中考数学复习点、直线与圆的位置关系课件
直线与圆、圆与圆的位置关系讲义
1 直线与圆、圆与圆的位置关系讲义
课前双击巩固
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ 0
Δ 0
Δ 0
几何观点 d r
d r
d r
2.两圆的位置关系
设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系
常用结论
1.求圆的切线方程,常用两种方法
(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.
(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2√r2-d2.
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,求出xM+xN和xM·xN,则|MN|=√1+k2·√(xM+xN)2-4xM·xN.
2
题组一 常识题
1.[教材改编] 直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是 .
2.[教材改编] 以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是 .
3.[教材改编] 圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为 .
4.[教材改编] 直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为 .
题组二 常错题
◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.
5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a= .
高中数学必修2直线与圆优质课件：直线与圆的位置关系(复习课)
直线与圆的位置关系(复习课)
【彳见縣哩】
［例1］自点P(—6,7)发出的光线谢到兀轴上的点A
处，被兀轴反射，其反射光线所在直线与Wx2+y2~8x—
6y+21=0相切于点0•求光线?所在直线方程• 题型一 与圆有关的切线问题
［解］如图，作圆X2+J2-8X- 6J+21=0关于x轴的对称圆x2-\-y2—\ +6j+21=0,由几何光学原理，知直
由于/的斜率必存在，故可设直线人y—7=氐（兀+6）,即滋
-y+6E+7=0・
由圆兀$+丿2—8兀+6^+21=0的圆心（4，一3）到直线/的距离 线/与I +j2—8x+6y+21=0 相切.
等于半径，知
故光线/所在直线的方程为3兀+4j-io=0或4兀+3j+3=0.
l4A;+3+6^+7l 10MI+1I
讥2+1 寸疋+1 3 4
解得比=一二或氐=—
［类题通法］
过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法: 111
(1)设切线斜率，用判别式法;
(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长;
(3)设切点(K，Jo)，用切线公式法.
⑴过A(3,4)的圆C的切线方程;
(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程.
解：⑴当所求直线的斜率存在时，设过4(3,4)的直线方程为丁
—4=k(jx—3),即 kx—j+4—3&=0,
4
所以切线方程为丿一4=3(兀一3),即4x—3j=0.
当所求直线的斜率不存在时，直线方程为兀=3,也符合题意. 故所求直线方程为4x—3y=0或兀=3. ［对点训练］
(x-2)2+(y-l)2 = l.求:
12/1-1+4-3/11
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为专+》=1或y=
kx9
解得a=3±\[i,吃=0或疋=：・ 故所求切线方程为兀+丿=3±^血或y = 0或y =|r. 于是由圆心(2,1)到切线距离为1,得 =1或 13—a\
［例2］已知直线/： j = - ^-x+m与圆x2+y2=l在第一象
中考数学第一轮思维方法复习讲义：第13讲 直线和圆的位置关系
第- 1 -页 共10页 状元廊学校数学思维方法讲义之十三 年级：九年级
第13讲 直线和圆的位置关系
圆的知识在平面几何中乃至整个初中教学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何知识的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，在几何证明与计算中，将起到重要的作用，是中考必考查点。
【知识纵横】
§Ⅰ直线和圆的位置关系：
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
⑴直线与圆相交d__
____ r；
⑵直线与圆相切d__
____ r； ⑶直线与圆相离d__ ____r。
§Ⅱ圆的切线：
1．一个定义：与圆只有一个公共点的直线叫做圆的__ ___；这个公共点叫做__ ___；
2．两种判定：⑴若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线；⑵经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；
3．判定直线和圆的位置，一般考虑如下“三步曲”：
一“看”：看看题目中有没有告诉我们直线和圆有几个公共点；
二“算”：算算圆心到直线的距离d和圆的半径为r之间的大小关系，然后根据上述关系作出判断；
三“证明”： 证明直线是否经过直径的一端，并且与该直径的位置关系是否垂直。
4．四条性质：切线有许多重要性质
⑴圆心到切线的距离等于圆的_ ____；
⑵过切点的半径垂直于_ ____；
⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过___ __；
⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过____ _。
5．弦切角
定义 ：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角；
定理 ：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
推论 ：a)两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角也相等；
b)弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半。
5直线与圆的位置关系(学生版)
直线与圆的位置关系（讲案）
【教学目标】
本节内容 目标层级 是否掌握
位置关系判断 ★★★☆☆☆
圆的切线问题 ★★★★☆☆
圆的弦长问题 ★★★★☆☆
与圆相关最值问题
★★★★★☆
一、位置关系判断
【知识点】
直线与圆的位置关系有3种：相离、相切、相交.
