沪科版八年级数学下册习题精选17.2.1一元二次方程的解法-配方法(1)
沪科版八年级数学下册_17.2 一元二次方程的解法
(3) x2 － 2x+3=0； (4) － 3x2 － 5x+2=0.
感悟新知
解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步 知3－练
骤求解 .
解： (1) a=2， b= － 7， c=4，
求b2－4ac的值时，
b2 － 4ac= (－ 7) 2 － 4×2×4=17 ＞ 0. 若代入的字母值是
代入求根公式，得
(2) 2x2 － 7x － 6=0，∵ a=2， b= － 7， c= － 6，
∴
b2
－
4ac=97>0.
∴
x1=
7+
4
97，
x2=
7
－ 4
97.
感悟新知
知5－练
(3) 因式分解，得［ ( 3x+2 ) － 3］［ ( 3x+2 ) － 5］ =0， 即( 3x － 1 ) ( 3x － 3 ) =0.
－ x=
(
－7)± 2×2
17，负数，则需将其用
括号括起来，不能
∴
x1=7+
4
17
，
x2=7
－ 4
17 .
漏掉“－”号.
感悟新知
(2)方程可化为 3x2－2 3 x+1=0. a=3， b=－2 3 ， c=1， b2－4ac= ( －2 3 ) 2－4×3×1=0.
代入求根公式，得 x= 2
3± 2×3
0=
33.
∴ x1=x2= 33.
知3－练
感悟新知
(3) a=1， b=－2， c=3，
知3－练
b2－4ac=(－2) 2－4×1×3=－8<0. 方程无实数根 .
沪科版八年级下册数学17.2.1配方法同步练习(含解析)
沪科版八年级下册数学17.2.1配方法同步练习一、选择题(本大题共8小题)1.已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A.．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根2.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A.．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=23.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A.．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=194.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A.．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣5.关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m （x+h﹣3）2+k=0的解是（）A.．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=26.用配方法解一元二次方程A.x2+bx+c=0（A.≠0），此方程可变形为（）A.．（x+）2=B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=7.将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A.．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．08.若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为A.、b，且A.＞b，则3A.+b之值为何？（）A.．22 B．28 C．34 D．40二、填空题(本大题共6小题)9.若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m= ．10.将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m= ．11.若一元二次方程A.x2=b（A.b＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= ．12.若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣A.）2﹣3，则b﹣A.= ．13.若A.为实数，则代数式的最小值为．14.设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为．三、计算题(本大题共6小题)15.解方程：x2﹣6x﹣4=0．16.已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．17.“A.2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x ）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．18.有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）19.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知A.2+6A.b+10b2+2b+1=0，求A.﹣b的值；（2）已知△A.BC的三边长A.、b、c都是正整数，且满足2A.2+b2﹣4A.﹣6b+11=0，求△A.BC 的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．20.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园A.BCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设A.B=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1. C分析：根据直接开平方法可得x﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．2. D分析：在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选D．3. D分析：方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．解：方程移项得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，故选D．4.C分析：方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．故选：C．5. B分析：利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．6. A.分析：先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．解：A.x2+bx+c=0，A.x2+bx=﹣c，x2+x=﹣，x2+x+（）2=﹣+（）2，（x+）2=，故选：A.．7. B分析：原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．解：x2﹣10x+5=x2﹣10x+25﹣20=（x﹣5）2﹣20，当x=5时，代数式的最小值为﹣20，故选B8. B分析：配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出A.、b的值，代入3A.+b求出即可．解：4x2+12x﹣1147=0，移项得：4x2+12x=1147，4x2+12x+9=1147+9，即（2x+3）2=1156，2x+3=34，2x+3=﹣34，解得：x=，x=﹣，∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为A.、b，且A.＞b，∴A.=，b=﹣，∴3A.+b=3×+（﹣）=28，故选B．二、填空题(本大题共6小题)9.分析：此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32=7+32，配方，得（x+3）2=16．