圆的有关性质练习
2014-2015学年度巴拉贡学校10月圆的性质练习卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图,AB是半圆的直径,点D是弧AC的中点, ∠ABC=50°，则∠DAB等于（）
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
1题 3题 4题 6题
2．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）
A． B． C．或 D．5或
3．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．如图，已知点A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）
A.2∠C
B.4∠B
C.4∠A
D.∠B+∠C
5．下列命题中，不正确的是（）
A．n边形的内角和等于（n﹣2）?180°
B．两组对边分别相等的四边形是矩形
C．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，若∠D=36°，则∠BAD的度数是（）
A．72° B．54° C．45° D．36°
8．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C=80°，则∠A等于（）
A．120°B．100°C．80°D．90°
9．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（）
A．40° B．45° C．50° D．60°
10．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为 ( )
（A）40cm （B）60cm （C）80cm （D）100cm
11．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE=BE B．= C．OE=DE D．∠DBC=90°
E
D
C
B
A
12．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则
OP的长为（）
A．3 B
．4 C．．2
4
12题13题14题16题
13．如图，A、B、C三点在⊙O上，连接ABCO，若∠AOC=140°，则∠B的度数为( )
A．140°B．120°C．110°D．130°
14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD的度数为（）A．140° B．110° C．90° D．70°
15．在平面直角坐标系中，已知点A（4-，0），B（2，0），若点C在一次函数
1
=2
2
y x
-+的
图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若30
A
∠=?，70
APD
∠=?，则B
∠等于．
17．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
二、填空题
18．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，
则∠B= 度．
18题 19题 21题 22题
19．如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为．
20．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．
21．如图，ABC
?是⊙O的内接三角形，如果?
=
∠100
AOC，那么=
∠B_______度．
22．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，
CD＝2，则△OCE的面积为 .
23．如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD=
cm．
23题26题28题
24．在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD 的面积为．
25．已知AB、CD是直径为10的⊙O中的两条平行弦，且AB=8，CD=6，则这两条弦的距离为26．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A
两点，点A的坐标为（6，0），⊙P P的坐标为__________。
27．在⊙O中直径为4，弦AB=23，点C是圆上不同于A、B的点，那么∠ACB = ．
28．如图，⊙O的半径为4，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是 .三、解答题
29．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
30．如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
（1）△ABC的形状；
（2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论．
31．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
32．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
32．已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，
求：（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
33．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分BAD
∠和.
ADC
∠
（1）求证：AE DE
⊥；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连结DF交AE于G，已知CD=5，AE=8.
①求BC的长；
值.
②求FG
AF
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：连接BD，
点D是弧AC的中点
∴∠ABD=∠CBD=∠BAC=×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°-∠ABD=65°，
故选A．
考点：1.圆周角定理；2.圆心角.弧.弦的关系；3.圆内接四边形的性质. 2．C．
【解析】
试题分析：根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论
连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=1
2AB=
1
2×8=4cm，OD=OC=5cm．
当C点位置如答图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM3cm．
∴CM=OC+OM=5+3=8cm．∴在Rt△AMC中，AC==．
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm．
∴在Rt△AMC中，AC=．
综上所述，AC的长为或．
故选C．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．分类思想的应用． 3．C ． 【解析】
试题分析：由AB 是△ABC 外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由直角三角形两锐角互余的关系即可求得∠B 的度数： ∵AB 是△ABC 外接圆的直径，∴∠C=90°， ∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°． 故选C ．
考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系. 4．A ． 【解析】
试题分析：∵∠AOB 和∠C 是弧AB 所对的圆心角和圆周角，
∴根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠AOB=2∠C. 故选A ．
考点：圆周角定理． 5．B ． 【解析】
试题分析：根据多边形的内角和定理、矩形的判定、垂径定理及直角三角形的性质逐一判断：
A 、n 边形的内角和等于（n ﹣2）?180°，正确；
B 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故错误；
C 、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；
D 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确. 故选B ．
考点：1.命题与定理；2. 多边形的内角定理；3.矩形的判定；4.垂径定理；5.直角三角形斜边上中线的性质． 6．C 【解析】
试题分析：∵⊙O 的直径是AB ， ∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sinB=
2
1
AB AC ， ∴∠B=30°， ∴∠A=∠D=60°，
考点：1、圆周角定理；2、直角三角形的性质 7．B. 【解析】
试题分析：∵∠B 和∠D 是同弧所对的圆周角，且∠D=36°， ∴∠B =∠D=36°.
∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=90B 903654?-∠=?-?=?. 故选B.
考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系. 8．B ． 【解析】
试题分析：根据题意得∠A+∠C=180°， 所以∠A=180°-80°=100°． 故选B ．
考点：圆内接四边形的性质． 9．A ． 【解析】
试题分析：连接OB ，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°， ∵OB=OC ，
∴∠OCD=∠OBC=2
180BOC
?-∠=40°．
故选A ．
考点：1.圆周角定理；2.垂径定理． 10．A 【解析】 试题分析：
由垂径定理、过圆心O 作半径OD 垂直弦AB ，并连结OA 得直角三角形AOC ，设油深CD 为xcm ，则有
22210080(100)x =+-， 解得x ＝40
考点：1、垂径定理；2、勾股定理
11．C
【解析】
试题分析：∵CD⊥AB，
∴AE=BE，=，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
不能得出OE=DE．
故选C．
考点：1、垂径定理；2、圆周角定理
12．C．
【解析】
试题分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM=ON=3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴
故选C．
考点：1.垂径定理2.勾股定理．
13．C.
【解析】
试题分析：当B在AB′C弧上，如图，
则∠B′=1
2
∠AOC=
1
2
×140°=70°；
当B在AC弧上，如图，
则∠B=180°-∠B′=110°，
所以∠B的度数为110°．
考点：圆周角定理．
14．D.
【解析】
试题分析：根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；
又∵∠BCD=110°，
∴∠BAD=70°．
故选D．
考点：圆内接四边形的性质．
15．D.
【解析】
试题分析：由题意知，直线y=-1
2
x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为
（0，2），如图：
过点A作垂线与直线的交点W（-4，4），
过点B作垂线与直线的交点S（2，1），
过AB中点E（-1，0），作垂线与直线的交点为F（-1，2.5），
则EF=2.5＜3，
所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点
∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形．
故选D．
考点：1.勾股定理的逆定理；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.圆周角定理．16．40°
【解析】
试题分析：欲求∠B的度数，需求出同弧所对的圆周角∠C的度数；△APC中，已知了∠A及外角∠APD的度数，即可由三角形的外角性质求出∠C的度数，由此得解．
∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠C+∠A；
∵∠A=30°，∠APD=70°，
∴∠C=∠APD-∠A=40°；
∴∠B=∠C=40°；
考点：1．圆周角定理；2．三角形的外角性质．
17．B．
【解析】
试题分析：∵半径为R，长度为R的弦，
∴这条弦和两条半径组成了一个等边三角形，
∴该弦所对的圆心角是60°，
如图：
①当圆周角的顶点在优弧上时，得此圆周角等于30°；
②当圆周角的顶点在劣弧上，得此圆周角等于150°．
故选B．
考点：1．圆周角定理；2．圆内接四边形的性质．
18．40．
【解析】
试题分析：由平角定义求出∠AOD，平行线内错角相等的性质得出∠A，再由圆周角定理和直角三角形两锐角互余的关系求出∠B的度数即可：
∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°．
又∵AC∥OD，∴∠A=∠AOD=50°．
∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°．
∴∠B=90°﹣50°=40°．
考点：1．平角定义；2．平行线的性质；3．圆周角定理；4．直角三角形两锐角的关系．
19．65°．
【解析】
试题分析：根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数：
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．
∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．
考点：1．圆周角定理；2．直角三角形两锐角的关系．
20．30°或150°
【解析】
