北京市海淀区2019届高三上学期期中练习数学(理)试题Word版含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理科） 2018.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
1. 已知集合|0Axxa，1,2,3B，若AB，则a的取值范围为
A. (,1] B. [1,) C. (,3] D. [3,)
2. 下列函数中，是偶函数且在(0,)上单调递增的是
A. 2()fxxx B. 21()fxx Ｃ. ()lnfxx D.()xfxe
3. 11edxx
A. 1 B. 0 C. 1 D.e
4.在等差数列na中，1=1a,652aa，则公差d的值为
A. 13 B. 13 C. 14 D. 14
5.角的终边经过点(4,)Py，且sin35，则nta
A. 43 B. 43 C. 34 D. 34
6.已知数列na的通项公式为naann，则“21aa”是“数列na单调递增”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知向量a,b,c满足a+b+c=0，且222abc，则ab、bc、ca中最小的值是
A. ab B. bc C. ca D. 不能确定的
8.函数()fxx，2()3gxxx.若存在129,,...,[0,]2nxxx，使得
1()fx2()...fx1()nfx()ngx1()gx2()...gx1()ngx()n
fx
，则n的最大值为
A. 5 B. 63 C.7 D.8
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 计算lg4lg25______.
10. 已知向量(1,2)a，(3,1)b，则向量a，b夹角的大小为______.
11. 已知等比数列na的前n项和为nS，下表给出了的部分数据：
则数列的公比q ，首项1=a 。
12.函数()sin2xfxa在区间[0,]上的最大值为2，则a
13.能说明“若()()fxgx对任意的[0,2]x都成立，则()fx在[0,2]上的最小值大于()gx在
[0,2]
上的最大值”为假命题的一对函数可以是()fx ，()gx 。
14.已知函数ln,0(),xxafxexax
（1）若函数()fx的最大值为1，则a ；
（2）若函数()fx的图像与直线aye只有一个公共点，则a的取值范围为
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （本小题满分13分）
设{}na是等比数列 ，nS为其前n项的和 ，且22a, 120aS.
（Ⅰ）求{}na的通项公式；
（Ⅱ）若80nS，求n的最小值.
16.（本小题满分13分）
已知函数cos2()2sinsincosxfxxxx.
（Ⅰ）求(0)f的值；
（Ⅱ）求函数()fx 在[0,]2上的单调递增区间.
17. （本小题满分13分）
已知函数32()1fxxxax.
（Ⅰ）当1a时，求函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）求证：直线2327yax是曲线()yfx的切线；
（Ⅲ）写出a的一个值，使得函数()fx有三个不同零点（只需直接写出数值）
18. （本小题满分13分）
ABC中， 7c
，26sin5C.
（Ⅰ）若5cos7B，求b的值；
（Ⅱ）若11ab，求ABC的面积。
19.（本小题满分14分）
已知函数2ln()xfxmxxm
（Ⅰ）求函数()fx的极值；
（Ⅱ）求证：存在0x，使得0()1fx的切线；
20.（本小题满分14分）
记无穷数列{}na的前n项中最大值为nM，最小值为nm，令2nnnMmb
（Ⅰ）若23nnan，请写出1234,,,bbbb的值；
（Ⅱ）求证:“数列{}na是等差数列”是“数列{}nb是等差数列”的充要条件；
（Ⅲ）若*,2018,1nnnNab ，求证:存在*kN，使得nk，有1nbnb
北京市海淀区2019届高三第一学期期中数学(文)试题(含答案)
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（文科） 2018.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{}|0A x x a =-≤，若2A ∈，则a 的取值范围为A. (,4]-∞B. (,2]-∞C. [2,)+∞D. [4,)+∞ 2. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上存在最小值的是A. 2()f x x x =-B. ()ln f x x = Ｃ. 3()f x x = D.()sin f x x =3. 函数()sin()f x x ϕ=+满足()13f π=，则5()6f π的值是A. 0B.12C. D. 14. 已知向量(1,2)=a ，(3,1)=b ，则向量a ，b 夹角的大小为 A.6πB.4πC.2πD.23π5.已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为A. 1B. 2C. 4D. 8 6.在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A. (,0]-∞ B. [0,)+∞ C. (,2)-∞- D. [1,)+∞8.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0，且222a b c ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是A. a bB. b cC. c aD. 不能确定的 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 角θ的终边经过点(4,3)P -，则n ta θ= 。
10. 等差数列{}n a 中，1=5a ，25=0a a +，则{}n a 中为整数的项的个数为 。
北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学理试题(小题解析版)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2、已知向量,a b 满足=(20(t =)，，1)a ,b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π答案：B考点：平面向量的数量积，三角函数。
解析：由a ⋅=a b 得：（2,0）（t ，1）＝2，即2t ＝2，得t ＝1，由a •b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，得：2＝2θ，所以，cos θ＝2，夹角θ＝4π。
3、已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D考点：等差数列及等比数列的通项公式。
解析：125,,a a a 成等比数列，得2215a a a =⨯，即：2(2)2(24)d d +=⨯+，化简，得：24d d -＝0，因为0d ≠，所以，d =44、直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=，圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
