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河南省2020届高三高中毕业班高考适应性考试数学(理)试题_

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2020届河南省高考适应性测试数学(理)试题解析

2020届河南省高考适应性测试数学(理)试题解析

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--≤，{}1B x x =<，则A B =（）A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1,1-答案：B先求出集合A ，然后求两集的交集即可. 解：解：因为{}2545014A x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =< 所以{}11A B x x ⋂=-≤<． 故选：B 点评：本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知复数201711i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：C利用41i =化简后再由复数的除法法则计算出z 后可得z ，从而得z 的虚部． 解：由201711i z i-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，则z i =，其虚部为1． 故选：C ． 点评：本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．3．顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为（） A ．28x y =B ．24x y =C ．28y x =D ．24y x =答案：A根据抛物线的概念和性质，即可求出结果. 解：设抛物线方程为22x py =， 由题意可知，22p-=-，得4p =， 所以所求抛物线的方程为28x y =． 故选：A . 点评：本题考查抛物线的概念和性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4．函数()cos xf x e x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D先求出函数的导数()sin xf x e x '=+，可得当0x >时，则()0f x '>，从而函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C ，再由22cos 022f e e ππππ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，排除除选项B ，得出答案. 解：由()cos xf x e x =-，则()sin xf x e x '=+当0x >时，e 1x >则()sin 0xf x e x '=+>，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C又22cos 022f e e ππππ--⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭（），排除除选项B 故选：D 点评：本题考查函数图像的识别，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（）A ．5B ．3C ．6D ．4答案：A执行程序框图，依此写出每次循环时的,k S 的值并判断，直到当0S <时，退出循环，输出k 的值. 解：第一次循环：615S =-=，112k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第二次循环：523S =-=，213k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第三次循环：330S =-=，314k =+=，0S =，不满足0S <执行循环； 第四次循环：044S =-=-，415k =+=，0S <，退出循环，此时输出5k =. 故选:A 点评：本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.6．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间满足2152y x x =-．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5药的药物功效的平均值为（） A ．18药物单位 B ．15药物单位 C ．20药物单位 D ．10药物单位答案：B设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，根据方差概念计算出222126x x x ++⋅⋅⋅+，再计算出()()222126126126152y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，可得y ．解：设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，则()()()()222222221261266630x x x x x x x x xx-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-=⨯=，所以222126180x x x ++⋅⋅⋅+=．于是()()22212612612615290y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则126156y y y y ++⋅⋅⋅+==．故选：B ． 点评：本题考查均值和方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．本题还考查统计与数学文化，考查数据处理能力．7．函数f （x ）＝2sin 2（ωx ﹣6π）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f （x ）在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A ．B ．12C ．2D ．1 答案：D由函数的最小正周期得到ω的值，再根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，结合余弦函数的性质得到函数的最小值； 解：解：因为()22sin 1cos 263f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=解得1ω=，所以()1cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以72,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()min 12f x =- 故选：D 点评：本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.8．连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x ，y ，z ，那么点(),,P x y z 到原点O 的A ．13108B ．427C ．1172D ．16答案：A根据题意可知点(),,P x y z 的情况共有216种，由点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，列出满足条件的所有情况，再根据古典概型即可求出结果. 解：由题意可知，所有点(),,P x y z 的情况共有666216⨯⨯=种，点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，所以满足条件的点P 有()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,1,4，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3，()1,4,1，()2,1,1，()2,1,2，()2,1,3，()2,2,1，()2,2,2，()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()3,1,1，()3,1,2，()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2，()3,3,1，()4,1,1共26个，故点P 到原点O 的概率为2613216108=．点评：本题考查古典概型，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题． 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知cos ,cos 2==-ABCB bS C a c且b，则a +c ＝（） A ．B ．CD ．答案：D利用余弦定理角化边可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得3B π=，根据三角形面积公式可得3ac =，再根据余弦定理可求得结果. 解：因为cos cos 2B b C a c=-，所以222222222a c b b ac a b c a c ab+-=+--，化简得222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=，所以1sin 2ABCSacB4，所以22ac =，所以3ac =， 又2222cos b a c ac B =+-，所以23()2a c ac ac =+--，所以2()3312a c ac +=+=，所以a c +=. 故选：D. 点评：本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，属于基础题.10．设A 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上一点，且A 在第四象限，O 为坐标原点，若向量m ＝（1，1），10,OA =且2OA m ⋅=-，则该双曲线的离心率为（） A ．BC．3D由已知可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，由10,OA =且OA 2m ⋅=-，可得22210a t c=，2at b a=-，建立关于,a b 的方程，解之，再由双曲线离心率的公式可得选项. 解：由已知可得A 为直线b y x a =-上一点，且A 在第四象限，故可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，2c OA t t a===，其中c =，22210a t c ∴=，22,b aOA m t t t a b a⋅=-=-∴=-，0,0t b a >∴>>，2222102a a t c b a ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，2222221042a a a b b ab a =+-+，2231030a ab b ∴-+=，即(3)(3)0a b a b --=，0b a >>，3b a ∴=.所以该双曲线的离心率为c a ==== 故选：A. 点评：本题考查求双曲线的离心率的问题，关键在于由已知条件得出关于,,a b c 的方程，属于中档题.11．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（）A B C ．52D ．3答案：A作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案. 解：如图所示，因为2,120AC BC ACB ==∠=，可得ABC 的面积为11sin 22224ABC S AC BC ACB ∆=⋅∠=⨯⨯⨯=设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作圆E 的直径CD ，连接SD ，因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为1323S ABC V SD -=⨯⨯=，解得23SD =， 由正弦定理，可得4sin sin 30AC ACCD ABC ===∠，2227SC CD SD =+=， 设球的半径为R ，则227R SC ==，解得7R =.故选：A.点评：本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12．已知函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e =的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（）A ．1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1(1,]e e-C ．1[1,]e e-D ．1[1,]e e+答案：B根据函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()xg x e =的图象上存在两对关于直线y x=对称的点，则函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，利用导数法，可得a 的取值范围. 解：解：因为函数()21,f x x ax x e e ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e = 的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，所以函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，即方程ln x a x x =-，1()x e e ≤≤有两解， 令ln x y x x =-，1()x e e≤≤，则221ln x xy x -+'=，当11x e≤<时，0y '<，函数y 为减函数； 当1x e <≤时，0y '>，函数y 为增函数. 故当1x =时，min 1|1x y y ===， 又111||x e x ey e y e e e ===+=-，， 所以当1=x e时，1max y e e =+，画出函数图象，如图：由图可知a 的取值范围1(1,]e e-. 故选：B. 点评：本题考查函数的对称性、导数与函数的应用，函数与方程的根的关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于综合题. 二、填空题13．函数f （x ）＝22,01,0x x x nx x ⎧+⎨>⎩，则f （f （1e ））＝_____．答案：﹣1先计算出11e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()1f -得值，由此得出结果. 解：依题意得1(1)1e f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 点评：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知向量a (3,),b (6,8)==m 若a 与b 平行，则m ＝_____． 答案：4根据向量平行的坐标表示直接列式求解. 解：由题意可知若a 和b 平行， 则386m ⨯=，解得：4m = 故答案为：4 点评：本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型.15．4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______． 答案：145先将4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭化简为()()444132x x x -+，由此可知4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，从而可求得结果.解：因为()()4444132231x x x x x =-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，故4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()()2044133244444C C 2C 1C 32C 1⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯ ()322231340444444C 32C 1C 32C C 3145⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=．故答案为：145 点评：本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题． 三、双空题16．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为______；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线MC 与AC 所成角的余弦值为_______． 答案：15325117首先可证1BD AC ⊥，在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，可得1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在1BB 上取一点G ，由10BD EG ⋅=，求出G 点的位置，从而得到动点M 轨迹，即可求出动点M 的轨迹围成的图形的面积，显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值； 解： 解：如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面， 所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，所以1⊥BD EF ． 记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹．由题意得FG =3344EF AC ==⨯=， 动点M的轨迹围成的图形的面积为12⨯=．显然当M 与G 重合时，MC与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M，()1C ，所以()1MC =-，(1MC =-=因为直线AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以11143cos ,17217MCn MC n MC n===，即异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为17． 故答案为：；17. 点评：本题考查空间中点、线、面的位置关系，利用空间向量法解决立体几何问题，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于难题． 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）()2325nn T n =-⋅+.（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥可得出1n n n a S S -=-，然后对1a 的值是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行验证，由此可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n T . 解：（1）当1n =时，111213a S ==+=；当2n ≥时，()()11121212nn n n n n a S S ---=-=+-+=.13a =不适合12n na .综上所述，13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）由（1）可得()()13,121212,2n n n n b n a n n -=⎧=-=⎨-⋅≥⎩. 当1n =时，13=T ；当2n ≥时，()123133********n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅，得()()12312323252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，上式-下式得()()()22318123222222212321212n n nnn T n n ----=+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅-()5322n n =-+-⋅，()2325n n T n ∴=-⋅+，13=T 满足()2325n n T n =-⋅+，因此，()2325nn T n =-⋅+.点评：本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题. 18．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A ，B 两个目标投掷，先向目标A 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A 的概率为45，套中目标B 的概率为34，假设小华每次投掷的结果相互独立． （1）求小华恰好套中一次的概率；（2）求小华总分X 的分布列及数学期望． 答案：（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =. （1）分为套中目标A 和套中目标B 两种情形，结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即可得结果；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5求出相对应的概率，再计算期望即可. 解：（1）设“小华恰好套中一次”为事件A ， 则()411131125445448P A =⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，()1111054480P X ==⨯⨯=；()4111154420P X ==⨯⨯=；()131********P X ==⨯⨯⨯=；()43133254410P X ==⨯⨯⨯=；()1339454480P X ==⨯⨯=；()4339554420P X ==⨯⨯=；∴X 的分布列为：()0123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评：本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．已知12(F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝2|PF 1|． （1）求椭圆C 的标准方程：（2）过点Q （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为点M ′，证明：直线NM ′过定点．答案：（1）22196x y +=；（2）直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）由椭圆的定义和已知条件得111222,3PF PF a PF a +==，又由112PF F F ⊥可得出点P 的坐标，代入椭圆的标准方程中可解出,a b ，从而得出椭圆的标准方程； （2）设出直线l 的方程，点M 、N 的坐标，直线l 的方程与椭圆的方程联立可得点M 、N 的坐标的关系，再表示出直线NM '的方程，将点M 、N 的坐标的关系代入可得直线NM ′所过的定点. 解：（1）由12(F F得c =，22223a b b ∴=+=+，由椭圆的定义得122PF PF a +=，212PF PF =，111222,3PF PF a PF a ∴+==， 112PF F F ⊥，所以点P 的坐标为23a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入椭圆的方程中有22222(31a ab ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=， 又22223,3a b b a =+=-，222313a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=-， 解得29a =或295a =， 当295a =，226305b a =-=-<，故舍去； 当29a =，223936b a =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22196x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率必然存在,故设直线l 的方程为(4)y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，联立方程组22196(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222322448180k x k x k +++-=，()()()222222443248181681440kk k k ∆=-+-=-+>，解得267k <，21222432k x x k +=-+，2122481832k x x k -⋅=+， 又()22,N x y ，()11,M x y '-，设直线NM '的方程为()()()21212222121y y y y y y x x x x x x x x --+-=-=---，21212122122221222121212121y y y y y y y x y x y x y x y x x y x x x x x x x x x x x ++++-∴=-+=-+-----2112212121y y y x y x x x x x x ++=---()()()()21122121214444k x k x k x x k x x x x x x x ++++⋅++⋅=---()()1212122121824k x x kkx x k x x x x x x x ++++=---222222212124481824824323232k k k k k k k k k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-++⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=--- ()()()()22212116363232k kx x x k x x k =+-+-+()()221169432k x x x k ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，当94x =-时，0y =，所以直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点评：本题考查椭圆的定义和简单的几何性质，求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中直线过定点的问题，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属于较难题.20．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为2时，证明：DB 1⊥平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围． 答案：（1）见解析，（2）3223[]27-- （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ；（2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a bn --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围.解：（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上， 因为2211PB PH HB =+1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232= 所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),(0,2,1),(4,4,1)D D EF B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-++=， 所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =,所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B , 设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥，设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11x =，则4(1,1,)3a bn --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角，则4cos cos ,2a b m nm nm nθ+-⋅=-=-=+， 0,sin 0,sinθπθθ≤≤∴>==则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--， 点评：此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.21．设函数f （x ）＝x ln x ，g （x ）＝ae x （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线也与曲线y ＝g （x ）相切，求a 的值． （2）若函数G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）存在两个极值点． ①求a 的取值范围；②当ae 2≥2时，证明：G （x ）＜0． 答案：（1）21a e =；（2）①10a e<<；②证明详见解析. （1）首先求切线方程，设切点()00,P x y ，利用导数的几何意义列式求解；（2）①由条件转化为y a =与ln 1xx y e +=有两个交点，利用函数的导数求解； ②首先由已知条件22a e≥，转化为()22ln ln xx G x x x ae x x e e =-≤-，再通过构造函数()22ln xx x e e F x x-=，利用导数证明()0F x <恒成立. 解：（1）()ln 1f x x '=+，()11f '=，()10f =，则切线方程为1y x =-设切线与()y g x =相切于点()00,P x y ，则0000011x xae y ae y x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得：02x =，01y =，21a e =；（2）①()ln xG x x x ae =-，0x >，()ln 1x G x x ae '=+-，当()0G x '=时，ln 1e xx a +=， 若函数()G x 有两个极值点，即y a =与ln 1xx y e +=有两个交点， 设()()ln 10xx h x x e+=>， ()1ln 1x x x h x e --'=，设()1ln 1t x x x=--， ()2110t x x x'=--<，即函数()t x 在()0,∞+上单调递减，且()10t =，∴在区间()0,1()0h x '>，在区间()1,+∞()0h x '<，()h x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，并且()11h e=，当x →+∞时，()0h x →，当0x →时，()h x →-∞， 若y a =与()y h x =有两个交点时，10a e<<；②()()()ln x G x f x g x x x ae =-=-，当2222ae a e≥⇔≥，()22ln ln x x G x x x ae x x e e=-≤-，令()222ln 2ln xx x x e e e F x x x x e-==-⋅， ()()222211212xx x e x x e e F x x x e x x e-⋅-'=-⋅=-⋅， 显然01x <<时，()0F x '>,()F x ∴在()0,1上单调递增， 当()0,1x ∈时，()()210F x F e<=-<， 当1x >时，()()()2222111221xx e x x e x F x x x e x e x ---⎛⎫'=-⋅=- ⎪-⎝⎭，令()221x e x H x e x =--，1x >，()()222101x e H x e x '=+>-， ()H x ∴在()1,+∞上单调递增，又()20H =,()1,2x ∈时，()0H x <，当()2,x ∈+∞时，()0H x >,∴当()1,2x ∈时，()0F x '>，当()2,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x ∴在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，当1x >时，()()2ln 210F x F ≤=-<，综上所述，()()0G x F x ≤<，所以()0G x <.点评：本题考查导数的几何意义，根据极值点的个数求参数的取值范围，以及证明不等式，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的难点是第三问，需构造函数()222ln 2ln x x x x e e e F x x x x e -==-⋅，函数的变形求解.22．在直角坐标系xOy 中，P （0，1），曲线C 1的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求||PM |﹣|PN ||．答案：（1）10x y +-=，2240x y x +-=，（2（1）把曲线C 1的参数方程消去参数t 可得普通方程，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=两边同乘以ρ，把互化公式代入可得直角坐标方程；（2）把曲线C 化成标准参数方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，然后利用t 的几何意义求解||PM |﹣|PN ||解：解：（1）曲线C 1的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得普通方程为10x y +-=，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=，所以其直角坐标方程为2240x y x +-=（2）曲线C 1过点P （0，1），则其参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将其代入方程2240x y x +-=得，22()(1)4()0222-++-⨯-=，化简得(22104140t ++=∆=-=>，，设上式方程的根为12,t t，所以12121t t t t +=-=，所以12PM PN t t -=-===点评：本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题.23．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3． （1）求11+2+a b的最小值； （2）证明：92+a b b a ab答案：（1）45；（2）证明见解析 （1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.解：（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，， ∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab ，需证2292a b +≥， 因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a b b a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 点评：本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.。

