云南师大附中2020届高考适应性月考卷(六)文科数学及参考答案
云南师范大学附属中学2020届高三高考适应性月考(一)数学(文)试题
文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,|A x y y x ==，(){}22,|1B x y xy =+=，则集合A B I 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:cos sin ixe x i x =+，根据该三角方程，计算1ie π+的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．i3.移动支付、商铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调在了100位学生，其中使用过移动支付或共享单年的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.84.已知x ，y 满足约束条件0,230,0,x x y y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩的最小值为（ ）A．5 B．5CD5.函数()cos |ln |f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60 C ．80 D ．1007.函数sin y x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）A ．140B ．204C ．245D ．3009.已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍；再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()||g x 的周期可以为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π10.若函数()2f x ax =与函数()lng x x =存在公共点(),P m n ，并且在(),P m n 处具有公共切线，则实数a =（ ）A ．1e B ．2e C ．12e D ．32e11.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k (0k >，1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ， B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =22PA PB +的最小值为（ ）A ．36-B ．48-C ．D ．12.四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=︒，AB =BC 翻折后，二面角A BC D --的余弦值为13-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）A B C D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a r ，b r 为单位向量，且,3a b π<>=r r ，则|2|a b +=r r ．14.等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S = ．15.设1F ，2F 为椭圆C ：2214x y +=的两个焦点，M 为C 上一点，且122F MF π∠=，则12F MF ∆的面积为 ．16.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111A B C D 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_ ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某调研机构，对本地[]22, 50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值、中位数;(2)若在“低碳族”且年龄在[)30, 34，[)34, 38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值.19. 如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ∆沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙. （1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积.20. 已知()xf x e =，()lng x x =.（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；（2）若点A 为函数()f x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A ，B 两点之间距离的最小值.21.已知抛物线E ：22y px =（0p >），过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足124y y =-.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA ，CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），曲线2C 的普通方程为2214x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l ：0θθ=（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，射线2l ：02πθθ=+（0(0,)2πθ∈）依次与曲线1C 和曲线2C 交于C ，D 两点，求AOCBODS S ∆∆的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||1|f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤，求实数a 的值. （2）当2a =时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBCAB 6-10: DBBBC 11、12：AB 二、填空题xOy14.15 15.1 16.4π 三、解答题17.解：（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为240.04 + 280.08+ 320.16 + 360.44 +400.16+440.1+480.02 =35.9236x ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈，中位数为()0.50.040.080.160.113436---÷+=.（2）年龄段[30,34)，[34,38)的频率分别为0.0440.16⨯=，0.1140.44⨯=， 因为0.16:0.444:11=，所以人数分别为8人，22人. 18.解：（1）由正弦定理及sin cos()6b A a B π=-，得sin sin sin cos()6B A A B π=-，由()0,A π∈，所以sin 0A ≠，则1sin cos()sin 622B B B B π=-=+，所以tan B = 又()0,B π∈， 所以3B π=.（2）如图，由1sin 24ABC S ac B ac ∆==， 又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥u u u r u u u r ， 则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，所以ABC ∆的面积的最大值为3.19.（1）证明：如图，∵DE EC ⊥，DE AE ⊥，∵DE ⊥平面ABCE ， 又∵BC ⊂平面ABCE ， ∴DE BC ⊥，又∵BC EC ⊥，DE EC E =I ， ∴BC ⊥平面DEC（2）解：11123323E FBCF BCE BCE BCE V V S h S DE --∆∆==⋅=⋅=. 20.（1）证明：由题意知()ln xh x e x =-，所以()1'xh x e x=-， 由xy e =单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减， 所以()'h x 在()0,+∞上单调递增，又1'202h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()'110h e =->，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0h x =， 当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，所以()h x 有唯一的极值点.