2018年北师大版数学九年级下册《第二章二次函数》单元测试卷含答案
第二章二次函数单元检测卷一、选择题（每小题3分；共33分）1.二次函数，当y<0时，自变量x的取值范围是（）A. -1＜x＜3B. x＜-1C. x＞3D. x＜-1或x＞32.如图，双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A. a+b=kB. 2a+b=0C. b＜k＜0D. k＜a＜03.将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A. （5，4）B. （1，4）C. （1，1）D. （5，1）4.已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么下列结论中正确的是（）A. m﹣1的函数值小于0B. m﹣1的函数值大于0C. m﹣1的函数值等于0D. m﹣1的函数值与0的大小关系不确定5.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A. b=2，c=2B. b=2，c=0C. b=﹣2，c=﹣1D. b=﹣3，c=26.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( )A. （－2，3）B. （2，3）C. （－2，－3）D. （2，－3）7.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）A. y=（x+2）2+2B. y=（x-2）2-2C. y=（x-2）2+2D. y=（x+2）2-28.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图③所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b=0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（）A. 1月，2月B. 1月，2月，3月C. 3月，12月D. 1月，2月，3月，12月10.将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A. y=（x+1）2﹣13B. y=（x﹣5）2﹣3C. y=（x﹣5）2﹣13D. y=（x+1）2﹣311.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0），则的值为（）A. 0B. －1C. 1D. 2二、填空题（共10题；共30分）12.已知二次函数y=﹣x2﹣2x+1，当x________时，y随x的增大而增大．13.（2014•扬州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为________．14.农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的关系表示为________ ．15.如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x=________．16.根据下表判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是________x 0.4 0.5 0.6 0.7ax2+bx+c ﹣0.64 ﹣0.25 0.16 0.5917.如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．18.如图，抛物线与轴的一个交点A在点（－2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则的取值范围是________．19.形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为________．20.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是________x …﹣1 0 1 2 3 …y … 10 5 2 1 2 …21.若二次函数y=2x2﹣x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是________ .三、解答题（共4题；共37分）22.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）（1）当m=0时，求该函数的零点．（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．23.如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y（m）是球飞行的高度，x（m）是球飞行的水平距离．（1）飞行的水平距离是多少时，球最高？（2）球从飞出到落地的水平距离是多少？24.已知二次函数图象顶点坐标（﹣3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标．25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= S四边形ACBD时，求D点坐标；（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．参考答案一、选择题A C DB B A BCD D B二、填空题12.＜﹣2 13. 0 14.15. 3 16. 0.5＜x＜0.6 17.＞18. - ≤a≤- 19. y=﹣2x2﹣520. 0＜x＜1或3＜x＜4 21. m≥﹣三、解答题22. 1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0，解得x=±，所以，m=0时，该函数的零点为±；（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3），=4m2+8m+24，=4（m+1）2+20，∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0，∴△=4（m+1）2+20＞0，∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，即，无论m取何值，该函数总有两个零点．23.解：（1）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+，∴当x=4时，y有最大值为．所以当球水平飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为米；（2）令y=0，则﹣x2+x=0，解得x1=0，x2=8．所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米．24.解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，把h=﹣3，k= ，和点（2，）代入y=a（x﹣h）2+k，得a（2+3）2+ = ，解得a= ，所以二次函数的解析式为y= （x+3）2+ ，当x=0时，y= ×9+ = ，所以函数图象与y轴的交点坐标（0，）25.（1）解：∵令x=0得：y=﹣3，∴C（0，﹣3）．令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3，∴A（﹣3，0）．将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3（2）解：如图1所示：令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．∴AB=4．∵S△ACD= S四边形ACBD，∴S△ADC：S△DCB=3：5．∴AE：EB=3：5．∴AE=4× = ．∴点E的坐标为（﹣，0）．设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=﹣3．∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5．∴点D的坐标为（﹣4，5）（3）解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得：，解得：k=3，b=﹣3．∴直线BC的解析式为y=3x﹣3．设直线DE的解析式为y=﹣x+n，将点D的坐标代入得：﹣×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣= ．∴直线DE的解析式为y=﹣x+ ．将y=3x﹣3与y=﹣x+ 联立解得：x=2，y=3．∴点E坐标为（2，3）．依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ．∵点P与点Q关于点B对称，∴PB=BQ．在△PCB和△QEB中，∴△PCB≌△QEB．∴∠BPC=∠Q．又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG∴∠DBE=∠DGB．又∵∠DBE+∠BDE=90°，∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．∵D（﹣4，5），B（1，0），∴DM=NB．∴∠DBN=45°．∴∠PBM=45°．∴PM=MB设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）．∴点P的坐标为（﹣2，3）．∴PC∥x轴．∵∠Q=∠BPC，∴EQ∥PC．∴点E与点F的纵坐标相同．将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+ （舍去）．∴点F的坐标为（﹣1 ，3）．∴EF=2﹣（﹣1﹣）=3+。
北师大版数学九年级下册第二章二次函数(单元测试)(含简单答案)