所以，m=3．故答案为：3．10.分析：原式配方得到结果，即可求出m的值．解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，则m=3，故答案为：311.分析：利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．解：∵x2=，∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程A.x2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为：4．12.分析：代数式配方得到结果，确定出A.与b的值，即可求出b﹣A.的值．解：根据题意得：x2﹣6x+b=（x2﹣6x+9）+b﹣9=（x﹣3）2+b﹣9=（x﹣A.）2﹣3，可得A.=3，b﹣9=﹣3，解得：A.=3，b=6，则b﹣A.=3．故答案为：3．13.分析：把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．解：∵ ==≥3，∴代数式的最小值为3，故答案为：3．14.分析：题中有﹣8xy，2x应为完全平方式子的第二项，把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数．解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．故答案为：3．三、计算题(本大题共4小题)15.解方程：x2﹣6x﹣4=0．16.已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．17.分析：（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．解：（1）x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，所以当x=2时，代数式x2﹣4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1﹣（2x﹣3）=x2﹣2x+2；=（x﹣1）2+1＞0，则x2﹣1＞2x﹣3．18.分析：（1）移项要变号；（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为：⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n x2=﹣4n．19.分析：（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）∵A.2+6A.b+10b2+2b+1=0，∴A.2+6A.b+9b2+b2+2b+1=0，∴（A.+3b）2+（b+1）2=0，∴A.+3b=0，b+1=0，解得b=﹣1，A.=3，则A.﹣b=4；（2）∵2A.2+b2﹣4A.﹣6b+11=0，∴2A.2﹣4A.++2+b2﹣6b+9=0，∴2（A.﹣1）2+（b﹣3）2=0，则A.﹣1=0，b﹣3=0，解得，A.=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△A.BC的周长为1+3+3=7；（2）∵x+y=2，∴y=2﹣x，则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，则x﹣1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=﹣2，∴xyz=2．20.分析：（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．解：（1）m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．。
沪科版八年级数学下册17.2.1 一元二次方程-配方法课件
（x－2）2=3
2
a
这种方 程怎样 解？
的形式．（a为非负常数）
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式，然后用开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方 法．
（1）x2＋8x＋ 16 =（x＋4）2 （2）x2－4x＋ 4 =（x－ 2 ）2 （3）x2－___ 6 x＋ 9 =（x－ 3 ）2
1．一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方
程，
根据平方根的定义，可解得
x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法． 2．把一元二次方程的左边配成一个完全平方
式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程 的方法叫做配方法． 注意：配方时， 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方．
练习1：用配方法解下列方程： （1） x2＋12x =－9 （2） －x2＋4x－3=0 2．用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－3k＋5的值必定大于零．
思考：先用配方法解下列方程： （1）x2－2x－1＝0 （2）x2－2x＋4＝0 （3）x2－2x＋1＝0 然后回答下列问题： （1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样 处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什 么条件下才有实数根？
用配方法解一元二次方程的步骤：
移项：把常数项移到方程的右边; 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平 方; 开方：根据平方根意义，方程两边开平方; 求解：解一元一次方程; 定解：写出原方程的解．
（１）方程 x2 0.25的根是 x1=0．5， x2=－0．5
（２）方程 2x 18 的根是 x1＝3， x2＝—3
完全平方式
总结归律:
x
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、1配方法教学课件新版沪科版
x2+6x=-4
两边加9，使得左边配 成完全平方公式
x+3= 5 或x+3=- 5
解一次方程
x2+6x+9=-4+9
左边写成完 全平方形式
x1=-3+ 5 或x2=-3- 5
检验x1，x2是原方程的两个根
（x+3）2=5
课程讲授
2 配方法 定义：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方
法，叫做配方法.
A.x=3 B.x=-3 C.x1=3，x2=-3 D.x1=0，x2=3
课程讲授
1 直接开平方法
问题2：试着解方程（x+3）2=5.
（x+3）2=5
降次
根据平方根的意义，得 x 3 5
即 x3 5 或 x3- 5
于是，原方程的两个根为
将一元二次方程转化 为两个一元一次方程
x1 -3 5，x2 -3 - 5
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
17.2.1 配方法
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.直接开平方法 2.配方法
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下面的问题。 1.如果 x2=a,则x叫做a的 平方根 . 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= a . 3.如果 x2=36 ,则x= ±6 . 4.如果 4x2=36 ,则x= ±3 .
（2）当p=0时，方程_有__两__个__相__等__的__实__数__根，即
____x_1___x_2_=__0___.
（3）当p<0时，方程_无__实__数___根. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方 法叫直接开平方法.