试题分析：连接OA、OB，
∵AB=OB=OA，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=30°，
∴∠D=180°﹣30°=150°．
∴弦AB 所对的圆周角为30°或150°．
考点：1、圆周角定理；2、含30度角的直角三角形；3、垂径定理． 21．50． 【解析】
试题分析：∵弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，圆周角是∠B ，
∴∠B=21∠AOC=2
1
×100°=50°．
考点：圆周角定理． 22．6. 【解析】
试题分析：∵AO=OC ，CD=2 ∴OC=OD-CD=AO-2 ∵OD ⊥AB
∴∠ACO=90°，AC=21AB=2
1
×8=4
∴AO 2=OC 2+AC 2
即AO 2=（AO-2）2+42 ∴AO=5，OC=3
∴S △AOC =2
1
×AC ·OC=6
在△ACE 中，AO=EO ∴S △OCE =S △AOC =6
考点：1、垂径定理；2、勾股定理；3、三角形中线的性质 23．2 【解析】
试题分析：∵OC 是⊙O 的半径且OC ⊥AB ，垂足为D ，
∴OA=OC=10cm ，AD=21AB=2
1
×12=6cm ，
∵在Rt △AOD 中，OA=10cm ，AD=6cm ， ∴OD=86102222=-=-AD OA cm ，
∴CD=OC ﹣OD=10﹣8=2cm ． 故答案为：2．
考点：1、垂径定理；2、勾股定理 24．2. 【解析】
试题分析：先由直径是圆中最长的弦得出BD=4，再根据垂径定理的推论得出AC
⊥BD ，则四边形ABCD 的面积=1
2
AC?BD．
试题解析：如图．
∵M 为AC 中点，过M 点最长的弦为BD ， ∴BD 是直径，BD=4，且AC ⊥BD ，
∴四边形ABCD 的面积=12AC?BD=1
2
×1×4=2．
【考点】1.垂径定理；2.勾股定理． 25．1或7． 【解析】
试题分析：由勾股定理得：圆心O 到弦AB 的距离d 1=3，
圆心O 到弦CD 的距离d 2=4．
（1）弦AB 和CD 在⊙O 同旁，d=d 2﹣d 1=1； （2）弦AB 和CD 在⊙O 两旁，d=d 2+d 1=7． 故这两条平行弦之间的距离是1或7． 故答案是1或7．
考点：1．垂径定理2．勾股定理． 26．（3，2） 【解析】
试题分析：过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，先由垂径定理求出OD 的长，再根据勾股定理求出PD 的长，故可得出答案．
试题解析：过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ， ∵A （6，0），PD ⊥OA ，
∴OD=21
OA=3，
在Rt △OPD 中 ∵OP=13 OD=3，
∴P(3，2) . 故P（3，2）.
考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
27．
【解析】
试题分析：连接OA、OB，过O作AB的垂线，通过解直角三角形，易求得圆心角∠AOB的度数，然后根据C在优弧AB和劣弧AB上两种情况分类求解．
如图：过O作OD⊥AB于D，连接OA、OB．
Rt△OAD中，OA=2，
∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，
∴∠AEB=1
2
∠AOB=60°．
∵四边形AEBF内接于⊙O，
∴∠AFB=180°-∠AEB=120°．
①当点C在优弧AB上时，∠ACB=∠AEB=60°；
②当点C在劣弧AB上时，∠ACB=∠AFB=120°；
故∠ACB的度数为60°或120°．
考点：1.圆周角定理；2.解直角三角形．
28．
【解析】
试题分析：先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
连结OA、OB，如图，
∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴
考点: 1.圆周角定理；2.等腰直角三角形．
29．（1）证明见解析；（2）8﹣
试题分析：（1）过O 作OE ⊥AB ，根据垂径定理得到AE=BE ，CE=DE ，从而得到AC=BD ； （2）由（1）可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ，再根据勾股定理求出CE 及AE 的长，根据AC=AE ﹣CE 即可得出结论． 试题解析：解：（1）证明：如答图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ， ∵AE=BE ，CE=DE ，
∴BE ﹣DE=AE ﹣CE ，即AC=BD.
（2）由（1）可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ， ∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴CE AE 8.
∴AC=AE ﹣CE=8﹣
考点：1.垂径定理；2.勾股定理． 30．证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，根据HL 定理可得出△BDE ≌△CDF ，进而得出结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD ⊥BC ，再由BD=CD ，可知AD 过圆心O ，故可得出结论． 试题解析：（1）答：△ABC 是等腰三角形．
证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．
∵AD 是角平分线， ∴DE=DF ．
又∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=CD ，
在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，
?
?
?==DF DE CD
BD ， ∴△BDE ≌△CDF （HL ）． ∴∠B=∠C ，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．
证明：∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AD过圆心O．
作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，∴⊙O是△ABC的外接圆．
考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．
31．（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（2）作直径DE，连接CE、BE．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCE=∠DBE=90°，则BE∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CE=弧AB，则CE=AB．根据勾股定理即可求解．
（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）作直径DE，连接CE、BE．
∵DE是直径，
∴∠DCE=∠DBE=90°，
∴EB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BE∥AC，
∴弧CE=弧AB，
∴CE=AB．
根据勾股定理，得
CE2+DC2=AB2+DC2=DE2=20，
∴DE=，
∴OD=，即⊙O的半径为．
32．(1)即圆心O 到AQ 的距离为4cm ；(2)EF=6cm. 【解析】 试题分析：
（1）过点O 作OH ⊥EF ，垂足为点H ，求出AO ，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（2）连接OE ，根据勾股定理求出EH ，根据垂径定理得出即可． 试题解析：
（1）过点O 作OH ⊥EF ，垂足为点H ， ∵OH ⊥EF ，
∴∠AHO=90°，
在Rt △AOH 中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH=2
1
AO ，
∵BC=10cm ， ∴BO=5cm ．
∵AO=AB+BO ，AB=3cm ， ∴AO=3+5=8cm ，
∴OH=4cm ，即圆心O 到AQ 的距离为4cm ．
（2）连接OE ， 在Rt △EOH 中，
∵∠EHO=90°，∴EH 2+HO 2=EO 2， ∵EO=5cm ，OH=4cm ，
∴EH=222245-=-OH EO =3cm ，
∵OH 过圆心O ，OH ⊥EF ， ∴EF=2EH=6cm ．
考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 33．（1）证明见解析；
（2）①BC =10； ②FG AF =3
4
．
【解析】 试题分析：（1）由四边形ABCD 是?，可知AB ∥CD ，那么就有∠BAD+∠ADC=180°，又AE 、DE 是∠BAD 、∠ADC 的角平分线，容易得出∠DAE+∠ADE=90°，即AE ⊥DE ； （2）①由于AD ∥BC ，AE 是角平分线，容易得∠BAE=∠BEA ，那么AB=BE=CD=5，同理有CE=CD=5，容易得出BC =BE+CE=10；
②在Rt △ADE 中，利用勾股定理可求DE ，由于AD 是直径，所以tan ∠FAG=FG
AF
，
而∠FAG=∠DAE，于是FG
AF
=
AE
DG
，即可求．
试题解析：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°.
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE；
（2）①在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，∴∠DAE=∠BEA.
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=5.
