ．52 D ．52- 3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练】设2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++，则242n a a a +++的值为（ ）（A ）312n+ （B ）312n- （C ）32n - （D ）3n4.【内江市2013届高中三年级第一次模拟考试试题】在34+的展开式中，x 的幂指数为整数的项共有（ ）A 、3项B 、4项C 、5项D 、6项6.【山西省忻州实验中学2013届高三第一次月考摸底】5=n 是nxx )12(3+)+∈N n （的展开式中含有常数项的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知a =2-⎰，则61()ax x-展开式中的常数项为A.3160π-B. 3120π-C.2πD. 3160π8.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】101x ⎫-⎪⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6 9.【山西大学附属中学2013届高三3月第二次月考】88221083)1()1()1()2()1(-+⋅⋅⋅+-+-+=-++x a x a x a a x x ,则______6=a 。
10.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)11.【安徽省2013届高三开年第一考】二项式61)x-的展开式所有有理项的系数和 等于 （用数字作答）12.【2013届安徽省示范高中高三3月模底考试】已知（x 2＋1x）n的展开式的各系数和为32，则展开式中x 的系数为＿＿＿＿251031551()().r r r r r r T C x C x x--+==令1031, 3.r r -==3510.x C ∴=展开式中的系数为 13.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是14.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】若二项式(n x 的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．(用数字作答)15.【江西省临川二中2013届高三3月月考】已知11(1a dx -=+⎰，则61()2a x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦展开式中的常数项为 。
16.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】在26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 ．。