高三一轮复习导学案01-第01章-第01节——集合的概念与运算-第02节——命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.1集合的概念及其基本运算

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：____________、______________、____________.

(2)元素与集合的关系是________或__________关系，用符号______或______表示．

(3)集合的表示法：____________、__________、__________、__________.

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为__________、__________、__________.

2．集合间的基本关系

(1)子集、真子集及其性质

对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)．

若A?B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x?A，则_________(或________)．?_______A；A______A；A?B，B?C?A______C.

若A含有n个元素，则A的子集有______个，A的非空子集有________个，A的非空真子集有________个．

(2)集合相等

若A?B且B?A，则A＝B.

3．集合的运算及其性质

(1)集合的并、交、补运算

并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；

交集：A∩B＝______________；

补集：?U A＝______________.

U为全集，?U A表示A相对于全集U的补集．

(2)集合的运算性质 并集的性质：

A ∪?＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪

B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ?B ?A . 交集的性质：

A ∩?＝?；A ∩A ＝A ；A ∩

B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ?A ?B . 补集的性质：

A ∪(?U A )＝U ；A ∩(?U A )＝?；?U (?U A )＝A . [难点正本 疑点清源] 1．正确理解集合的概念

正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ?B ，则需考虑A ＝?和A ≠?两种可能的情况．

3．正确区分?，{0}，{?}

?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?.

1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(?U B )＝________. 2．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则?U A ＝________.

3．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤1＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝?，则实数a 的取值范围是________．

4．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成_ ___________________．

5．已知R 是实数集，M ＝{x |2x <1}，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(?R M )等于 ( )

A.(1,2)

B.[0,2]

C.?

D.[1,2]

题型一 集合的基本概念

例1 (1)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A ，求实数2 013a 的值； (2)x ，x 2－x ，x 3－3x 能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合． 探究提高 (1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

(2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.

题型二 集合间的基本关系

例2 已知集合A ＝{x |0

???

??

x |－12

(1)若A ?B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ?A ，求实数a 的取值范围；

(3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．

探究提高 在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答． 分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．

已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ?B ，则实数a 的取值范围

是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 题型三 集合的基本运算

例3 设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(?U A )∩B ＝?，则m 的值是________．

探究提高 本题的主要难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn 图进行直观的分析不难找出来，如A ∪B ＝A ?B ?A ，(?U A )∩B ＝??B ?A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．

设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．

(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(?R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 题型四 集合中的新定义问题

例4 在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和如下：

那么⊕×(a

c )等于 ( )

A.a

B.b

C.c

D.d

探究提高 本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运算结果可以通过题目中的表格得出．借助于集合定义新运算是高考中命制创新试题的一个良好素材．

已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1?

A ，且x ＋1?A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是____________．

1.忽略空集致误

试题：(1)(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ?P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．

(2)(5分)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ?A ，则由m 的可取值组成的集合为____________． 学生答案展示

审题视角 (1)从集合的关系看，S ?P ，则S ＝?或S ≠?.(2)从集合元素看，第(1)小题S ≠?时，S 中元素为－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－1

2.第(2)小题B ≠?，必有

????

?

m ＋1≤2m －1

m ＋1≥－22m －1≤5

.

正确答案 (1)?

??

?

??0，13，－12 (2){m |m ≤3}

解析 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝?，满足S ?P ；

当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1

a ，

为满足S ?P 可使－1a ＝－3或－1

a ＝2，

即a ＝13或a ＝－1

2.

故所求集合为?

??

?

??0，13，－12.

(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝?，满足B ?A ；

若B ≠?，且满足B ?A ，如图所示，

则????

?

m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，

即????

?

m ≥2，

m ≥－3，m ≤3，

∴2≤m ≤3.

故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．

批阅笔记 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键 是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一 是忽略对空集的讨论，如S ＝?时，a ＝0；B ＝?时，m <2.二是易忽略对字母的讨论．如

－1

a

可以为－3或－2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解

.

方法与技巧

1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．

2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．

3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范

1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关

注对空集的讨论，防止漏解．

2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

4．Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

5．要注意A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?U A??U B、A∩(?U B)＝?这五个关系式的等价性．§1.1集合的概念及其基本运算

(时间：60分钟)

A组专项基础训练题组

一、选择题

1．(2011·广东)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为() A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知集合M＝{x|x

x－1

≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于() A．?