同理EC=CD=5．
∴BC= BE+EC=10；
②在平行四边形ABCD中，AD= BC= 10，
在Rt△AED中，
又∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠FAG=∠DAE．
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∴tan∠FAG=FG AF
，
∴FG
AF
=tan∠DAE=
AE
DG
=
6
8
=
3
4
．
考点：1.平行四边形的性质2.圆周角定理3.解直角三角形．
34．（1）圆心O到弦AB的距离是；
（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以为半径的圆周．
【解析】
试题分析：（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；
（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以为半径的圆周．
（1）如图，连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC=BC=1
2
AB=8cm，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC=cm），
答：圆心O到弦AB的距离是．
（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中
点到圆心O的距离都是，
∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一
个以O为圆心，以为半径的圆周．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
初中数学圆的全部详细公式
1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等
圆的基本性质练习题一
圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．0
A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O
中考数学专题复习模拟训练圆的有关概念及性质含答案
中考专题复习模拟训练:圆的有关概念及性质 一、选择题 1.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为5，则直线l和圆O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 以上均有可能【答案】A 2.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是（） A. 122° B. 128° C. 132° D. 138°【答案】C 3.如图，在半径为5 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长是（） A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 【答案】C 4.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°【答案】D
5.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于( ) A. 42 ° B. 28° C. 21° D. 20° 【答案】B 6.若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 )，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ) A. 在⊙P内 B. 在⊙P上 C. 在⊙P外 D. 无法确定【答案】B 7.如图，AB是圆O的直径，点C是半圆的中点，动点P在弦BC上，则∠PAB可能为（） A. 90° B. 50° C. 46° D. 26° 【答案】D 8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】D
9.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是 A. 115° B. l05° C. 100° D. 95° 【答案】B 10.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（） A. 70° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】B 11.已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、 F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（） A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不能确定 【答案】A 二、填空题 12.已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为________ ． 【答案】相切 13.⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD=6cm，则直径AB的长是 ________ cm． 【答案】4 14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长________．
最新九年级数学下册圆的知识点整理
最新九年级数学下册圆的知识点整理 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3."三点定圆"定理 4.垂径定理及其推论
5."等对等"定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系
初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算
中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距
1.中考数学专题05 圆的有关性质(真题测试)(解析版)
专题05 圆的有关性质真题测试 一、单选题 1.（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（） A. 8 B. 12 C. 16 D. 2√91 【答案】C 【解析】：连接OA， ∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5， ∴OD＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴AM＝√OA2?OM2＝√102?62＝8， ∴AB＝2AM＝16. 故答案为：C. 2.（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（） A. 8cm B. 5cm C. 3cm D. 2cm 【答案】A 【解析】：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE= 1 CD=4cm． 2 在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm， ∴OE= √OC2?CE2=3cm， ∴AE=AO+OE=5+3=8cm． 故答案为：A． 3.（2017·广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（） A. AD=2OB B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. ∠BOC=2∠BAD 【答案】D 【解析】：∵AB⊥CD， ∴BC?= BD?，CE=DE， ∴∠BOC=2∠BAD=40°， ∴∠OCE=90°﹣40°=50°． 故选D． 4.（2019·甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（） A. 54° B. 64° C. 27° D. 37° 【答案】C 【解析】：∵∠AOC＝126°，
圆的有关性质专题练习.doc
1. 如图，点A, B, C, P 在00 ±, CD±0A, CE10B,垂足分别为 D, E, ZDCE=40°,则 圆的有关性质专题练习 匕P 的度数为（ 如图，点 A, B, C 在。＞0 上，ZA=36°, ZC=28°,则NB=( ) A. 100° B. 72° C. 64° D. 36° 3. （2016-山东省滨州市?3分）如图，AB 是。。的直径，C, D 是。O 上的点,且OC 〃BD, AD 分别与BC, OC 相交于点E, F,则下列结论： ①AD_LBD ；②NAOO/AEC ；③CB 平分ZABD ；④AF=DF ；⑤BD=2OF ；⑥ACEF 竺ABED, 其中一定成立的是（ ） A.②④⑤⑥ B.①③⑤⑥ C.②③④⑥ D.①③④⑤ 4.如图，AB 为。。的直径，AB=6, AB_L 弦CD,垂足为G, EF 切。0于点B, ZA=30°,连 接AD 、OC 、BC,下列结论不正确的是（ ） ) 2. 40°