河南郑州市2020届高三第三次统一考试数学(理科)试题 (解析版)

河南郑州市2020届高三第三次统一考试数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π34．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣15．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．1710．设双曲线C：x 2a −y2b=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．5411．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω＞14，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（）A．[12，54]B．[12，2]C．(14，54]D．(14，2]12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为 ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ ． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ．（请将所有正确结论的序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝（4c ﹣b ）cos A ． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若b ＝4，点M 在线段BC 上，且AB →+AC →=2AM →，|AM →|=√6，求△ABC 的面积．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价x i 和月销售量y i （i ＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价x i （元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量y i （万件）1110865（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．19．如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为2，∠B 1BA =π3． （Ⅰ）证明：B 1C ⊥AC 1；（Ⅱ）若平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，M 为A 1C 1的中点，求B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝（a+2）x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2−2x3，若∀x1∈（0，1]，∃x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）3成立，求实数a的取值范围．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数1．2（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过坐标原点O的直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C上异于A，B的点P满足．直线AP的斜率为−32（ⅰ）求直线BP的斜率；（ⅱ）求△ABP面积的最大值．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（φ为参数），将曲线C1 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＜x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜2}，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（z﹣1）i＝3+i，得z=3+i i+1=(3+i)(−i)−i2+1=2−3i，∴z=2+3i．则z的虚部为3．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π3【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得α的范围以及正切值，可得α的值．解：角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，α为第三象限角，则tanα=cos7π6sin7π6=cot7π6=cotπ6=√3，∴α＝π+π3=4π3，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，运用等差数列的求和公式，以及等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简整理，解方程可得首项和公差，即可得到所求值．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由S5＝﹣5，可得5a1+12×5×4d＝﹣5，即a1+2d＝﹣1，①由a3，a4，a6成等比数列，可得a42＝a3a6，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+5d），化为a1d+d2＝0，由d≠0，可得a1＝﹣d，②由①②解得d＝﹣1，a1＝1，则a7＝1+（7﹣1）×（﹣1）＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．解：函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，就是方程x12=x﹣1，log12x＝x﹣1，(12)x=x﹣1方程的的解，在坐标系中画出函数y=x12，y=log12x，y=(12)x，与y＝x﹣1的图象，如图：可得b＜c＜a，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行【分析】采用举反例方式，逐一排除，从而可得到正确答案．解：由题可知，直线l和平面α要么相交，要么平行．当平面α与直线l平行时，在α内就不存在直线与直线l相交，则A错；当平面α与直线l相交时，在α内就不存在直线与直线l平行，则C错；当平面α与直线l相交时，过直线l的平面与平面α都会相交，则D错；不论直线l和平面α相交还是平行，都会在α内存在直线与直线l异面，则B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了点线面位置关系，考查了学生的直观想象能力，属于基础题．7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3【分析】根据（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），求得含x4的项的系数．解：∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π【分析】直接利用三视图，判断几何体的构成，进一步利用几何体的表面积公式求出结果．解：根据几何体的三视图：该几何体是由底面半径为3，高为4的圆柱，挖去一个底面半径为3，高为4的倒圆锥构成的几何体．所以：S＝32•π+6π×4+12×6π×5＝48π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．17【分析】显然取法总数为C83，要取出的球的编号互不相同可先选编号数C43，再定颜色有C21C21C21，则有C43C21C21C21种取法，相比即可．解：从8个球中随机取出3个的取法有C83=56种；其中取出的球的编号互不相同的取法有C43C21C21C21=32种，则取出的球的编号互不相同的概率P=3256=47．故选：A．【点评】本题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题．10．设双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．54【分析】设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理可得|PF1|＝4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式计算即可得到结果．解：设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，则|OM|＝a，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|＝|F1F2|＝2c，则NF2⊥PF1，|NP|＝|NF1|，由|NF2|＝2|OM|＝2a，则|NP|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即4b2＝（c+a）2＝4（c2﹣a2），整理得3c＝5a，则e=ca=53．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形的三线合一、中位线定理、勾股定理及双曲线的定义、离心率计算，属于中档题．11．已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω＞14，x ∈R)，若f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54]B ．[12，2]C ．(14，54]D ．(14，2]【分析】先利用辅助角公式，将函数f （x ）化简为f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，观察选项，可以找两个特殊值ω＝2和ω=13，进行试验排除．具体做法是，将ω＝2和ω=13分别代入函数f （x ），求出对称轴，给k 赋值，判断对称轴是否能在区间(π2，π)即可得解．解：f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，∵f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，∴T2=πω≥π−π2=π2，∴ω≤2，即14＜ω≤2，若ω＝2，则f(x)=√2sin(2x +π4)，令2x +π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π8+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝1时，对称轴为x =5π8∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠2，排除选项B 和D ，若ω=13，则f(x)=√2sin(13x+π4)，令13x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=3π4+3kπ，k∈Z，当k＝0时，对称轴x=3π4∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠13，排除选项C．故选：A．【点评】本题考查辅助角公式和正弦函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力、分析能力和运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】先由对称性求出g（x），然后由已知可设f（x1）＝g（x2）＝a，则分别表示x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），代入后结合导数及极值存在的条件可求．解：由题意可得g(x)=e x2+1．设f（x1）＝g（x2）＝a，则x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），∴2x1﹣x2＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，令h（a）＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，则h′(a)=2e a−2−2a−1=2（e a−2−1a−1）在（1，+∞）上单调递增且h′（2）＝0，故当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当1＜a＜2时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，故当a＝2时，h（a）取得极小值h（2）＝2﹣2k，由题意可知2﹣2k ＝﹣2， 故k ＝2． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数极值存在的条件，解题的关键是利用已知表示出极值的条件． 二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为2π3．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，由数量积的运算性质可得a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2，变形解可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，若a →•（b →−a →）＝﹣2，则a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2， 即2cos θ﹣1＝﹣2，解可得cos θ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3； 故答案：2π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题． 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ 8 ． 【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的项即可． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），n ＝1时，2a 1﹣S 1＝1．可得a 1＝1，n ＝2时，2a 2﹣S 2＝1，即2a 2﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 2＝2，n ＝3时，2a 3﹣S 3＝1，即2a 3﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 3＝4， n ＝4时，2a 4﹣S 4＝1，即2a 4﹣a 4﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 √2 ．【分析】根据题意作图，结合抛物线性质可得|PA||PF|=1sin ∠PAM，则当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，即当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大，设P （a ，a 24），利用导数求得斜率求出a 的值即可解：由题意可得，焦点F （0，1），A （0，﹣1），准线方程为y ＝﹣1 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |， 则|PA||PF|=|PA||PM|=1sin ∠PAM，∠PAM 为锐角．故当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，故当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大可设切点P （a ，a 24），则PA 的斜率为k =14a 2−1a，而函数y =x 24的导数为y ′=x2，则有a2=14a 2−1a，解得a ＝±2，可得P （2，1）或（﹣2，1），则|PM |＝2，|PA |＝2√2， 即有sin ∠PAM =|PM||PA|=√22， 则|PA||PF|=√2，故答案为：√2【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．（请将所有正确结论的序号都填上）【分析】①取DC的中点N，连接NM、NB，可得MN∥A1D，NB∥DE，且MN、NB 和∠MNB均为定值，由平面与平面平行的判定可得面MNB∥面A1DE，则MB∥面A1DE；②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；③由①可知MN，NB，∠MNB，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB，计算得线段BM的长是定值；④当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，得CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，由勾股定理求外接球的半径OE，．代入球的表面积公式可得外接球的表面积为13π3解：如图，∵AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，∠BAD＝60°，∴△ADE（A1DE）为等边三角形，则DE＝1．①取DC的中点N，连接NM、NB，则MN∥A1D，且MN=1=A1D=12；2NB∥DE，且NB＝DE＝1，∵MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，则MN∥平面A1DE，同理NB∥平面A1DE，又NM∩NB＝N，∴平面NMB∥平面A1DE，则MB∥平面A1DE，故①正确；②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．∵DE＝1，可得CE=√3，∴CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，∵A1C∩CE＝C，∴DE⊥面A1CE，∵A1E⊂面A1CE，∴DE⊥A1E，与已知∠DA1E＝60°矛盾，故②错误；，NB＝1．③由①知，∠MNB＝∠A1DE＝60°，MN=12由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB=1+1−2×12×1×12=34，4，故③正确；∴BM的长为定值√32当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，∴CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，则外接球的半径OE=(3)2+(32)2=√1312，3∴外接球的表面积S＝4π×(√13)2=13π3，故④正确．12∴正确命题的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（4c﹣b）cos A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若b＝4，点M在线段BC上，且AB→+AC→=2AM→，|AM→|=√6，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝4sin C cos A，结合在△ABC中，sin C≠0，可求cos A的值．（Ⅱ）解法一：由AB→+AC→=2AM→，两边平方，利用余弦定理可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，由AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段，利用余弦定理中点，|AM→|=√6，可求CN=2√6，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）因为a cos B＝（4c﹣b）cos A，由正弦定理得：sin A cos B＝（4sin C﹣sin B）cos A，即sin A cos B+sin B cos A＝4sin C cos A，可得sin C＝4sin C cos A，在△ABC中，sin C≠0，．所以cosA=14（Ⅱ）解法一：∵AB→+AC→=2AM→，两边平方得：AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=4AM→2，，由b＝4，|AM→|=√6，cosA=14可得：c2+2c⋅4⋅1+16=4×6，解得c＝2或c＝﹣4（舍）．4，又sinA=√1−cos2A=√154所以△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，∵AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段中点，|AM→|=√6，∴CN=2√6，又∵b＝4，cosA=14，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14，∴CN2＝AC2+AN2﹣2AC•AN•cos∠CAN，即24=16+c2−2c⋅4⋅(−14)，解得：c＝2或c＝﹣4（舍），又sinA=√1−cos2A=√154，∴△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式以及平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价x i（元/件）99.51010.511月销售量y i （万件） 11 10 8 6 5（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．【分析】（Ⅰ）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为7元/件时，求出预测数据，通过判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想．（Ⅲ）设销售利润为M ，则M ＝（x ﹣5）（﹣3.2x +40）（5＜x ≤11）M ＝﹣3.2x 2+56x ﹣200，求解x ＝8.75时，M 取最大值，得到结果．解：（Ⅰ）因为x =15(11+10.5+10+9.5+9)=10，y =15(5+6+8+10+11)=8． 所以b ̂=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，所以a ̂=8−(−3.2)×10=40，所以y 关于x 的回归直线方程为：y ̂=−3.2x +40． （Ⅱ）当x ＝7时，y ̂=−3.2×7+40=17.6，则|17.6﹣18|＝0.4＜0.5，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，所以x＝8.75时，M取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=π3．（Ⅰ）证明：B1C⊥AC1；（Ⅱ）若平面ABB1A1⊥平面ABC，M为A1C1的中点，求B1C与平面AB1M所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．证明B1C⊥BC1．B1D⊥AB，CD⊥AB．得到AB⊥平面B1CD．推出AB⊥B1C．即可证明B1C⊥平面ABC1，得到B1C⊥AC1．（Ⅱ）说明DB，DB1，DC两两垂直，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DB1为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面AB1M的法向量，利用空间向量的数量积求解B1C与平面AB1M所成的角的正弦值即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B1BA=π3，∴△ABC 和△ABB 1是边长为2的等边三角形，且B 1C ⊥BC 1． ∴B 1D ⊥AB ，CD ⊥AB ．∵B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面B 1CD ． ∵B 1C ⊂平面B 1CD ，∴AB ⊥B 1C ．∵AB ，BC 1⊂平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．（Ⅱ）∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知B 1D ⊥AB ，∴B 1D ⊥平面ABC ．则DB ，DB 1，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，DB 1为z 轴， 建立空间直角坐标系．则D （0，0，0），A （﹣1，0，0），B 1(0，0，√3)，C(0，√3，0)，C 1(−1，√3，√3)，A 1(−2，0，√3)∵M 为A 1C 1的中点，∴M(−32，√32，√3)，∴B 1C →=(0，√3，−√3)，AB 1→=(1，0，√3)，AM →=(−12，√32，√3)，设平面AB 1M 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{AB 1→⋅n →=x +√3z =0AM →⋅n →=−12x +√32y +√3z =0，取z ＝1，得n →=(−√3，−3，1)． 设B 1C 与平面AB 1M 所成的角为α，则sinα=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=4√3√6⋅√13=2√2613．∴B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值为2√2613．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝（a +2）x 2+ax ﹣lnx （a ∈一、选择题）． （Ⅰ）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）设g （x ）＝x 2−23x 3，若∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝0时，求出f ′(x)=4x −1x，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ．求出g '（x ）＝2x ﹣2x 2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最小值，同理求解f （x ）min ，利用转化不等式，构造函数，转化求解即可．解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝2x 2﹣lnx ，f ′(x)=4x −1x，则f （1）＝2，f '（1）＝3，故曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为3x ﹣y ﹣1＝0．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ． 由g(x)=x 2−23x 3得g '（x ）＝2x ﹣2x 2，由g '（x ）＝2x ﹣2x 2≥0得0≤x ≤1，所以在[0，1]上，g（x）是增函数，故g（x）min＝g（0）＝0．f（x）定义域为（0，+∞），而f′(x)=2(a+2)x+a−1x =2(a+2)x2+a−1xx=(2x_1)[(a+2)x−1]x．当a≤﹣2时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，1]上是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；当a＞﹣2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜1a+2；由f'（x）＞0，得x＞1a+2，所以f（x）在(0，1a+2)单调递减，在(1a+2，+∞)单调递减．若1a+2＞1，即﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，1]是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；若0＜1a+2≤1，即a≥﹣1时，f（x）在x=1a+2处取得最小值，f(x)min=f(1a+2)=1+ ln(a+2)−1a+2，令h(a)=1+ln(a+2)−1a+2(a≥−1)，则h′(a)=1a+2+1(a+2)2=a+3(a+2)2＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，所以h（a）在[﹣1，+∞）是增函数且h（a）min＝h（﹣1）＝0，此时f(x)min=f(1a+2)≥0成立，满足条件．综上所述，a≥﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，转化思想的应用，是难题．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数12．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为−32． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求△ABP 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x ＝4的距离的比是常数12，列出方程化简求解即可．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，利用平方差法求解AP 的斜率，BP 的斜率即可．（ⅱ）说明S △ABP ＝2S △OAP ，设直线AP ：y =−32x +m ，代入曲线C ：x 24+y 23=1化简得：3x 2﹣3mx +m 2﹣3＝0，设A （x 1，y 1），P （x 2，y 2），利用韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，转化求解三角形面积的表达式，然后求解最值即可． 解：（Ⅰ）由已知得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，两边平方并化简得3x 2+4y 2＝12，即点M 的轨迹C 的方程为：x 24+y 23=1．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，①设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，②由①﹣②得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，∵k AP =y 1−y 2x 1−x 2−=−32，k BP =y 1+y2x 1+x 2，∴k BP =y 1+y2x 1+x 2=12．（ⅱ）∵A，B关于原点对称，∴S△ABP＝2S△OAP，设直线AP：y=−32x+m，代入曲线C：x24+y23=1化简得：3x2﹣3mx+m2﹣3＝0，设A（x1，y1），P（x2，y2），由△＞0得：m2＜12，x1+x2＝m，x1x2=m2−33，|AP|=√1+94|x1−x2|=√1+94√(x1+x2)2−4x1x2=√1+94√4−m 23，点O到直线AP的距离d=√1+94，∴S△ABP =2S△OAP=2×12×|AP|⋅d=|m|√4−m23=√4m2−m43，∴S△ABP =√−m43+4m2=√−13(m2−6)2+12，当m2＝6时，∴S△ABP取到最大值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及距离公式的应用，三角形面积的最值的求法，是中档题．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ（φ为参数），将曲线C1向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）由题意：{x =1+cosφy =sinφ⇒{x −1=cosφy =sinφ⇒(x −1)2+y 2=1．∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 因曲线C 1是圆心为（1，0），半径为1的圆， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （Ⅱ）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），则|AB|=|ρ1−ρ2|=2|sinα−cosα|=2√2|sin(α−π4)|=√2． 所以sin(α−π4)=±12，因为2kπ＜α＜2kπ+π2，所以α−π4=2kπ±π6(k ∈Z)．所以α=2kπ+π12(k ∈Z)或α=2kπ+5π12(k ∈Z)．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |（a ＞0，b ＞0）． （Ⅰ）当a ＝b ＝1时，解不等式f （x ）＜x +2； （Ⅱ）若f （x ）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义分段脱绝对值求解．（Ⅱ）由绝对值不等式求函数f （x ）的值域可确定a +b ＝2，再配凑均值不等式的形式，两次用均值不等式即可证明．解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，不等式为|x﹣1|+|x+1|＜x+2，当x＜﹣1时，不等式化为−2x＜x+2⇒x＞−23，此时不等式无解；当﹣1≤x＜1时，不等式化为2＜x+2⇒x＞0，故0＜x＜1；当x≥1时，不等式化为2x＜x+2⇒x＜2，故1≤x＜2．综上可知，不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，当且仅当x﹣a与x+b同号时，f（x）取得最小值|a+b|，∵f（x）的值域为[2，+∞），且a＞0，b＞0，故a+b＝2．故1a+1+1b+1+1ab=14(1a+1+1b+1)[(a+1)+(b+1)]+1ab=14(2+b+1a+1+a+1 b+1)+1ab≥14(2+2√b+1a+1⋅a+1b+1)+(2a+b)2=1+1=2（当且仅当a＝b＝1时取等号）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式，属于中低档题．。