5、以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．12答案：C考点：正多边形的性质。
北京市海淀区2019届高三上期中考试数学试题(文)含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2019.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。
北京市海淀区2019届高三上学期期中练习数学(文)试题
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（文科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{}|0A x x a =-≤，若2A ∈，则a 的取值范围为 （ ）A. (,4]-∞B. (,2]-∞C. [2,)+∞D. [4,)+∞2. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上存在最小值的是 （ ）A. 2()f x x x =-B. ()ln f x x = Ｃ. 3()f x x = D.()sin f x x =3. 函数()sin()f x x ϕ=+满足()13f π=，则5()6f π的值是（ ）A. 0B. 12 C. D. 14. 已知向量(1,2)=a ，(3,1)=b ，则向量a ，b 夹角的大小为（ ） A. 6πB. 4πC. 2πD. 23π5.已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 86.在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 数列{}n a 的通项公式为n aa n n =+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ）A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. (,2)-∞-D. [1,)+∞8.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0，且222a b c ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是（） A. a b B. b c C. c a D. 不能确定的二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 角θ的终边经过点(4,3)P -，则n ta θ= 。
2019年海淀高三年级第二学期数学期中练习试题-附答案(理)(已纠错)
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x xC. {}322<≤-≤x x x 或D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0 B．1 C ．2 D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为 A ．︒60 B ．︒90 C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 A ．(0,1]r ∈ B ．(1,2]r ∈ C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：乙丙甲①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的CBD A DFEB G C概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥， 又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分 ∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,HADFEBGC∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=， ∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ， 则cos cos ,EB =<>==θn …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为6- …………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f xx x =-，11()1x f x x x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km m x x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP =====………………………12分因为12k<≤，得23434k<+≤，有2331443k≤<+，2OP<≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分(Ⅱ)另解：设,,A B P点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x yx y⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y-++-+=③………………………7分由已知可得OP OA OB=+，所以120120x x xy y y+=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y ykx x-=-,即1212()y y k x x-=-⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky=-………………………10分与22003412x y+=联立消x整理得202943yk=+……………………11分由22003412x y+=得2200443x y=-，所以222222000002413||4443343OP x y y y yk=+=-+=-=-+……………………12分因为12k≤，得23434k≤+≤，有2331443k≤≤+，2OP≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是2. ………………………14分20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jk k k k k j======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mb b b b b m==+==++====// 112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n =-+++++ …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：数列