（2）解：由()xf x e =，则()f x 在()0,1处的切线为1y x =+，又()ln g x x =，则()g x 在点()1,0处的切线为1y x =-.由于()xf x e =与()lng x x =互为反函数，即函数图象关于y x =对称，如图，故而A ，B 两点间的距离即为()0,1与()1,0之间的距离， 所以A ，B.21.解：（1）因为直线过焦点，所以有2124y y p =-=-， 解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）由（1）知抛物线的焦点坐标为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程有2440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-， 则有1111123y y k x my ==++，2222223y y k x my ==++， 所以1113m k y =+，2213m k y =+， 因此22222221212121211331111269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121222122212122484269269416y y y y m y y mm m m m y y y y +-++=+⋅+⋅=+⋅+⋅-2952m =+，所以当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92. 22.解：（1）由曲线1C 的参数方程为3sin ,3cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数），所以曲线1C 的普通方程为229x y +=， 由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=；又曲线2C 的普通方程为2214x y +=，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩则曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+. （2）如图，由题意知1922AOC S OA OC ∆=⋅=， 12BOD S OB OD ∆=⋅222200001442cos 4sin cos 4sin 22ππθθθθ=⋅⋅+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22220008cos 4sin sin 4cos θθθθ=++，所以()()222220000995225cos 4sin sin 4cos 1616264AOC BOD S S θθθθ∆∆⎛⎫=++≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04πθ=时，不等式取等号，所以AOC BOD S S ∆∆的最大值为22564.23.解：（1）由绝对值的几何意义知，()|||1|f x x a x =-+-表示在数轴上，动点x 到定点a 和1的距离之和，当且仅当2a =时，()3f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤， 所以2a =.（2）当2a =时，()|2||1||21|1f x x x x x =-+-≥--+=恒成立， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2nt =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为2(,log 3]-∞.。
云南师大附中2020届高考适应性月考卷(三)文数-答案
6．由余弦定理得
1 2
=
16
+
b2
− (5 8b
−
b)2
，∴b
=
3 2
， S△ABC
=
1 2
ab
sin
C
=
33 2
，故选
C．
7．
y
=
sin
ω
x(ω
>
0)
的图象向左平移
π 3
个单位长度后得
y
=
sin
ω
x
+
ωπ 3
，因为图象关于
y
轴
对称，∴ ω π 3
=
π 2
+
kπ
，
k
∈Z
，∴ω
=
3 2
11．∵△NAO ∽△MAF
，∴ | |
ON MF
| |
=
| |
OA | AF |
=
c
a −
a
，又∵△BOH
∽ △BFM
，∴ | OH | FM
| |
=
| |
BO | BF |
= a ， | ON |= 2 | OH | ， a = 2a ，∴c = 3a ，离心率 e = c = 3 ，故选 A．
=
an
1 an+1
=
(2n
1 − 1)(2n
+ 1)
=
1 2
1 2n −1
−
1 2n + 1
，
所以 Tn
=
1 2
1 −
1 3
+
1 3
−
1 5
云南师大附中2020届高三下学期高考适应性月考卷文科数学(七)附答案+详解
云南师大附中2020届高三下学期高考适应性月考卷文科数学（七）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合{}U =甲班全体同学，集合{}A =参加跳高的甲班同学，集合{}B =参加跳远的甲班同学，则()U C A B I 表示的是（ ）A. 既参加跳高又参加跳远的甲班同学B. 既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C. 参加跳高或跳远的甲班同学D. 不同时参加跳高和跳远的甲班同学2. 已知复数1z =-，则28z =（ ）A. 1-B. 1--C. 1D. 1-3. 已知平面向量a r ，b r ，命题“2a b =r r ”是“22a b a b +=-r r r r ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A. 36B. 16C. 11D. 145. 一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ）A. 甲同学三个科目都达到优秀B. 乙同学只有一个科目达到优秀C. 丙同学只有一个科目达到优秀D. 三位同学都达到优秀的科目是数学6. 朱世杰是元代著名的数学家，有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为：“今有沈香立圆球一只，径十寸，今从顶截周八寸四分，问厚几何？”大意为现有一个直径为10的球，从上面截一小部分，截面圆周长为8.4，问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为（ ）（注：24.823.04=）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.87. 函数()25x x x f x e e-=+的图象大致为（ ） A. B. C . D.8. 已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 在正四面体A BCD -中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则下列命题不正确的是（ ）A. EF AB ⊥B. EF CD ⊥C. EF 与AC 所成角为4πD. EF 与BD 所成角为3π 10. 如图，已知在算法中“\”和“mod ”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”（即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495）.小明输入325x =，则输出的i =（ ）A. 3B. 4C. 5D. 611. 已知函数()2cos f x x x =-，若15log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，315c f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎪，则（ ） A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>12. 双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A. 90,77⎛± ⎝⎭B. 135,77⎛± ⎝⎭。
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(五)数学(文)试题(解析版)