2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学(理)试题

2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学(理)试题

绝密★启用前2020届河南广东等省高三4月联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个解：由{}{}{}2230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元素，因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ． 点评：本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题．2．已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1解：()()()21121112i ii i i i i ++===--+Q ，又41i =，()202050520204111i iii +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭.故选：D. 点评：本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()ni n N *∈的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题.3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元B ．5000元C ．5500元D ．6000元解：刚退休时就医费用为：400015%600⨯=元，现在为就医费用占退休金的10%， 设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得400015%10%100x ⨯-=，解得 5000x = 故选：B ． 点评：本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属于简单题4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．27B ．37C ．17D ．314解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C =种方法．所以满足条件的概率为2548337C C =，故选：B ． 点评：本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点(3,23M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D．1:3解：抛物线的焦点为()1,0F ，所以23331FM k ==-， 由()2431y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213x =，2121113214323px FN MN x x p ++∴===++++，故选：C ． 点评：本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（ ）A ．3010B ．3020C ．13020D ．7010解：设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，连接EF ， 以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则点()1,0,0A -、()3,0B、()1,0,1D 、()0,0,0E 、()13,2B ，()1,0,1ED =u u u r，()1EB =u u u r，()AB =u u u r ，设平面1B DE 的法向量为(),,n x y z =r，由100n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v，得020x z z +=⎧⎪+=，取z =x =2y =，2,n ∴=r，设直线AB 与平面1B DE 所成角为θ，则sin cos ,20AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅u u u r r u u u r r u u u r r，则cos θ==故选：C. 点评：本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．5 BCD解：作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()2242325-+-=故选：C ． 点评：本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．8．给出下列说法： ①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x+<”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=， 该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =， 所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确； 对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 点评：本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．9．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.52c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：A由题意得出1m >，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 解：log 30log 1m m >=Q ，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m >，0.54331log 2log log 2122==<<<Q ， 又指数函数xy m =为R 上的增函数，故0.534log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ． 点评：本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题．10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ） A ．9两 B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 答案：B先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 解：共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列， 故有()71226612a -=-，所以266127a =， 故选：B ． 点评：本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a Ba Ab B+的最大值为（ ）AB．2CD答案：B利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值. 解：cos cos 3ca Bb A -=Q ，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin2cos sinA BB A====+，故选：B．点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．12．已知()f x为奇函数，()g x为偶函数，且()()()3log31xf xg x+=+，不等式()()30g x f x t--≥对x∈R恒成立，则t的最大值为（）A．1B．332log2-C．2D．33log212-答案：B根据函数()y f x=为奇函数，函数()y g x=为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30g x f x t--≥得出()33231log3xxt+≤，换元30xp=>，利用导数求出函数()321pyp+=的最小值，即可得出实数t的最大值.解：Q函数()y f x=为奇函数，()y g x=为偶函数，且()()()3log31xf xg x+=+，①()()()3log31xf xg x-∴-+-=+，即()()()3log31xf xg x--+=+，②①-②得：()()()33331312log log31331x xxx x xf x x--++===++，()2xf x∴=，()()3log312xxg x∴=+-，由()()30g x f x t--≥得()()()()33323133log312log3xxxt g x f x x+-=+-=≤，令30xp=>，()321pyp+=，则()()2312p pyp+-'=.当02p<<时，0y'<，此时函数()321pyp+=单调递减；当2p>时，0y'>，此时函数()321pyp+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ． 点评：本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题．二、填空题13．已知向量(2,a =r ，(1,b =r ，则b r 在a r 方向上的投影等于__________．答案：83-设a r 与b r 的夹角θ，利用向量的数量积的坐标运算可求得b r 在a r方向上的投影为cos a b b aθ⋅=r rr r .解：设a r 与b r 的夹角θ，则b r 在a r方向上的投影为2108cos 33a b b aθ⋅-===-r rr r ．故答案为：83-. 点评：本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题． 14．在ABC V 中，2π3B ∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且12BC AB =，则E 的离心率为__________．答案：13利用余弦定理求出AC ，利用双曲线的定义建立a 与c 的等量关系，进而可求得双曲线的离心率. 解：由题意，2AB c =，BC c =，ABC V 中，2π3B ∠=，AC ∴===．2c a -=，得：13c e a ==．.. 点评：本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题． 15．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________． 答案：2先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 解：Q 函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤Q ，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.Q 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2.点评：本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD ==，6AB AD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．答案：92π作出图形，求BD 的中点为E ，连接AE ，确定外接球球心在线段AE 上，设外接球的半径为R ，可得出2OE R =-，然后在Rt ODE △中利用勾股定理可求得R 的值，最后利用球体体积公式可求得结果. 解：Q 平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，取BD 的中点为E ，连接AE ，BCD V 的外接圆圆心为点E ，则外接球的球心O 在AE 上，且22BD =，2ED =222AE AD DE =-=，设外接球半径为R ，则2OE R =-，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()22222R R =+-，得32R =， 因此，三棱锥A BCD -的外接球的体积为3344393322V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：92π. 点评：本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．答案：（1）()*1n a n n N=+∈．（2）见解析 （1）令1n =求得1a 的值，令2n ≥，由112n n n S na a =+-得出()1111112n n n S n a a ---=-+-，两式相减得出11n n a a n n -=+，由此可得出数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用放缩法得出()()2222211221n a n n n n n =<=-+++，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立. 解：（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++L .点评：本题第（1）问通过给出数列的项n a 与其前n 项和n S 的关系，求n a 的递推关系式，进一步求数列{}n a 的前n 项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， 22AF FD =，45DFE CEF ∠=∠=o ．（1）证明//DC EF ；（2）求二面角D BE C --的平面角的余弦值． 答案：（1）见解析；（225. （1）证明出//AB 平面EFDC ，然后利用线面平行的性质定理可证明出//DC AB ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；（2）证明出平面ABEF ⊥平面EFDC ，然后作DG EF ⊥，垂足为G ，可得出DG ⊥平面ABEF ，由此以点G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，GD u u u r的方向为z 轴正方向，GF u u u r为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D BE C--的平面角的余弦值. 解：（1）Q 四边形ABEF 为正方形，//AB FE ∴，AB ⊄Q 平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，//AB ∴平面EFDC ，AB ⊂Q 平面ABCD ，平面ABCD I 平面EFDC DC =，//DC AB ∴，因此，//DC EF ；（2）AFEF ⊥Q ，AF DF ⊥，EF DF F =I ，AF ∴⊥平面EFDC ，AF ⊂Q 平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG EF ⊥，垂足为G ，DG ⊂Q 平面EFDC ，平面ABEF I 平面EFDC EF =，DG ∴⊥平面ABEF ，以点G 为坐标原点，GF uuu r 方向为x 轴正方向，GD u u u r为z 轴正方向，GF u u u r 为单位长，如图建立空间直角坐标系，则45DFG CEF ∠=∠=o ，()0,0,1D ∴，()3,0,0E -，()2,0,1C -，()3,4,0B -． ()3,4,1BD ∴=-u u u r ，()3,0,1ED =u u u r， 设平面DBE 的法向量为()111,,m x y z =u r，则00m BD m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111134030x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，取13z =，则11x =-，10y =，所以，()1,0,3m =-u r，又()1,4,1BC =-u u u r ，()1,0,1EC =u u u r， 设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =r，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222400x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，令21z =，则21x =-，20y =，()1,0,1n ∴=-r ，设二面角D BE C --的平面角为θ，()()113125cos 5102m n m nθ⋅-⨯-+⨯∴===⨯⋅u r r u r r ．即二面角D BE C --25． 点评：本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．19．已知点P 在圆:O 229x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足42PQ =u u u r u u u r .（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.答案：(1) 22198x y +=;(2)是定值为12.(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据4PQ =u u u ru u u r,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 解：(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--u u u r u u u u r. 4PQ =u u u r u u u r Q)0004x x y ⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y Q 在229x y +=上, 2294x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,整理得22198x y +=故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=.(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++ 所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 点评：本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+.20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？答案：（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵.（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望； （2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解. 解：（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3， 则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元． 点评：本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 21．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4． （1）求实数a 的值； （2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．答案：（1）2a =；（2）m 的最大值为3． （1）由题意得出()24f e'=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值. 解：（1）()()1ln f x a x x x =-+Q ，()ln f x x a ∴'=+，Q 函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =； （2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<Q 对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'， 令()ln 3u x x x =--，则()11u x x'=-， 1x >Q ，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，()41ln 40u =-<Q ，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---，故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈Q ，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．点评：本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题．22．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为,22ρθππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．答案：（1）点A的坐标为55⎛- ⎝⎭；（2）{}44,122⎛ ⎝⎦U . （1）求出曲线C 的普通方程，根据题意求出直线OA 的方程，再将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，即可求得点A 的坐标；（2）设直线l 的方程为()24y k x =-+（其中k 为直线l 的斜率），求出直线l 与半圆C相切时直线l 的斜率k 的值，设点(B，(0,D ，()2,4P --，求出直线PB 、PD 的斜率，利用数形结合思想可求得直线l 的斜率的取值范围.解： （1）由,22ππρθ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，所以，曲线C 的直角坐标方程为：()2220x y x +=≥，Q 点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，∴直线OA 与直线：210x y ++=平行， ∴直线OA 的斜率12-，即OA 的方程为12y x =-， 由222120x y y x x ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪≥⎪⎩，得：5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 即点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； （2）将直线l 化为普通方程：()24y k x =-+（k 为直线l 的斜率）， 当直线l 与半圆()2220x y x +=≥=2870k k ∴-+=，1k ∴=或7k =，设点(B，(0,D ，()2,4P --，则PB k =，PC k =． 由图象知，当直线l 与半圆C 相切时，则PD k k <，此时1k =.因此，当直线l 与半圆C 有且只有一个公共点时，直线l的斜率的取值范围是{}44122⎛-+⋃ ⎝⎦．点评：本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题． 23．设函数()121f x x x =-++，x ∈R .（1）求不等式()5f x <的解集； （2）若关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围． 答案：（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）将函数()y f x =表示为分段函数的形式，然后分1x <-、11x -≤≤、1x >三段解不等式()5f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由题意可知关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，进而得出()min 212f x t ≥--，求出函数()y f x =的最小值，然后解不等式()min 212f x t ≥--即可求得实数t 的取值范围.解：（1）函数()y f x =可化为()31,13,1131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩．当1x <-时，由()5f x <，可得315x --<，解得2x >-，此时21x -<<-； 当11x -≤≤时，由()5f x <，可得35x +<，解得2x <，此时11x -≤≤；当1x >时，由()5f x <，得315x +<，解得43x <，此时413x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，则关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，所以，()min 212f x t ≥--.当1x <-时，()31f x x =--，此时，函数()y f x =单调递减，则()()12f x f >-=； 当11x -≤≤时，()3f x x =+，此时，函数()y f x =单调递增，则()()()11f f x f -≤≤，即()24f x ≤≤；当1x >时，()31f x x =+，此时函数()y f x =单调递增，则()()14f x f >=. 综上所述，()()min 12f x f =-=.2122t ∴--≤，即4214t -≤-≤，解得3522t -≤≤. 因此，实数t 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 点评：本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．。