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编数列（共10区）一、选择、填空题1、（昌平区2019届高三上学期期末）数列{}n a 是等差数列 ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且55a b =，则A ．3746a a b b +>+B ．3746a a b b +≥+C ．3746a ab b +<+ D ．3746a a b b +=+2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项的和.若136a a +=，47a =，则5S =_______.3、（朝阳区2019届高三上学期期中）将正奇数数列1,3,5,7,9,依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： (1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),,称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中A.第404组B.第405组C.第808组D.第809组4、（东城区2019届高三上学期期末）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111,2a b =-=，321a b +=-，试写出一组满足条件的数列{}n a 和{}n b 的通项公式：n a = ，n b = .5、（房山区2019届高三上学期期末）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若24a =，350a a +=，则公差d = ；n S 的最大值等于 .6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =. 若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30（B ）45（C ）90（D ）1867、（海淀区2019届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 1B ．2C ．3D ．48、（海淀区2019届高三上学期期中）在等差数列{}n a 中，a =11，652a a =，则公差d 的值是( )（A ）13- （B ）13 （C ）-14 （D ）149、（海淀区2019届高三上学期期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下表给出了n S 的部分数据：n1 2 3 4 … n St1019652…则数列{}n a 的公比____,q =首项____a =.110、（石景山区2019届高三上学期期末）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，133,18a S ==，则其通项公式n a =______ ．11、（通州区2019届高三上学期期末）设等比数列{a n }的公比2q =，前n 项和为n S ，则41S a =______ ． 12、（西城区2019届高三上学期期末）在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7a = （A ）10 （B ）16 （C ）24 （D ）3213、（通州区2019届高三上学期期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1326S =，61a =，则数列{}n a 的公差为 A ．2-B ．1-C ．2D ． 1参考答案一、选择、填空题1、C2、253、A4、2n - （答案不唯一）5、－2；126、C7、D8、A9、32，4 10、3n 11、15 12、D 13、D二、解答题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知集合*{|21,}A x x n n ==+∈N ，1*{|2,}n B x x n -==∈N ,C A B =．对于数列{}n a ，11a =，且对于任意2≥n ，*N ∈n ，有1min{|}n n a x C x a -=∈>．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.(Ⅰ)写出7a ，8a 的值；(Ⅱ)数列{}n a 中，对于任意*N ∈n ，存在*N ∈n k ，使12-=n n k a ，求数列{}n k 的通项公式；(Ⅲ)数列{}n a 中，对于任意*N ∈n ，存在*N k ∈，有121+=+k a n .求使得1127++>k k S a 成立的k 的最小值．2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数； ②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值； （Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤； （Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.3、（朝阳区2019届高三上学期期中）数列{}n a （*n ∈N ）是各项均为正数的等比数列，且23a =，4318a a -=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n n b a a =+，求12n b b b ++⋅⋅⋅+.4、（大兴区2019届高三上学期期末）设有限数列12:,,,()n A a a a n *⋅⋅⋅∈N ，定义集合{}i j M a a |i j n =+<1≤≤为数列A 的伴随集合．（Ⅰ）已知有限数列:1,0,1,2P -和数列:1,3,9,27Q ．分别写出P 和Q 的伴随集合； （Ⅱ）已知有限等比数列2:2,2,,2()n A n *∈N ，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ； （Ⅲ）已知有限等差数列122019:,,,A a a a ，判断5070,,3100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由5、（东城区2019届高三上学期期末）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥. 求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.6、（房山区2019届高三上学期期末）若无穷数列{}n a 满足：1a *∈N ，且对任意正整数n ，+1n a 都为12,,,n a a a 中等于n a 的项的个数，则称数列{}n a 为“X 数列”.