2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五）数学（文）试题、单选题1 •已知集合A {x|x2 1 20} , B {x| x 2x 3 0}.则AI BA. { 1,}B. {1}D. [ 1,3]C. [ 1,1]【答案】B【解析】先计算得到A1,1 ,B {x| 1 x 3}，再计算A B得到答案.【详解】A 1,1 ,B {x| 1 x 3}, A B 1故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题•2. 、3si n15 sin 75 ( )A.B. 12C.22【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案【详解】』3si n15 sin 75 、3si n15 cos15 2si n 15 30 、2故选：C【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力i uuu uuu3•设复数Z1 , Z2 引,z（,Z2在复平面内所对应的向量分别为OP , OQ （O1 iuuu UULTuuu i i uuur【解析】化简得到OP ，— ,OQ2 21 1 uuu uuur，—，再计算OP OQ 得到答案•2 2【详解】故选：B【点睛】 本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键 4•已知数列｛a n ｝为等差数列，S n 为前n 项和，若a 2 4 ,8，则So （）A . 125B . 115C. 105D. 95【答案】Da 2 a 4 2a 1 4d4【解根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案a 5a 1 4d 8【详解】a 2a 42a 1 4d 4,4,S 10 10,10 9 3 954a 5 a 1 4d 8d 3,2故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键5•如图，在圆 O 的圆心O 处有一个通信基站， 2,假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常） ，若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）A .B .C. D.【答案】BZ i1 i亍 Z 2 Z i i1 i uuu ,OP21 1 murOQ 2 2 1 1 uuu uiurOP OQ 0 2 2B.-【答案】【解析】【详解】sin 2 2 sin 2D.2设该圆的半径为R计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案设该圆的半径为R则圆的面积是n R2,S阴影S扇形OABS VAOB 1 2?R221si n2?R22R21 1si n22 ，故P2n故选:【点睛】本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键6 .函数f(x) sin(e x e x)的图象大致为( )【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点C 10 f 0 sin2 1，且f x f x ，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键 •7 .在四边形ABCD 中，已知AB 3 , BC 4 , CD 5 , AD 6 , B 60，则四 边形ABCD 的面积为( )A . 6 2.3B . 9 3、3 C. 9 D. 8/3【答案】B一4 3 【解析】由余弦定理可求得 AC 、13，进一步求得cos D sin D —,再利用 55面积公式计算得到答案. 【详解】2 5 2故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力8.已知直线Ax By C 0与圆G x 2 y 2 4x 0相交于A, B 两点，且三角形ABC1，为直角三角形，贝U 代B 中点M 的轨迹方程为()A . (x 2)2 (y 1)2 1B . (x1)2 (y 1)222 2 2 2C. (x 1) y1D. (x2)y 2【答案】D【解析】根据题意得到 MC 1 J2, M 的轨迹是以C 为圆心，半径为42的圆，得到答ABC 中，由余弦定理可得 AC 2 BC 2 BA 2 2BC BA cos B 得到 AC .13 , ADC 中，由余弦定理得到 AC 2DC 2 DA 22DC DA cos D 得到43cos D —, sin D - 5 5S 1 5 6 3- 3 4 sin609 3、3案•因为VABC i 为直角三角形，且AC i BC i ，所以AB 2 2, MC i .2，所以M 的轨 迹是以C 为圆心，半径为罷的圆 故选：D 【点睛】本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到MC 1 ,2是解题的关键C.—e【答案】A【解析】直接代入计算得到答案【详解】In2In1 Q In2 1, f In2 e e 2, f 12故选：A 【点睛】本题考查了分段函数的计算，属于简单题 2倍(纵坐标不变)，再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为g(x)，若函数的图象在P , Q 两处的切线都与x 轴平行，则|PQ|的最小值为( A .后 B . 4C. 4D. 2躬【答案】 B【解析】 先计算得到g x. n n 12sin 一 x 一 -，画出函数图像，计算PQ 1145,2 2 3PQ 24得到答案.9 •已知函数f(x)xe ,xx ,X e，则 f (In 2)1f(1)A .e 2 2e2eD. e 2f 1/?L -22e10.已知函数f(x) 2sin( x 丄)，将yf(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的n n 1根据变换得到：g x 2sin x，图象如图:故选：B【点睛】 本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力• 11.如图，已知BD 是圆0的直径，A , C 在圆上且分别在 BD 的两侧，其中BD 2 ,AB CD .现将其沿BD 折起使得二面角 A BD C 为直二面角，则下列说法不正确 的是（ ） A. A , B , C , D 在同一个球面上1B. 当AC BD 时，三棱锥A BCD 的体积为— 3C. AB 与CD 是异面直线且不垂直D.存在一个位置，使得平面 ACD 平面ABC【答案】D【解析】 依次判断每个选项的正误： OA OB OC OD R ，所以A 正确；当AC BD , A , C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明 AB 与CD不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。
云南师大附中2020届高考适应性月考卷及其答案(理数)
0
.
3 1 ，
17.（云南师大附中 2020 届高考适应性月考卷（一）理数）某调研机构，对本地 22,50 岁的人群随
机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100 人为“低碳族”，该100 人的年龄情况对应的频率 分布直方图如图. （1）根据频率分布直方图，估计这100 名“低碳族”年龄的平均值、中位数；
NO
2
所以 N 的轨迹是以底面 ABCD 的中心 O 为圆心，以 1 为半径的圆， 2
则 N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 S π ． 4
16.（云南师大附中
2020
届高考适应性月考卷（一）理数）设
F1
,
F2
为椭圆 C
:
x2 4
y2
1 的两个焦
点， M 为 C 上一点，且 △MF1F2 的内心 I 的纵坐标为 2 3 ，则 F1MF2 的余弦值为____________. 答案：0. 解析：（黑龙江七台河）
（2）若在“低碳族”且年龄在 30,34 ，34,38 的两组人群中，用分层抽样的方法抽取 30 人，试估
算每个年龄段应各抽取多少人？
答案：见解析. 解析：（黑龙江七台河）
第一套 - 3
（1）100 位“低碳族”的年龄平均值 x 为 x 24 0.04 28 0.08 32 0.16 36 0.44 40 0.16 44 0.1 48 0.0 2 35.92 36 ，
正切值为 2 ，则点 N 的轨迹围成的封闭图像的面积为
.