2020年河南省普通高中高三毕业班高考适应性测试理科数学(含解析)

2020年河南省普通高中高三毕业班高考适应性测试理科数学(含解析)

2020年高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．143．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．165．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2b 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2√23 D ．2√336．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6 8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2] 9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．1210．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．1−π4B．π4C．1−2πD．2π11．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当x∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣312．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝（x﹣2）lnx，则函数f（x）在x＝1处的切线方程为．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是（填写字母）．16．设F1，F2是椭圆C：x2+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，4若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB＝3．（1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．19．已知O 为坐标原点，点F （0，1），M 为坐标平面内的动点，且2，|FM →|，2OM →⋅OF →成等差数列．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线T ，过点N （0，2）作直线l 交曲线T 于C ，D 两点，试问在y 轴上是否存在定点Q ，使得QC →⋅QD →为定值？若存在，求出定点Q 的坐标，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）＝axe x +（x +1）sin x +cos x ．（1）若a ＝1，x ≥−π2，求函数f （x ）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosx x ，x ∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g （x ）的导函数g '（x ）存在零点，求实数a 的取值范围．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p （0＜p ＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若E ξ1＝E ξ2，试运用概率与统计的知识，求p 关于k 的函数关系p ＝f （k ）； （ⅱ）若p =1−1√e 4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k 的最大值．（ln 4＝1.386，ln 5＝1.609，ln 6＝1.792，ln 7＝1.946，ln 8＝2.079，ln 9＝2.197）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|．（1）求函数f （x ）的最大值M ；（2）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝M ，求a a+2+2b 2b+1的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），则A∩B＝（1，+∞），故选：B．【点评】本题考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．14【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z=1(i−1)2=1−2i=i−2i⋅i=12i，则|z|=12．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元【分析】根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D错误．解：对于选项A：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误；对于选项B：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误；对于选项C：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D 错误，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．16【分析】求出展开式的通项，然后分别求出x2，x4项的系数相加即可．解：（x+1）5＝（1+x）5，所以展开式的通项可写为：T k+1=C5k x k，k＝0，1， (5)所以a2+a4=C52+C54=15．故选：C．【点评】本题考查二项展开式通项的应用．注意系数与二项式系数的区别．属于基础题．5．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，过F作x轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A，B两点，若△AOB的面积为2b2，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2√23D．2√33【分析】写出双曲线的渐近线方程，求得|AB|，代入三角形面积公式，整理可得双曲线C 的离心率．解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，则|AB|=2bca，则S△AOB=12×2bc a×c=2b2，即c4﹣4a2c2+4a4＝0，则（c2﹣2a2）2＝0．∴c2＝2a2，得e=ca=√2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．22【分析】直接利用数列的通项公式的应用求出结果．解：数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数， 所以：a 2＝1，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝16．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：根据三视图中的数据，所以AE ＝2，BE ＝CE ＝1，DE ＝2，所以AD =√22+22=2√2，AB ＝AD ＝AC ＝CD =√12+22=√5．则S △ABD =S △ACD =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6．S △ABC =S △BCD =12×2×2=2．故几何体的表面积S ＝2×2+2×√6=4+2√6． 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换．几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2]【分析】求出函数的单调递增区间为，结合单调性之间的关系建立不等式组进行求解即可．解：由2k π−π2≤ωx +π3≤2k π+π2，k ∈Z ， 得2k π−5π6≤ωx ≤2k π+π6，k ∈Z ， 即2kπ−5π6ω≤x ≤2kπ+π6ω，k ∈Z∵f （x ）在区间(−π6，π3)上单调递增， ∴此时函数单调递增区间经过原点，则当k ＝0时，增区间为[−5π6ω，π6ω]． 此时满足{−5π6ω≤−π6π6ω≥π3，得{ω≤5ω≤12，解得0＜ω≤12， 即ω的取值范围是（0，12]，故选：A ．【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，结合三角函数的单调性求出递增区间，建立不等式关系是解决本题的关键．难度不大．9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．12【分析】根据条件建立坐标系，求出各点坐标，以及对应向量的坐标，代入数量积，结合二次函数的性质即可求解．解：因为平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°， 对角线AC 与BD 相交于点O ， 故ABCD 为菱形，建立如图坐标系；则A （−√3，0），B （0，﹣1），C （√3，0），D （0，1）；故直线BC 的方程为：y =√33x ﹣1；∵点M 是线段BC 上一点；故M （x ，√33x ﹣1）；且 0≤x ≤√3； ∴OM →=（x ，√33x ﹣1）；CM →=（x −√3，√33x ﹣1）； 故OM →•CM →=x （x −√3）+（√33x ﹣1）2=43x 2−5√33x +1；对称轴x =5√38∈[0，√3]∴当x =5√38时，OM →•CM →取最小值为：43×（5√38）2−5√33×5√38+1=−916；故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于基础题．10．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则P （B |A ）＝（ ）A ．1−π4B ．π4C ．1−2πD ．2π【分析】由题意，计算正方形EFGH 与圆I 的面积比，利用对立事件的概率求出P （B |A ）的值．解：由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ， 则圆I 的半径为r ＝a ，面积为πa 2； 正方形EFGH 的边长为√2a ，面积为2a 2； ∴所求的概率为P （B |A ）＝1−2a 22=1−2π．故选：C ．【点评】本题考查条件概率与几何概率的计算问题，是基础题．11．已知定义在R 上的奇函数f （x ），对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），且当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）＝（ ） A ．6 B ．3 C ．0 D ．﹣3【分析】根据题意，分析可得f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性求出f （0）、f （1）、f （2）、f （3）、f （4）、f （5）的值，即可得f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）的值，结合周期性分析可得答案．解：根据题意，对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），则有f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，又由f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f （3）＝﹣f （0）＝0， 又由当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （1）＝3，f （2）＝f （﹣1+3）＝﹣f （﹣1）＝f （1）＝3，f （4）＝f （1+3）＝﹣f （1）＝﹣3，f（5）＝f（2+3）＝﹣f（2）＝﹣3，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]×336+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝f（2）＝3；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39【分析】V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，由此能求出四棱锥P﹣AMEN体积的最小值．解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，∴V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，M ，O ，V 三点共线，且PN →=λPD →，PM →=μPB →，|PD →||PN →|=1λ，|PB →||PM →|=1μ，PV →=23PO →=13(PD →+PB →)=13λPN →+13μPM →，13λ+13μ=1，∴2|PN →|+2|PM →|=3，∵3=2|PN →|+2|PM →|≥2√2|PN →|⋅2|PM →|，∴|PN →|•|PM →|≥169，当且仅当2|PN →|=2|PM →|时，取“＝”， ∴V P ﹣AMNE =12S △PMN =12×12×|PN →|×|PM →|×sinπ3≥12×12×169×√32=29√3． ∴四棱锥P ﹣AMEN 体积的最小值为2√39．故选：D ．【点评】本题考查四棱锥体积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝（x ﹣2）lnx ，则函数f （x ）在x ＝1处的切线方程为 x +y ﹣1＝0 ． 【分析】先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．解：∵f′(x)=lnx +x−2x，∴f′（1）＝﹣1，f（1）＝0，故切线方程为：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝4．【分析】运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，可得首项和公差的方程组，解得首项和公差，再由等差数列的通项公式，计算可得所求值．解：数列{a n}为公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，由a1，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，化为a1＝d，由S5＝15，可得5a1+10d＝15，即a1+2d＝3，解得a1＝d＝1，则a4＝a1+3d＝4．故答案为：4．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是K（填写字母）．【分析】根据剩余的白色数字：1，3，4，5，6，8；灰色数字：1，2，4，5，6，7．结合从左到右小到大，同数白靠右，先确定最小数字与最大数字的位置，则剩余的数字即可确定，由此找到灰4的位置．解：由题意，剩余的白色数字为：1，3，4，5，6，8；灰色数字为：1，2，4，5，6，7．易知E→灰1；L→白8．然后7必在H，G中选一个位置，但还有一个白6，只能在G位置，故灰7→H．剩下的灰6最大，只能在Q位置．剩下的还有白1，3，4，5，灰2，4，5；白5只能在F，N位置选一个，若放在N位置，则P位置无数可选，故白5→F．剩下的灰5最大，只能在K，P选一位置，但若在K位置，则白4、灰4无法放置，所以灰5→P．