（Ⅰ）请列举出三个X 数列，每个X 数列只写出其前5项； （Ⅱ）若数列{}n a 为一个X 数列，证明：2n n *∀∈N ,≥，都有12n n a +≤； （Ⅲ）若数列{}n a 为一个X 数列，求集合{|,1,2,,2018}i x x a i ==中元素个数的最大值.7、（丰台区2019届高三上学期期末）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m =，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列； （Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.8、（海淀区2019届高三上学期期中）设{}n a 是等比数列， n S 为其前n 项和，且a =22，a S +=120. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 若n S ≥80，求n 的最小值.8、（海淀区2019届高三上学期期中）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=. (Ⅰ)若23n n a n =-，请写出1234,,,b b b b 的值；(Ⅱ)求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；(Ⅲ)若*n ∀∈N ，||2018n a <, ||1n b =，求证：存在*K ∈N ，使得n K ∀≥，有1n n b b +=.10、（通州区2019届高三上学期期末）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{}n p 的前n 项和为n S ，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于n p 的项的和为()f n ． （Ⅰ）求5p 和()5f ；(Ⅱ) 判断n S 和()f n 的大小，不用证明； （Ⅲ）设()2k k N *Γ=∈，求证：n N*∀∈，∃Γ，使得1n n S S +<Γ<．11、（西城区2019届高三上学期期末）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤. 如果存在{2,3,,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.12、（通州区2019届高三上学期期中）已知数列{}n a 的前n 项和()n S n N *∈满足21n n S a =-，数列{}n b 满足22log n n b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； （Ⅲ）数列{}n a 中是否存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈且，使,,m n k a a a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．参考答案 二、解答题1、解：（I ）*{|21,}{3,5,7,9,11,13,,21,},A x x n n n ==+∈=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅N1*1{|2,}{1,2,4,8,16,32,,2,}n n B x x n --==∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N ， {1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,}C AB ==⋅⋅⋅.因为11=a ，且对于任意*,N ∈≥2n n ，1min{|}-=∈>n n a x C x a ，所以123456781,2,3,4,5,7,8,9a a a a a a a a ========. …… 4分 （II ）对于任意2≥n ，*N ∈n ，有1min{|}n n a x C x a -=∈>，所以对于任意2≥n ，*N ∈n ，有1->n n a a ，即数列{}n a 为单调递增数列. 因为对于任意*N ∈n ，存在*N ∈n k ，使12-=n n k a ， 所以123<<<k k k ┅<<n k ┅．因为12-=n n k a ，12+=n n k a ，所以对于任意*n ∈N ，有11=k ，22=k ，34=k ，所以，当2≥n 时，有121221212--+--=+=+n n n n n k k ， 即03221-=+k k ，14321-=+k k ， 25421-=+k k ，…………3121---=+n n n k k ，所以当3≥n 时，有2012322122222(2)(2)23(3)12-----=+++⋅⋅⋅++-=+-=+-≥-n n n n k k n n n n ，所以221(3)-=+-≥n n k n n . 又11=k ，22=k ，数列{}n k 的通项公式为：21,1,21,2-=⎧=⎨+-≥⎩n n n k n n . …… 10分（III ）若*N ∀∈n ，*N ∃∈k ，有121+=+k a n ，令122-≤m n ，*m ∈N ，解得21log (2)-≤m n ，即2log 2+≤m n ，得max 22[log 2][log ]2++==m n n ，其中2[log 2]+n 表示不超过2log 2+n 的最大整数， 所以max 221([log ]2),([log ]1)k n m n n k n n +=+=++=++.2[log ]11[357(21)][122]n k S n ++=+++++++++……=2[log ]2(2)(21)n n n +++-，依题意1127++>k k S a ，2[log ]2(2)2127(21)n n n n +++->+，即2[log ]22522820n n n +--+>，2[log ]2(26)42704n n -+⨯>.当2[log ]0=n 时，即1=n 时，2[log ]2(26)42629704n n -+⨯=<，不合题意； 当2[log ]1=n 时，即2,3=n 时，2[log ]22(26)42248704n n -+⨯≤+<，不合题意； 当2[log ]2=n 时，即47≤≤n 时，2[log ]22(26)422216704n n -+⨯≤+<，不合题意； 当2[log ]3=n 时，即815≤≤n 时，2[log ]22(26)421848704n n -+⨯≤+⨯<，不合题意；当2[log ]4=n 时，即1631≤≤n 时，2[log ]22(26)4210416704n n -+⨯≤+⨯<，不合题意；当2[log ]5=n 时，即3263≤≤n 时， 由2[log ]22(26)42374321497,1497704,n n -+⨯≤+⨯=>此时，2(26)576n ->.而50n =时，2(26)576n -=.所以50n >. 又当51n =时，2[log 51]2(5126)42753704-+⨯=>；所以22[log ]151[log 51]1515157k n n =++≥++=++=.综上所述，符合题意的k 的最小值为57.k = …… 14分2、（Ⅰ）3a 的值可取27,30,33,36. .…………3分 （Ⅱ）由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅，对于任意的n ，有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时，15(1)n a n a ≤-+，即5(1)4n a n n ≤-++，即61n a n ≤-. 