第二章二次函数 单元测试 九年级下册数学北师大版一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大 2．点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．m>2B ．32m >C ．1m <D ．322m <<3．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米4．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =-- 5．在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 6．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-7．已知二次函数2245y x x =-+，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ）A ．1x <B ．1x >C ．2x <D ．2x >8．已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒11．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（ ）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小12．将二次函数223y x x =-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3-B ．134-或3-C ．214或3-D ．134或3-二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？14．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间的函数关系是2520h t t =-+，当飞行时间t 为___________s 时，小球达到最高点．15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为边AD 上一动点，连接CE ，以CE 为边向右侧作正方形CEFG ，连接DF ，DG ，则DFG 面积的最小值为__________．17．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．18．如图是二次函数2y x bx c =++的图像，该函数的最小值是__________．19．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0-和点()2,0，以下结论：⊥<0abc ；⊥420a b c -+<；⊥0a b +=；⊥当12x <时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）20．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．某超市销售一种衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？(2)在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，同每件衬衫应降价多少元？(3)该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．22．为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）（8≤x ≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y 与x 的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．23．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ （3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．24．已知二次函数2243y x x =-+的图像为抛物线C ．(1)抛物线C 顶点坐标为______；(2)将抛物线C 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线1C ，请判断抛物线1C 是否经过点()2,3P ，并说明理由；(3)当23x -≤≤时，求该二次函数的函数值y 的取值范围．25．如图，抛物线y ＝x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．参考答案：1．D2．B3．C4．D5．B6．B7．B8．A9．A10．B11．C12．A13．1.12514．215．416．3217．（2，0）18．4-19．⊥⊥⊥20．221．(1)平均每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元．(2)每件衬衫应降价10元．(3)不能，22．（1）3216(832)120(3240)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩＜；（2）最大利润为3840元 23．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥． 24．(1)()1,1(2)不经过，(3)119y≤≤25．（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（12-，12-）。
九年级下册数学单元测试卷-第二章 二次函数-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第二章二次函数-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系中，抛物线y2与直线y1均过原点，直线经过抛物线的顶点（2，4），则下列说法：①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值不存在；④若y2＝2，则x＝2﹣或x＝1.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、抛物线y＝(x＋1)2与坐标轴的交点个数是( )A.0B.1C.2D.34、已知，二次函数y=x2﹣2x+a（a是实数），当自变量任取x1， x2时，分别与之对应的函数值y l， y2满足y1＞y2，则x1， x2应满足的关系式是（）A.xl ﹣1＜x2﹣1 B.x1﹣1＞x2﹣1 C.|x1﹣l|＜|x2﹣1| D.|x1﹣1|＞|x2﹣1|5、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②当x=1时，函数有最大值．③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．④4a+2b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2C.3D.46、抛物线的顶点坐标是（）A.（﹣1，2）B.（﹣1，﹣2）C.（1，﹣2）D.（1，2）7、下表是二次函数的 x,y的部分对应值：则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y＞-1 的解集是x＜0 或x＞2；③方程的两个实数根分别位于和之间；④当x＞0 时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是( )A.②③B.②④C.①③D.①④8、若将抛物线y= 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.9、已知点P（a，a+3）在抛物线y=x2﹣7x+19图象上，则点P关于原点O的对称点P′的坐标是（）A.（4，7）B.（﹣4，﹣7）C.（4，﹣7）D.（﹣4，7）10、如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，下列结论错误的是（）A.当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB.小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7米D.斜坡的坡度为1：211、把函数y= x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y= (x-1)2+1的图象( )A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位12、二次函数的图象如图，下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（）A.1个B.3个C.2个D.4个13、在函数中，以x为自变量的二次函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个14、抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（）A.（1，0）B.（﹣1，0）C.（﹣2，1）D.（2，﹣1）15、如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A.y=（x-1）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=x 2+1D.y=x 2+3二、填空题(共10题，共计30分)16、抛物线开口向________．17、若二次函数的图象经过原点，则的值为________．18、如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数为________．19、抛物线y=x2+ 的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________.20、如图,△AOB和△ACD均为正三角形,顶点B,D在双曲线y= (x>0)上,则=________.21、若二次函数（、为常数）的图象如图，则的值为________22、已知函数y=(m+2)x m(m+1)是二次函数,则m=________.23、如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是________24、抛物线与轴有________个交点．25、已知抛物线的对称轴是x＝m,若该抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点，则m的值为________三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，且与x轴交于A（﹣2，0）．（1）求此二次函数解析式及顶点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，直接写出点P的坐标．28、已知二次函数，当时有最大值，且此函数的图象经过点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．29、已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个函数的关系式．30、如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动.问当t为何值时，△APQ∽△AOB？（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、C4、D5、C6、D7、A8、B9、B10、A11、C12、C13、B14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、29、30、。
【九年级】九年级数学下第二章二次函数单元测试题(北师大有答案)