则灰4只能在K位置，白3→M，白4→N，白1→I，灰2→J．故选：C．【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力，一般采用反证法的思路去推矛盾，确定结论．属于中档题．16．设F1，F2是椭圆C：x24+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为4．【分析】由题意四边形为平行四边形，设平行线间的距离为d，所以四边形的面积为S= 12|AB|•d，分两条直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在且不为0时，设直线l1的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，再求平行线间的距离d的值，求出面积S的表达式，换元再由均值不等式求出面积的取值范围，进而求出面积的最大值．解：由题意可得椭圆的焦点F1，F2的坐标分别为（−√3，0），（√3，0），因为l1∥l2，设平行线间的距离为d，所以四边形ABCD面积为S=12|AB|•d，①当直线的斜率不存在时，可得四边形ABCD为矩形，设直线AB的方程：x＝±√3，代入椭圆的方程可得y＝±b2a=±12，所以|AB|＝|CD|＝2×12=1，d＝|F1F2|，这时S ABCD＝|F1F2|•|AB|＝2√3×1＝2√3，②当直线的斜率存在且不为0时，且m≠0，由椭圆的对称性可得ABCD为平行四边形，设l1的方程为：x＝my−√3，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程{x=my−√3x24+y2=1，整理可得（4+m2）y2﹣2√3my﹣1＝0，x1+x2=2√3m4+m2，x1x2=−14+m2，所以|AB|=√1+m2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+m2√12m2(4+m2)2−4×(−1)4+m2=4(1+m2)4+m2，可得两条平行线间的距离d=√3√1+m，所以S ABCD＝|AB|•d=4(1+m2)2⋅√3√1+m=8√3√1+m22=8√3√1+m2(1+m2)2+6(1+m2)+9=8√3•√1(1+m2)+91+m2+6令t＝1+m2＞1，则t+9t+6≥2√9+6＝12，所以0＜1t+9t+6≤112，所以S≤8√3⋅√112=4，故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，及换元法的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．【分析】（1）证明A1A⊥AC，AA1⊥A1C1，结合A1P⊥AA1，证明AA1⊥平面A1C1P，推出AA1⊥C1P．（2）以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面A1CP的一个法向量，求出直线BC1对应的向量，然后利用向量的数量积求解直线BC1与平面A1CP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由A1C=2√2，AC＝AA1＝2，所以A1C2=A1A2+AC2，所以A1A ⊥AC，因为A1C1∥AC，所以AA1⊥A1C1，又A1P⊥AA1，A1P∩A1C1＝A1．所以AA1⊥平面A1C1P，所以AA1⊥C1P．（2）解：由（1）知AA1⊥AC，又AA1∥CC1，所以AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，AC⊂平面ABC，所以平面BCC1B1⊥平面ABC．取BC中点O，由△BCC1为正三角形知C1O⊥BC，C1O⊂平面B1BCC1，又平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，所以C1O⊥平面ABC，以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0），C （0，﹣1，0），B （0，1，0），C 1(0，0，√3)，A 1(2，0，√3)，P(0，32，√32)，A 1P →=(−2，32，−√32)，CP →=(0，52，√32)，BC 1→=(0，−1，√3)，设平面A 1CP 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则n →⋅A 1P →=0且n →⋅CP →=0， 所以{−4x +3y −√3z =05y +√3z =0，取z ＝5，则x =−2√3，y =−√3，n →=(−2√3，−√3，5)．所以cos〈BC 1→，n →〉=BC 1→⋅n→|BC 1→||n →|=√32×40=3√3020， 所以直线BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：sin〈BC 1→，n →〉=cos〈BC 1→，n →〉=3√3020，BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：3√3020．【点评】本题考查直线与平面所成角的三角函数值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3． （1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．【分析】（1）利用三角函数化简已知条件，然后通过余弦定理求出BC ，再根据三角形的面积公式即可求出；（2）通过同角的三角函数的关系，正弦定理求出AD ，利用余弦定理求出．解：（1）由tan∠ABC =−√5知，cos∠ABC =√66，sin∠ABC =√306，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝CD ＝3由余弦定理，知AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos ∠ABC ，所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍），所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12×1×√6×√306=√52．（2）在△ADC 中，因为cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，所以sin∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin∠ACD =√74，由正弦定理CDsin∠DAC=AD sin∠ACD，所以AD =3×√74√144=3√22，又cos ∠BAD ＝cos （∠DAC +∠ACD ）＝cos ∠DAC cos ∠ACD ﹣sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， 在△ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7， 所以BD =√7．【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力．19．已知O为坐标原点，点F（0，1），M为坐标平面内的动点，且2，|FM→|，2OM→⋅OF→成等差数列．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线T，过点N（0，2）作直线l交曲线T于C，D两点，试问在y轴上是否存在定点Q，使得QC→⋅QD→为定值？若存在，求出定点Q的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出点的坐标，根据条件整理即可求得结论；（2）设出直线方程，与曲线的方程联立，再代入数量积求解即可．解：（1）设M（x，y），由条件知|FM→|=1+OM→⋅OF→，所以√x2+(y−1)2=1+y(y≥−1)，两边平方得，x2+y2﹣2y+1＝y2+2y+1，所以x2＝4y满足（y≥﹣1），所以点M的轨迹方程为x2＝4y．（2）由题意知直线l的斜率存在．设l的方程为y＝kx+2，与x2＝4y联立得，x2﹣4kx ﹣8＝0，所以△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，又设C（x1，y1），D（x2，y2），Q（0，y0），则QC→⋅QD→=(x1，y1−y0)⋅(x2，y2−y0)=x1x2+(y1−y0)(y2−y0)＝x1x2+（kx1+2﹣y0）（kx2+2﹣y0）=(k2+1)x1x2+k(2−y0)(x1+x2)+(2−y0)2=−8(k2+1)+4k2(2−y0)+(2−y0)2=(2−y0)2−8−4y0k2为定值，从而得y0＝0，所以存在定点Q（0，0），使得QC→⋅QD→为定值﹣4．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了考生综合分析问题的能力和基本的计算能力．20．已知函数f（x）＝axe x+（x+1）sin x+cos x．（1）若a＝1，x≥−π2，求函数f（x）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosxx，x∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g（x）的导函数g'（x）存在零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），通过对x分类讨论：x∈[−π2，π2]，x＞π2，可得：e x+cos x＞0，进而得出单调性．（2）由题意得，g（x）＝ae x+sin x，x∈[−π4，0)∪(0，7π4]，函数g'（x）有零点，即g'（x）＝ae x+cos x＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，可得a=−cosxe x，利用导数研究其调调性即可得出．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），当x∈[−π2，π2]时，e x＞0，cos x≥0，所以e x+cos x＞0，当x ＞π2时，e x ＞1，|cos x |≤1，所以e x +cos x ＞0， 所以当x ≥−π2时，e x +cos x ＞0．故由f '（x ）≥0，得x ≥﹣1；由f '（x ）＜0，得−π2≤x ＜−1， 所以f （x ）的减区间为[−π2，−1)，单调递增区间为[﹣1，+∞）， 所以f （x ）的最小值为f(−1)=−1e+cos1．（2）由题意得，g （x ）＝ae x +sin x ，x ∈[−π4，0)∪(0，7π4]， 函数g '（x ）有零点，即g '（x ）＝ae x +cos x ＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，所以a =−cosxe x ，设m(x)=−cosxe x ，则m′(x)=sinx+cosxe x， 若m '（x ）≥0，则sin x +cos x ≥0，即√2sin(x +π4)≥0，解得−π4≤x ≤3π4，且x ≠0； 若m '（x ）＜0，则sin x +cos x ＜0，即√2sin(x +π4)＜0，解得3π4＜x ＜7π4，所以m （x ）在[−π4，0)，(0，3π4]上是增函数，在(3π4，7π4]上是减函数． 而m(−π4)=−√22e π4，m （0）＝﹣1，m(3π4)=√23e −3π4，m(7π4)=−√22e −7π4，又−√22e −7π4＞−1，所以−√22e π4≤a ＜−1，或−1＜a ≤√22e −3π4．所以实数a 的取值范围是[−√22e π4，−1)∪(−1，√22e −3π4]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数的单调性、分类讨论方法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n∈一、选择题*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）若p=1−1√e4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）【分析】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（2）（ⅰ）由题意知Eξ1＝k，ξ2取值的可能有1，k+1，求出概率，即可求解期望，列出关系式，推出p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）由题意知，Eξ1＞Eξ2，得到k（1﹣p）k＞1．结合p=1−e−14，推出(e−14)k＞1k，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化求解k的最大值．解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则P(A)=A22A44 A66=1 15，即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为115．（2）（ⅰ）由题意知E ξ1＝k ，ξ2取值的可能有1，k +1，p(ξ2=1)=(1−p)k ，p(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ，所以Eξ2=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k ， 由E ξ1＝E ξ2，得k ＝k +1﹣k （1﹣p ）k ，即(1−p)k =1k ，所以p =1−(1k )1k ，所以p 关于k 的函数关系p =1−(1k)1k (k ∈N ∗，2≤k ≤n)．（ⅱ）由题意知，E ξ1＞E ξ2，所以k ＞1+k ﹣k （1﹣p ）k ，即k （1﹣p ）k ＞1． 所以1k ＜(1−p)k ，又p =1−e −14，所以(e −14)k ＞1k，两边同时取对数，得−k 4＞−lnk ，即lnk −k 4＞0，设f(x)=lnx −x4，则f′(x)=1x −14，易知函数f （x ）在（4，+∞）上单调递减， f （8）＝ln 8﹣2＝2.079﹣2＝0.079＞0，f(9)=ln9−94=2.197−2.25＜0， 所以k 的最大值为8．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，古典概型概率的求法，构造法的应用，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 28+y 22=1．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．转换为直角坐标方程为√22x +√22y =8√2，整理得x +y ﹣16＝0．（2）曲线C 的直角坐标方程转换为极坐标方程为(ρcosθ)28+(ρsinθ)22=1，直线l 的直角坐标方程转换为极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）＝16， 设A （ρA ，θ），B （ρB ，θ），M （ρ，θ）， 由于M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，所以ρA2=ρ⋅ρB ，整理得ρA 2=1cos θ8+sin 2θ2=16⋅ρcosθ+sinθ，所以cosθ+sinθ=16ρ(cos 2θ8+sin 2θ2)，转换为直角坐标方程为x +y ＝2x 2+8y 2， 即2x 2+8y 2﹣x ﹣y ＝0．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|． （1）求函数f （x ）的最大值M ；。

