计算方法(第2版)李桂成 习题解答
计算方法习题二答案
计算方法习题二答案习题二1、利用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0，在2,3内根的近似值，并指出误差。
解：f(2)=-1<0 f(3)=19>0 f(2).f(3)<0f’(x)=3x2-2 在x∈2,3f’(x) >0所以在1,2上必仅有一根x=2 f(2)=-1 -x=3 f(3)=16 +x=2.5 f(2.5)=5.625 +x=2.25 f(2.25)=1.890625 +x=2.125 f(2.125) +x=2.0625 f(2.0625) -x=2.09375 f(2.09375) -x=2.109375 f(2.109375) +x=2.1015625 f(2.1015625) +所以x=2.109375+2010156252=2.097656252、证明方程1-x-sinx=0在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于12×10?4的根。
解：令f(x)=1-x-sinxf(0)=1f(1)=-sin1f(0).f(1)<0f’(x)=-1-cosx<0在0,1恒成立所以1-x-sinx=0在0,1内恒有一个根n≥ln1?0?ln?(12×10?4)ln2-1≈13.289所以n=14n a n b n x n+1f(x n+1)符号0 0 1 0.5 +1 0.5 1 0.75 +2 0.875 1 0.9375 +..143、能不能用迭代法求解下列方程，若不能时，将方程改写成能用迭代法的形式。
（1、）x=(cosx+sinx)/4 (2)x=4-2x解：（1、）f(x)=x=(cosx+sinx)/4f’(x)=?sinx+cosx4<1对x任何数恒成立所以可用迭代法设x0=0，则x1=0.25x2=0.2511x 3=0.2511所以x=0.251（2、）f(x)=4-2xf’(x)=x.2x ?1<0在x 为任意数不恒成立所以不能用迭代法令x=log 2(4?x)x 0=0x 1=2x 2=1x 3= |φ‘(x)|=|-14?x 1ln 2|对x ∈(1,2)<124、为求方程x 3-x 2-1=0在x 0=1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。
数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）
数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的⽜顿迭代公式112(),0,1,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+-= +=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218，⽽()k k k k k x x x x x 288821821-=-???? ??+=-+ nn k k x x 2122110215.22104185.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11 **1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种⽅法均可得出相对误差限，但第⼀种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成⽴的正确结论，故他对误差限的估计偏⼤，但计算略简单些；⽽第⼆种⽅法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
计算方法_习题集(含答案)
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
11.求公式 的代数精度。
12.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度。
13.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
11.解：取 代入公式，得到：
当 左边=1，右边=1。当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ,当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ，
所以公式具有三次代数精度。
12.解：令 ，代入积分公式，有
解之： ,积分公式为： ，
由于当 时，左= 右= ,
所以积分公式具有一次代数精度。
13.解：令 ，代入积分公式，有
16.解：增广矩阵的变换为
，
等价于方程组：
，解之， 。
17.解：消元过程： ，
回代可求出： 。
18.解：
，
， ，
，
所以
19.解：增广矩阵变换为：
等价于方程组
， 所以，方程组的解为
20.解：
等价的三角方程组为
回代可得 。
21.解：迭代格式： ， ，
。 ，所以迭代不收敛.