【九年级】九年级数学下第二章二次函数单元测试题（北师大有答案）第二章二次函数一、选择题1.二次函数y=x2+4x?5的图象的对称轴为（）a.x=?4b.x=4c.x=?2d.x=22.二次函数y=（x?1）2?2的顶点座标就是（）a.（1，?2）b.（?1，2）c.（?1，?2）d.（1，2）3.必须获得函数y=2x2-1的图象，应当将函数y=2x2的图象（）a.沿x轴向左平移1个单位b.沿x轴向右平移1个单位c.沿y轴向上位移1个单位d.沿y轴向上位移1个单位4.若a（?3，y1），b（?1，y2），c（2，y3）为二次函数y=x2?2x?3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）a.y1＜y2＜y3b.y2＜y1＜y3c.y3＜y2＜y1d.y3＜y1＜y25.已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过( )a.一、二、三象限b.二、三、四象限c.一、三、四象限d.一、二、三、四象限6.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（）a.x＝－3b.x＝－2c.x＝－1d.x＝17.若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）a.y=2（x?1）2?3b.y=2（x?1）2+3c.y=2（x+1）2?3d.y=2（x+1）2+38.二次函数y=3（x?h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（）a.h＞0，k＞0b.h＞0，k＜0c.h＜0，k＞0d.h＜0，k＜09.y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）a.a=5b.a≥5c.a＝3d.a≥310.抛物线y=?3x2+2x?1与坐标轴的交点个数为（）a.0个b.1个c.2个d.3个11.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac?b2=4a；④（a+c）2?b2＜0．其中正确的个数是（）a.1个b.2个c.3个d.4个二、填空题12.抛物线y=?2（x?3）2+4的顶点座标就是________．13.若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2?4x+3的图象关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为________．14.二次函数y=（x?2m）2+m2，当m＜x＜m+1时，y随x的减小而增大，则m的值域范围就是________．15.抛物线y=?x2?2x+3与x轴交点为________．16.）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没公共点，则m的值域范围就是________17.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．18.若将抛物线y=x2-4x-3的图像向右位移3个单位，则税金抛物线的解析式就是________．19.二次函数y=（a?1）x2?x+a2?1的图象经过原点，则a的值为________．三、答疑题20.已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．21.未知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点（?1，8）、（1，0），谋这个二次函数的表达式．22.已知二次函数y=?x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴存有两个交点，谋m的值域范围；（2）如图，二次函数的图象过点a（3，0），与y轴交于点b，直线ab与这个二次函数图象的对称轴交于点p，求点p的坐标．（3）根据图象轻易写下并使一次函数值大于二次函数值的x的值域范围．23.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点a和点b，与y轴交于点c，且点a的坐标为（?1，0）（1）谋抛物线的解析式，以及b、c两点的座标；（2）求过o，b，c三点的圆的面积．（结果保留π）参考答案一、选择题cadcdcdbbbd二、填空题12.（3，4）13.y=x2+4x+314.m≥115.（?3，0），（1，0）16.m＞117.x＜?1或x＞518.y=x2-10x+18．19.?1三、答疑题20.解：∵是x的二次函数，∴，Champsaurm=3或m=?1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．21.求解：把（?1，8）、（1，0）代入y=ax2+bx+3得，Champsaur，所以二次函数的解析式为y=x2?4x+322.（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞?1（2）求解：∵二次函数的图象过点a（3，0），∴0=?9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=?x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴b（0，3），设立直线ab的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线ab的解析式为：y=?x+3，∵抛物线y=?x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=?x+3得y=2，∴p（1，2）（3）求解：根据函数图象所述：x＜0或x＞323.（1）解：由题意得：解得：，∴抛物线解析式为：y=x2?4x?5，当x=0时，x2?4x?5=0，（x+1）（x?5）=0，x1=?1，x2=5，∴a（?1，0），b（5，0），当x=0时，y=?5，∴c（0，?5），∴抛物线解析式为y=x2?4x?5，b点坐标为（5，0），c点坐标为（0，?5）（2）求解：相连接bc，则△obc就是直角三角形，∴过o、b、c三点的圆的直径就是线段bc的长度，在rt△obc中，ob=oc=5，∴bc=5，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π。
九年级下册数学单元测试卷-第二章 二次函数-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第二章二次函数-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x= ，与x轴的一个交点A( ，0)，抛物线的顶点B纵坐标1<y B<2，则以下结论：①abc<0；②b2-4ac>0；③3a-b=0；④4a+c<0；⑤<a< .其中正确结论的个数是（）A.2B.3C.4D.52、如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A.40米B.30米C.20米D.10米3、北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A. B. C. D.4、二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④．其中，正确的结论是（）A.①②B.①③C.②④D.①④5、已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）A.y=x 2+2x+1B.y=x 2+2x﹣1C.y=x 2﹣2x+1D.y=x 2﹣2x﹣16、把抛物线y＝-x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为（）A.y＝-(x-1) 2-3B.y＝-(x+1) 2-3C.y＝-(x+1) 2+3D.y＝-(x-1) 2+37、抛物线y=3x2， y=﹣3x2， y=﹣3x2+3共有的性质是（）A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x值的增大而增大8、关于函数的说法不正确的是（）A.当m+n=0时，图象不经过第三、四象限B.当m-n=0时，函数的最小值为0 C.若m＞n，x1=m，x2=n所对应的函数值为y1， y2，则y1＞y2D.若，则9、在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式是（）A. B. C. D.10、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中不正确的是（）A.abc > 0B.2a+b> 0C.b 2-4ac > 0D.a-b+c=011、二次函数的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论：①abc<0；②b2>4ac；③4a+2b+c<0；④2a+b=0..其中正确的结论有：A.4个B.3个C.2个D.1个12、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为 ( )A.(2，-3)B.(2，1)C.（2 , 3）D.(3，2)13、下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A. B.y=ax 2+bx+c C.y=x 2﹣（x+7）2 D.y=（x+1）（2x﹣1）14、把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（）A.y=3(x-2) 2+1B.y=3(x+2) 2-1C.y=3(x-2) 2-1D.y=3(x+2) 2+115、某抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（）A.y=3x 2﹣6x﹣5B.y=3x 2﹣6x+1C.y=3x 2+6x+1D.y=3x2+6x+5二、填空题(共10题，共计30分)16、抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为________ ．17、已知抛物线y=x2﹣5x+4交x轴于A，B两点，交y轴于C，则△ABC的面积为________．18、抛物线图象如图，下列结论中正确的是________（填序号即可）①；②不等式的解为；③；④.19、当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为________.20、将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________21、将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是________．22、抛物线y＝x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为________.23、若抛物线与轴没有交点，则的取值范围为________．24、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(m，n)，B(6 m，n)，则对称轴是直线________．25、若函数是二次函数，则m的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