八年级数学下册17、2一元二次方程的解法17、2、2配方法新版沪科版
8．【合肥瑶海区期中】若方程x2－8x＋m＝0可以通过配方
写成(x－n)2＝6的形式，则x2＋8x＋m＝5可以配成( D )
A．(x－n＋5)2＝1
B．(x＋n)2＝1
C．(x－n＋5)2＝11 D．(x＋n)2＝11
9．【原创题】若x2＋4与2x－12为某个正数的两个不同的 平方根，则这个正数为_6_4_或__4_0_0___________．
6．【中考·聊城】用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0， 配方正确的是( A )
A.x－342＝1176 C.x－322＝143
B.x－342＝12 D.x－322＝141
7．【中考·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
【点拨】∵2x2＋8x－32＝0，∴x2＋4x＝16，∴x2＋4x＋ 4＝20， ∴(x＋2)2＝20，∴p＝2，q＝－20， ∴直线表达式为y＝2x－20，∴直线经过第一、三、四象 限，不经过第二象限．
14．用配方法解方程：(2x＋3)(x－6)＝16.
解：(2x＋3)(x－6)＝16，
2x2－9x＝34，x2－92x＝17，
2．【2021·丽水】用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方
结果正确的是( D )
A．(x－2)2＝5
B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5
D．(x＋2)2＝3
3．用配方法解方程2x2－x－6＝0开始错误的步骤是(
2x2－x＝6，
① ··
C
)
x2－12x＝3，
②
上海沪科版初中数学八年级下册17.2.1 配方法
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！17.2 一元二次方程的解法1.配方法学习目标：1.理解配方法的意义，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．通过对配方法的探究渗透转化的数学思想，经历从特殊到一般的认知过程，培养观察能力和归纳能力.3．激发学生学数学的兴趣，主动探究知识、自主学习和合作交流的意识，体会学数学的快乐。
学习重点：会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．学习难点：难点是发现与理解配方法.学习过程：知识回顾:1、某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？解：设无公害蔬菜产量的年增长率为x ，2005年的产量为，则可得方a 程：整理后，得：a x a 2)1(2=+0122=-+x x 到这里，问题还没有得到完全解决，我们认识了一种新的方程——一元二次方程，但是这样的方程，我们怎样来求它的解呢？2、用直接开平方法解下列方程：（1）、 （2）、22=x 75)1(32=+x 自学探究:1、如何解方程呢？0122=-+x x 显然，无法使用直接开平方法，观察上面的方程求解过程不难发现，如果能够将方程左边变形成一个完全平方式，而右边是一个非负数，问题便可以得到解决。
我们来做下面一组练习：（1）； （2）22____)(____4+=++x x x 22____)(____8-=+-x x x （3）； （4） 22____)(____3-=+-x x x 22____)(____5+=++y y y 通过上面一组练习的启发，我们对方程做如下尝试变形： 0122=-+x x 移项：122=+x x 两边同时：1+11122+=++x x 即：2)1(2=+x 此时，发现可以适用直接开平方法，得：_______. 2)1(2=+x =+1x 所以，原方程的根是：______________ ， _____________ .=1x =2x 2、从而得出：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用直接开平方法进行求解,这种解法叫做配方法。
沪科版数学下册《一元二次方程》17.2.1.2配方法(练习题课件)
12．【中考·东营】若|x2－4x＋4|与 2x－y－3互为相反 数，则 x＋y 的值为( A ) A．3 B ．4 C ．6 D ．9
*13.【中考·益阳】规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝ (2＋3)×3＝15，若2 x＝3，则x＝__1_或__－__3_．
【点拨】依题意得(2＋x)x＝3， 整理，得x2＋2x＝3，∴(x＋1)2＝4， ∴x＋1＝±2，∴x＝1或x＝－3.
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b 的值，由a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c 是△ABC的最短边长，即可求得c的值．
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0.∴a－6＝0且b－4＝0. ∴a＝6，b＝4. 又∵a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4.即c的值是3或4.
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14．【中考·齐齐哈尔】解方程：x2＋6x＝－7.
【点拨】本题的易错之处是在配方时忽视 等式的性质，忘了在等号右边加9而致错．
解：∵x2＋6x＝－7， ∴x2＋6x＋9＝－7＋9，即(x＋3)2＝2， 则 x＋3＝± 2，∴x＝－3± 2， 即 x1＝－3＋ 2，x2＝－3－ 2.