A. EF 〃CD B. ACOB是等边三角形 c. CG=DG D.我的长为方?兀 5.如图，。0的半径为4, ZXABC是。。的内接三角形，连接OB、0C.若ZBAC与NBOC 互补，则弦BC的长为（） A. 3V3 B. 4-^/3 C. 5扼 D. 6、/： 6.如图，点 D (0, 3) , 0 (0, 0) , C (4, 0)在。A 上，BD 是。A 的一条弦，则sinZOBD= A 1 4 A ~? R — c D 2 4 5 7.。0的半径为1,弦AB=V2,弦AC=^/3,则ZBAC度数为 ( )
24.1圆的有关概念及性质测试题)
圆第一节测试题(圆有关概念及性质) 姓名 分数 . 一、 选择题（每小题4分,共32分） 1、李沫沫想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ） （2小题） 2、如图2，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB =10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则BC 的长等于（ ）．A ．5 B ．53 C ．52 D ．6 3、已知：如图3,⊙O 的半径为5，AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长是（ ） A.．23cm B. 53 C.5 D.8 4、下列判断中正确的是（ ） （A ）平分弦的直径垂直于弦 （B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 （D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 5、如图，AB O 是⊙的直径，弦303cm CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙的半径为，则弦CD 的长为（ ）．A ．3 cm 2 B ．3cm C ．23cm D ．9cm 9题图 6．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（ ）。 A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160° 7．如图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。 A ． A 处 B ． B 处 C ．C 处 D ．D 处 8、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 二、填空题（每小题4分,共28分） 9、某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____． 10、已知一个直角三角形的面积为12cm 2，周长为12 cm ，那么这个直角三角形外接圆的半径是______cm. 11、如图，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝60°，∠C ＝70°，则∠BOD 的度数是________． 12、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝50°，则∠D ＝_ _____. 13、如图,ABC △内接于O ⊙,AB BC =,120ABC ∠=°,AD 为O ⊙的直径,6=AC ，那么BD = ． B C D A 5题 C A B O E D 8题图 7题
初中数学.圆的概念及性质.教师版
中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆；能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性，了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系；知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数， 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系；了解切线的 概念，理解切线与过 切点的半径之间的 关系；会过圆上一点 画圆的切线；了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系；会根据切 线长的知识解决简 单的问题；能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质
弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11，20 20，25 8，20，25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用； 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 中考考点分析
2018届中考数学复习《圆的有关性质》专项训练题含答案
2018届初三数学中考复习 圆的有关性质 专项复习练习 2. 如图，AB 是OO 的直径，BOCD ^DE / C0D= 34°,则/AEO 勺度数是（） 3. 如图是以厶ABC 的边AB 为直径的半圆 Q 点C 恰在半圆上，过 C 作CD L AB 3 交AB 于 D,已知cos / AC 3 , BC= 4,贝卩AC 的长为（） 5 20 16 A. 1 B. 20 C . 3 D. § 4. 已知OO 的直径CD= 10 cm, AB 是OO 的弦，AB!CD 垂足为M 且AB= 8 cm, 则AC 的长为（） A. 2 5 cm B . 4命 cm C. 2 5 cm 或 4 5 cm D . 2 3 cm 或 4 3 cm A. 51° B. 56 5. 如图，在O Q 中，QALBC / AQB= 70°，则/ ADC 勺度数为（ 1.如图，已知O O 的半径为13,弦AB 长为24,则点O 到AB 的距离是（） C. / () D B
A. 30° B . 35° C . 45° D . 70° 6. 如图，00的直径AB垂直于CD / CAB= 36°，则/ BCD勺大小是（） A. 18° B . 36° C . 54° D . 72° 7. 如图，已知OO为四边形ABCD勺外接圆，O为圆心，若/ BCD= 120°, AB= AD= 2,则00的半径长为（ 8. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB= CD= 0.25 米, BD= 1.5米，且AB CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（） A. 2 米 B . 2.5 米C . 2.4 米D . 2.1 米 9. 如图，AB是00的直径，弦CDLAB于点E, / CDB= 30°, O O的半径为5 cm 则圆心O到弦CD的距离为（） A 晋 B. f C. 3 D. 2、 3 3 fi R D
圆的有关性质测试题
圆有关的性质测试题 一、选择题 1、 如右图，O 0的半径0A 等于5，半径OdAB 于点D 若01=3，则弦AB 的长为() A 、10 B 、8 C 、6 D 4 2、 如图，O 0的弦AB=8, M 是AB 的中点，且 0M 3,则O 0的半径等于() A . 8 B . 4 C . 10 D . 5 3、 若O 0的半径为5cm,点A 到圆心0的距离为4cm ,那么点A 与O 0的位置关系是(「 ) A.点A 在圆外 B. 点A 在圆上 C. 点A 在圆内 D.不能确定 如图，AB 是O 0的直径，AB=4, AC 是弦，AC=2 3，/ A0C ^( ) A . / A =Z D B . CE = DE C . / ACB = 90° D . C E = BD 11、如图，半径为10的O 0中，弦AB 的长为16,则这条弦的弦心距为( ) (A ) 6 (B ) 8 (C ) 10 ( D ) 12 A. 120° 130 C . 140° .150° 7、 ① ③ 如图，O 0的半径为 A . 3 如图，AB 为OO / A = 45°; 5, 若 0F=3,, .6 C . 则经过点P 的弦长可能是 9 D . 12 igli *P AE 其中正确结论的个数为 B 的直径，AC 交OO 于E 点，BC 交OO 于D 点, ② AC= AB; 2 ④CE- AB= 2BD ( CD= BD A . 1个 8、如图, AB 是OO 的直径，点 (第 5题) / C = 70°,现给出以下四个结论: A . 20 9、 如右图, A 3 10、 如图， D 在AB 的延长线上，DC BOO 于C,若/ A B . 30 C 已知圆的半径是 5, 「 B. 4 AB 是O 0 的直径， 如图，已知O 0是正方形ABC 啲外接圆，点 E 是AD 上任意一点，则 / A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 ) O