1.几何法（根据圆心到直线的距离和半径关系来确定）
设半径为r的圆其圆心,ab到直线0AxByC的距离为d，则22||AaBbCdAB，那么：
①dr直线与圆相交，设交于两点,PQ，弦长22||2PQrd；
②dr直线与圆相切；
③dr直线与圆相离
2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由2220()()AxByCxaybr ，消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt判别式为，则：
①0直线与圆相交；
②0直线与圆相切；
③0直线与圆相离. 【例题讲解】
★★☆例题1. 给定点0(Ax，0)y，圆222:Cxyr及直线200:lxxyyr，给出以下三个命
题：
①当点A在圆C上时，直线l与圆C相切；
②当点A在圆C内时，直线l与圆C相离；
③当点A在圆C外时，直线l与圆C相交．
其中正确的命题个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
★★☆练习1. 直线:1(1)lykx和圆22:20Cxyy的关系是( )
A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切
★☆☆练习2．已知直线:30lmxym与圆22:(2)4Cxy．直线l与圆C下列关系中不可能的是( )
A．相交 B．相切 C．过圆心 D．相离
★☆☆例题2．若直线3yxb与圆221xy相切，则b（ ）
A．233 B．2 C．2 D．5
★★☆练习1. 已知圆22:6480Cxyxy和直线:2lyxb，b为何值时，直线与圆相切．
中考数学讲义-直线和圆的位置关系(1)
中考数学讲义
直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
1．了解直线和圆的不同位置关系．
2．了解直线与圆的不同位置关系时的有关概念．
3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
一、情境导入
你看过日出吗，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系呢？如图二者是什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：直线与圆的位置关系
【类型一】根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系
已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
解析：我们考虑圆心到直线l的距离，如果距离大于半径，则直线l与⊙O的位置关系是相离；若距离等于半径，则直线l与⊙O相切；若距离小于半径，则直线l与⊙O相交．分两种情况讨论：(1)OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切．(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．所以本题选D.
方法总结：判断直线与圆的位置关系，主要看该圆心到直线的距离，所以要判断直线与圆的位置关系，我们先确定圆心到直线的距离．
△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是________．
解析：根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断．本题根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，AC，BC是直角边，则圆心B到直线AC的距离是6cm，等于⊙B的半径，所以AC所在的直线与⊙B相切．
方法总结：根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状同时求出圆心到直线的距离是解题的关键．
【类型二】坐标系内直线与圆的位置关系的应用
如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )
最新中考数学-一轮复习：与圆有关的位置关系
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与圆有关的位置关系
基础知识
知识点一、点与圆的位置关系
1. 点和直线有三种位置关系：①点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；②点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；③点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径．
2. 用数量关系表示位置关系：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有
①点P在⊙O外
d＞r；
②点P在⊙O上 d＝r；
③点P在⊙O内 d＜r．
知识点二、直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
（1）相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
（2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
（3）相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交．
2、直线和圆的位置关系的性质与判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
① 直线和圆相离 d < r
② 直线和圆相切 d = r
③ 直线和圆相交 d > r．
知识点三、切线的判定定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
在应用定理时，必须先弄清两个条件：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径，两者缺一不可．
2. 切线的判定方法有以下几种：
①可以直接应用定义：直线与圆有一个公共点时，直线是圆的切线．
②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
③切线的判定定理．
当已知条件中没有指出圆与直线的公共点时，常运用方法②进行判定；当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常运用判定定理进行判定.证题方法“有点连半径，无点作垂线”.