15．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值． 解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0. ∴m＋n＝0，n－3＝0. ∴m＝－3，n＝3. 问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC 的最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
沪科版数学八年级下册17.2一元二次方程的解法
１） x2+3x=0 解：x(x+3)=0 因此有x=0或(x+3)=0 解得x1=0，x2=-3
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２）x2=x 解：x2-x=0 x(x-1)=0 x=0或x-1=0 ∴x1=0 x2=1
Байду номын сангаас灿若寒星
２)x2=x 解：把方程两边同除x, 得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否 正确？为什么？
形如 ax2+bx=0(a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或ax+b=0
x1=0 x2=-
b a
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所以上式可转化为 x-4=0或 x+4=0 x1=4x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解， 这样将一元二次方程转化为两个一 元一次方程来求解的方法叫做因式 分解法．
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例 x2-5x+6=0 解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0 因此，有x-2=0 或x-3=0
解得 x1=2x2=3
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一元二次方程的解法
主 讲
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• 1)直接开平方法 • 2)配方法 • 3)公式法 • 4)因式分解法
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例x2-16=0 x2-16=0 解:(x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０．
如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
灿若寒星
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把
x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
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形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号） ax2=-c x2=- (a*c<ac 0) 我们用直接开平方法求解． 当a*c>0时，此时原方程没有
八年级数学下册《17.2一元二次方程配方法》课件1 (新版)沪科版
所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条
件下才有实数根？
第八页，共11页。
1．一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，
根据平方根的定义，可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法．
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x2－4x＋变1＝0
形 为
(biàn xíng)
变形为 （x－2）2=3
这种方 程
(fāngch 的形式．（aé为n非g)负怎常数）
样解？
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把一元二次方程的左边配成一个完 全(wánquán)平方式，然后用开平方法求 解，这种解一元二次方程的方法叫做配 方法．
（1）x2＋8x＋ 16 =（x＋4）2 （2）x2－4x＋ 4 =（x－ 2）2 （3）x2－__6_x＋ 9 =（x－ 3）2
2．把一元二次方程的左边配成一个完全平方式， 然后用开平方法(fāngfǎ)求解，这种解一元二次方程的 方法(fāngfǎ)叫做配方法(fāngfǎ)．
注意：配方(pèi fāng)时， 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方．
第九页，共11页。
用配方法(fāngfǎ)解一元二次方程的 步骤：
x的1=0根．是5， x2=－0．5 x1＝的3根，是x2＝—3
x1的＝根2，是x2＝－1
2． 选择(xuǎnzé)适当的方法解下列方程： （1）x2－ 81＝0 （2）x2 ＝50 （3）（x＋1）2=4 （4）x2＋2=x＋5=0
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配方(pèi fāng)时， 等式两边同时加上的是一次项系 数一半的平方
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专题17.2 一元二次方程的解法(第1课时)(备作业)八年级数学下册同步备课系列(沪科版)
第17章一元二次方程17.2 一元二次方程的解法（第1课时）一、单选题（共6小题）1.一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（）A．（x﹣3）2＝﹣14B．（x+3）2＝﹣14C．（x﹣3）2＝4D．（x+3）2＝4【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝4，（x﹣3）2＝4．故选：C．【知识点】解一元二次方程-配方法2.用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2＝3+36B．（x﹣6）2＝﹣3+36C．（x﹣3）2＝﹣3+9D．（x﹣3）2＝3+9【答案】D【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣6x﹣3＝0，∴x2﹣6x+9＝3+9，∴（x﹣3）2＝12，故选：D．【知识点】解一元二次方程-配方法3.一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6B．（x﹣2）2＝6C．（x+2）2＝﹣6D．（x+2）2＝﹣2【答案】A【分析】先把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方式即可．【解答】解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．【知识点】解一元二次方程-配方法4.用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8【答案】A【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．