北师大版九年级下第二章《二次函数》单元测试含答案
北师大版九年级数学下册第二章单元测试一、 选择题（每小题4分，共10小题，满分40分） 每题有A 、B 、C 、D 四个选项，只有一个是正确的，请把正确的选项填写在题的括号内.1.二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限 2.函数y=k x与y=﹣kx 2+k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.关于二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象，下列说法中错误的是（ ）A ．当x ＜2，y 随x 的增大而减小B ．函数的对称轴是直线x=1C ．函数的开口方向向上 D．函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）4.如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图所示是二次函数y=ax 2﹣x+a 2﹣1的图象，则a 的值是（ ）A．a=﹣1 B．a=12C．a=1 D．a=1或a=﹣16.抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2+bx+c，则b、c的值为（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=27.根据下列表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3 B．x＞5 C．3＜x＜4 D．4＜x＜58.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④D．②③④9.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞510.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且﹣1＜x1＜x2，x3＜﹣1，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）请把正确的答案填写在横线上.11.二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是．12.抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为．13.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．14.如图，抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为该抛物线的对称轴上一点，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D的坐标为．三、解答题（共8小题，满分90分）15.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．16.如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．18.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．19.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．20.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．21.如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（Ⅱ）求△BCD的面积；（Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．22.如图，已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，抛物线y=23x2+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是OC上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作BF⊥BE交y轴与F（1）求b，c的值及D点的坐标；（2）求点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；（3）连接EF，BD，设OE=m，△BEF与△BED的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．23.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=12x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．参考答案及解析1. 【答案】C ．解析：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ．2. 【答案】B ．解析：由解析式y=﹣kx 2+k 可得：抛物线对称轴x=0；A 、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k ＜0，则﹣k ＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y 轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k 的取值相矛盾，故A 错误；B 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B 正确；C 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故C 错误；D 、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则﹣k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故D 错误．故选B ．3. 【答案】A ．解析：∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x ＜1时y 随x 的增大而减小，故B 、C 正确，A 不正确， 令x=0可得y=﹣3，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3），故D 正确，故选A ．4. 【答案】B ．解析：∵a ＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c ＜0，∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，故第四个选项错误．故选B ．5. 【答案】C ．解析：由图象得，此二次函数过原点（0，0），把点（0，0）代入函数解析式得a 2﹣1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a ＞0；所以a=1．故选C ．6. 【答案】B解析：y=x 2﹣2x ﹣3=x 2﹣2x+1﹣4=（x ﹣1）2﹣4，图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x ﹣1+2）2﹣4+2=（x+1）2﹣2=x 2+2x ﹣1，则b=2，c=﹣1，故选B ．7. 【答案】C解析：∵x=3时，y=0.5，即ax 2+bx+c ＞0；x=4时，y=﹣0.5，即ax 2+bx+c ＜0，∴抛物线与x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的一个解x 的范围是3＜x ＜4．故选C ．8. 【答案】A解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣2b a=﹣1， ∴b=2a ＞0，则2a ﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；∵x=2时，y ＞0，∴4a+2b+c ＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y 1）离对称轴的距离与点（3，y 2）离对称轴的距离相等，∴y 1=y 2，所以④不正确．故选A ．9. 【答案】D.解析：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax 2+bx+c ＜0的解集即是y ＜0的解集，∴x ＜﹣1或x ＞5．故选D ．考点：二次函数利用图象.10. 【答案】D ．解析：对称轴为直线x=﹣1，且﹣1＜x 1＜x 2，当x ＞﹣1时，y 2＜y 1，又因为x 3＜﹣1，由一次函数的图象可知，此时点P 3（x 3，y 3）在二次函数图象上方，所以y 2＜y 1＜y 3．故选D ．11. 【答案】5.解析：y=x 2﹣2x+6=x 2﹣2x+1+5=（x ﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．12. 【答案】1.解析：当y=0，则0=x 2﹣5x+6，解得：x1=2，x2=3，故AB的长为：3﹣2=1．13.【答案】0或1①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．14.【答案】（11，﹣.解析：如图所示：∵抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，当x=0时，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，，对称轴x=1，∴BM=3﹣1=2，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，①点D在∠ABC的平分线上时，∵tan∠=∴∠ABC=60°，∴∠ABD=30°，∴∴D（1；②点D 在∠ABE 的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，∴∠ABD=60°，∴∴D （1，﹣.15.【答案】（1）43b c =-⎧⎨=⎩ ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2解析：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0），∴3=16+4093b cb c +⎧⎨=++⎩ ，解得43b c =-⎧⎨=⎩ ；（2）∵该二次函数为y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．16. 【答案】（1）y=﹣x 2﹣4x ；（2）（﹣2，4）、（﹣4）、（﹣2﹣4）． 