答案： π . 4
解析：（湖北十堰）
如图，由题意知，M 在底面 ABCD 内的投影为底面 ABCD 的中心 O ，连接 ON ，
【文数】云南师大附中2020届高考适应性月考试卷及答案(3月)
（舍去），
p
=
3
，故选
C．
9．如图 1 所示，将正四面体 A − BCD 放入正方体中，则正四面体的每一
条棱都是正方体的面对角线， E，F 则分别是上下底面的中心．由图
中容易看出，EF ⊥ AB 和 EF ⊥ CD 显然成立，且 EF 与 AC，BD 所成
角都应该为 π ，故不正确的选项为 D，故选 D．
单调性即可． f ′(x) = 2x + sin x ，当 x ∈ (0，π) 时，易得 f ′(x) > 0 ，故 f (x) 在 x ∈ (0，π) 上
单调递增，
a=
f (log1 3) =
5
f (log5 3)，b =
f (log3 15) =
f (log3 5)
，
1 5
3
=
0.008
<
log5
5
< log5 3 < 1 < log3 5 <
π ，由函数单调性可知
f
1 5
3
<
f (log5 3) <
f
(log3 5) ，即 c <
a<b，
故选 B．
12．设由船 P
到
B
台和到
A 台的距离差确定的双曲线方程为
x2 a2
−
y2 b2
= 1(x ≥ a) ，由于船 P 到
B
台和到 A 台的距离差为 30 海里，故 a = 15 ，又 c = 17 ，故 b = 8 ，故由船 P 到 B 台和到 A 台
4
图1
10．先读懂程序：输入任意一个无重复数字的三位数，将其个位，十位，百位重新排列，组
2020届云南师大附中高考适应性月考数学(理)试题Word版含答案
2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{1,}A y y x x R ==+∈，集合2{1,}B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．{(0,1)}B ．{1}C ．φD ．{0} 2. 已知复数11iz i+=-，则z =（ ） A ．2 BC ．4 D3.已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a =，1b =，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D 4.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos 2y x = C. 2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2813a a +=，735S =，则8a =（ ） A ．8 B ．9 C.10 D ．116.已知点(,)P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．17.从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此得出a 的值为（ ） A ．43.6 B ．-43.6 C.33.6 D ．-33.68.若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ） A ．3224- B ．3222- C. 3222+ D ．3224+ 9.函数()sin lg f x x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．510.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形 C.直角三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知正三棱锥S ABC -及其正视图如图 所示，则其外接球的半径为（ ）A ．33 B ．433 C. 536 D ．73612.定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，32()ln(1)xf x e x x =+++，且()()f x t f x +>在(1,)x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程(21)f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ） A ．有两个 B ．有一个 C.没有 D ．上述情况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 121()x x+展开式中常数项是 ．14.执行如图所示的程序框图后，输出的结果是 ．（结果用分数表示）15.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF =，则双曲线离心率的值是 ．16.设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点，H 是ABC ∆的三边中线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AH AO •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，123n n a a +=+（*n N ∈）. （1）求证：数列{3}n a +是等比数列；（2）若{}n b 满足(21)(3)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.甲 乙（1）分别求出甲乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪一个小组的成绩更稳定：（２）从甲组成绩不低于60分的同学中，任意抽取3名同学，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[60,70)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1AC 与1A D 的中点，且1MN =. （1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求二面角1A AC D --的平面角的正弦值.20. 已知椭圆:C 22221x y a b+=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B 的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++（1）若函数()f x 在1[,)2+∞上单调递增，求b 的取值范围； （2）求证：当1n ≥时，5ln ln(1)ln 24n n -+<-请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x ty t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程； （2）求11PA PB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象； （2）若不等式2122x x a a ++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.2020届云南师大附中高考适应性月考数学（理）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．由三视图知：三棱锥S ABC-是底面边长为的正三棱锥，设其外接球的半径为R，则有：22)4R R=-+，解得：R=，故选D．12．由题意知：32()e ln(1)xf x x x=+++在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x+>在(1)x∈-+∞，上恒成立，必有2t≥，则(21)f x t+=的根有2个，故选A．13．36122112121C Crrr r rrT xx--+⎛⎫==⎪⎝⎭，3602r-=，解得：4r=，代入得常数项为495．14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc bFM MNa a a==-，，由||||FM MN=知：22bc ba a=，2c b e==∴，∴．16．2211()3322b cAH AO AB AC AO⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又22240b b c-+=，代入得：AH AO=2221421(4)3226b b bb b⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，又22240c b b=-+>，所以02b<<，代入得AH AO的取值范围为23⎛⎫⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为123n n a a +=+，所以132(3)n n a a ++=+， 而11a =，故数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得数列{3}n a +是首项为4，公比为2的等比数列，即132n n a ++=，因此123n n a +=-． 