则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数，所以当14n a ≥-时，有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >，依以上所证，这样的n 的个数是有限的，设其中最大的为N . 则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立，因为N a 是N 的倍数，故6N a N ≥. 由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时，5n a n ≤. …………8分 （Ⅲ）由上问知1155a ≤，因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数，所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤， 280a ≤，185a ≤.则1=85a ,2=80a , 3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =,963a =,1060a =,当11n ≥时，5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85. ………13分3、解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为(0)q q >，则依题意13211318a q a q a q =⎧⎨-=⎩，，解得11,3a q ==. 所以{}n a 的通项公式为13n n a -=，*n ∈N . ……………………. 7分（Ⅱ）因为13log 3(1)n n n n b a a n -=+=+-，所以123n b b b b ++++21(1333)[012(1)]n n -=+++++++++-13(1)132n n n --=+- 31(1).22n n n --=+ ……………….13分4、解：（Ⅰ）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}4,10,12,28,30,36． ……3分 （两个集合都对3分，只写对一个集合给2分．）（Ⅱ）先证明对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+<<≤≤≤≤．当i k =且j l ≠，因为i j k l a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．同理，当i k ≠且j l =时，也不成立． ……1分当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j k l a a a a +=+，则2222i j k l +=+， 所以1222j i k i l i ---+=+， ……2分 左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+， ……3分 综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现1n -次，……4分 所以2(1)(222)n S n =-+++．12(12)(1)(1)(22)12n n n n +-=-=--- ……5分（Ⅲ）假设5070,,3100同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()d d ≠0，则1122330,50,37,100i j i j i j a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩即()()()111122133220,5022,3722,100a i j d a i j d a i j d ⎧++-=⎪⎪⎪++-=⎨⎪⎪++-=⎪⎩①②③ ……1分②-①得，()()()221150-=3i j i j d ++， ③-①得，()()()33117-=100i j i j d ++， 两式相除得，22113311()()5000=()()21i j i j i j i j +-++-+， ……2分因为112233,,,,,i j i j i j *∈N ， 所以()()2211-5000i j i j k ++=，()()()3311-21,0i j i j k k k ++=∈≠Z ， ……3分所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2019i j i j ≤≤，所以()()()()2211-20192018214034i j i j ++≤+-+=，()()()()2211-12201820194034i j i j ++≥+-+=-， ……4分 所以()()2211-4034i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾， 所以5070,,3100不能同时属于数列A 的伴随集合M ． ……5分 5、解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.-- ..............................4分 （Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式. 由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项. .............................9分 （Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+， 即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d++++=-=-同理 当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤， 由于d *∈N ，所以22+1122n n a b d d +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤， .n n A B ≤即成立 .............................14分6、7、解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）. . .. …… …….4分 （Ⅱ）数阵{}i j m n b ⨯具有性质A .只需证明，对于任意的1,2,3,,i n =，都有(1)i j i j b b +<，其中1,2,3,,1j n =-. 下面用反证明法证明：假设存在(1)pq p q b b +>，则(1)(2),,,p q p q mq b b b ++都大于(1)p q b +，即在第q 列中，至少有1m p -+个数大于(1)p q b +，且(1)(1)(1)2(1)1(1)p q p q q q b b b b +-+++>>>>. 根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)t q b t p +=，都至少存在一个t i q a {}(1,2,3,,)t i m ∈，使得(1)t i q t q a b +<，即在第q 列中，至少有p 个数小于(1)p q b +.