解析：（1）由已知条件得20(4)4(4)0c a c =⎧⎨⨯--⨯-+=⎩，解得10a c =-⎧⎨=⎩，所以，此二次函数的解析式为y=﹣x 2﹣4x ；（2）∵点A 的坐标为（﹣4，0），∴AO=4，设点P 到x 轴的距离为h ，则S △AOP =12×4h=8，解得h=4，①当点P 在x 轴上方时，﹣x 2﹣4x=4，解得x=﹣2，所以，点P 的坐标为（﹣2，4），②当点P 在x 轴下方时，﹣x 2﹣4x=﹣4，解得x 1=﹣x 2=﹣2﹣所以，点P 的坐标为（﹣4）或（﹣2﹣4），综上所述，点P 的坐标是：（﹣2，4）、（﹣4）、（﹣2﹣4）．17. 【答案】（1）b=2,c=3, y=﹣x 2+2x+3．(2) ﹣1＜x ＜3解析：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x 2+bx+c 中，得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩． ∴y=﹣x 2+2x+3．（2）令y=0，解方程﹣x 2+2x+3=0，得x 1=﹣1，x 2=3，抛物线开口向下，∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0．18. 【答案】（1）M （12，0），P （6，6）；（2）y=16-x 2+2x ；（3）15米． 解析：（1）M （12，0），P （6，6）（2）∵顶点坐标（6，6）∴设y=a （x ﹣6）2+6（a≠0）又∵图象经过（0，0）∴0=a （0﹣6）2+6∴a=16- ∴这条抛物线的函数解析式为y=16-（x ﹣6）2+6，即y=16-x 2+2x ； （3）设A （x ，y ）∴A （x ，16-（x ﹣6）2+6） ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC=16-（x ﹣6）2+6， 根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x ，∴BC=12﹣2x ，即AD=12﹣2x ，∴令L=AB+AD+DC=2[16-（x ﹣6）2+6]+12﹣2x=13-x 2+2x+12=13-（x ﹣3）2+15． ∴当x=3，L 最大值为15∴AB 、AD 、DC 的长度之和最大值为15米．19. 【答案】（1）w=﹣20x 2+100x+6000，x ≤4，且x 为整数；(2) 当定价为57或58元时有最大利润6120元；(3) 售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．解析: （1）w=（20﹣x ）（300+20x ）=﹣20x 2+100x+6000，∵300+20x≤380，∴x≤4，且x 为整数；（2）w=﹣20x 2+100x+6000=﹣20（x ﹣52）2+6125， ∵﹣20（x ﹣52）2≤0，且x≤4的整数， ∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，即当定价为57或58元时有最大利润6120元；（3）根据题意得：﹣20（x ﹣52）2+6125≥6000， 解得：0≤x≤5．又∵x≤4，∴0≤x≤4答：售价不低于56元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．20. 【答案】（1）y=x 2﹣2x ﹣3．（2）对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b ，﹣1×3=c ， ∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x 2﹣2x ﹣3．（2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8， ∴12AB•|y P |=8， ∵AB=3+1=4，∴|y P |=4，∴y P =±4， 把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1± 把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（4）或（1﹣4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8．21. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.解析：（Ⅰ）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得： 428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点D （1，9）；（Ⅱ）如图1，∵抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8，∴C（0，8），∵B（4，0），∴直线BC解析式为y=﹣2x+8，∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=12×3×1+12×3×3=6．（Ⅲ）如图2，∵C（0，8），D（1，9）；代入直线解析式y=kx+b，∴89 bk b=⎧⎨+=⎩，解得：18 kb=⎧⎨=⎩，∴y=x+8，∴E点坐标为：（﹣8，0），∵B（4，0），∴x=4时，y=4+8=12∴F点坐标为：（4，12），设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；当x=﹣8时，y=m﹣72，当x=4时，y=m，∴m﹣72≤0 或m≤12，∴0＜m≤72，∴抛物线最多向上平移72个单位．22.【答案】（1）b=43，c=2；D点坐标为（3，0）．（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；（3）当m=2S最小为0．解析：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=23-x2+bx+c得28223cb c=⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得b=43，c=2；∴y=23-x2+43x+2；令23-x2+43x+2=0解得x1=﹣1，x2=3∴D点坐标为（3，0）．（2）点E在OC上运动时，四边形OEBF的面积不变；∵四边形OABC是正方形∴AB=BC，∠BCE=∠BAE=∠ABC=90°又∵BF⊥BE∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠CBE∴△ABF≌△BCE∴四边形OEBF的面积始终等于正方形OABC的面积．（3）如图，可以看出S△BEF=S梯形OCBF﹣S△OEF﹣S△BEC=12（2+2+m）×2﹣12m（2+m）﹣12（2﹣m）×2=﹣12m2+m+2S △BED =12×（3﹣m ）×2 =3﹣m 两个三角形的面积差最小为0，即3﹣m=﹣12m 2+m+， 解得∵E 是OC 上的动点∴m=2当m=2S 最小为0．23. 【答案】（1）最高点P 的坐标为（2，4）；（2）点A 的坐标为（72，74）；（3）214；（4）点M 的坐标为（32，154）． 解析：（1）由题意得，y=﹣x 2+4x=﹣（x ﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P 的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：2124y x y x x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得：00x y =⎧⎨=⎩，或7274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故可得点A 的坐标为（72，74）； （3）如图，作PQ ⊥x 轴于点Q ，AB ⊥x 轴于点B ．S △POA =S △POQ +S △梯形PQBA ﹣S △BOA =12×2×4+12×（74+4）×（72﹣2）﹣12×72×74=4+6916﹣4916=214； （4）过P 作OA 的平行线，交抛物线于点M ，连结OM 、AM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的解析式为y=12x+b ， ∵P 的坐标为（2，4）， ∴4=12×2+b ，解得b=3， ∴直线PM 的解析式为y=12x+3． 由21324y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，32154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M 的坐标为（32，154）．。
北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题(有答案)
第二章 二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x2 D ．y ＝(x －1)2－x 22．对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A ．10 B ．4 C ．5 D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z－3A．②④B．①④C．①③D．②③8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C 重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是()图2－Z－4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE ∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .若设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C. 6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C.9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－3 10．[答案] (－1，0) 11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线开口向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H ， ∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6， 由题可知：OH ＝5，CH ＝4， ∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ， ∵顶点为C (0，9)， ∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19，∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)， ∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)． 