知识点四、切线的性质定理与切线长定理
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1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
当已知圆的切线时，常常连接过切点的半径，得两线垂直关系.
2.切线长定理
北师大版初三数学下册直线的圆的位置关系(1)
第三章圆
3.5直线和圆的位置关系（第一课时）
课题 3.5直线和圆的位置关系（一） 课型 新授
教 学
目 标 1 •理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.
2 •了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系.
3 •经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力.
4 •通过观察得出“圆心到直线的距离 d和半径r的数量关系”与“直线和圆
的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化.
重
占
八、、
和
难
占
八、、 教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程•理解直线与圆的三种位置关系. 了解切线的概念以及切线的性质.
教学难点
经历探索：直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置 关系•探索圆的切线的性质.
教具准备 投影片
师 生 活 动 过 程
I•创设问题情境，引入新课
［师］我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些 ？
［生］圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆
心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于 半径•因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外•也可以 把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于 半径在圆内.
［师］本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系.
n.新课讲解
1 .复习点到直线的距离的定义
［生］从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点 到这条直线的距离.
如右图，C为直线AB外一点，
从C向AB引垂线，D为垂足，则 .■■ ■
线段CD即为点C到直线AB的距离.
2 •探索直线与圆的三种位置关系
［师］直线和圆的位置关系，我们 1 八 A
在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的•如大家请看课
本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样 ？作一个圆，把直尺
九年级数学 专题31 点直线与圆的位置关系
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第 1 页 共 82 页 九年级数学 点直线与圆的位置关系
一. 选择题
1．(2015•江苏南京,第6题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3，∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，，∴，∴NM=，∴DM==，故选A．
考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．
2.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）
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A． ①② B． ①②③ C． ①④ D． ①②④
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．.
分析： 根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．
数学直线与圆的位置关系-讲义
数学课程讲义
学科：数学
专题：直线与圆的位置关系
考点梳理
一、直线与圆的位置关系的判定
圆的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当rd时，直线l与圆C相离；
（2）当rd时，直线l与圆C相切；
（3）当rd时，直线l与圆C相交.
二、关于直线与圆相切
（一）切线的求法
1. 已知切点求圆的切线方程
题一
题面：已知圆C的方程是22(1)4xy，求以P(3,2)为切点的切线方程.
2. 已知圆外一点求圆的切线方程
题二
题面：求经过点(1、7)与圆x 2 + y2 = 25相切的切线方程.
第 - 1 - 页 （二）切线长的求法
题三
题面：从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点(2,3)P向这个圆引切线，则切线长为 ．
三、关于直线与圆相交——弦长问题
题四
题面：直线250xy与圆228xy相交于A、B两点，则AB .
金题精讲
题一
题面：直线1yx与圆221xy的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
第 - 2 - 页 题二
题面：已知直线:40lxy与圆22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_______.
题三
题面：在平面直角坐标系xOy中，已知圆422yx上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________
题四
题面：与直线xy20和曲线221212540xyxy都相切的半径最小的圆的标准方程是_____
第 - 3 - 页 课后练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一
题面：已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是
专题12 直线与圆的位置关系 知识精讲 (解析版)
专题十二 直线与圆的位置关系
一 知识结构图
内
容 考点 关注点
直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系
二.学法指导
1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．
2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
3．坐标法解决问题的一般步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；
(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；
(4)反演回去，得到几何问题的结论．
三.知识点贯通
知识点1 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2 d＜r d＝r d＞r
代数法：由
Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
例题1.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解析】 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.