所以，第q 列中至少有11m p p m -++=+个数，这与第q 列中只有m 个数矛盾. 所以假设不成立.所以数阵{}i j m n b ⨯具有性质A . . .. …… …….13分8、9、10、解：(Ⅰ)511p =，()5135791136f =+++++=； …………………………………………2分 (Ⅱ)当1n =时，12S =，()11f =，()11S f >；当2n =时，2235S =+=，()2134f =+=，()22S f >；当3n =时，323510S =++=，()31359f =++=，()33S f >；当4n =时，4235717S =+++=，()4135716f =+++=，()44S f >． 所以当4n ≤时，()n S f n >．当5n =时，523571128S =++++=，()5135791136f =+++++=，()55S f <．不难看出，当5n ≥时，()n S f n <． ……………………………………6分 （Ⅲ）因为12S =，25S =，310S =，417S =，528S =，所以当1n =时，22Γ=，使得12S S <Γ<；当2n =时，23Γ=，使得23S S <Γ<；当3n =时，24Γ=，使得34S S <Γ<；当4n =时，25Γ=，使得45S S <Γ<所以4n ≤时，命题成立． ……………………………………………………8分 当5n ≥时，设k 是使得2n k S ≤成立的最大自然数，只需证()211n k S ++<．……………………………9分 因为()21212n k k S k +-≥=135(21)k =++++-， ……………………10分()135n f n p =++++，由(Ⅱ)可知，当5n ≥时，()n S f n <， ……………………………………11分 所以21n p k >-，从而121n p k +>+． ……………………………12分所以()221211n n S p k k k ++>++=+，即()211n S k +>+． ………………13分 综上可知，命题成立．11、12、解：（Ⅰ）根据题意,数列{}n a 满足21n n S a =-,当1n =时,111a S ==. 1分当2n ≥时, 11n n n a S S -=-=,122n n n a a a -=-，即12n n a a -=． 2分 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 3分 所以12n n a -=，n N *∈； 4分 又由已知22log n n b a =+，得122log 21n n b n -=+=+． 5分 （Ⅱ）依题意得()1111122n n n n n b n c n a --+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，n N *∈． 6分 因为()()11112122n n n n c c n n -+⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11121102222n n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 7分所以当1n =时，n c 取得最大值12c =． 8分 因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以2221x x ≤--． 9分 解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{}13x x x ≤-≥或； 10分（Ⅲ）假设存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,m n k a a a 成等差数列， 则2n m k a a a =+，即1112222n m k ---⋅=+． 11分 两边同时除以12m -，得1212n m k m -+-=+①． 12分 因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾． 13分所以不存在(),,,,,m n k a a a m n k m n k N *<<∈，使,,m n k a a a 成等差数列． 14分。
北京市四中2019届高三上学期期中测试数学(理)试题
北京市四中2019届高三上学期期中测试数学（理）试题试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.请把答案填写在答题卡的相应位置上.1. 已知集合{兀|工（片・3）“}, Q = k |时■< 2），则PD G =（）A •-一B • JC D. -T2. 函数—•匚的定义域为（）XA•丨「丨 B •「…一：C.D •一「一3 •下列命题中是假命题的是（）A . .：二「I ' - 都不是偶函数B. 「I」... ….一 -•有零点C. - . . ■ - T：.' I ■ ： , .■ - , : . + :上递减4.边长为’的三角形的最大角与最小角的和是（）A. ,、「 B . C 1 二 D .5•已知数列，「匚，一■■「」一 -，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是（）A . B. C . D .是6.已知函数/l''IJ-匚・■ ■■的图象如图所示则函数 --的图象是C .28定义在R 上的函数满足【，当•■匸［L_时，•「一.. 1 ,则（） 第二部分（非选择题共 110分） 、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分.请把答案填写在答题纸的相应位置上.9•设1为虚数单位，则一一一______ .10.正项等比数列中，若' ____ ■'，则心宁匸等于211.已知兀y 满足＜査+”兰九且目标函热=引:+尹的最小值是5,贝y z的最大值是-2x +/+1 H 0<0)函数二；COG的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ B ./伽爭 >/(cos^B .-12. 设函数____________________________________________________________ -* |「二：「丨丨一I」-二—」•、-/ : . J ；i . - _______________________________________________13. 已知函数,--■「，给出下列四个说法：①若，「. 一「］，则匸二-7.■-；②；!的最小正周期是2；T ；7U 71③一;在区间—■上是增函数；④的图象关于直线二——对称.4 4 4其中正确说法的序号是________ .14 .定义一种运算7 ® B 二* ' ，令/(A)= (cos3 Jr + sin ® —，且兀吏\b t a >b4则函数的最大值是__________________ .三、解答题：本大题共6小题，共计80分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.角16. (本小题满分13分)已知函数■' ；n | I ：.