故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC . ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝12×2×4＝4.15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． (3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600， －10(x －50)2＝－250， x －50＝±5， x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10. ①当P A AB ＝AQOA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQAB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似．(2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ， ∴AP AB ＝PDOB ， 即10－3t 10＝PD6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)． 把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x －4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝3 2，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴直线x ＝2对称， ∴P A ＝PB ，∴P A ＋PC ＝PB ＋PC ，此时PB ＋PC ＝BC ，∴当点P 在对称轴上运动时，P A ＋PC 的最小值等于BC ， ∴△APC 的周长的最小值＝AC ＋P A ＋PC ＝BC ＋AC ＝3 2＋10. (3)(2，－1)。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1． 下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2． 如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03． 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34． 下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5． 点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746． 函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7． 如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48． 如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10． 若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11． 如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 ．12． 已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13． 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14． 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。
九年级下册数学单元测试卷-第二章 二次函数-北师大版(含答案)
九年级下册数学单元测试卷-第二章二次函数-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、将抛物线y=x2﹣4x﹣3向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A.y=（x+1）2﹣2B.y=（x﹣5）2﹣2C.y=（x﹣5）2﹣12 D.y=（x+1）2﹣122、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、若是二次函数，则m的值为（）A.2B.-2C.2或-2D.04、二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：给出了结论：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12⑴二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；⑵当﹣＜x＜2时，y＜0；⑶二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A.3B.2C.1D.05、下列函数中不是二次函数的有（）A.y=x（x﹣1）B.y=C.y=﹣x 2D.y=（x+4）2﹣x 26、如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A. B. C.D.7、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（）A.y=﹣x 2﹣4x﹣3B.y=﹣x 2﹣4x+3C.y=x 2﹣4x﹣3D.y=﹣x 2+4x﹣38、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤9、对于抛物线y＝﹣，下列说法正确的是（）A.开口向上，顶点坐标（-5，3）B.开口向上，顶点坐标（5，3） C.开口向下，顶点坐标（-5，3） D.开口向下，顶点坐标（5，3）10、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④2a+b=0，正确的结论有（）个A.1B.2C.3D.411、向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a ≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒12、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y…12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …给出以下结论：（1）二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣＜x ＜2时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4时，y1＞y2．上述结论中正确的结论个数为（）A.0B.1C.2D.313、抛物线y=ax2（a＞0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限14、在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表，则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m 1 2 3 4v 2.01 4.9 10.03 17.1A. B. C. D.15、对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下B.对称轴是x＝﹣1C.与x轴有两个交点D.顶点坐标是（1，2）二、填空题(共10题，共计30分)16、设抛物线l：的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线的伴随抛物线的解析式________.17、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1， 0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y=kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1. 其中正确的结论有________（填序号）18、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点.若顶点C到x轴的距离为6，则线段AB的长为________.19、二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：…0 1 2 ………且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③当时，随的增大而增大；④.其中所有正确结论的序号是________.20、已知二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为________.21、已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是________．22、已知非负数a、b、c满足a+b=2，，，则d的取值范围为________．23、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为________．24、如图，在平面直角坐标系中，已知，，，为线段上的动点，以为边向右侧作正方形，连接交于点，则的最大值________.25、抛物线y=-x2+15的顶点坐标是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3,3)．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m)，求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．28、抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1， 0）和（x2， 0），与y 轴交于点A，点E为抛物线顶点．（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E，点A的坐标；（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．29、如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？30、某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图:(1)如图建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，求该抛物线的解析式；(2)若需要开一个截面为矩形的门（如图所示），已知门的高度为1．60米，那么门的宽度最大是多少米（不考虑材料厚度）?（结果保留根号）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、B3、B4、B5、D6、C7、D8、D9、D10、B11、B12、B13、A14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、30、。