2020届高三11月联考数学(理)试题(解析版)

2020届高三11月联考数学(理)试题(解析版)

2020届高三11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】 根据题意，31211211212i i i i i i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r ，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ） A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】 根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43-B ．23-C ．32-D ．34- 【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ，所以113E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 11)3=1=，所以几何体的体积为2. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z .因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =-- 代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x '+-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩解得1b <，而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案. 【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C =所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 即2357sin 3ABπ=，所以19AB =. 所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 252222ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ， 所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，所以11242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭，所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭， 设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln1mxf x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。

2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)

2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题(解析版)

2020届河南省郑州市高三第二次质量预测数学(理)试题一、单选题1 .已知集合 A (x|a 1 x 3a 5) , B (x|3 x 22)，且 AI B A,则实数a 的取值范围是()【答案】B【解析】由AI B A 得到A B,建立不等式，即可求出 a 的取值范围. 【详解】解：Q A (x |a 1 x 3a 5) , B (x |3 x 22),且 AI B A 所以A B ，当A 时，a 1 3a 5解得a 3； 当A 时，3a 5 22a 1 3a 5 解得 3 a 9 a 1 3a 9故选：B 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题.2.已知复数z 彳(i 其中是虚数单位，满足i 21)，则z 的共轴复数是()A . 1 2iB. 1 2iC. 1 2iD . 1 2i【答案】C 【解析】由i 21化简分母，然后再由复数代数形式的乘除运算化简复数 Z,则z 的共轴复数可求. 【详解】则 z 1 2i - 故选：C . 【点睛】,9]B.,9)C. [2,9]D. (2,9)解：z2 i i(2 i)・2_.i・2本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.3 .郑州市2019年各月的平均气温(C )数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A . 20B. 21C. 20.5【答案】C【解析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可. 【详解】解：由题意得，这组数据是： 01, 02, 15, 16, 18, 20, 21, 23, 23, 28, 32, 34,,,20 21故中位数是：竺―20.5,2故选：C. 【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题.224.圆(x 2) (y 12) 4关于直线x y 8 0对称的圆的方程为()A . (x 3)2(y 2)24 B . (x 4)2(y 6)24C . (x 4)2(y 6)24D. (x 6)2(y 4)24【答案】C【解析】 写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线 1的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案. 【详解】y 12x，解得y22解：圆 C(x 2) (y 12)4的圆心坐标为C 2,12 ,半径为2,设C 2,12关于直线x y8 0的对称点为C(x,y),则y 12则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为(x 4)2 (y 6)2 4. 故选：C.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题.5.在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明， 光源悬挂的高度至少为( )A . 30 米B. 20 米C. 15J2米 D . 15 米【答案】A【解析】光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为 30米，画出轴截面图，即可得解；【详解】解：光源发出的光线构成一个圆锥形状，要使整个广场都照明，则底面圆是广场正六边 形的外接圆，依题意可得广场外接圆的半径为30米，如图所示 BD DC 30,又ABC 为等腰直角三角形，故 AD 30,则要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米， 故选：A6.若 一，,2cos2sin —，则sin 2的值为()24【解析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cossin 尘再将两边4本题考查圆锥的轴截面的相关计算，属于基础题;7 7 1 _ 1A . - B.— C. D .-8 8 8 8 【答案】A平方利用二倍角正弦公式计算可得;解：因为 2cos2 sin 一4所以c22 cossi n 2•sin — cos 4 cos —sin 4所以 2 cossincossin2 ——cos 2sin Q,2,cos sin所以 cos sin_/2 4所以 cos sin 21 一，即 82cos2cos sin.■2sin所以 sin 2 7 8故选: :A【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题;【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.7. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是 3,则输入的x 的取值范围是（ ）A . (2, )B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)解：设输入x a ,第一次执行循环体后， x 3a 2, i 1 ,不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， x 9a 8, i 2,不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后， x 27a26 , i 3,满足退出循环的条件;故 9a & 82，且 27a 26 82,解得：a (4,10],【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于中档题.8. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积,S 为△ OKL 的面积.将Gini a ,称为基尼系数.对于下列说法:S①Gini 越小，则国民分配越公平;【答案】B【详解】② 设劳伦茨曲线对应的函数为y f（x ）③ 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y ④ 若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 y其中不正确的是：（）,则对 x (0,1)，均有给) 1； xx 2(x [0,1])，贝u Gini -；4 x 3(x [0,1])，则 Gini -. 2C.①③④D.①②④【解析】依题意，利用微积分基本定理求出a 的面积，即可判断;*累计收入百分此（%）-网」计人口百分比（％》a_解：依题意当a越小时，Gini一越小，则国民分配越公平，故 ①正确；S当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线OL ,此时 1 ,故②错误；x....................... c 1) 1) 1 …1 当方伦次曲线近似为 y x (x [0,1])时，a (x x )dx (-x -x ) o - o 2361 1 1 a 1 一 S OKL -11 g ,所以Gini — 〒—，故③错误；2 2 S 13 当劳伦茨曲线近似为 y x 3(x [0,1]) - 1 . . 1 ~ . a S OKL — 1 1—,所以 Gini — 2 2' S故选：B 【点睛】 本题考查微积分基本定理的应用，属于基础题 ^9. 2019年10月1日，中华人民共和国成立 70周年，举国同庆.将2, 0, 1, 9, 10这 5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个 6位数，则产生的不同的 6位数的个数为( ) A . 96 B. 84C. 120 D . 360时,1 4 12 1(x x 3)dx 0 ,故④正确;1 4、4x)【答案】B 【解析】 先求得所有不以0开头的排列数，再由以 1, 0相邻，且1在左边时所对应的 排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案 ^ 【详解】 由题意，2, 0, 1, 9, 10按照任意次序排成一行， 得所有不以0开头的排列数为4A 4 96, 4 其中以1, 0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为A 4 24 ,有一半是重复 的，故产生的不同的 6位数的个数为96 12 84 .故选：B. 【点睛】 本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题 ^ 10 .已知等差数列 a n 的公差d 0，且a 1,a 3,a 〔3成等比数列，若a 〔 1, S n 为数列a ”正!1瞧 格E…-…2S n 6^ —的刖n 项和，贝U ----- 的取小值为()a n 3A . 4B. 3C. 2^/3 2D. 2【答案】D2【解析】由题意得(1 2d) 1 12d ，求出公差d 的值，得到数列｛a n ｝的通项公式,【详解】 解：Qa i 1, a i 、a 3、a^成等比数列，_2-(1 2d) 1 12d .得d 2或d 0 (舍去)，a n 2n 1 ,n(1 2n 1)2s —2— n，2222S n 6 2n 6 n 3 n 1 2 n 1 4a n3 2n 2 n 1n 1令tn 1，则芝「： 2 2砰2 2… … 2S n 6……当且仅当t 2，即n 1时，—一的最小值为2.故选：D.【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中 档题.11.〈〈九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形 .若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为前n 项和，从而可得2S n 6an3,换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值.【详解】 如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD.底面ABCD 为矩形, 其中PD 上底面ABCD.AB = 1, AD = 2, PD = 1.则该阳马的外接球的直径为 PB J1 ―1 ~4 J6. 该阳马的外接球的表面积： 4 （寸6）26 .2与计算能力，属于中档题.2 212.过双曲线与 % 1 （a 0, b 0）的右焦点F 作直线y a b足为A ,交双曲线的左支于 B 点，若uun UUU .................FB 2FA ，则该双曲线的离心率为（B. 2【答案】C22 2 2、2, 2A .掴B. 2 C . 6 D. 24【解析】由题可知该几何体为四棱锥 P-ABCD .底面ABCD 为矩形，其中PD 上底面 ABCD , 可得该阳马的外接球的直径为PB,计算得出结果即可.本题考查了四棱锥的三视图及锥体中的数量关系、球的体积计算公式, 考查了推理能力【解析】试题分析：设双曲线的右焦点 F 的坐标（c,0），由于直线AB 与直线y直，所以直线AB 方程为yb ay —X2 Ka a .. . a ab ., —（xc ）,联立｛ ，求出点A （一, —）,由已知 b a / 、 c cuuuuuu2FA ,得点B （ 222a c3c2ab华），把B 点坐标代入方程3cx y < (2a c ) 4a— & 1, -------—r 1,整理得c 45a,故离心率ea2b2 9a2c2 9c2【考点】1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.二、填空题2 613 .在X 2的展开式中常数项为.X【答案】160_ _ 2 6 ........... . 「一【解析】先求出X - 的展开式的通项T r 1 2 C6X ，令6 2r 0,求出r的值即得解.【详解】由题得x -的展开式的通项为T r1 C6x6 r(-)r2r C6x62r,令6 2r 0, r 3. 一 3 3所以展开式的常数项为2 C6=8 20=160 .故答案为：160【点睛】本题主要考查二项式展开式常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平14.已知函数f (x) 云，g(x) x cosx sin x，当x ［ 3 ,3 ］且x 0时，方程f (x) g(x)根的个数是.【答案】6【解析】先对两个函数分析可知，函数f(x)与g(x)都是奇函数，且f(x)是反比例函数,g(x)在［0 ,］上是减函数，在［,2 ］上是增函数，在［2 , 3 ］上是减函数，且g(0) 0, g( ) ; g(2 ) 2 ; g(3 ) 3 ；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可.【详解】食军：g (x) cosx xsin x cosx xsin x ；令g (x) 0 得x k , k Z .g(x)在［0 ,］上是减函数，在［,2 ］上是增函数，在［2 , 3 ］上是减函数,且g(0) 0 ， g( ) ；g(2) 2 ；g(3) 3 ；故作函数f (x)与g(x)在［0 , 3 ］上的图象如下,结合图象可知，两图象在［0 , 3 ］上共有3个交点;又f (x), g(x)都是奇函数，且f (x)不经过原点，f (x)与g(x)在［3 , 3 ］上共有6个交点，故f (x) g(x)有6个零点.故答案为：6.