2019-2020年中考数学专题复习训练圆的有关性质
（第7题） A B O D 2019-2020年中考数学专题复习训练圆的有关性质 一、选择题 1． 如图，⊙O 过点B 、C 。圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900 ，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为（ ） A 10 B 32 C 23 D 13 第1题 第2题 第4题 2．如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为（ ） A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 3． 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 4． 如图，⊙O 的直径AB =4，点C 在⊙O 上，∠ABC =30°，则AC 的长是（ ） A ．1 B D ．2 5．如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C, ⑤,正确结论的个数是 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、 5 6．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，已知?=∠60O ，则=∠C （ ） （A ）?20 （B ）?25 （C ） ?30 （D ）?45 7．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为 ( ) A ．25° B ．30° C ．40° D ．50° （第6题）
题图4O C B A 第11题图 B D C A O 8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若70ABC ∠=? ，则A O C ∠的度数等于（ ） 第9题 第10题 A ．140? B ．130? C ．120? D ．110? 9．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为（ ） A ．15° B. 30° C. 45° D ．60° 10．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? 11．如图， A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且A 是优弧BAC 上与点B 、点C 不同的一点，若BOC ?是直角三角形，则BAC ?必是( ) . A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.有一个角是?30的三角形 D.有一个角是?45的三角形 第12题图 第15题图 12．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ） A. 20° B . 40° C . 60° D. 80° 13．若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( ) A ．点A 在圆内 B ．点A 在圆上 c ．点A 在圆外 D ．不能确定 14．已知⊙O 的半径为5,弦AB 的弦心距为3,则AB 的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8 15．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o ，∠c=50o ，那么sin ∠AEB 的值为( ) A. 2 1 B. 33 C.2 2 D. 23 16．如图，在⊙O 中，∠ACB ＝34°，则∠AOB 的度数是（ ）． A.17° B.34° C.56° D.688题图 B
圆的基本性质测试题
内容： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b,,则a 与b 大小为（ ） A ．a ＞b B ．a ≥b C ．a ＜b D ． a ≤b 2.下列语句中不正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧。 A ．1个 Ｂ．2个 C ．3个 Ｄ．4个 3．已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的 点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ． B ．3.5 C ． D ． 5．如图， ，已知AB 是⊙O 的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=（ ） B. 600 C.800 6．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° (第4题) (第5题) (第6题) 7．已知⊙O 的半径是5cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，则AB 与CD 的距离是（ ） A ．1 cm B ．7 cm C.1 cm 或7 cm D.无法确定 8．如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30，则∠CBD 的度数是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．80 9．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30o，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是（ ） A ．30o B ．60o C ．45o D ．75o 10．如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ） A ．(45) cm B ．9 cm C ．45cm D ．62cm (第8题) (第9题) (第10题) 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．如图，⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 。 12．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是 。 （11） （12） （13） （14） 13．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，连接OA ，OB ，BD ，若∠AOB ＝100°，则∠ABD ＝ 度。 14．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= 。 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 15．如图所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段 OE 与OF 的数量关系，并给予证明。 16．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆．要求： １、尺规作图；２、保留作图痕迹。（可不写作法。） 四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） O P B A A D B C O _ O _E _ D _ C _ B _ A A B O M A E O F B P AmB O 30 D B C A O D C B A
圆的有关性质