所以1(21)2n n b n +=-，2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲， 5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成绩更稳定．（Ⅱ）由题意知ξ服从参数为3，3，7的超几何分布，即(337)H ξ，，，ξ的取值可能为：0，1，2，3， 3437C 4(0)C 35P ξ===，214337C C 18(1)C 35P ξ===，124337C C 12(2)C 35P ξ===，3337C 1(3)C 35P ξ===，ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P43518351235135ξ的数学期望：339()77E ξ⨯==． 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为11M N A C A D ，分别为，的中点，所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，因为CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角， 即1CA D ∠=30︒，又因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角， 即145A CA ∠=︒，所以1MN =，2CD =，14A C =，1A A =AC =，如图2，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，1(22C ，，，1(00A ，，，C(2，2，0)，B(2，0，0)， 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，∴BD 是平面1A AC 的法向量，(220)BD =-，，. 设平面1A CD 的法向量为()n x y z =，，，由(200)DC =，，，1(02DA =-，，，所以有202220x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， ∴02x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，取z=1，得平面1A CD 的一个法向量为(021)n =，，. 设二面角1A A C D --的大小为α，则223|cos |3223α==.∴36sin =α．20．解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，22c e a =解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，， 1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有1OMNS t ==△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △．21．（Ⅰ）解：22()21b x x bf x x x x ++'=++=，当0b ≥时，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上()0f x '≥恒成立，所以()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增成立， 当0b <时，由220x x b ++=，解得x =易知，()f x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，12≤，解得1b -≥． 综上所述，1b -≥．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当1b =-时，()f x 在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， 对任意1n ≥，有112n n +≥成立，所以112n f f n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≥，代入()f x 有23ln ln 21114n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭≥，整理得：2223ln 2ln (1)41n n n n n +⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，， 代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，，所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒 成立，有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。
云南师大附中2022届高考适应性月考卷(一)数学(文)试题 Word版含答案
云南师大附中2022届高考适应性月考（一）文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{1,}A y y x x R==+∈，集合2{1,}B y y x x R==-+∈，则A B=（）A．{(0,1)}B．{1}C．φD．{0}2. 已知复数11izi+=-，则z=（）A．2 B．2C．3D．13. 已知平面对量,a b的夹角为045，(1,1)a=，1b=，则a b+=（）A．2 B．3 C．4 D．54. 将函数()sin(2)3f x xπ=+的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）A．sin2y x=B．cos2y x= C.2sin(2)3y xπ=+D．sin(2)6y xπ=-5. 等差数列{}na的前n项和为nS，且2813a a+=，735S=，则8a=（）A．8 B．9 C.10 D．116. 已知点(,)P x y在不等式组2020x yx yy-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域上运动，则z x y=+的最大值是（）A．4 B．3 C.2 D．17. 从某社区随机选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：身高x（cm）155 160 165 170 175 体重y（kg）50 52 55 58 62依据上表可得回归直线方程0.6y x a=+，据此得出a的值为（）A．43.6 B．-43.6 C.33.6 D．-33.68. 若直线20ax by+-=（0,0a b>>）始终平分圆22222x y x y+--=的周长，则112a b+的最小值为（）A．3224-B．3222-C.3222+D．3224+9. 函数()sin lgf x x x=-的零点个数是（）A．2 B．3 C.4 D．510. 已知,,,,,a b c A B C分别是ABC∆的三条边及相对三个角，满足::cos:cos:cosa b c A B C=，则ABC∆的外形是（）A．等腰三角形B．等边三角形 C.直角三角形D．等腰直角三角形11. 已知正三棱锥S ABC-及其正视图如图所示，则其外接球的半径为（）A．33B．433 C.536D．73612. 定义在R上的偶函数()f x，当0x≥时，()xf x e x=+，且()()f x t f x+>在(1,)x∈-+∞上恒成立，则关于x的方程(21)f x t+=的根的个数叙述正确的是（）A．有两个B．有一个 C.没有D．上述状况都有可能第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数log(1)ay x=-（0,1a a>≠）的图象必定经过的点的坐标为．14. 执行如图所示的程序框图后，输出的结果是．（结果用分数表示）15. 已知双曲线22221x ya b-=（0,0a b>>）的右焦点为F，过F作x轴的垂线，与双曲线在第一象限内的交点为M ，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为N ，满足MN MF=，则双曲线离心率的值是 ．16. 设O 是ABC ∆的三边垂直平分线的交点， ,,a b c 分别为角,,A B C 的对应的边，已知22240b b c -+=，则AO BC •的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足28a =，564a =（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 满足(21)n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nS .18. 