22.解：因为系数矩阵 是严格的对角占优矩阵，
21.对于方程组 ，写出 迭代的迭代格式并判断是否收敛。
22.对于方程组 ，分析Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代的收敛性。
23.设线性方程组的系数矩阵为 ，求能使Jacobi迭代收敛的 的取值范围
24.用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代于方程组 是否收敛？为什么？若将两个方程对调，结论又如何？
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
[电子教案]计算方法 (27)
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p( x ) a 00 ( x ) a11 ( x ) ... a m m ( x )
《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
m n
6.7.2
4
将6.7.2 式代入6.7.1式中，使误差平方和 2 取最小
2
值问题可转化为求下列 多元函数：
F(a 0 , a1 ,..., a m ) a j j ( x i ) y i i 0 j 0
《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
5
记离散意义下函数的内 积符号：
, (x )
j k j i i 0
n
k
(x i )
f , k yi k ( x i ) d k
则6.7.3式可写为：
i 0
n
(
j 0
n
k
, j )a j d k
6.7.5
实际计算与理论分析表 明，当n较大时，方程组
6.7.5为“病态”方程组。
8 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
求拟合多项式的步骤为 : (1)由给定的数据在坐标纸上描点，根据点的分布确定 拟合多项式的次数n (2)求解正规方程组 6.7.5 式，求出系数ai (3)写出拟合多项式S ( x )
3 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
2
6.7.2最小二乘法原理与多项 式拟合
对于给定的一组数据x i , y i
平方和：
2 2
i 0,1,2,..., n 在函数类
0 ( x ), 1 ( x ),..., m ( x ) 中寻求一个函数 ( x )，使误差 p
2 m
计算方法课后习题答案第四章作业
（五）课后习题4.1 对于积分⎰-aadx x f )(，以a x x a x ==-=210,0,为节点，构造形如⎰-++≈aax f A x f A x f A dx x f )()()()(221100的插值型求积公式，并讨论所得公式的代数精度。
解答：⎰⎰--=------=----=aa a a a dx a a a a x x dx x x x x x x x x A 31))(0())(0())(())((2010210⎰⎰--=-+-+=----=aa a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 34)0)(0())(())(())((2101201⎰⎰--=-+-+=----=aa a a a dx a a a x a x dx x x x x x x x x A 31)0)(()0)(())(())((1202102易知为Simpson 公式,因此代数精度为34.2 确定 下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。
（1）⎰++≈2210)2()1()0()(f A f A f A dx x f（2）⎰-⋅++≈hh f f h h f f hdx x f 0''2)]()0([)]()0([2)(α解答：（1）令2,,1)(x x x f =，假定求积公式均准确成立，从而有： ⎰++==202102A A A dx 21022102⋅+⋅+⋅==⎰A A A xdx22212022210038⋅+⋅+⋅⋅==⎰A A A dx x 解以上三元线性方程组从得：34,31120===A A A ，显然仍为Simpson 公式,因此代数精度为3（2）求积公式中只含一个待定参数α，当x x f ,1)(=时，有 ⎰++=hh dx 00]11[2，⎰-++=h h h hxdx 02)11(]0[2α故令2)(x x f =时求积公式准确成立，即⎰-⨯++=hh h h h dx x 0222]202[]0[2α，解得121=α将3)(x x f =代入上述确定的求积公式，有：⎰-++=hh h h h dx x 02233]30[12]0[2，这说明求积公式至少有3次代数精度，再令 4)(x x f =，代入求积公式时有：⎰-++≠hh h h h dx x 03244]40[12]0[2故所建求积公式为⎰-++≈hh f f h h f f h dx x f 0''2)]()0([2)]()0([2)(4.3 对于xxx f sin )(=，利用下表数据，计算8,4=n 时的复合梯形公式84,T T ，以及4=n 复合Simpson 公式4S 的值。
计算方法 李桂成
计算方法李桂成
摘要：
1.计算方法简介
2.李桂成的计算方法贡献
3.计算方法的实践应用
4.总结与展望
正文：
随着科技的不断发展，计算方法在各个领域发挥着越来越重要的作用。
在我国，有一位杰出的数学家——李桂成，他在计算方法领域做出了许多卓越的贡献。
本文将简要介绍李桂成的计算方法，以及他的研究成果在实际应用中的价值。
李桂成，我国著名数学家，长期从事计算方法的研究。
他的研究涉及数学、物理、化学、生物等多个学科，为我国计算方法领域的发展做出了巨大贡献。
李桂成在计算方法的研究中，提出了一系列高效、稳定的算法，其中最具代表性的是他在线性代数领域的研究。
线性代数是数学中的一个重要分支，其在自然科学、社会科学等领域有着广泛的应用。
李桂成针对线性代数中的矩阵运算、线性方程组求解等问题，提出了一种高效、易于实现的计算方法。
这种方法在保证计算精度的同时，大大提高了计算速度。
如今，该方法已在我国的高等院校、科研院所得到了广泛应用，为我国的科技创新、经济社会发展做出了积极贡献。