圆的有关性质 本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． 中考数学圆的性质与计算专题训练 一、选择题 1. 如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为() A.35° B.38° C.40° D.42° 2. 2018·衢州如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是() A．75°B．70°C．65°D．35° 3. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为() A. 5 B．2 5 C．3 D．2 3 4. 如图某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的面积为() A．6 B．7 C．8 D．9 5. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为() A. 70° B. 35°C．20°D. 40° 6. 2018·宁夏 用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处 忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是( ) A ．10 B ．20 C ．10π D ．20π 7. 2019·聊城 如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵ 上的两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( ) A ．35° B ．38° C ．40° D ．42° 8. 如图，在正三角形网格中，△ ABC 的顶点都在格点上，点P ，Q ，M 是AB 与 网格线的交点，则△ABC 的外心是( ) A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 9. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放 在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( ) A ．5 cm B ．6 cm C ．7 cm D ．8 cm 圆的基本性质练习（含答案） 圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。它的对称中心是_ ④ _____________________ 。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦 所对的两条__⑥ __________ 。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上 都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题 目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一 条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o 常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦 ____ J2 __________ o (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关 系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 24.1圆的有关性质 第1课时 教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 学生四人一组讨论下面的两个问题： 问题1：图上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结． （1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形． 同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧． ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． （老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． （学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ． （2）AM=BM ，，，即直径CD 平分弦AB ，并且平分及． ?AC ? AC ?ABC ?AC ?BC ??AC BC =??AD BD =? AB ?ADB 人教版初中数学圆的经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O e 内切于ABC ?，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．24π- B ．242π- C ．243π- D ．244π- 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设 O e 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴 影的面积． 【详解】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°， ∵6AB =，10AC =， ∴BC=8， 连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， 设O e 的半径为r ， ∵O e 内切于ABC ?， ∴OH=OE=OF=r ， ∵11 ()22 ABC S AB BC AB AC BC r =?=++?V ， ∴ 11 68(6108)22r ??=++?， 解得r=2， ∴O e 的半径为2， ∴21 68-2 224-4ABC O S S S ππ=-=???=V e 阴影， 故选：D ． 【点睛】 此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】 解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上， 设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8， ∴OC=1 2 AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°， ∴22 OC BC ， 圆的有关性质 一、选择题 1. (2021兰州，7,4分)如图，在⊙O中，点C 是的中点，∠A＝50o，则∠BOC＝（）。（A）40o（B）45o（C）50o（D）60o 【答案】A 【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50o。根据垂径定理的推论，OC 平分弦AB 所对的弧，所以OC 垂直平分弦AB，即∠BOC＝90o? ∠B＝40o ，所以答案选A。 【考点】垂径定理及其推论 2. (2021兰州，10,4分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= （） （A）45o（B) 50o (C) 60o (D) 75o 【答案】：C 【解析】：连接OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC ∵四边形ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC ∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC ∴∠ABC＝∠AOC＝120o ∴∠OAB＝∠OCB＝60o 连接OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC 由四边形的内角和等于360o可知， ∠ADC＝360o－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD ∴∠ADC＝60o 【考点】：圆内接四边形 3. (2021·四川自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（） A．15°B．25°C．30°D．75° 【考点】圆周角定理；三角形的外角性质． 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数． 【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°， ∴∠B=∠C=30°， 故选C． 【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键4. （2021·四川成都·3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（） A．πB．πC．πD．π 【考点】弧长的计算；圆周角定理． 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案． 【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC， ∴∠A=50°，最新2021年中考数学 圆的性质与计算 专题训练(含答案)
圆的基本性质练习(含答案)
初中数学教程圆的有关性质
人教版初中数学圆的经典测试题附答案
人教版_2021年中考数学试卷分类汇编解析：圆的有关性质