(完整版)解三角形公式汇总
1 解三角形 公式汇总
一、正弦定理
公式 正弦定理：
推论1：（边化角）
推论2：（角化边）
题型 （1）已知sinB求B:一题多解型
判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（2）asin B＝2b:
方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB
（3）3sin A＝5sinB或 sinA:sinB:sinC=1:2:3
方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b
二、余弦定理
公式 余弦定理：
（已知两边及夹角，求第三边）
推论1：
（已知三边，求角）
推论2：
（三边的平方关系）
a2＋b2－c2=2abcosC
b2＋c2－a2=2bccosA
a2＋c2－b2=2accosB
题型 （1）已知a，b，角C,求c
方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC
（2）已知a：b：c=1:2：，求cosB
方法：已知三边求角，余弦定理推论1，
（3）已知，求cosA
方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA
2 三、求三角形面积
公式：
题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积．
方法：带公式
题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积．
方法：
四、判断三角形形状
题型：coscossinbCcBaA，判断三角形形状
方法1：角化边
公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或
结论：
方法2：边化角
公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC
将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。
注：
三角形内常见角度转化：
五、解三角形应用举例
仰角：
俯角：
坡度：
解三角形及三角函数恒等变形公式
解三角形及三角恒等变形公式 第1页，共3页 解三角形及三角函数恒等变形公式
一、解三角形：
1、内角和：180CBA；
1800,1800,1800CBA
2、(1))(180CBA；)(180CAB；)(180BAC；
(2))sin(sinCBA；)sin(sinCAB；)sin(sinBAC；
)cos(cosCBA；)cos(cosCAB；)cos(cosBAC；
3、(1)2902CBA；2902CAB；2902BAC；
(2)2cos2sinCBA；2cos2sinCAB；2cos2sinBAC；
2sin2cosCBA；2sin2cosCAB；2sin2cosBAC；
4、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
5、大边对大角，大角对大边；
6、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（R指三角形外接圆半径）
（(1) 解三角形：①已知两边和其中一边的对角；②已知两角和一边；
(2) 注意已知两边和其中一边的对角解三角形有一解、两解及无解情形）
变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2
CBAcbasin:sin:sin::
7、余弦定理： 变形：
Abccbacos2222； bcacbA2cos222；
Bcaacbcos2222； cabacB2cos222；
Cabbaccos2222； abcbaC2cos222；
（解三角形①已知两边一夹角；②已知三边） 解三角形及三角恒等变形公式 第2页，共3页 8、已知形如ba或ba，由abbabaabbaba2)(,2)(22222变形；
解三角形知识点总结
解三角形中的一些常用的知识点
——周文强2020年2月28日14:19:07
1、 正弦定理【边角转换定理】：2sinsinsinabcRABC===（注：R为ABC的外接圆半径） 边转角：2sin2sin2sinaRAbRBcRC===、、 角转边：sinsinsin
222abc
ABC
RRR===、、
适用的的条件：①边的齐次式；②角的正弦齐次式
2、 余弦定理【一角三边定理】：
22222()2
cos
22bcabcbca
A
bcbc+−+−−
==
22222()2
cos
22acbacacb
B
acac+−+−−
==
22222()2
cos
22abcababc
C
abab+−+−−
==
3、 常用面积公式汇总：
面积公式一【已知底和高】：111
222ABCabcSahbhch
===
面积公式二【已知两边夹一角】：111
sinsinsin
222ABCSabCbcAacB
=== （以角为主导）
面积公式三【已知三边】：
2abc
p++
=，()()()
ABCSppapbpc
=−−−
面积公式四【已知三点的坐标】：
112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy
21213131(,),(,)ABxxyyACxxyy=−−=−−，
2131312111
()()()()
22ABCSABACxxyyxxyy
==−−−−−
4、 面积公式+余弦定理
222
tan
4bca
SA+−
=， 222
tan
4acb
SB+−
=，222
tan
4abc
SC+−
=
5、 中线长定理（D为BC的中点）
2222()
2abca
m+−
=，2222()
2bacb
m+−
=，2222()
2cabc
m+−
=
推导：22
2222
2222()22coscos00
2aaa
ADcADb
bca
BDACDAADm
ADaADa+−+−+−+=+===
其他两个推导方法一致，这里说明下，
am表示边a的中线。
6、 角平分线的两个重要定理（AD为A的角平分线）
高中三角形公式大全
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一、三角形的基本性质。
1. 三角形内角和定理。
- 三角形的内角和为180°，即A + B+C=180^∘（A、B、C为三角形的三个内角）。
2. 三角形的三边关系。
- 两边之和大于第三边，即a + b>c，a+c > b，b + c>a（a、b、c为三角形的三边）。
- 两边之差小于第三边，即| a - b|，| a - c| < b，| b - c|。
二、三角形的面积公式。
1. 已知底和高。