除了在理论研究方面取得的成就，李桂成的计算方法还在实践中发挥了重
要作用。
在航空航天、信息技术、新能源等领域，计算方法是解决问题的核心。
李桂成的研究成果为这些领域提供了有力的理论支持，使得我国在这些领域取得了世界领先的地位。
总之，李桂成的计算方法研究在我国科技发展中具有重要地位。
他的研究成果为各个领域提供了有力的理论基础，为我国的科技创新、经济社会发展做出了巨大贡献。
然而，计算方法的研究仍需不断发展，以满足不断变化的科技需求。
计算方法1-3
§1.3误差的传播1.3.1函数的误差1.3.2算术运算的误差1.3.3数值稳定性121.3.1 函数的误差设是精确值x 的一个近似值，是y 的一个近似值，现在分别对一元函数f(x)和二元函数f(x,y)的误差进行分析。
f(x)的近似函数值的误差限和相对误差限分别有如下的估计式*x *y )(*x f *'***'*****()|()|()()()()()()()r f x f x x f x f x f x x f x f x δδδδδ⎧≤⎪⎨≤=⎪⎩()1.3.1的误差限。
为其中**)(x x δ3f(x,y)的近似函数值的误差限和相对误差限分别有如下的估计式：**************((,))|(,)||(,)|(,)(,)((,))||()||()r f x y f x y f x y f x y f x y f x y x x x y δδδδδ⎧≤⎪⎪⎨∂∂⎪≤+⎪∂∂⎩)2.3.1(的误差限。
、分别为其中****)(),(y x y x δδ41.3.2 算术运算的误差加、减、乘、除运算的误差限和相对误差限的估计式：**********()()()()()()||r x y x y x x x y x y δδδδδδ⎧±≤+⎪⎨+±≤⎪±⎩()3.3.1**************()()()()()||||()||()||()r r r x y x y x y x y x y y x x y δδδδδδδδ⎧⋅≤+=+⎪⎨⎪⋅≤+⎩()1.3.45上述公式总结为：和、差的误差限不超过各误差限的和。
积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和。
*******2********1()()||()||()()()()()()||||r r r x x x y y y y x x y x y y x y δδδδδδδδ⎧≤+⎪⎪⎨⎪≤+=+⎪⎩()1.3.51.3.3数值稳定性误差的传播能否得到控制，是误差分析的重要内容，也是衡量一个算法优劣的一个重要指标。
计算方法3.3
§3.3 迭代法3.3.1 不动点迭代一般地，为了求一元非线性方程(3.3.1)的根，可以先将其转换为如下的等价形式(3.3.2)式中连续函数称为迭代函数，并使两个方程具有相同的解，然后构造迭代公式。
（3.3.3）)(=x f ()x x ϕ=()x ϕ()k k x x ϕ=+1 2,1,0=k对于给定的初值，由（3.3.3）可产生一个迭代序列如果有由于连续，则则是（3.3.2）的解，由等价性知也是(3.3.1)的解。
称为的不动点，迭代公式(3.3.3) 称为收敛的，并称其为不动点迭代法.由于在(3.3.3)式中，仅由决定，因此（3.3.3）式称为单步迭代法。
0x {}∞=0k k x ()x ϕ()()**1lim lim lim k k k k k x x x x k x ϕϕϕ+→∞→∞→∞⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭*x ()x ϕ*x 1+k x k x *x *lim kk x x →∞=称为方程根的第次近似值。
如果迭代序列的极限不存在，则称迭代公式（3.3.3）是发散的。
因此，在使用迭代法求方程根的近似值时，首先要考虑的问题是：如何选取迭代函数，使迭代公式收敛。
k x k {}k x ()x ϕ()k k x x ϕ=+13.3.2 迭代法的收敛性为了研究迭代法的收敛性，我们首先介绍迭代法的几何意义，从几何上讲，求方程的根，即求直线与曲线的交点的横坐标。
如图（3.3.1）。
)(x x ϕ=x y =()x y ϕ=p *xxy =)(x y ϕ=0x *x 2x 1x 1x 2x *x 0x xy =)(x y ϕ=1p 0p 0A 1A p()a ()b 0p 1p pA 1A xy =)(x y ϕ=0p1p p1A 0A 1x x x *x)(x y ϕ=xy =x x *x 1x 0A 1A pp 1p对于的某个初始近似值，在曲线上可以确定以为横坐标的一点，的纵坐标为，过点作轴的平行线交直线于，过作轴的平行线交曲线于，则的横坐标为，如此继续下去，在曲线上就得点列其横坐标，由迭代公式求得，如果点列越来越逼近交点，则迭代法收敛,否则迭代法发散。
计算方法习题第一、二章答案
第一章 误差1 问，，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π= 592 65… 记x 1=，x 2=，x 3=722.由π- x 1= 59…= 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2= 59…= 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722= 59 … 85…= 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为%，问x*至少有几位有效数字 分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由=…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a知取n=4即可满足要求。
5 计算76017591-，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
解 =-76017591 8×10-2-0.131 6×10-2=×10-5结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：56101734.0105768.01760759176017591-⨯=⨯=⨯=- 就得到4位有效数字的结果。