B．{x|x≥1}

C．{x|x>1}

D．{x|x≥1或x<0}

3．如果全集U＝R，A＝{x|2

B．(2,4)

C．(2,3)∪(3,4]

D．(2,4]

二、填空题

4．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，则a＝__________.

5．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝__________.

6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，

则集合A ⊙B 的所有元素之和为________． 三、解答题

7．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．

8．对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M 且x ?N }，M *N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }，求M *N .

B 组 专项能力提升题组

一、选择题

1．设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z |1

D ．{1}

2．(2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ?A 且S ∩B ≠?的集合S 的个数是

( )

A ．57

B ．56

C ．49

D ．8

3．(2011·湖北)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则?U P 等于 ( )

A.????12，＋∞

B.????0，12 C ．(0，＋∞)

D ．(－∞，0]∪???

?1

2，＋∞ 4．已知集合A ＝{x |log 2x ＋1>0}，B ＝{y |y ＝3－2x －x 2}，则(?R A )∩B 等于 ( ) A.????0，12 B.????0，1

2 C ．(－3,2] D.????－3，1

2 二、填空题

5．已知集合A ＝(－∞，0]，B ＝{1,3，a }，若A ∩B ≠?，则实数a 的取值范围是________． 6．(2010·重庆)设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若?U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.

7．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝?，则实数t 的取值范围是__________． 三、解答题

8．已知集合A ＝{x |x －5

x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，

(1)当m ＝3时，求A ∩(?R B )；

(2)若A ∩B ＝{x |－1

答案

要点梳理

1.(1)确定性 互异性 无序性 (2)属于 不属于 ∈ ? (3)列举法 描述法 图示法 区间法 (5)有限集 无限集 空集

2.(1)A B B A ? ? ? 2n 2n －1 2n －2

3.(1){x |x ∈A ，且x ∈B } {x |x ∈U ，且x ?A } 基础自测

1.{2,4}

2.{x |0

3.(2,3)

4.?

??

?

??0，1，－12 5.B

题型分类·深度剖析

例1 解 (1)当a ＋2＝1，即a ＝－1时， (a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1与a ＋2相同， ∴不符合题意.

当(a ＋1)2＝1，即a ＝0或a ＝－2时， ①a ＝0符合要求.

②a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝1与(a ＋1)2相同，不符合题意. 当a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－2或a ＝－1.

①当a ＝－2时，a 2＋3a ＋3＝(a ＋1)2＝1，不符合题意. ②当a ＝－1时，a 2＋3a ＋3＝a ＋2＝1，不符合题意. 综上所述，a ＝0. ∴2 013a ＝1.

(2)因为当x ＝0时，x ＝x 2－x ＝x 3－3x ＝0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合. 要使它表示一个有三个元素的集合，

则应有????

?

x ≠x 2－x ，

x 2

－x ≠x 3－3x ，

x ≠x 3

－3x .

∴x ≠0且x ≠2且x ≠－1且x ≠－2时，{x ，x 2－x ，x 3－3x }能表示一个有三个元素的集合.

变式训练1 0或9

8

例2 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a ＝0，则A ＝R ；

②若a <0，则A ＝?

???

??x |4

a ≤x <－1a ；

③若a >0，则A ＝?

??

?

??x |－1a

(1)当a ＝0时，若A ?B ，此种情况不存在. 当a <0时，若A ?B ，如图，

则???

4a >－12

－1

a ≤2

，∴?????

a >0或a <－8

a >0或a ≤－12

，

又a <0，∴a <－8.

当a >0时，若A ?B ，如图，

则???

－1a ≥－12

4a ≤2

，∴?????

a ≥2或a <0

a ≥2或a <0

.

又∵a >0，∴a ≥2.

综上知，当A ?B 时，a <－8或a ≥2. (2)当a ＝0时，显然B ?A ； 当a <0时，若B ?A ，如图，

则???

4a ≤－12

－1

a >2

，∴?????

－8≤a <0

－12

.

又∵a <0，∴－1

2

当a >0时，若B ?A ，如图，

则???

－1a ≤－12

4a ≥2

，∴?

???

?

0

又∵a >0，∴0

综上知，当B ?A 时，－1

2

(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时， A ＝B .