【知识点】解一元二次方程-配方法5.用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【答案】D【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题．【解答】解：4x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝．故选：D．【知识点】解一元二次方程-配方法6.利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9【答案】A【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+4＝5+4，（x+2）2＝9，故选：A．【知识点】解一元二次方程-配方法二、填空题（共6小题）7.用配方法解一元二次方程x2+6x+1＝0时，配方后方程可化为：．【答案】（x+3）2=8【分析】移项，配方，再根据完全平方公式进行变形，即可得出答案．【解答】解：∵x2+6x+1＝0，∴x2+6x＝﹣1，∴x2+6x+9＝﹣1+9，∴（x+3）2＝8，故答案为：（x+3）2＝8．【知识点】解一元二次方程-配方法8.一元二次方程x2﹣x﹣＝0配方后可化为﹣．【分析】根据配方法求解可得．【解答】解：∵x2﹣x﹣＝0，∴x2﹣x＝，则x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，故答案为：（x﹣）2＝．【知识点】解一元二次方程-配方法9.把方程2x2﹣x﹣6＝0配方，化为（x+m）2＝n的形式为．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵2x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝3，∴x2﹣+＝，∴（x﹣）2＝，∴故答案为：（x﹣）2＝．【知识点】解一元二次方程-配方法10.将一元二次方程x2﹣6x+10＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为．【答案】8【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝8，从而得到b的值．【解答】解：x2﹣6x+1＝0，x2﹣6x＝﹣1，x2﹣6x+9＝8，（x﹣3）2＝8，所以b的值为8．【知识点】解一元二次方程-配方法11.如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝．【答案】3【分析】先移项得到x2﹣4x＝﹣k，再把方程两边加上4得到（x﹣2）2＝4﹣k，从而得到4﹣k＝1，然后解关于k的方程即可．【解答】解：x2﹣4x＝﹣k，x2﹣4x+4＝4﹣k，（x﹣2）2＝4﹣k，所以4﹣k＝1，解得k＝3．故答案为3．【知识点】解一元二次方程-配方法12.将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝．【答案】12【分析】先移项，再配方，变形后求出a、b的值，即可得出答案．【解答】解：x2﹣6x+5＝0，x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝﹣5+9，（x﹣3）2＝4，所以a＝3，b＝4，ab＝12，故答案为：12．【知识点】解一元二次方程-配方法三、解答题（共6小题）13.用配方法解方程：3x2+6x﹣4＝0．【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤解出方程．【解答】解：3x2+6x﹣4＝0，方程两边同时除以3，得x2+2x﹣＝0，移项，得x2+2x＝，配方，得x2+2x+1＝+1，则（x+1）2＝，所以，x+1＝±，所以，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．【知识点】解一元二次方程-配方法14.用配方法解方程：x2﹣2x﹣8＝0．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解．【解答】解：方程移项得：x2﹣2x＝8，配方得：x2﹣2x+1＝9，即（x﹣1）2＝9，开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2．【知识点】解一元二次方程-配方法15.（1）用配方法解方程：x2﹣6x+4＝0；（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣6x+4＝0，∴x2﹣6x＝﹣4，∴x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，则x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣；（2）∵2x2﹣5x﹣3＝0，∴（x﹣3）（2x+1）＝0，则x﹣3＝0或2x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣0.5．【知识点】解一元二次方程-因式分解法、解一元二次方程-配方法16.解方程：（1）1﹣x＝3x2（配方法解）．（2）3x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）移项得：3x2+x＝1，x2+x＝，配方得：x2+x+（）2＝+（）2，（x+）2＝，开方得：x+＝，x1＝，x2＝；（2）3x2﹣x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×3×（﹣1）＝18，x＝＝，解得：x1＝，x2＝．【知识点】解一元二次方程-公式法、解一元二次方程-配方法17.解下列方程：（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；（2）2x2+3x﹣1＝0（请用配方法解）．【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．（2）根据配方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，∴y2﹣5y﹣6＝0，∴（y﹣6）（y+1）＝0，∴y1＝6或y2＝﹣1．（2）∵2x2+3x﹣1＝0，∴2（x2+x）＝1，2（x2+x+﹣）＝1，∴2（x+）2﹣＝1，∴2（x+）2＝，∴（x+）2＝，∴x＝．∴x1＝或x2＝．【知识点】解一元二次方程-配方法、解一元二次方程-公式法18.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2＝．【分析】由a不为0，在方程两边同时除以a，把二次项系数化为1，然后把常数项移项到方程右边，两边都加上一次项系数一半的平方即（）2，左边变为完全平方式，右边大于等于0时，开方即可得到求根公式；由求根公式求出的两个根相乘，化简后即可得证．【解答】解：∵ax2+bx+c＝0（a≠0），∴x2+x＝﹣，∴x2+x+（）2＝﹣+（）2，即（x+）2＝，∵4a2＞0，∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，∴x+＝±，∴当b2﹣4ac＞0时，x1＝，x2＝；当b2﹣4ac＝0时，x1＝x2＝﹣；∴x1•x2＝＝＝＝，或x1•x2＝（﹣）2＝＝＝，∴x1•x2＝．【知识点】根与系数的关系、解一元二次方程-配方法、根的判别式。