- S=(1)/(2)ah，其中a为三角形的底，h为这条底边上的高。
2. 已知两边及其夹角。
- S=(1)/(2)absin C=(1)/(2)acsin B=(1)/(2)bcsin A（a、b、c为三角形三边，A、B、C为三角形内角）。
3. 海伦公式（已知三边）
- 设p=(a + b + c)/(2)（半周长），则S=√(p(p - a)(p - b)(p - c))。
三、正弦定理。
1. 内容。 - 在ABC中，(a)/(sin A)=(b)/(sin B)=(c)/(sin C)=2R（R为ABC外接圆半径）。
2. 应用。
- 已知两角和一边，求其他边和角。例如，已知A、B和a，先求C = 180^∘-(A + B)，再由(a)/(sin A)=(b)/(sin B)和(a)/(sin A)=(c)/(sin C)求出b和c。
四、余弦定理。
1. 内容。
- a^2=b^2+c^2-2bccos A
- b^2=a^2+c^2-2accos B
- c^2=a^2+b^2-2abcos C
2. 应用。
- 已知三边求角，例如由cos A=frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}求出角A；已知两边及其夹角求第三边，如已知a、b和C，由c^2=a^2+b^2-2abcos C求出c。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理
教学目标
掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
正余弦定理及三角形面积公式．
教学重难点
掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
知识点清单
一.正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 RCcBbAa2sinsinsin（其中R是三角形外接圆的半径）
2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabcCC．
2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin::；
;sinsinBAba ;sinsinCBcb ;sinsinCAca
3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin2
4）化角为边： ;sinsinbaBA ;sinsincbCB;sinsincaCA
5）化角为边： RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
例：已知角B,C,a，
解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sinsinBAba ;sinsinCBcb
;sinsinCAca求出b与c
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,
解法：由正弦定理BAbasinsin求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用正弦定理CAcasinsin求出c边
4.△ABC中，已知锐角A，边b，则
①Abasin时，B无解；
②Abasin或ba时，B有一个解； Absin
A b ③baAbsin时，B有两个解。
(完整word)高中数学解三角形知识点汇总及典型例题,推荐文档
解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
1 •直角三角形中各元素间的关系：
在厶 ABC中，C= 90°, AB= c, AC= b, BC= a。
(1)三边之间的关系： a2+ b2= c2。(勾股定理)
(2)锐角之间的关系： A+ B= 90°;
(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)
.A r a 人• r b ,人 a
sin A= cosB= — , cos A= sin B= — , tan A= —。
c c b
2 •斜三角形中各元素间的关系：
在厶ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示 A B、C的对边。
(1 )三角形内角和：A+ B+ C= n。
(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 c
a b c 十
.A . c .小 2R ( R为外接圆半径)
sin A sin B sinC
(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a = b + c — 2bccos A； b = c + a — 2cacosB; c = a + b — 2abcosC。
3 •三角形的面积公式：
1 1 1 一 亠
(1) S = — ah= — bh= — ch(h、h、h分别表示 a、b、c上的咼)；
2 2 2
111
(2) S = — absin C= — bcsin A= — acsin B；
2 2 2
4•解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少
有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形•广义地，这里所说的元素还可以包括
三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等•主要类型：
(1)两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
解三角形tan公式
解三角形tan公式
解三角形中，tan公式是一个重要的工具，用于计算三角形的角度和边长。
tan公式是三角函数中的正切函数，用于计算直角三角形中锐角的正切值。
tan公式可以表示为：tan(θ) = 对边 / 邻边，其中θ是锐角。
在解三角形中，tan公式可以用于计算角度和边长。
例如，已知三角形的两边和夹角，可以使用tan公式计算第三边的长度。
tan公式也可以用于计算三角形的角度，例如已知三角形的两边和其中一边的对角，可以使用tan公式计算另一边的对角。
需要注意的是，tan公式只适用于直角三角形，不适用于其他类型的三角形。
此外，tan公式需要已知角度或边长才能计算其他值，因此在使用tan公式之前需要先确定已知条件。
解三角形公式
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） 步骤1.