【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题.15 .已知直角梯形ABCD, AD//BC , BAD 90 . AD 2, BC 1, P 是腰AB 皿unr上的动点，贝U | PC PD |的最小值为 .【答案】3【解析】以直线AD , AB分别为x , y轴建立平面直角坐标系，设P(0 , b)(0制b 1), 根据向量的坐标运算和模的计算得到，|PC PD | ^9 (1 2b)2-3,问题得以解决.【详解】解：如图，以直线AD , AB分别为x , y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0) , B(0,1), C(1,1), D(2,0)设P(0 , b)(0制b 1)uur 则PC (1,1 b),uuuiPD (2, b),uur uuurPC PD (3,2b),um umr ____________ 1| PC PD| J9 (1 2b)2-• 3，当且仅当b ］时取等号,iur uur …| PC PD |的取小值为3,故答案为：3.【点睛】本题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于基础题.3 2x x ,x e16 .设函数y |n x的图象上存在两点P,Q，使得△ POQ是以O为直角m，顶点的直角三角形(其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是.【答案】［e 1,)【解析】曲线y f (x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧.设P(t , f(t))(t 0),则Q( t,t3 t2),运用向量垂直的条件：数量积为0,构造函数h(x) (x 1】nx(x・・・e)，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围.【详解】解：假设曲线y f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧.不妨设P(t , f (t))(t 0),则Q( t,t3 t2),QDPOQ是以O为直角顶点的直角三角形,uuu iurOPOQ 0,即t2f(t)(t3 t2) 0(*)若方程(*)有解，存在满足题设要求的两点 P 、Q ；若方程(*)无解，不存在满足题设要求的两点 P 、Q .右 t e,则 f (t) t 3t 2代入(*)式得：t 2( t 3t 2)(t 3t 2) 0即t 4t 21 o,而此方程无解，因此t ・・・e,此时f(t) 哽， m 代入(*)式得：t 2四(t 3 t 2) 0,m即 m (t 1)lnt (**)令 h(x) (x 1)lnx(x ・・ e), 板 1 则 h (x) Inx 1 — 0x ，h(x)在［e , )上单调递增，Q t e h t h e e 1 , h(t)的取值范围是［e 1,).对于m e 1 ,方程(**)总有解，即方程(*)总有解. 故答案为：e 1, .【点睛】本题考查分段函数的运用， 注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式， 考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题.三、解答题17 .已知数列 a n 为公差不为零的等差数列，S 7 77 ,且满足勇 a a gv(I )求数列 an 的通项公式;【解析】(I )设等差数列 a n 的公差为d ,即可得到方程组，解得即可; (口)由— a n,则—工 a n 1(n 2,n N*),再由累加法求出—的b n 1 b nb n b n1b n(n)若数列b n 1 1满足—— b n 1b na n n N ，且b 11 ...-,求数列3b n 的前n 项和【答案】(Ia n 2n 3 ；( n)T n3n 2 5n 4(n 1)(n 2)通项公式，再利用裂项相消法求和即可; 【详解】解：（ i ）设等差数列a n 的公差为d ,则7a 〔 a 1 a 121d 7760d a 110d 2解得务5, a n d 2,2n 3（n ） 当n11山 ---' --b n 1 b n2时，a n,1 _1_ b nb n 1a n 1(n 2,n N*).1 b n(n 1 _1_b n 品11)(n 2 5)1 b n 1 3上Lb n 2 n(n 2).1 b2 1 b 1 1— a n 1 a nb 1L a 1 2 La 1—b 1对n 1，、一 —也适合，31b nn(n 2)(n N),bn2 1 _ n n1—— .2T n 1 1 1-1 -2 3 2 1 L 1里 n n1 31 1 3n2 5n 4 22 2 n 1 n 2 4(n 1)(n 2)【点睛】本题考查等差数列基本量的计算， 累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18 .由团中央学校部、 全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国 最美中学生 寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、 自觉树立和践行社会主义核心价值观的最美中学生”.现随机抽取了 30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图， 若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组.票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组.（l ） 在这30名学生中，青春组学生中有男生 7人，风华组学生中有女生 12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（口）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2 人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（m）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用表示所选4人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望.2 n(ad bc)附：K ——————-- - - ；其中n a b c d【答案】（I ）没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关；（□）二；10 (8)（m ）分布列详见解析，数学期望为 -.5【解析】（I ）依题意作出列联表，由列联表计算出卡方，再跟参考数据比较，即可得出结论；（n）根据古典概型的概率公式计算可得；2 , …—（n ）由样本数据得到抽取1名学生是青春组学生的概率为一，则服从二项分布5_ 2B 4,一，显然的取值为0, 1, 2, 3, 4,再列出分布列，即可求出数学期望；5【详解】解：（I ）作出2 2列联表：因为 1.83 2.706,故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关..................................... C 7 (□)用A 表示至少有1人在青春组，贝U P(A) 1 £ 一 .Cl 10(ni)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取 1名学生是青春组学生的概率为122,那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是 -,30 55又因为所取总体数量较多， 抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是 服从二项分布B 4,—5显然 的取值为0, 1 , 2, 3, 4.且P(... 2 8 数学期望E 4 - 一 5 5【点睛】本题考查独立性检验，古典概型的概率计算以及二项分布及其分布列，属于中档题.由列联表数据代入公式得K 22n(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)1.83,k) Ckw 519 .如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将VACD折起，使得点D在平面ABC1 【答案】（I ）详见解析；（□）一.4【解析】（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ,连接DE ,推导出DE BC ,AB BC ,从而BC ±平面ABD ，进而BC AD , AD 平面BCD ,由此能证明 平面ABD 平面BCD .（口）以点B 为原点，线段 BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D AC B 的余弦值. 【详解】解：（I ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E, 连接DE ，则DE 平面ABC ,因为BC 平面ABC ,DE BC .Q 四边形ABCD 是矩形， AB BC , BC平面 ABD,BC AD .又 AD CD, CD 平面 BCD, BC 平面 BCD, CD BC C 所以AD 平面BCD , 而AD 平面ABD , 平面ABD 平面BCD .内的射影恰好落在边 AB 上.（I ）求证：平面 ABD 平面BCD ;.... AB -（口）当 —— 2时，求二面角 D AC B 的余弦值.AD空间直角坐标系，如图所示 .设 AD a ,贝U AB2a, A(0,2 a,0) ,C(a,0,0) 由(I )知 AD BD,又缶2, ADDBA 30 , DAB 60 ,13AE AD cos DAB—a , BE AB AE a ,22x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立（□）以点B 为原点，线段 BC 所在的直线为DE AD sin DAB--3 3 史-1 3 U四，〜D 0,—a,—a , AD 0, —a,—a , AC (a, 2a,0)-2 2 2 2ir设平面ACD的一个法向量为m (x, y,z),v八 1 3则m Av °,即2ay T az 0,m AC o c cax 2ay 0.—_ ir _ _不妨取z 1,则y 焰,x 2焰,m (2J3,J3,1).r而平面ABC的一个法向量为n (0,0,1),ir rLr r m n 1 1cos m,n ir r|mHn| ：(2 3)2 ( 3)2 12 4-…一一…—1故二面角D AC B的余弦值为一.4【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.20 .在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F(3,0)的距离与A到定直线x 4距离之比为一32(I)求动点A的轨迹C的方程;(n)设点M , N是轨迹C上两个动点直线OM ,ON与轨迹C的另一交点分别为P,Q且直线OM ,ON的斜率之积等于 -,问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明4理由.2 2【答案】(I )—匕1 ； ( n )四边形MNPQ的面积为定值12.12 3【解析】（i ）设A （X , V ），依题意可得J（X 3）2y 2.史，化简即可得解;|X 4|2 1,M X 2, y 2，由 k oM k oN匚，得4【详解】解：（I ）设A （X , y ）,依题意，（X 3） y |x 4|2 2 2 2 2 2 2 2所以，S 4 X 1y 2 X 2y 1 4 X 1 y 2 2X 1X 2 y 1y 2 X 2y 1 12 X 1 X 2 144,所以S 12所以，四边形MNPQ 的面积为定值12. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法， 考查四边形面积是否为定值 的求法与证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运 用，属于中档题.(□)设 M x 1, y 1V 1V 2 X 1X 22在椭圆C 上，得X 1X 2 12,由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形 MNPQ 的面积为定值.化简得x24y 212,所以，动点(□)设 M X i , y i , M X2N2,则由斜率之积，得2X2y_12~3V 1V 2X 1X 214'| MN |所以直线 MN 离为y X 1 X 22V 12V 222令X 123 —, V3 W 44的方程为y 2 V 1 XX 1V 2X 2V 122V X 2X 1 V 2 V 1,因为点M 、N 在椭圆C 上,2X 1x 2y 1 x 1y 20 ,原点O 到直线MN 的距…， _____ ____ 1所以，△ MON 的面积S NOM - |MN | d1-X 1y 2*2乂，根据椭圆的对称性，四边形 MNPQ 的面积S2 X i y 2 X2N ,A 的轨迹C 的方程为化简得 2V】X 2 XIn x x 121.已知函数 f(x) , g(x) —厂(x 0)(i)当a 1时，求曲线y f(x) g(x)在x 1处的切线方程；— .......... 1 小、(n)讨论函数 F(x) f(x) —在(0,)上的单调性.【答案】(I)x 2y 1 0 ； (n )分类讨论，详见解析.【解析】(I )首先求出函数的导数，求 y |x 1即斜率，再由点斜式求出切线方程; (1)(口)分别求出f (x), ------- g(x)再对a 分类讨论可得; 【详解】0时,令ka 2 • a 24a 2的导函数，则F (x) f (x)(x 1)2ax7{2~ ax(x 1)解: (I )当a 1时，曲线yf (x)(1 ln x)(x 1) xln xIn x (x 1)2x 1… ,.所以y |x1(x 1)21 2 - (1 1)ln1 1 1时，切线的斜率为1 ....... .-，又切线过点(1,0)2所以切线方程为2y (n ) f (x)1ax1 g(x1 (x 1)2F (x) f (x)g(x) ax1(x 1)22(x 1) ax7<2~ax(x 1)0 时，F (x) 0, 函数F(x)在(0,)上单调递减;0时,即04, k(x) 0 ,此时 F (x)>0 ,函数 F (x)在(0,)上单调递增;时，即a 4,1 2方程一xa0有两个不等实根 x 1 x 2 ,所以x 〔此时，函数F(x)在0,x1 , x2, 上单调递增；在x1,x2上单调递减.综上所述，当a 0时，F(x)的单减区间是(0,)；2 2 2x (ya) a(n )由圆的方程可得圆心 C(0,a),半径R a ,Q |AB | -73a .2<a 2d 2••缶a,即 a 2 d 2*,当a 4时，F (x)的单减区间是a 2 . a 2 4a a 2. a 2 4a ,22a 2 . a 2 4a单增区间是 0, --------------- 2a 2 .a 2 4a2当0 a 4时，F(x)增区间是(0, ).【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，属于中档题.22 .在极坐标系中，圆 C 的方程为2a sin (a 0) .以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为 x 3 1,( t 为参数).y 4t 3(I)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程,(n)若直线1与圆C 交于A, B 两点，且| AB| J3a -求实数a 的取值范围. 【答案】(I ) C:x 2(y a)2a 2, l:4x 3y 5 0 ；( n 10a 10 .11【解析】(I )利用极坐标方程进行转化即可求圆 C 的标准方程,消去参数即可求直线l的普通方程;(n)利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可.【详解】解：(I )因为圆C 的方程为2asin (a 0),所以圆C 的直角坐标方程为直线l 的参数方程为x 3ty 4t 1,( t 为参数)，消去t 得到4x 3y 5 03则圆心到直线的距离 d|5 3a| |5 3a|324252则 d 2,—,4即d,已,2则 LLE1,二52nrta 3a 5 a 则一刑 ----- ---- ,252 'a 3a 5, ------ 1。