(1 )求一…」函数图象的对称轴方程;(2)求」的单调增区间时，求函数厂■：'：的最大值，最小值17. (本小题满分13分)设等差数列，，一的首项心及公差d 都为整数，前n 项和为S n .（1）若■_-「，求数列［二」的通项公式; （2）若- \"求所有可能的数列的通项公式18. （本小题满分13分）已知函数丿IJ I 一（1 ）若厘二匕，试确定函数「的单调区间;若函数」；!在其图象上任意一点•，「j 处切线的斜率都小于」J ，求实数；的取值范围•（3）若匚［.丄亠」.-一，求二的取值范围•19. （本小题满分14分）（1）求.■「一的最小值;取值范围数列 '<!， 使得1. -. 1上」？若存在，请求出数列 仏卜卩」 的通项公式•若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）X 1------------------------------------------ ，兀吐一1_ 2x2-［的图象上的任意两点（可以重合），点(2) 已知函数（史为自然对数的底数）•(2) 设不等式'的解集为F ,若.…；.'-.-，且T I ；'，求实数二的(3) 已知■: ■- ，且\ ，是否存在等差数列；■；, |和首项为」•；［公比大于0的等已知A （丙，乃）,B （花，乃）是函数 他）=〜2M在1 —. 一直线T -.上，且亠二一:二.(1)求+门的值及T： + L：的值(2) 已知匚一，当I；注时，■:，- ■+；；+_：】+…_」’'：，求二；冋竝丹«(3) 在(2)的条件下，设乙=_二，二为数列｛：；、｝的前、！项和，若存在正整数「、吨,使得不等式求.：和W的值.【参考答案】第一部分(选择题，共40分)一、选择题(每小题5分，共40分)1. B2. D3. A4. B5. B6. A7. A8. D提示：由题意可知，函数典令谒的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：I “- -且卜it I I"而函数沪朋总在;L」、J是减函数，二沈況一二.「…1、9. i10. 16.11. 1012. _213. ③④14. 1提示：令，贝U冒仗）=1 —sin*鲨+血鑒=—（血耳一扌）甘扌生?•••由运算定义可知，.•.当-，即.匸=〔时，该函数取得最大值 -.上由图象变换可知,所求函数f （丁专;的最大值与函数£衣［:在区间I门-上的最大值相同三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15. （本小题满分13分）解：I）由已知得：…，二5 105 10tan（盘+ 0）=+tan1- tai:抚tan 0tan 2C£=2tan a1 - tan J ct—1 —tari 2a^ tan jS [—4 1 -H -一3 7丄「为锐角,13分16.（本小题满分13分）解：(I) f [J ^)= sm 2x + cos 2x = sm 2;r +人r 貝 ， 兀Fill上TT /T J _令^.422 Skn 7t 3 _X — - + — =血 E Z「函数图象的对称轴方程是2 S (II ).242jUlJ^TT- — < A <k7T+ - EZ.S S7T r —-- n 七？r + —] .kef.2 S J故_.，・.•」的单调增区间为..■： -(III) ；- .一 —1 £ sin 2畫 + I 4丿3TF 7i 7TT-T-^+7-T ，10分时，函数丁）的最大值为1,最小值为< .11分13分17.（本小题满分13分）解：(I)由 J'因此，［二」的通项公式是1■：'-：■> .■1, 2, 3，…,绍+13rf Mil.吃]4- 1CW > 0, (n)由彳&11 n 0,得2^+13^ <11, J-2^ -20^<07 I —2&] 5 —12.①②③由①+②得一7d<11，即.■/ ■- - _由①+③得二&三-1 ,即.--'13于是一_ 1八‘一又&三2T，故L； = -_..7 13将4代入①②得「二—门:又.'-，故 7 f 1所以，所有可能的数列〔■,.的通项公式是\ ■■ ■ 1 .1, 2, 3,…18.(本小题满分13分)(［)解：当-工二I；时，」I J I 、+ 八，所以■' I ■ : - : •…，由.■-，解得 _ ［，；：二忙］,由、-_|，解得.”，；：一〔或丁：；，3 ,所以函数一•’-.的单调增区间为L.i，减区间为.J 1和(n)解：因为广■:' ■“，由题意得：F' 一• ”■■- - : ■-对任意丁三丘恒成立,即1 一;...对任意让三恒成立，设，所以■.：'所以当二二：时，.-.….；T有最大值为［,因为对任意下汀，，恒成立，所以L. .■ ■,解得―门或■--,2所以，实数立的取值范围为亠匸」1或.7 _ .（III ）』；：:.19.（本小题满分14分）解：（1）/ /!=<- 1由_.「；，「.i二一II 当’• 一1一, •，「；当.• Z.二.，■-/⑵在（0严）上壇在（・曲）上减..= /（0）= 1（2 V ,'■■•十丿:L丨一二有解由? > ■ ： - K :即.八「一-］一| .；.上有解A 2令―二「一1 ' "，x 2 x■i -'. 丨丨上减，在［1，2］上增又. 2 - ? ' ［，且—）•役J=«（2）= y-l一一也丈——12（3）设存在公差为.,；的等差数列；和公比』'首项为L- 1■'的等比数列■「「，使2仏十錶）=比fc=l—1一——又乜工】时，r-- ——4- H + （跟一打&'= s （s — li — — 故故“2列有 j 2②-①X 2得，「丄一八-解得F ：弍』】一，（舍）满足二 J _" J£ 匕1存在满足条件的数列-\ t 一 •……14分20.（本小题满分14分）解：（I ）T 点M 在直线X=—上，设M._. _h一 1 — 1又丄二1=匚二：，即「 1 一 - ' . Ji . , “ - 一 " -「・：.， +二：=1.①当已=「时，十=.一，，7： +门=一’、一 ， ••一 - 1 -;— 1」 1②当 时，弋；2 2 2^ 2X 2 2画（1 —2比）+ 2也（1-NJ 2（西 +屯）-8西屁 + = -------- + ” = ^ •- ' '= 一耳=P oJ^ （耳处=J Q （e — e 处=© ~ I \ I * H 1 2 1 + E ）|0=阳--J2 -1 10分仇二/（〔） = £■ 1 ©+对二易L3 ']即&] -l-e — 1 = P — 2 「尹2d+U —扌 故T 「，此时r..- _”T （-D 二”1 21-2町1-2^ （1-2丙）（1 一加J ]_ 2（石 + 开』+4為眄2〔1-4祸）二_24码阳-1综合①②得，门+」=一：.(n)由(I)知，当+ * =1时,门 +」=一：：i - , k= 丄 1 .n > 2 时，气」”「+_「+••_"', ①«««n,②n n n n①+②得，2 ~.t=-2(n-1),则:=1-n.当n=1 时，：=0 满足：.=1-n. , =1-n.(出)f =— = _「，匚=1+「+''一.人7 1 2CT応-。
北京市海淀区2019届高三4月期中练习(一模)数学文试题(解析版)
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）2019.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项。