某班级体育课进行了一次“投篮竞赛”活动，为了了解本次投篮竞赛同学总体状况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示.（1）分别求出甲乙两个小组成果的平均数与方差，并推断哪一个小组的成果更稳定：（２）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90)的概率.19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1A C与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1A C 与1A D 的中点，且1MN =.（1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；（2）求三棱锥A MCD -的体积.20. 已知椭圆:C 22221x y a b +=（0,0a b >>）的两个顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，点P 为椭圆上异于,A B的点，设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，1212k k =-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，设直线l 与x 轴交于点(1,0)D -，与椭圆交于,M N 两点，求OMN ∆的面积的最大值.21. 设函数2()ln f x x x b x =++ ()b R ∈ （1）若1b =-，求过原点与()f x 相切的直线方程； （2）推断()f x 在[1,)+∞上的单调性并证明.请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为：13x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），点(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）分别写出曲线C 在直角坐标系下的标准方程和直线l 在直角坐标系下的一般方程；（2）求11PA PB+的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =++-.（1）请写出函数()f x 在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数()f x 的图象；（2）若不等式2122x x a a++-≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.云南师大附中2022届高考适应性月考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案BDDCDABDCBDA【解析】1．[1)A =+∞，，(1]B =-∞，，故选B ． 2．1ii ||11i z z +===-，故，故选D ．3．222()25+=++=a b a ab b ，所以||5+=a b ，故选D ．4．π6πππ2πsin 2sin 2sin 23633y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−→=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭向左平移个单位，故选C ．5．285213a a a +==，所以5132a =，又17747()7352a a S a +===，所以45a =，32d =， 8a =11，故选D ．6．当22x y ==，时，z 取得最大值4，故选A ．7．由表中数据可得16555.4x y ==，，由于回归直线必过()x y ，，代入回归方程得ˆ43.6a=-,故选B ． 8．直线平分圆周，则直线过圆心(11)，，所以有2a b +=，11111()222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≥2123221224⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅当2b a =时取“=”），故选D ．9．作出sin y x =，|lg |y x =的图象如图1，由图象知有4个零点，故选C ．图110．由正弦定理得：::sin :sin :sin a b c A B C =，又::cos :cos :cos a b c A B C =，所以有tan tan tan A B C ==，即A B C ==，所以ABC △是等边三角形，故选B ．11．由三视图知：三棱锥S ABC -是底面边长为233R ，则有：22(3)4R R =+，解得：73R =，故选D ．12．由题意知：()e xf x x =+在(0)+∞，上单调递增，()()f x t f x +>在(1)x ∈-+∞，上恒成立，必有2t ≥，则(21)f x t +=的根有2个，故选A ．题号131415 16 答案(20)，2945233223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】13．由已知函数log (1)(01)a y x a a =->≠，必过(20)，. 14．该程序执行的是11111111112913248102132481045S ⎛⎫=+++=-+-++-=⎪⨯⨯⨯⎝⎭．15．由已知：22||||b bc b FM MN a a a ==-，，由||||FM MN =知：22bc b a a =，2323c b e ==∴，∴． 16．221()()2AO BC AO AC AB b c =-=-，又22240b b c -+=，代入得AO BC 221322(34)2233b b b ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，又22240c b b =-+>，所以02b <<，代入得AO BC 的取值范围是223⎛⎫- ⎪⎝⎭，．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由28a =，564a =，得36488q ==，所以2q =， 而214a a q ==，故数列{}n a 是首项为4，公比2q =的等比数列，12n n a +=即．（Ⅱ）由（Ⅰ）得1(21)2n n b n +=-，所以有2311232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，① 34221232(21)2n n S n +=⨯+⨯++-⨯，②①−②有 231222(22)(21)2n n n S n ++-=+++--⨯，所以2(23)212n n S n +=-+． 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）5160626371748182688x +++++++==甲，5862646669717381688x +++++++==乙，222222222(5168)(6068)(6268)(6368)(7168)(7468)(8168)(8268)8s -+-+-+-+-+-+-+-=甲103=，222222222(5868)(6268)(6468)(6668)(6968)(7168)(7368)(8168)8s -+-+-+-+-+-+-+-=乙45=，所以乙组的成果更稳定．（Ⅱ）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[7080)，，记为：12A A ，，有2名在[8090，）记为：12B B ，，任取两名同学的基本大事数共6121112212212()()()()()()A A A B A B A B A B B B ，，，，，，，，，，，， 恰好有一名同学的得分在[8090)，的基本大事数共4个：11122122()()()()A B A B A B A B ，，，，，，，， 所以恰好有一名同学的得分在[8090)，的概率为：4263P ==．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中， 由于11M N ACA D ，分别为，的中点， 所以MN 为1A CD △的中位线， 所以MN ∥CD ，又由于CD ⊥平面11A ADD ，所以MN ⊥平面11A ADD ．（Ⅱ）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，由于CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠为1A C 与平面11A ADD 所成的角，即130CA D ∠=︒， 又由于1A A ⊥平面ABCD ，所以1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，即145ACA∠=︒， 所以1MN =，2CD =，14A C =，122A A =22AC =， 所以111222223323AC A MC ACD D D M S h V V --=⨯⨯=⨯==△． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）00()P x y 设，，代入椭圆的方程有：2200221x y a b +=，整理得：2222002()b y x a a =--，又10y k x a=+，20y k x a=-，所以201222012y k k x a ==--，212212b k k a =-=-联立两个方程有，c e a ==解得：． （Ⅱ）由（Ⅰ）知222a b =，又1b =，所以椭圆C 的方程为22121x y +=.设直线l 的方程为：1x my =-，代入椭圆的方程有：22(2)210m y my +--=，设1122()()M x y N x y ，，，，1212222122m y y y y m m -+==++由韦达定理：，，121||||2OMNS OD y y =-===△所以，(1)t t =≥，则有221m t =-，代入上式有OMNS t t ==+△，当且仅当1t =，即0m =时等号成立， 所以OMN △的面积的最大值为．21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设切点坐标为00()x y ，， 则有200000000ln 121y x x x y kx k x x ⎧⎪=+-⎪⎪=⎨⎪⎪=+-⎪⎩，， ，解得：2k =，所以过原点与()f x 相切的直线方程为：2y x =．（Ⅱ）()21b f x x x '=++，当0b ≥时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在[1)+∞，上单调递增；当0b <时，由22()210b x x bf x x x x ++'=++==得：0x =，所以()f x 在0(0)x ，上单减，在0()x +∞，上单增. 当01x ≤，即1时，解得3b -≥，即当30b -<≤时，()f x 在[1)+∞，上单调递增； 当01x >，即1>时，解得3b <-，即当3b <-时，()f x在1⎛ ⎝⎭上单减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单增． 综上所述，当3b -≥时，()f x 在[1)+∞，上单调递增；当3b <-时，()f x 在1⎛ ⎝⎭上单减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单增．22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）曲线C 的标准方程为：22143x y +=， 直线l0y -=．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准方程：112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，，代入椭圆方程得：254120t t +-=，解得12625t t ==-，， 所以12114||11||||||3PA PB t t +=+=．23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）12(1)()3(12)21(2)x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪->⎩，≤≤，，函数的图象如图3所示．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值是min ()3f x =，所以要使不等式2|1||2|2x x a a ++-+≥恒成立， 有232a a +≥，解之得[31]a ∈-，．。
云南师范大学附属中学2020-2021学年高三高考适应性月考卷(九)文数答案
文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCCBAABDBDA【解析】1．{|ln 1}{|e}B x x x x ==≥≥，则())e )2([U U A B =，，故选B ．2．设i()z x y x y =+∈R ，，由23i z z +=+，得3i 3i x y +=+，所以11x y =⎧⎨=⎩，，1111i 1i 22z ==-+，所以复数1z 在复平面内对应的点为1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，故选D ．3．根据平移变换不改变向量的长度和方向，故选C ．4．∵若()f x 是R 上周期为5的奇函数，∴()()f x f x -=-，(5)()f x f x +=，∴(12)(12)f f -=- (2)2f =-=-，(4)(1)(1)1f f f =-=-=-，∴(12)(4)2(1)1f f --=---=-，故选C ．5．对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误；对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C 错误；对于D ，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，故D 错误，故选B ．6．B 选项中，还可以是α与β相交，B 错误；C 选项中，m 和n 还可以是异面直线，C 错误；D 选项中，还可以是l α⊂，D 错误，故选A ．7．设线段1PF 的中点为M ，连接OM ，2PF ．∵线段1PF 的中点M 坐标为(0)b ，，∴点P 在双曲线C 的右支上．如图1所示：∵原点O 为线段12F F 的中点，∴OM212PF ，即212PF F F ⊥，2||2||2PF OM b ==．由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，即1||22PF a b =+，12||2F F c =，在12Rt F F P △中，2221212||||||PF PF F F =+，即222(22)(2)(2)a b b c +=+，整理得2b a =，2ba=，故选A ．8．2π()(sin cos )cos 21sin 2cos 21224f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=- ⎝-⎪⎭，所以()f x 的最小正周期为π，()f x 的最21，C ，A 正确；当3π8x =时，3ππsin 2184⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线3π8x =对称，D 正确；因为π108f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以π8x =不是函数()f x 的零点，B 错误，故选B ．9．函数321()93f x x mx mx =++-在R 上无极值2()2f x x mx m '⇔=-+在R 上无变号零点244001m m m ⇔∆=-⇔≤≤≤，故选D ．10．由题设和抛物线定义知：11111111111||||||||241||||||||2ABB ABA BB A B S BB BF S AA AF AA A B ====△△，设直线AB 的倾斜角为α，则2||1cos AF α=+，2||1cos BF α=-，所以821cos 1cos αα=+-，解得3cos 5α=⇒ 4tan 3α=，故选B ．11．设()ln x f x x=，e x ≥，则2ln 1()0(ln )x f x x -'=≥恒成立，∴函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，(3)b f =，5(5)ln5c f ==，∵e 35<<，∴a b c <<，故选D ． 12．如图2，10个半径为1的小球放进棱长为a 的正四面体ABCD中，成三棱锥形状，有3层，则从上到下每层的小球个数依次为：1，(12)+，(123)++个，当a 取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体EFGH ，则该正四面体的棱长为(31)(11)4-+=，可求得其高为6464EP ==ABCD 的高为46461314AQ AE EP PQ =++=⨯+=+，进而可求得其棱长a 的最小值为46+A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案22(5)(10)81x y ++-=340x y -=226317【解析】13．圆心(36)C -，关于点(12)A -，中心对称点的坐标为(510)C '-，，故所求圆的方程为22(5)(10)81x y ++-=． 14．由题设知△ABC 是直角三角形，则其垂心为直角顶点(00)A ，，其外心为斜边BC 的中点(43)M ，，故其“欧拉线”的方程为340x y -=．15．