在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点D
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
余弦定理：
a方=b方+c方-2bcCOSA
b方=a方+c方-2acCOSB
c方=a方+b方-2abCOSC
后面的有的有用：
S=(1/2)ah=(1/2)absinC=abc/(4R)=(1/2)(a+b+c)r
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A = 2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a = (cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A = 2sinA*cosA
三倍角公式
sin3a = 3sina-4(sina)^3
cos3a = 4(cosa)^3-3cosa
tan3a = tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a)
半角公式
解三角形 公式汇总之欧阳语创编
欧阳语创编
欧阳语创编 解三角形 公式汇总
时间：2021.03.01
创作：欧阳语
一、正弦定理
公式 正弦定理：推论1：（边推论2：（角化边）题型 （1）已知sinB求B:一题多解型判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小边。（2）asin B＝2b:方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB（3）3sin A＝5sinB或 sinA:sinB:sin方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b
二、余弦定理
公式 余弦定理：（已知两边及夹角，求第三边） 推论1：（已知三边，求角） 推论2：
（三边的平方关系）ac2=2abcosCb2＋c2－a2=2bcc2－b2=2accosB
题型 （1）已知a，b，角C,求c方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC（2）b：c=1:2：，求cosB方法：已知三边求角，余弦定理推论1，（3，求cosA方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA
三、求三角形面积公式：题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积．方法：带公式题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积．方法：
四、判断三角形形状题型：coscossinbCcBaA，判断三角形欧阳语创编
欧阳语创编 形状方法1：角化边公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或结论：方法2：边化角公式：a:b:c
= sinA:sinB:sinC将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。注：三角形内常见角度转化：五、解三角形应用举例仰角：俯角：坡度：
时间：2021.03.01 创作：欧阳语
解三角形中的三心问题二级公式
设三角形ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。已知三角形的部分边和角，而求剩下的边和角的过程叫做解三角形。
解三角形常用到的公式如下。
一、三角形的内角和公式
三角形的内角和等于180°。即A+B+C=180°。
【注】在不至于引起误解和歧义的前提下，高中数学中常把∠A、∠B、∠C简写为A、B、C。
二、正弦定理
在解三角形的问题中，正弦定理和正弦定理的推论常用于“已知两角和一边”、“已知两边和其中一边的对角”的情况。
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。其中“R”为三角形ABC的外接圆半径。
【注】正弦定理适用于所有三角形。 三、正弦定理的推论
根据正弦定理“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可以得到如下推论。
1、a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC。其中“R”为三角形外接圆半径。
2、a:b=sinA:sinB；a:c=sinA:sinC；b:c=sinB:sinC；a:b:c=sinA:sinB:sinC。
3、a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)。
四、余弦定理
在解三角形的问题中，余弦定理和余弦定理的推论常用于“已知三条边，求其它三个角”、“已知两边夹一角，求其余的一边和两个角”、“已知两边和其中一边的对角”的情况。余弦定理的公式有三个。
1、a^2=b^2+c^2-2bccosA；
2、b^2=a^2+c^2-2accosB； 3、c^2=a^2+b^2-2abcosC；
余弦定理可以用文字语言概括为：三角形中任何一边的平方，等于其它两边的平方和，减去这两边与这两边夹角的余弦乘积的两倍。
【注】“a^2、b^2、c^2”分别表示“a的平方、b的平方、c的平方”。
五、余弦定理推论
从余弦定理的三个公式中，分别解出公式里的余弦值，就得到了余弦定理的三个推论。
1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)；
最全面的解三角形讲义
1 解三角形
【高考会这样考】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．
3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．
基础梳理
1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.
3．面积公式：S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系
式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b
解的
个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2 6．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．