北师大版初中九年级数学下册第二章单元测试卷含答案解析(4套)
二次函数单元测试题一、选择题：（每题3，共30分） 1.抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ). A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ). A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+3、抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（ ） A ．直线x=－1 B ．直线x=1 C ．直线y=－1 D ．直线y=14、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35、若,,,,,123351A yB yC y 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是（ ）A.123y y y <<B.213y y y <<C.312y y y <<D.132y y y <<6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）OxyOxyOxyOxy(A)(B)(C)(D)7.〈常州〉二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y 12 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 （1）二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值，最小值为－3；（2）当－12＜x ＜2时，y ＜0；（3）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧.则其中正确结论的个数是（ ）A.3B.2C.1D.08.〈南宁〉已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的是（ ）A.图象关于直线x =1对称B.函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个根D.当x ＜1时，y 随x 的增大而增大9、二次函数与882+-=x kx y 的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.2<kB.02≠<k k 且C.2≤kD.02≠≤k k 且10. 如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠B =60°，M 为AB 的中点．动点P 在菱形的边上从点B 出发，沿B →C →D 的方向运动，到达点D 时停止．连接MP ，设点P 运动的路程为x ，MP 2 ＝y ，则表示y 与x 的函数关系的图象大致为（ ）.二、填空题：（每题3，共30分）11.已知函数()x x m y m 3112+-=+，当m = 时，它是二次函数.12、抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。
2018-2019学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试题及答案
九年级下册（北师大版）数学第2章二次函数单元检测试卷一．选择题（共10小题）1．抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．x取m﹣1时的函数值小于0B．x取m﹣1时的函数值大于0C．x取m﹣1时的函数值等于0D．x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定4．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）5．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（）A．2B．3C．5D． +6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b ＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤7．下列各点中，抛物线y=x2﹣4x﹣4经过的点是（）A．（0，4）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣1）D．（2，8）8．将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中正确的结论有（）A．①③B．②③C．①④D．②④二．填空题（共6小题）11．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是．12．若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（3，y3）为二次函数y=﹣x 2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（用“＜”连接）．13．函数y=﹣3（x+2）2的开口，对称轴是，顶点坐标为．14．已知抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b，在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，函数有最大值m，则m的最小值是15．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为．16．对于二次函数y=5x 2+bx+c ，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的 ．三．解答题（共9小题）17．一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：﹣（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m 的值；（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围．18．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y （个）与每个商品的售价x （元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）设商场每天获得的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数表达式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？19．如图，点P 为抛物线y=x 2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．21．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．22．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．23．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2米，此时水位上升了多少米？24．如图，在直角坐标系中，0是坐标原点，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线y=ax2+2ax+3（a≠0）经过A，B两点．P是线段AO上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．（1）求a及AB的长．（2）连结PB，若tan∠ABP=，求点P的坐标．（3）连结BD，以BD为边作正方形BDEF，是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）连结OC，若S△BDC：S△OBC=1：2，将线段BD绕点D按顺时针方向旋转，得到DB′．则在旋转的过程中，当点A，B到直线DB′的距离和最大时，请直接写出点B′的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：由，消去y得到：2x2+x﹣4=0，∵△=1﹣（﹣32）=33＞0，∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点，故选：C．2．【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选：C．3．【解答】解：由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=，设抛物线与x轴交于点A、B．∴AB＜1，∵x取m时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m﹣1在点A的左侧，x=m﹣1时，y＞0，故选：B．4．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．5．【解答】解：作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2），∴点C′的纵坐标为2，2=﹣x2+x+2，解得，x1=0，x2=3，则点C′的横坐标为3，﹣x2+x+2=0，x1=﹣1，x2=4，则点A的坐标为（﹣1，0），∴AC′==2，AC==，∴△APC的周长的最小值是3，故选：B．6．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．7．【解答】解：当x=0时，y=x2﹣4x﹣4=﹣4；当x=1时，y=x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣1时，y=x2﹣4x﹣4=1；当x=2时，y=x2﹣4x﹣4=﹣8，所以点（1，﹣7）在抛物线y=x2﹣4x﹣4上．故选：B．8．【解答】解：当k＞0时，函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，当k＜0时，函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，故选：C．9．【解答】解：A．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项A正确；B．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项B错误；C．