由(1)、(2)知，a ＝2. 变式训练2 4 例3 1或2

变式训练3 解 (1)∵A ＝{x |1

2≤x ≤3}，

当a ＝－4时，B ＝{x |－2

2≤x <2}，

A ∪

B ＝{x |－2

2或x >3}，

当(?R A )∩B ＝B 时，B ??R A ， 即A ∩B ＝?.

①当B ＝?，即a ≥0时，满足B ??R A ； ②当B ≠?，即a <0时，

B ＝{x |－－a

，

解得－1

4

≤a <0.

综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－1

4.

例4 A

变式训练4 6 {0,1,2,3} 课时规范训练 A 组

1.C

2.C

3.A

4.－1或2

5.{(0,1)，(－1,2)}

6.18

7.解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}.

(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴?????

m －2＝0，

m ＋2≥3.

∴m ＝2.

(2)?R B ＝{x |x m ＋2}， ∵A ??R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.

8.解 ∵M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}， N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }＝{y |－3≤y ≤3}， ∴M －N ＝{y |y >3}， N －M ＝{y |－3≤y <0}， ∴M *N ＝(M －N )∪(N －M ) ＝{y |y >3}∪{y |－3≤y <0} ＝{y |y >3或－3≤y <0}. B 组

1.C

2.B

3.A

4.A

5.a ≤0

6.－3

7.(－∞，－3)

8.解 由x －5

x ＋1

≤0，

所以－1

所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2

§1.2命题及其关系、充分条件与必要

条件

1.命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题．其中______________的语句叫真命题，____________的语句叫假命题．

2.四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性______________关系．

3.充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的____________，q是p的____________；

(2)如果p?q，q?p，则p是q的____________．

[难点正本疑点清源]

1.用集合的观点，看充要条件

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：

(1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B ?A ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；

(4)若A B ，且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2.从逆否命题，谈等价转换

由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．

1.给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______．

2.下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件．

3. “x >2”是“1x <1

2

”的________条件．

4.设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

5.已知α，β的终边在第一象限，则“α>β”是“sin α>sin β”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

题型一 四种命题的关系及真假判断

例1 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．

①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ?M ”与命题“若b ∈M ，则a ?M ”等价．

探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

题型二充分、必要、充要条件的概念与判断

例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；

(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；

(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，

q：(x－1)(y－2)＝0.

探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

给出下列命题：

①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条

件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°

是B＝60°的必要不充分条件．

其中真．命题的序号是________．

题型三充要条件的证明

例3求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

探究提高(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性．(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的

“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．

(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．

已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1)，求证：数列{a n }为等

比数列的充要条件为q ＝－1.

1.等价转化思想在充要条件

关系中的应用

试题：(12分)已知p ：?

???

1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必

要而不充分条件，求实数m 的取值范围．

审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．

(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答

解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，

[2分]

∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， [3分]

由?

?????

1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， [5分]

∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． [6分] ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．

∴A

B ，∴????

?

m >0，1－m <－2，

1＋m ≥10，

或????

?

m >0，

1－m ≤－2，1＋m >10，

即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]

方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，

∴p 是q 的充分而不必要条件， [2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，

∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， [4分]

由?

?????1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，

∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． [6分] ∵p 是q 的充分而不必要条件，

∴P

Q ，∴????

?

m >0，

1－m <－2，

1＋m ≥10，

或????

?

m >0，

1－m ≤－2，1＋m >10，

即m ≥9或m >9.∴m ≥9. [12分] 批阅笔记 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏 的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充 要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关

键

.

方法与技巧

1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n 个)作为大前提．

2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法

(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．

(2)等价法：利用A ?B 与綈B ?綈A ，B ?A 与綈A ?綈B ，A ?B 与綈B ?綈A 的等 价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A ?B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 失误与防范

1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．

2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．

§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组

一、选择题

1.(2011·陕西)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是 ( )

A.若a ≠－b ，则|a |≠|b |

B.若a ＝－b ，则|a |≠|b |

C.若|a |≠|b |，则a ≠－b

D.若|a |＝|b |，则a ＝－b

2.已知集合M ＝{x |0

D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中为真命题的是

`

( ) A.命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B.命题“x >1，则x 2>1”的否命题

C.命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题

D.命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 二、填空题

4. “m <1

4”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件.

5.下列命题：

①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；

③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数. 其中正确命题的序号是________.

6.已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为 ________. 三、解答题

7.已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，