高等数学2练习题1

G
5．9、设 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ，则 ∫∫∫ [2 + ( x 2 + y 2 + z 2 ) x ]dV = ( A.0
今有向量场为 F ( x, y, z ) = x 2 i − 2 x j + yz 2 k , 则它在 ( x, y, z ) 处的散度是( 8．判别下面级数的敛散性． ∞ (−1) n 是 ( (A) ∑ 3 n =1 n + 2n − 1 ), (B)
得
分
五、计算下列各题:（每小题 6 分,共 42 分） 1. 设 z = x 2e y ，求
∂2 z ∂2 z ． , ∂x 2 ∂x∂y
线
阅卷人
5． 利用格林公式，计算曲线积分 v ， ∫ ( x − 2 y − 1)dx + (2 x + y − 3)dy ，其中 L 为顶点分别是（0，0）
L
封
D
得
分
x2 六、求在约束条件 + y 2 = 1 下函数 z = y 2 − x 2 的极值 . 4
（6 分）
阅卷人
阅卷人
线 密 封
内
7、求曲线 x2+y2+z2=6, x+y+z=0 在点(1, −2, 1)处的切线及法平面方程。
不
要
答
题
第
3
页（共 3 页）
得 分
）
A. 整体极小值;
） ．
S
B. 整体极大值;
C.以上两种均不是;
D.不可确定．
得
分
二、填空题：(每题 2 分，共 20 分) 1．设 f ( x, y ) = ln x + , 则f ( x + y, xy ) = （
G G G
阅卷人
G
y x
3. 若二重积分 I = ∫∫ f ( x, y )dydx 中的积分区域 S 是一个以点 (0, 0), (0,1) 与 (1,1) 为顶 点的三角形区域, 那么 ( ) B. I = ∫
A. I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy ;
0 0
1
1
dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ )rdr ;
0 1 0
1
C. I = ） 和
∫
1
0
dx ∫ f ( x, y )dy ;
x
2π
1
D. I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ．
0
系别：____________________ 专业________________
∞
5．幂级数 ∑ an x n 的收敛区域肯定是一点或一个区间（
n=0
三、 单选填空题: 从 “A,B,C,D” 四个答案中选择一个最适 当的填入括号内. (每小题 2 分,共 10 分) 阅卷人 a b = ad − bc , 这 里 的 1. 二 阶 行 列 式 的 定 义 是 c d , 那么二阶行列式是一个 ( )函数． a, b, c, d ∈ ( −∞, +∞ )（即 a, b, c, d 均为实数） A. 一元; B. 二元; C. 三元; D.四元. 4 4 2. 函数 z = x + 8 y 在点 (0, 0) 处取得 ( )．
2．函数 z = 16 − x 2 − y 2 的定义域是 S = 3． ∫∫∫ dxdydz =
Ω
{( x, y ) x
2
+ y 2 ≤ 42 ． （
}
） ） ）
4π , 这里的区域 Ω = {( x, y , z ) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1} ． （ 3
4．等式
1 （ = 1 + x + x 2 + " + x n + " 对于每个 x ≠ 1 都成立． 1− x
0 0 0
1
2
6．如果级数 ∑ un 和 ∑ vn 都收敛，那么 ∑ (4un − 6vn ) （
n =1 n =1 n =1
） ．
G G G
可以看出原来三重积分的积分区域 B 是 ( A. 一个球体; B.一个长方形区域;
Ω
)． C. 一个四面体; D. 一个柱体． )
7．若在三维空间中每一点 ( x, y, z ) 对应着一个向量 F ( x, y, z ) = M i + N j + Pk （这里 G M , N , P 均为 ( x, y, z ) 的三元函数） ，此时, F ( x, y, z ) 叫一个向量场, 它的散度定 义为 G ∂M ∂N ∂P + + ． div F = ∂x ∂y ∂z
π 2
0 1
2．设 a = {1,1, −4}，b = {c, −2, 2}, a ⊥ b . 则c = （
2 y
）. ） ）

3. 函数 f ( x, y ) = x y + xe 在 (1 , 0 ) 处方向导数的最大值等于（ 4. 曲面 z =
1 2 x − y 2在点(2, −1,1) 处的切平面方程为（ 2
阅卷人
(
)
x 2 x3 xn 9．对于幂级数 − x − − − " − − " , 这里 −1 < x < 1 , 那么其和为( 2 3 n 1 −y 10．交换二次积分的次序 ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx =（ ）
0 −1
)．
班级：__________________ 姓名：_______________ 学
―――――密――――――――――――――――――――封―――――――――――――――――――――――――――线―――――― __________________答__________题__________不__________得__________超__________过__________此__________线_______________
3．
x ∫∫ e D
2
+ y2
dxdy ,其中 D = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}
题
答
2．函数 f ( x) = arctan
1+ x 展开成 x 的幂级数.（6 分） 1− x
4. 计算三重积分
∫∫∫ x
S
2
yzdxdydz , 这里的 S 是
内
不
要
S = {( x, y, z ) 1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 2} ，即箱形的空间区域；
G
G
G
G
4 B. 4 + πR 3 3
.
8 C. 4 + πR 3 3
8 D. πR 3 3
)．
∑
sin nπ 是 ( n =1 n n
∞
) ．
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1
得
分
阅卷人
四、级数问题（12 分） n ∞ n −1 x 1．求幂级数 ∑ ( −1) 的收敛区间. (6 分) 2n n =1
号：____________
高等数学（2）(本) 练习题
得 分
一、是非题（对画√；错画×） （每题 2 分，共 10 分） 1 ． 从 点 A ( 0, 0, − 1) 至 点 B − 3, − 5, 0 的 向 量 是 JJJ G G G G G G G （ ） − 3 i − 5 j + k , 即是 AB = − 3 i − 5 j + k ．
（1，1） ， （1，2）的三角形区域的正向边界。
密
2．函数 z = z ( x, y ) 由方程 F ( x − z, y − z ) = 0 所确定，其中 F (u, v) 具有连续的一阶偏导数，且
Fu + Fv ≠ 0 ，求
∂z ∂z + . ∂x ∂y
第
2
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得
分
6、计算 I = ∫∫ ( xy + 1)dxdy, 其中 D : 4 x 2 + y 2 ≤ 4.
5 .在三维空间中方程 x + 2 y = 6 和
x −1 y + 2 z = 的图形分别是（ = 2 −1 3
4. 从下面的累次积分的上下限：
(
)．
∞ ∞ ∞
∫∫∫
B
f ( x, y , z ) dxdydz = ∫ dθ ∫ dr ∫ f ( r cos θ , r sin θ , z )rdz