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；[来源:学&科&网Z&X&X&K]②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项C错误；D．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项D错误．故选：A．10．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错误；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；当x＜0时，y有时大于0，有时等于0，有时小于0，∴③错误；∵抛物线与x轴的两个交点都在点（﹣1，0）的右边，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根，所以④正确．故选：D．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：∵y=3（x﹣1）2+k，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，A（﹣4，y3）关于直线x=﹣2的对称点是（6，y3），∵2＜3＜6，∴y1＜y2＜y3，故答案为y1＜y2＜y3．12．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，抛物线开口向下，当B（﹣，y 2）到直线x=﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x=﹣2的距离最大，所以y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．13．【解答】解：函数y=﹣3（x+2）2的开口向下，对称轴是直线x=﹣2，顶点坐标是（﹣2，0），故答案为：向下，直线x=﹣2，（﹣2，0）．14．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b，∴开口向下，对称轴为x=当﹣1≤≤2，则﹣2≤b≤4，函数最大值m为≥1当≤﹣1，则b≤﹣2，当x=﹣1时，函数最大值m为﹣1﹣b+2﹣b=1﹣2b≥5当≥2，则b≥4当x=2时，函数最大值m为﹣4+2b+2﹣b=b﹣2≥2∴m的最小值为1故答案为115．【解答】解：∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，∴OA=1，OB=4，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵CO⊥AB，∴∠ABC+∠BCO=90°，∴∠CAB=∠BCO，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴=，即=，解得OC=2，∴点C 的坐标为（0，2），∵A 、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，∴设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣4），把点C 的坐标代入得，a （0+1）（0﹣4）=2，解得a=﹣，∴y=﹣（x+1）（x ﹣4）=﹣（x 2﹣3x ﹣4）=﹣（x ﹣）2+，∴此抛物线顶点的坐标为（，）．故答案为：（，）．16．【解答】解：若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x ﹣1）2+3，当x=﹣1时，y=23，此时丙错误；当x=2时，y=8，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误．故答案为丙．三．解答题（共9小题）17．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以，设这个二次函数的表达式为y=a （x+1）2+2，∵图象过点（1，0），∴a （1+1）2+2=0，∴a=﹣，∴这个二次函数的表达式为y=﹣（x+1）2+2；（2）x=2时，m=﹣（2+1）2+2=﹣；（3）函数图象如图所示；（4）y＜0时，x＜﹣3或x＞1．18．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，则，解得，即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+160；（2）由题意可得，w=（x﹣20）（﹣2x+160）=﹣2x2+200x﹣3200，即w与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+200x﹣3200；（3）∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2（x﹣50）2+1800，20≤x≤60，∴当20≤x≤50时，w随x的增大而增大；当50≤x≤60时，w随x的增大而减小；当x=50时，w取得最大值，此时w=1800元即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800．19．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a， a2）∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．20．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），[来源:学§科§网]∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．21．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（1，0），（0，﹣）代入抛物线解析式得∴解得：a=，b=1，c=﹣∴抛物线解析式：y=x2+x﹣（2）存在．∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2∴P点坐标为（﹣1，﹣2）∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），∴a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF，AB=PF=4∵点P坐标（﹣1，﹣2）∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）∴平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）∴∴x=﹣1，y=2∴点F（﹣1，2）∴平行四边形的面积=×4×4=8综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8．22．【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3∵A、B在y=x+1上∴A（﹣1，0），B（3，4）把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①过点P作PE⊥x轴于点E∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）∴EQ=4﹣3t，PE=t∵∠PQE+∠NQC=90°∠PQE+∠EPQ=90°∴∠EPQ=∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=2（）2=20t2﹣48t+32当t=时，S最小=20×（）2﹣48×+32=②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t∴N点坐标为（3，8﹣6t）由矩形对角线互相平分∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）当M在抛物线上时8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得t=当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2当N在抛物线上时，8﹣6t=4∴t=综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．23．【解答】解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3），设y=kx2（k＜0），将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣，∴y=﹣x2，将x=代入，得：y=﹣2，∴上升了1米．24．【解答】解：（1）把点A（﹣4，0代入抛物线y=ax2+2ax+3方程解得：a=﹣，二次函数的表达式为：y=﹣x2﹣x+3，则B坐标为（0，3），∵OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，则二次函数表达式为：y=﹣x2﹣x+3，对称轴为x=﹣1，答：a=﹣，AB的长为5；（2）如上图，连接BP，作AH⊥PH于H，在Rt△ABH中，AB=5，tan∠ABP=，可得：AH=，BH=2，设：点P的坐标为（x，0），在Rt△APH中，AP=﹣x，AH=，PH=BH﹣BP=2﹣，由勾股定理得：（﹣x）2=5+[2﹣]2，解得：x=10﹣14，答：点P的坐标（10﹣14，0）；（3）如上图所示，正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上，从E点作EN⊥PD，作DH⊥y轴，则Rt△BHD≌Rt△END（AAS），∴NH=BH，设P点坐标为（a，0），则D、E点的坐标分别为（a，﹣a2﹣a+3）、（﹣1，y），BH=3﹣（﹣a2﹣a+3）=HN=﹣1﹣a，解得：x=﹣（舍去），x=﹣4，答：E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在，点P的坐标为（﹣4，0）；（4）当BD旋转到如图DB′的位置时，点A，B到直线DB′的距离和最大，此时AB⊥B′D，过点B′向PD和x轴作垂线，即BN⊥DP，BM⊥x轴，由A、B两点坐标可得AB的直线方程为：y=x+3，则tan∠BAO=，设P点坐标为（m，0），则C（m， m+3），∵△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形，而1：2若S△BDC：S△OBC=1：2，∴CD=OB=，则D点y坐标=C点y坐标+=m+，即：D（m， m+），把点D的坐标（m， m+）代入二次函数方程y=﹣x2﹣x+3，解得：m=﹣2，把m值代入，即D点坐标为：D（﹣2，3），P（﹣2，0），∵B（0，3）则BD∥x轴，∴BD⊥DC，∵BD⊥DC，AB⊥B′D，∴∠BDP=∠BAO=∠BAO，∴tan∠B′DP=tan∠BAO=，在Rt△B′MD中，B′D=BD=2，tan∠B′DP=，则：B′M=，DM=，则：B′的横坐标为=x P﹣B′M=﹣2+=﹣，B′的纵坐标为=y D﹣DM=3﹣=；答：当点A，B到直线DB′的距离和最大时点B′的坐标为（﹣，）．。