精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)

所以目标函数 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.

第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。

2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案

绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试卷带答案

绝密★启用前2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后。

用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}0A x x =≥，{}2lg()B x y x x ==-，则B A I =（ ）A ．),0[+∞B ．),1(+∞C ．{}),1[0+∞YD ．),1(]0,(+∞-∞Y2．已知复数21(1)z i =- （i 为虚数单位），则z =（ ） A ．14 B ．12 C ．22 D ．2i 3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（ ）A ．月工资增长率最高的为8月份B ．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C ．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D ．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知55443322105)1(x a x a x a x a x a a x +++++=+，则24a a +的值为（ ）A ．7B ．8C ．15D ．165．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若△AOB 的面积为22b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ，2B ．3C ．322D ．3326．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用n a 表示解下),9(*N n n n ∈≤个圆环所需的多少移动次数，数列{}n a 满足11=a ，且⎩⎨⎧+-=--为奇数为偶数n a n a a n n n ,22,1211，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．648+C ．624+D ．64+8．已知函数)0)(3sin(>+=ωπωx y 在区间)3,6(ππ-上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．]21,0(B ．]1,21[C ．]32,31(D ．]2,32[9．已知平行四边形ABCD 中，ο60,2=∠==DAB AD AB ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM CM ⋅u u u u r u u u u r 的最小值为（ ）A ．169-B ．169C ．21-D ．21 10．已知正方形ABCD ，其内切圆I 与各边分别切于点E ，F ，G ，H ，连接EF 、FG 、GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则)(A B P =（ ）A ．π2B ．π21-C ．21D ．214-π 11．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，对任意实数x ，恒有)()3(x f x f -=+，且当]23,0(∈x 时，86)(2+-=x x x f ，则=++++)2020()2()1()0(f f f f Λ（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-12．如图，在四棱锥ABCD P -中，2====PD PC PB PA ，底面ABCD是边长为2的正方形．点E 是PC 的中点，过点A ，E 作棱锥的截面，分别于侧棱PB ，PD 交于M ，N 两点，则四棱锥AMEN P -体积的最小值为（ ）A ．322 B ．332 C ．922 D ．932二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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