法一：由三角形的射影定理知：cos cos b c A a C =+，又cos sin b c A a C =+，∴sin C =π2cos tan 1cos 4C C C C ⇒=⇒=⇒= 法二：由正弦定理再结合两角和正弦公式求得图1图22cos C =16．如图3，由入射角等于反射角原理知：分别顺次以正六边形的BC ，1CD ，11D E ，11E F ，11F A 边为对称轴作5次对称变换后可知，小球的运行轨迹即为线段PR ，过R 作直线AB 的垂线RS ，垂足为S ，则由题设易知：63RS =17PS =，故63tan tan RS BPQ PS θ===∠． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）（1）证明：因为11121n n n n a a a n n ++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，*n ∈N ， 所以，112n n a an n +=+，*n ∈N ．又1101a =≠，所以1112n n a n a n++=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为1，公比为12．所以11111122n n n a a n --⎛⎫== ⎪⎝⎭，故12n n n a -=．…………………………………………………（6分）（2）解：∵01221123122222n n n n nS ---=+++++…①，∴23111231222222n n n n nS --=+++++…②， ①、②式错位相减得：12311111111222112222222212nn n n n n nn n n S +-⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++++-=-=-…， ∴11222n n n n S +---=．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C ， 所以1AB C B ⊥．在1BCC △中，1BC =，13BC 12CC =， 所以22211BC BC CC +=，所以1CB C B ⊥． 因为ABBC B =，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1C B ⊥平面ABC ． ……………………………………………………（6分）（2）解：如图4，取11B C 的中点D ，连接ED ， 则11ED A B ∥且11112ED A B ==， ∵11A B ⊥平面11B C CB ， ∴ED ⊥平面11B C CB ，∴ED 是点E 到平面11B C CB 的距离． 由题设及（1）知1190CBC BC E ∠=∠=︒，设点C 到平面1BC E 的距离为d ，又22115C E CD DE =+， 则由等体积法：11C BC E E BCC V V --=，即1151131313232⨯=⨯⨯， 解得25d =，故点C 到平面1BC E 25． ………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人．………………………………………………………（3分）（2）（i ）从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{}C D ，，{C ，E }，{C ，F }， {D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．（ii ）由（i ），不妨设抽出的6名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，则从抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，共4种．所以，事件M 发生的概率为411()11515P M =-=． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：由椭圆定义知：222212332||||(1(1))0(11)0422a MF MF ⎛⎫⎛⎫=+=--+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2a =，又1c =，图3图4∴23b =，因此椭圆方程为22143x y +=． ………………………………（4分）（2）证明：设直线l 的方程为1x my =-，11()A x y ，，22()B x y ，，1(4)N y -，， 由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，整理得：22(43)690m y my +--=，所以122643m y y m +=+①，122943y y m -=+②， 又1(4)N y -，，所以直线BN 的方程为1(4)BN y y k x -=+， 即14BN BN y y k x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭③，又2121212224(1)43BN y y y y y y k x my my ---===+-++， 所以11212121121(3)32BN y y my my y y k y y y y y ++==-+-④， 将①、②式代入④式化简得：132NB y k =-⑤， ⑤代入③化简得直线BN 的方程为52BN y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故直线BN 过定点502D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．…………………………………………………（12分）另法：注意到4x =-是椭圆的准线，可用椭圆第二定义再结合平面几何知识能比较简洁地证明直线BN 过线段1GF 的中点502D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，其中G 为准线4x =-与x 轴的交点．21．（本小题满分12分）（1）证明：∵3()sin 6x f x x x =-+，∴2()cos 12x f x x '=-+，()sin f x x x ''=-+，()1cos 0f x x '''=-≥，∴()f x ''在[0)+∞，上单增，()(0)0f x f ''''=≥， ∴()f x '在[0)+∞，上单增，()(0)0f x f ''=≥， ∴()f x 在[0)+∞，上单增，()(0)0f x f =≥， 即当0x ≥时，()0f x ≥．…………………………………（6分）（2）解：∵342()sin 2sin 236x x g x x x x x x '=-+--+3sin (2)(2)(2)6x x x x x x =---+-3(2)sin 6x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由（1）知当0x ≥时，3()sin 06x f x x x =-+≥(当且仅当0x =时取“=”)，则当0x >时，令()0g x '=，得2x =；令()0g x '>，得2x >，()g x 在(2)+∞，上单增； 令()0g x '<，得02x <<，()g x 在(02)，上单减， ∴min 16()(2)sin 215g x g ==+．………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=， 曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．………………………………………………（4分）（2）将射线1l ，2l 的极坐标方程π12θ=，5π12θ=分别与曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=联立，得点A ，B 的极坐标分别为ππ2cos 1212A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π5π2cos 1212B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则由极径和极角的几何意义知： 1π5π5ππ2cos 2cos sin 212121212OAB S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△πππ2cos sin sin 12123= ππsinsin 63== 由余弦定理知：||22cos 2cos cos 12121212AB ⎛=- ⎝42cos sin 312⎛= ⎝．……………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：由绝对值的意义可知：原不等式234014x x x ⇔--<⇔-<<， ∴原不等式的解集为{|14}x x -<<．…………………………………………………（4分）（2）证明：原不等式c c⇔--+∵+=c c当且仅当c时取“=”，所以原不等式成立．………………………………………………………（10分）。