(1)已知集合{}02P x x =≤≤，且M P ⊆，则M 可以是 (A) {}0,1 (B) {}13， (C) {}1,1- (D) {}0,5答案：A考点：集合的运算。
解析：依题意，M 是P 的子集，只有A 符合。
(2)若0x 是函数21()log f x x x=-的零点，则 (A) 010x -<< (B) 001x << (C) 012x << (D)024x <<答案：C考点：函数的零点。
解析：因为f （1）＝－1，f （2）＝12，即f （1）•f （2）＜0， 所以，函数在（1,2）内有零点，所以，012x <<(3若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是(A) sin(+)2πα (B) s(+)2co πα (C) sin()πα+ (D) s()co πα+ 答案：D考点：三角函数的符号、诱导公式。
解析：角α的终边在第二象限，sin(+)2πα＝cos α＜0，A 不符；s(+)2co πα＝sin α-＜0，B 不符；sin()πα+＝sin α-＜0，C 不符； s()co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确。
(4)已知a b <，则下列结论中正确的是(A) 0,c a b c ∀<>+ (B) 0,c a b c ∀<<+ (C) 0,c a b c ∃>>+ (D) 0,c a b c ∃><+答案：D考点：不等式的性质。
解析：（A ）不一定成立，如a ＝1，b ＝10，c ＝－1，a b c >+不成立；（B ）也不一定成立，如a ＝9.5，b ＝10，c ＝－1，a b c <+不成立； （C ）不成立，因为a b <，0c >，所以，a b c <+恒成立，因此（D ）必正确(5)抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线形上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4答案：B考点：抛物线的性质。
北京市海淀区2019届高三上学期期中练习数学(文)试题PDF版含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2018.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合|0Ax x a，若2A ，则a 的取值范围为A.(,4] B.(,2] C. [2,) D.[4,)2. 下列函数中，是奇函数且在(0,)上存在最小值的是A. 2()f x xx B.()ln f x xＣ. 3()f x xD.()sin f x x3. 函数()sin()f x x满足()13f ，则5()6f 的值是A. 0B.12C.32D. 14. 已知向量(1,2)a ，(3,1)b，则向量a ，b 夹角的大小为A.6 B.4C.2D.235.已知函数()log a f x x ，()xg x b ，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为A. 1B. 2C. 4D. 86.在ABC 中，“2C”是“sin cos A B ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 数列n a 的通项公式为na a nn，若数列n a 单调递增，则a 的取值范围为A.(,0]B.[0,)C.(,2) D.[1,)8.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0，且222a bc ，则a b 、b c 、c a 中最小的值是A. a bB. b cC. c aD. 不能确定的二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 角的终边经过点(4,3)P ，则nta 。
10. 等差数列n a 中，1=5a ，25=0a a ，则n a 中为整数的项的个数为。
11.已知AB ，AC 是不共线的两个向量，BE12ACAB ，则AE AC。
12. 函数()sin22x f x 在区间[0,]上的最大值为。
2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题 答案
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 013.三、解答题15．解： π()2f a = 所以π(2f 因为0a >（Ⅱ）因为f 设sin ,t x = 所以22y t =其对称轴为4t =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a -- 16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C ===(P ()E Y 所以P17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD又DH ⊥以D 所以(,D0因为AD ⊥设平面因为DP =u u u r 所以y x ⎧-⎪⎨+⎪⎩2令2z = 所以cos <由题知B PD C --为锐角，所以B PD C -- （Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点而MC PC ，设BF =33,)22-+因为PC ，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120λ-=18因为a 2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+1y y + 所以 |AB ==因为k ≤20法二：设11(,A x y 当直线l 是当直线l 所以x x t y ⎧+⎪⎨⎪=-⎩22228160t ∆=-> ，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ====-+因为t >22，所以|'|AB ∈19所以f 当a =所以f 曲线y因为f 得x 1当a >所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=22，令'()f x =0得当设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:,,)n y ，，所以(i i x x ， n x ++ n y ++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=. 当22α=所以α*的最小值为2n当n 所以 α* 当22α=1122(1,1,,1,0,0,,0)n n -+时，满足12n β-*=. 所以α*的最小值为12n - 综上：α12n β-*=.（Ⅲ）S 设集合S 记1S ={}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==11 / 11212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素， 对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。